2.1 生活中的变量关系 学案4（无答案）

2．1　生活中的变量关系　学案
知识点一
生活中的变量关系
自学导引
世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．
问题1：某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
问题2：储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
问题3：在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？
新知自解
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有
的值时，才称它们之间具有函数关系.
知识点二
函数的概念
自学导引
一枚炮弹发射后，经过26
s落在地面击中目标．炮弹的射高为845
m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130
t－5
t2.
问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么？
问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什么？
．
问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函数关系吗？为什么？
新知自解
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中
x，在集合B中都存在
的数f(x)与之对应，那么就把
f叫作定义在集合A上的函数，记作f：
.此时，x叫作自变量，集合
叫作函数的定义域，集合
叫作函数的值域，习惯上称
知识点三
区间
自学导引
一小球在距离地面98
m高的平台上做自由落体运动．(g＝9.8
m/s2)
问题1：下落时距离s与时间t的关系式是什么？
问题2：变量s和t的变化范围是什么？
问题3：如果{x|a≤x≤b}可用[a，b]表示，上面变量s和t的变化范围还可怎样表示？
新知自解
1．区间
定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
2．无穷大
概念：实数集R可以用区间表示为
，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤b}
{x|x1．函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．
2．对函数的理解
(1)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则；y是自变量的函数，当x取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
3．区间是连续数集的另一种表示形式．
把握热点考向
高频考点题组化
考点一
依赖关系的判断
[例1]　下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？
①正方形的面积和它的边长之间的关系；
②姚明罚球次数与进球数之间的关系；
③施肥量与作物产量之间的关系；
④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系．
[思路点拨]　先分析是否存在依赖关系，再去判断是否有函数关系．
[一点通]　分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的．
题组集训
1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x
kg，每亩地小麦产量为y
kg，则(　　)
A．x，y之间有依赖关系　　
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
2．下列过程中，变量之间的关系是否为函数关系？
(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下，时间与平均车速之间的关系；
(2)化学实验中，加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之间的关系．
考点二
函数的概念
[例2]　判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝与g(x)＝x＋2；
(2)f(x)＝与g(x)＝；
(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；
(4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．
[思路点拨]　判断函数的定义域和对应关系是否一致．
[一点通]　函数有三个要素：定义域、值域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域和对应法则相同，这两个函数就是同一函数．
题组集训
3．下列各组中的两个函数是相同函数的是(　　)
A．f(x)＝(x－1)0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝
D．f(x)＝与g(t)＝()2
4．如图所示，可表示函数y＝f(x)图像的只能是(　　)
考点三
求函数的定义域
[例3]　求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝x，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)f(x)＝；
(3)y＝2－；
(4)y＝
.
[思路点拨]　求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．
[一点通]
1．求函数定义域的方法
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
2．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
题组集训
5．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．[1，＋∞)
6．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝＋.
考点四
求函数的值域
[例4]　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝；
(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．
[思路点拨]　求值域的方法很多，(1)利用解析式逐个求；(2)用直接法；(3)分离常数后，逐步求出；(4)利用二次函数．
[一点通]　
函数的值域就是函数值构成的集合，即{f(x)|x∈A}，其中A为定义域，所以要求函数的值域，应首先确定函数的定义域．
求函数的值域常常没有固定的方法，常见的有：
(1)观察法；
(2)由函数的图像，运用数形结合的方法确定值域；
(3)化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域——配方法；
(4)利用二次三项式的判别式求值域——判别式法；
(5)采用换元法求值域；
(6)利用某些已知函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域．
题组集训
7．函数y＝x2＋x，x∈[－1,1)，则f(x)的值域是(　　)
A．[0,2)
B．[－，2]
C．[－，2)
D．[－，＋∞)
8．函数y＝2x－的值域是________．
1．集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的方法．一般地，用哪种方法表示取值范围应该与原题的表示方法保持一致，在没有明确的要求下，一般选择比较简便的表示法．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内移动直线l；
③若l与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3．函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值集合，一般转化为解不等式或不等式组的问题．
4．求函数的值域方法较多，常用的有配方法、换元法、分类讨论法和数形结合法．在利用换元法时，注意新元的取值范围．