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第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 常考题型过关练
题型01 离散型随机变量分布列
题型02 离散型随机变量分布列
题型03 离散型随机变量的均值
题型04离散型随机变量的方差
题型05 均值与方差的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 离散型随机变量分布列
1．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条，当它们相交时，；当它们平行时，的值为它们之间的距离；当它们异面时，.求随机变量的分布列.
【答案】
0 1
【分析】首先根据题意写出的可能取值，然后结合正方体的性质计算出每个可能取值对应的概率，即可得到分布列.
【详解】的可能取值为，
若2条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意1个顶点的棱有3条，所以；
若2条棱平行，则它们的距离为1或，而正方体中距离为的棱共有6对，则；
.
所以随机变量的分布列如下：
0 1
2．某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取1个球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动．
(1)若该家庭获得的返现金额为X（单位：元），求的值；
(2)求该家庭获得的返现金额X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意先求得取到红球的概率为，取到黑球的概率为，再根据独立重复试验中事件概率的计算方法求得的值；
（2）X的可能值为12，20，28，36，先计算每一次摸球得到的不同返现金额的概率，即可求该家庭获得的返现金额的分布列.
【详解】（1）根据题意，取得红球的概率为，取到黑球的概率为．
则．
（2）由题意得，该家庭获得的返现金额X的可能值为12，20，28，36 ．
，
，
．
故该家庭获得的返现金额X的分布列如下．
X 12 20 28 36
P
3．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少能进入一个社团的概率为，且．
(1)求m与n的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意根据相互独立事件概率的计算，三个社团都能进入的概率为能够进入每个社团的概率之积，至少进入一个社团的概率为1减去三个社团都不进的概率；
（2）根据题意设该新生在社团方面获得校本选修课学分为X，则X的可能取值有0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，写出分布列即可.
【详解】（1）由，得．
（2）令该新生在社团方面获得的校本选修学分为随机变量X，则X的值可以为0，1，2，3，4，5，6．
，
，
，
，
，
P，
．
故随机变量X的分布列如下．
X 0 1 2 3 4 5 6
P
4．在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立.
(1)求某人病毒检测结果呈阴性的概率；
(2)现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）分别计算感染与未感染下检测结果呈阴性的概率，再相加
（2）找出Z的所有可能取值，再分别计算对应概率，得出分布列
【详解】（1）设某人感染病毒为事件，某人病毒检测结果呈阴性为事件，则：
依题意有：，.
.
（2）因为，又，所以，2，，
设“这4个人中有人EB病毒检测结果呈阴性”为事件
由于与互斥，与互斥，故
.
.
0 2 4
所以
5．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是．
(1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；
(2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列；
(3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)分布列见解析；
(3)分布列见解析.
【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解．
（2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值．
（3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可.
【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是，
所以他射击6次，击中目标次的概率．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6
（2）的取值为，若，则前次均未击中目标．
则,
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6
（3）由（2）可得，
所以的分布列为：
1 2 3
02 离散型随机变量分布列性质
6．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ）
0
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系.然后，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值.
【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得.
已知随机变量的期望为，可得.
化简可得：，进一步变形为.
将进行变形，给式子乘以得到.
展开式子：
根据基本不等式，有.
所以，当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
7．已知随机变量的分布列如下所示，且，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分布列的性质及期望公式即可求解.
【详解】由分布列的性质可得，，所以，
又因为，
所以，即，
联立方程，解得，
所以.
故选：B.
8．随机变量的分布列是．若，则（ ）
1 2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用分步列的性质及条件得到，再利用方差的计算公式，即可求解.
【详解】由题知，，解得，
所以，又，得到，
故选：A.
9．设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据概率分布列性质，概率之和为1，求出，再求出，运用线性运算性质，求出即可.
【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
，
，
.
故选:C.
10．若随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
0 1
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由分布列的性质求，根据期望的定义求，再由期望的定义求，结合期望性质求.
【详解】由已知可得，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析两局得分的可能取值，求出相应的概率，由数学期望公式和已知数学期望得，通过基本不等式求的最大值.
