2.1 生活中的变量关系 学案5（含答案）

2.1
生活中的变量关系
学案
1．常量与变量的区分
在研究某一问题的变化过程中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量．
谈重点
正确理解常量与变量
可结合生活中的实例，用辩证的观点来理解常量与变量，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，所以物动则变．在我们的生活中容易找出众多的实例，如：
(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程均为变量，但在实际运动过程中，绝对的匀速是没有的，因为人驾驶汽车在行驶过程中，不可避免地要进行加速、减速或刹车等操作．
(2)电影院里，对某一场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量．但相对于某个较长时间的间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量．
由此可以看出，常量具有相对性，而变量是永恒的，是大量存在的．
【例1】一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t，在这里，常量是______，变量是______．
解析：判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.
答案：300，－100　s，t
2．生活中的变量关系及判断
生活中的两个变量之间可能具有依赖关系，也可能不具有依赖关系，具有依赖关系的两个变量可能是函数关系，也可能是非函数关系．
(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．特别地，如果对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么就称这两个变量之间有函数关系．
(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不会发生任何变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
(3)依赖关系和函数关系的联系与区别：
函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系．
例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系．又因为作物的丰收还受其他因素的影响，如天气、施肥量等，所以下雪与来年的丰收不具有函数关系．
破疑点
判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系的步骤
①确定因变量和自变量；②判断对于自变量的每一个取值，是否都有唯一的因变量与之对应．若满足这个条件则是函数关系，否则不是．这里要特别注意的是，满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多．
【例2】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；
(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；
(3)商品的销售额与广告费之间的关系；
(4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(5)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
分析：两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．
解：(1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．
综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．
解技巧
如何判断两个变量之间是否存在依赖关系
判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化；判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．
3．生活中变量关系的表示
(1)通过图像反映两变量之间的关系
用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方式．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．
例如：如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图像回答下列问题：
①上午8时的气温约是多少？全天的最高气温、最低气温分别是多少？
②大约在什么时刻，气温为0
℃？
③大约在什么时刻内，气温在0
℃以上？
④两个变量有什么特点？它们具有怎样的对应关系？
此题是一个通过图像来反映两变量关系的问题，所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系．
①上午8时气温约是0
℃，全天最高气温大约是9
℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2
℃，在4时达到．
②大约在8时和22时，气温为0
℃.
③在8时到22时之间，气温在0
℃以上．
④由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数；而对于气温Q的一个值可能有两个时间t和它对应，所以时间t不是气温Q的函数．
(2)通过表格反映两变量之间的关系
两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量与自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．
例如：口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了在不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
请回答下列问题：
①请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像．
②根据上述数据以及得到的图像，你得到怎样的实验结论？
根据表中数据的范围绘制出F随t变化的图像如右图，于是可得实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在约37
℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50
℃时，黏附力最小．所以可通过加热的办法除去磁砖上的口香糖残留物．
【例3－1】如图1是一辆汽车的速度随时间而变化的示意图．
图1
(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
(4)如果纵轴换成路程s(千米)，横轴表示时间t(时)，如图2是一个骑自行车者离家距离与时间的关系图像．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑自行车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？
图2
分析：解用图像反映两变量之间关系的题目的关键是识图，弄清两个变量之间的关系．
解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时．
(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时．
(3)出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新启动后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车、加油等．
(4)在出发后8时到10时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等．骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为(千米/时)；在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为(千米/时)；在出发后10小时到18小时时间段匀速运动，车速为(千米/时)；在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速为(千米/时)．
【例3－2】从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数
含金量(%)
24K
99以上
22K
91.7
21K
87.5
18K
75
14K
58.5
12K
50
10K
41.66
9K
37.5
8K
33.34
6K
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饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．
解析：通过表格可知，饰用K金的含金量随着K数的减小而减小，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是K数的函数，饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．
答案：函数　越高