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易错易混02 不等式与基本不等式的应用
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01 错点扫描 易错建模夯基石 1
02 易错归纳 查漏补缺避陷阱 3
易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件（★★★） 3
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★） 4
易错归纳03 分式不等式（★★★★） 5
易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题（★★★★★） 6
易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整（★★★★★） 7
易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★） 8
03 实战检测 易错通关验成效 9
1、不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 ，同为正数
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根
()的解集
()的解集
3、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
4、解分式不等式
（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
（2）分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
5、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
（1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
（2）基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件． 2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
1．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川南充·月考）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（24-25高三下·海南·月考）（多选题）已知，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 2、解决思路 一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 3、解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出m，n的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）已知实数满足，，则 （ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
易错归纳03 分式不等式
【易错陷阱·避错攻略】
1、求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等. 2、应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要．
1．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·海南·月考）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、解一元二次不等式的步骤： 第一步：将二次项系数化为正数； 第二步：解相应的一元二次方程； 第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； 第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 2、求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立（有解）的区间.
1．“不等式在上恒成立”的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·四川成都·月考）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
5．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 .
7．（24-25高三上·北京海淀·月考）若命题“对任意为假命题的a的取值范围是
易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整
【易错陷阱·避错攻略】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
1．解下列关于的不等式．
2．解关于的不等式：．
3．（23-24高三上·福建莆田·月考）解关于的不等式：.
4．（24-25高三上·安徽铜陵·月考）设．
(1)若，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
5．若函数，
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，求的解集.
6．解关于x的不等式.
易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 2、通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.
1．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高三下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2
C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8
1．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（ ）
（1）；
（2）上式当且仅当即时，等号成立；
（3）所以当时，取得最小值
A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错
4．（23-24高三上·天津滨海新·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·江苏·月考）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
7．已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·江苏南通·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三上·山东青岛·期末）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
11．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若， 则
C．若，则 D． 则
12．（24-25高三上·江西南昌·月考）（多选题）设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
13．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．当且时， B．当时，
C．当时，的最小值为 D．当时，无最小值
14．（23-24高三上·河南洛阳·月考）（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
15．设，那么的取值范围是 ．
16．（24-25高三下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
17．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
18．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知关于的一元二次不等式的解集为
(1)求和的值
(2)求不等式的解集
19．若，解关于的不等式.
20．设函数
(1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
21．设关于x的二次函数．
(1)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
(2)解不等式；中小学教育资源及组卷应用平台
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01 错点扫描 易错建模夯基石 1
02 易错归纳 查漏补缺避陷阱 3
易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件（★★★） 3
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★） 5
易错归纳03 分式不等式（★★★★） 8
易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题（★★★★★） 10
易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整（★★★★★） 13
易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★） 18
03 实战检测 易错通关验成效 21
1、不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 ，同为正数
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根
()的解集
()的解集
3、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
4、解分式不等式
（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
（2）分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
5、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
（1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
（2）基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件． 2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
1．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由已知当，，所以，故错误；
因为，当时，所以，故错误；
当非零实数，一正一负时，无意义，故错误；
因为在上单调递增，且，
所以，故正确.
故选：.
2．（23-24高三上·四川南充·月考）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项.
【详解】因为，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，不妨取，，，，则，B错；
对于C选项，取，则，C错；
对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：D.
3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】由不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误；
对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误；
对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：C.
4．（24-25高三下·海南·月考）（多选题）已知，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用作差法判断A；举例说明判断BD；利用不等式性质判断C.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，由，得，则，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误．
故选：AC
5．（2024·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C.
【详解】，
对于A，，则，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，，因此，C正确；
对于D，，取，满足，而，D错误.
故选：AC
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 2、解决思路 一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 3、解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出m，n的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的同向可加性得到结果.
【详解】因为，得，，所以．
故选：B．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
则，又，所以，
从而．
故选：B．
3．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，则，
所以，，解得，即，
，则，
因此，.
故选：D.
4．（多选题）已知且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质判断A；利用特值法判断BC；利用不等式的性质及作差法判断D.
【详解】∵且，∴，即，故A正确；
取，则，故B错误；
取，则，故C错误；
∵，∴，又，∴，
∴，∴，
∵，∴，又，∴，
∴，∴，
综上，，故D正确，
故选：AD.
5．（多选题）已知实数满足，，则 （ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断.
【详解】不等式，，
对于A，，即，解得，A正确；
对于B，∵，∴，，
又，∴，
即，解得，B错误；
对于C，∵，，∴，
即，解得，C正确；
对于D，∵，，
又，
∴，所以，D正确.
故选：ACD.