【详解】比赛两局的得分可能的取值为0，1，2，3，4，6，
，，，，，，
则，
则有，得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
03 离散型随机变量的均值
12．在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响．
(1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率；
(2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包；
(3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包．
【答案】(1)
(2)甲同学先投特制沙包或普通沙包均可
(3)甲同学应先投普通沙包
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，
（2）分别求解两种情况下的概率，即可比较大小作答，
（3）利用相互独立事件的概率公式求解分布列，即可由期望公式计算大小，比较作答.
【详解】（1）记“甲同学先投特制沙包，投掷2次就停止该项比赛”为事件A，有以下两种情况：
①甲同学第一次投掷特制沙包投中，第二次投掷普通沙包投中，停止比赛；
②甲同学第一次投掷特制沙包未投中，第二次投掷普通沙包未投中，停止比赛，
故．
（2）记甲同学先投特制沙包，并获得奖励的概率为，
则．
记甲同学先投普通沙包，并获得奖励的概率为，则
．
因为，所以为使获得奖励的概率最大，甲同学先投特制沙包或普通沙包均可．
（3）记甲同学先投特制沙包累计得分为X，则X的所有可能取值为0，3，5，6，8，
，
，
，
，
，
．
记甲同学先投普通沙包累计得分为Y，
则Y的所有可能取值为0，3，6，8，
，
，
，
，
故，
因为，
所以为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投普通沙包．
13．某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已知有两类问题可供选择，其中类问题答对得5分，答错得0分，类问题答对得10分，但答错扣2分．每位参赛的选手需从这两类题中共抽出3个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影响），且要求从类题中至少抽1道．设选手甲答对类每个问题的概率分别为．
(1)求选手甲共答对3道题的概率；
(2)若选手甲第1道题是从类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为，则要使最大，选手甲应该如何选择剩余的2道题？
【答案】(1)
(2)选手甲剩余2道题均应该选择类问题，才能使得最大
【分析】（1）根据题意分三种情况：第一种类题答对2道，类题答对1道，第二种类题答对1道，类题答对2道，第三种类题答对3道，分别求出概率相加即可求解；
（2）设选手甲答对其余2道题的累计得分为，则他的累计得分，分情况求，比较的大小即可求解.
【详解】（1）选手甲共答对3道题有三种情况：
①类题答对2道，类题答对1道的概率为，
②类题答对1道，类题答对2道的概率为，
③类题答对3道的概率为，
所以这次竞赛中，选手甲共答对3道题的概率为；
（2）设选手甲答对其余2道题的累计得分为，则他的累计得分．
若剩余2道题均为类，即的可能取值为10，15，20，
所以，，
，所以．
若剩余2道题为类各1道，即的可能取值为8，13，20，25，
所以，，
，，
所以．
若剩余2道题均为类，即的可能取值为6，18，30，
所以，
，
，所以．
因为，
所以选手甲剩余2道题均应该选择类问题，才能使得最大．
14．某中医研究所研制了一种治疗疾病的中药，为了解其对疾病的作用，要进行双盲试验．把60名患有疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期结束后，统计得甲、乙两组的康复人数分别为20和5．
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为使用这种中药与疾病康复有关联．
组别 康复情况
康复 未康复 总计
甲组 20 30
乙组 5 30
总计
(2)若将乙组未用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有疾病的人群中随机抽取3人，记其中能自愈的人数为，求的分布列和均值．
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为使用这种中药与A疾病康复有关联．
(2)分布列见解析，均值为
【分析】（1）完善列联表，计算卡方值，利用独立性检验进行判断即可；
（2）利用列联表数据求出自愈频率，视为概率，根据服从二项分布，计算随机变量各取值的概率，列出分布列，再求期望即可．
【详解】（1）依题意，列出列联表如下：
组别 康复情况
康复 未康复 总计
甲组 20 10 30
乙组 5 25 30
总计 25 35 60
则，
所以有的把握认为使用这种中药与A疾病康复有关联．
（2）由题意，知乙组未用药而康复的频率为，所以疾病的自愈概率为．
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
由题意得，随机变量，
所以，，
，．
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
15．欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响.
约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道；
约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试.
(1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率；
(2)按照约定2，
（i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率；
（ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）按照贝叶斯公式直接计算即可；
（2）（i）按照播放次数分情况求解；（ii）写出的所有可能取值并计算所对应的概率，然后列出分布列，计算即可.
【详解】（1）设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件，
“任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件，
所以，，
在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为.
（2）（i）播放1次A频道成为优选频道的概率为，
播放3次A频道成为优选频道的概率为，
所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为.
（ii）的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望为.
16．某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望.
（2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由结合期望的性质求得.
【详解】（1）依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，，
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
（2）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，
则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9，
，，
，，
有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，，
所以.
即两个教师得分之和的期望为13分.
04离散型随机变量的方差
17．商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153
(1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率；
(2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望；
(3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大 （结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可得；
（2）得到随机变量的所有可能取值后计算相应概率，即可得其分布列，再借助期望公式计算即可得其数学期望；
（3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得、、，即可得解.
【详解】（1）设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件，
由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150，
所以；
（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
；
所以的分布列为：
1 2 3 4
所以的数学期望为；
（3）2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布，
故；
2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布，
故；
2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则，
故，
即、、中最大.
18．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组 中年组 老年组
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
第一款
第二款
第三款
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，记为这人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．写出方差、、的大小关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【分析】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求出的值；
（3）根据离散型随机变量的概率公式求解即可.
【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可知，
从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率.
（2）在三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，青
少年组、中年组、老年组的顾客愿意购买第二款新品的概率分别为、、，
由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，
所以，，
，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故随机变量的期望为.
（3）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为，
顾客愿意购买第款新品的概率为，
顾客愿意购买第款新品的概率为，
所以，，
所以，
，
所以.
19．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组 中年组 老年组
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
第一款 40 20 80 20 20 20
第二款 30 30 60 40 30 10
第三款 50 10 80 20 10 30
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可；
（2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（3）根据离散型随机变量的概率公式求解即可.
【详解】（1）由表可知200名顾客中愿意购买第一款新品的人数为人，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率为.
（2）用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为，
从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为，
从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为，
由题意的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为
.
（3）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为，
顾客愿意购买第款新品的概率为，
顾客愿意购买第款新品的概率为，
所以，，
所以，
，
所以.
20．在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)记选手甲正确作答的题目的个数为，乙正确作答的题目个数为，求，概率分布；
(2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀.
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲选手更优秀
【分析】（1）先求出两个变量的取值及对应的概率，然后根据概率分布的概念列出概率分布.
（2）分别求，的期望和方差，分析甲乙的平均水平和稳定性，可得结论.
【详解】（1）对甲：的值可能为：1，2，3.
且，，.
所以的概率分布为：
1 2 3
对乙：的值可能为：0,1,2,3.
且，，
，.
所以的概率分布为：
0 1 2 3
（2）由（1）得：
，.
所以.
又，
.
因为，所以甲选手的发挥更稳定，所以，甲选手更优秀些.
21．某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，下表记录了随机抽取的上一年的10个工作日两个车间生产的零件个数：
甲车间 62 63 43 74 73 70 59 70 43 66
乙车间 39 45 50 36 23 20 23 38 51 39
(1)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，求甲车间生产的零件个数小于50的概率；
(2)用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3天（假设每次抽取的结果互不影响），记X为乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数，求X的分布列和数学期望；
(3)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，用“ξ=0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40，a）内，用“ξ=1”表示甲车间生产的零件个数在区间[a，80]内.请写出一个实数a的值使得方差D(ξ)取到最大值.（结论不需要证明）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)66
【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；
（2）先求概率，再根据二项分布分别写出概率及分布列最后求出数学期望即可；
（3）设概率，再求数学期望求出方差，最后应用二次函数最值即可求参.