易错归纳03 分式不等式
【易错陷阱·避错攻略】
1、求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等. 2、应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要．
1．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分式不等式化简集合B，再利用集合的并集运算即可.
【详解】依题意，，
因为，所以即
所以其中 ，解得 ，
所以，
.
故选：C.
2．（2025·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断.
【详解】集合，
则.
故选：C
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以．
4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解.
【详解】依题意，，则，
，所以.
故选：C
5．（24-25高三上·海南·月考）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式不等式求解得出集合M,应用指数函数值域得出集合N,最后应用交集及补集定义计算即可.
【详解】设集合或，，
则，
则.
故选：C.
易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、解一元二次不等式的步骤： 第一步：将二次项系数化为正数； 第二步：解相应的一元二次方程； 第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； 第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 2、求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立（有解）的区间.
1．“不等式在上恒成立”的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】分和，当，利用条件得到，即可求解.
【详解】当时，得到，不合题意，
当时，由题知，解得，
故选：A.
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
3．（24-25高三上·四川成都·月考）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果.
【详解】当时，由可得，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，故.
故选：B.
4．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解.
【详解】，恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，则实数的最大值为.
故选：C
5．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可；
【详解】命题：，为假命题，
在上无解，
即与，函数图象没有交点，
由图可知：或，
命题：，为真命题，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
6．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 .
【答案】
【分析】根据特称、全称命题为假命题，则其否定为真命题，将问题化为不等式恒、能成立求参数范围即可.
【详解】若命题“”为假命题，
则命题“”为真命题，
由，
即，
令，
由二次函数的性质知，函数的对称轴为，
则函数，在上单调递减，在上单调递增，
故时，，
因此可得，
故答案为：.
7．（24-25高三上·北京海淀·月考）若命题“对任意为假命题的a的取值范围是
【答案】
【分析】写出全称量词命题的否定，为真命题，分，和三种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得为真命题，
当时，不等式为，有解，满足要求，
当时，若，此时必有解，满足要求，
若，则，解得，
综上，a的取值范围为.
故答案为：
易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整
【易错陷阱·避错攻略】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
1．解下列关于的不等式．
【答案】
【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式的解集即可.
【详解】依题意，且，
所以，且，解得，
所以原不等式的解集为．
2．解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】将不等式变形为．
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或
综上所述，当或时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为．
3．（23-24高三上·福建莆田·月考）解关于的不等式：.
【答案】答案见详解
【分析】讨论时，分别解出不等式即可.
【详解】若，不等式化为，解得；
不等式的解集为；
若，则不等式化为，
且时，，
①若，
则若，即时，原不等式的解集为；
若，即时，原不等式的解集为；
若，即时，原不等式的解集为；
②若，则，
且不等式变化为，
解得或，
原不等式的解集；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
4．（24-25高三上·安徽铜陵·月考）设．
(1)若，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)4；
(2)答案见解析；
【分析】（1）由，应用基本不等式求其最小值；
（2）由题设有，讨论参数m并解一元二次不等式求解集.
【详解】（1）由，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
（2）由题设，则，
若，则，即，解集为；
若，则，解集为；
若，则，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
综上，时解集为；
时解集为；
时解集为；
时解集为.
5．若函数，
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，求的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果；
（2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果.
【详解】（1）因为的解集为，
所以且，解得.
（2），，所以，即，
又，
当，即时，的解集为；
当，即时，若，解集为，若，解集为；
当，即或时，的两根为，，且有，
此时，的解集为或，
综上所述，当时，的解集为；
当，解集为，当，解集为；
当或时，的解集为或.
6．解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）当时，由，不等式的解集是.
（2）当时，因为，
方程的两根为和，不等式的解集是.
（3）当时，因为，
方程的两根为和，不等式的解集是.
（4）当时，因为，
方程的两相等根为，不等式的解集是.
（5）当时，因为，
方程无实根，所以不等式的解集是.
综上所述：
当时， 不等式的解集是.
当时， 不等式的解集是.
当时，不等式的解集是.
当时，不等式的解集是；.
当时， 不等式的解集是.
易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 2、通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.
1．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式等号成立条件判断充分性，取特值验证判断必要性即可.
【详解】若，则，所以，
由得，因为，所以取不到等号，即，
所以“”是“”的充分条件；
又时，，所以“”不是“”的必要条件.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（23-24高三下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；
C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误；
D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误；
故选：B.
3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】AD通过分析符号可完成判断；
B由基本不等式可判断选项正误；
C由做差法可判断选项正误.
【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负，
当为负数时，，则A错误；
对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确
对于C，，故C错误；
对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误；
故选：B
4．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2
C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于函数，
，
当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，对于函数，，
，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由基本不等式得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：ACD
1．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解分式不等式求集合，再由集合的交运算求集合.
【详解】由，则，即，则，
所以，则.
故选：C
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集.
【详解】集合，
，
则.
故选：B.
3．（2024·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（ ）
（1）；
（2）上式当且仅当即时，等号成立；
（3）所以当时，取得最小值
A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错
【答案】D
【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解.
【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确，
对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则，
求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错，
故选：D.
4．（23-24高三上·天津滨海新·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出不等式和，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】由，得，解得；
由，得，得，
当时，一定可以推出，而当时，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用不等式性质求目标式范围.
【详解】由题设，则，又，所以.
故选：C
6．（23-24高三上·江苏·月考）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
【答案】B
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；
选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误.
故选：B
7．已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案.
【详解】恒成立，
当时，，满足要求，
当时，需满足，解得，
故为真命题，需满足，
，，则，解得，
故为真命题，需满足，
综上，的取值范围为
故选：D
8．（24-25高三上·江苏南通·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.
【详解】设，故且，
所以，故，
由于，，所以，即，
故最小值为，此时，
故选：B.
9．若满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误；
C由基本不等式可判断选项正误；
D由作差法结合AB分析可判断选项正误.
【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时，
显然，，故AB错误；
对于C，由基本不等式，因，则，，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，则当a，b都为负数时，
，故D错误.
故选：C
10．（23-24高三上·山东青岛·期末）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式能成立以及存在量词命题的概念求解.
【详解】因为命题“，”为真命题，
若，即，则，；
若，即，要使得命题为真命题，则，
即，解得或，
又因为，所以此时；
若，即，则满足命题“，”为真命题；
综上，，
故选:D.
11．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若， 则
C．若，则 D． 则
【答案】ABD
【分析】A利用的单调性；B利用基本不等式即可；C举反例；D利用不等式的性质；
【详解】对于A：在上是增函数，故A正确；
对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：ABD.
12．（24-25高三上·江西南昌·月考）（多选题）设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】作差判断A；利用不等式性质判断B；举例说明判断C；利用指数函数性质及基本不等式判断D.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确.
故选：AD
13．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．当且时， B．当时，
C．当时，的最小值为 D．当时，无最小值
【答案】BD
【分析】取，可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；利用函数的单调性可判断CD选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，A错；
对于B选项，当时，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，B对；
对于C选项，因为函数在上为增函数，
所以，当时，的最小值为，C错；
对于D选项，因为函数、在上均为增函数，
故当时，无最小值，D对.
故选：BD.
14．（23-24高三上·河南洛阳·月考）（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质求得正确答案.
【详解】由，可得，又，所以，故A正确；
由，可得，又，所以，故B正确；
由，可得，又，
所以，因为，所以，故C错误；
由，，得，，
所以，所以，故D错误.
故选：AB
15．设，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用线性关系及不等式性质求取值范围即可.
【详解】由题设，则.
故答案为：
16．（24-25高三下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】一元二次不等式的恒成立问题可采用参变分离来求解，本题解得在上的最大值即可.
【详解】因对任意恒成立，
则对任意恒成立，
因在上单调递减，在上单调递增，且，，
则在上的最大值为，
则，
故实数a的取值范围为.
故答案为：
17．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解.
【详解】当时，有恒成立，满足题意；
当时，令，对称轴为，
时，在单调递减，单调递增，
则有，解得，
时，在单调递增，单调递减，
则有，解得，
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
18．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知关于的一元二次不等式的解集为
(1)求和的值
(2)求不等式的解集
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系列方程组来求得.
（2）先因式分解，进而求得不等式的解集.
【详解】（1）依题意，关于的一元二次不等式的解集为
所以，解得.
（2）由于，所以不等式，
即，由于，
所以不等式的解为，
故不等式的解集为.
19．若，解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】对二次式因式分解，即可求解方程的两个根，分类讨论两个根的大小即可求解.
【详解】移项得，对应的方程的两根为和1，
当时，，解得；
当时，，原不等式无解；
当时，，解得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20．设函数
(1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可；
（2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式化为，
此时，所以不等式的解集为
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
21．设关于x的二次函数．
(1)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
(2)解不等式；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）等价变形不等式，分离参数并构造函数，求出函数最小值即可.
（2）按分类求解含参不等式.
【详解】（1）不等式，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，因此，
依题意，在上恒成立，而，则，
所以实数m的取值范围是.
（2）不等式，
当时，恒成立，则；
当时，，解得；
当时，若，则，，
若，则，且，
若，则，或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