【详解】（1）设这10个工作日中随机抽取1天甲车间生产的零件个数小于50为事件A,只有43，43小于50，
所以；
（2）乙车间生产零件的个数超过甲车间的个数有2个，乙车间生产零件的个数不超过甲车间的个数有8个，所以
X可取,
,
,
,
,
X的分布列为
0 1 2 3
P
.
（3）可取,
,
当时 ，取到最大值.
05 均值与方差的应用
22．习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况：
(1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率；
(2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望；
(3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)答案见解析，
(3)
【分析】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解；
(2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可；
(3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解．
【详解】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于，
则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：．
（2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于，
2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于，
则可取，
，
，
，
得的分布列为：
X 0 1 2
P
则的数学期望为：．
（3）设，则，
则，
得，
当且仅当，等号成立时，，
从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为：
，
则实数的取值范围为：
23．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案：
方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答；
方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答．
假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二．
(1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值；
(2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由．
【答案】(1)分布列答案见解析，均值为
(2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析
【分析】（1）由题意可知乙同学答对问题的个数为的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）计算出甲、乙回答问题得分的期望和方差，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）甲同学答对问题的个数为，则，
由二项分布的期望和方差公式得，，
甲回答问题得分为，
所以，甲得分的均值为，
方差为，
由（1）知，，
所以乙同学回答问题得分为，
所以乙得分的均值为，
方差为，
因为，，
所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定.
24．高黎贡山国家级自然保护区位于云南省保山市，被誉为“世界自然博物馆”及“动植物物种基因库”．经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量．设该区域中种的数目为，种的数目为均大于100，每一次试验均相互独立．
(1)求的分布列；
(2)记随机变量．定义，且．证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据超几何分布得分布列；
（2）根据所给性质证明即可．
【详解】（1）依题意，
服从超几何分布，故的分布列为，
0 1 99 100
（2）先证一般结论：，，．
因为，设，则，
，
从而，，设，则，
所以，
，
故．
25．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若，设随机变量的方差为，求证：．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可能的取值为，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）根据，表示出，再换元，利用二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题随机变量可能的取值为，，
则，
，
故的分布列为：
2 3
故；
（2）由（1）知，
，
令，因为，故，
此时
，
因为二次函数关于对称，又，当时，
所以，
即．
26．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)求选手乙正确作答2个题目的概率；
(2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
(3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；；
(3)答案见解析
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，求出的可能取值及其对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，计算出、，再求出，则，与、作比较可得答案，即可判断；
【详解】（1）设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率．
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，则，
数学期望，
由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
27．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2) 商场对奖励总额的预算是6000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由
【答案】(1)①，②分布列见解析，40
(2)设计见解析，理由见解析
【分析】(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.由获得60元的事件数除以总的事件数即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.
(2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.
【详解】（1）设顾客获得的奖励额为．
①依题意，得，即顾客所获的奖励额为60元的概率是．
②依题意，随机变量的可能取值为．
．
得的分布列如下：
所以顾客所获的奖励额的期望为
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元．所以，先寻找期望为元的可能方案：
当球的面值为元和元时，
若选择方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；
若选择方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是．
因此可能的方案是，记为方案．
当球的面值为元和元时，同理可排除、的方案，
所以可能的方案是，记为方案．
以下是对两个方案的分析：
对于方案，即方案，设顾客所获的奖励额为，的可能取值为．
得的分布列如下：
的期望为
的方差为
对于方案，即方案，设顾客所获得奖励额为，的可能取值为．
得的分布列如下：
的期望为
的方差为
由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差要比方案的小，
所以应该选择方案，即标有面值元和面值元的球各两个．
1．（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3:1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；
（2）先确定的所有可能取值，然后再求出对应事件的概率，代入期望公式求解即可.
【详解】（1）记事件：“四局结束比赛”，
则李猛赢张明赢.
（2）由题意知，的所有可能的取值为2，3，4，6，7，8，
所以，
，
所以的分布列为：
2 3 4 6 7 8
所以奖金数的期望为（万元）.
2．（2025·河北保定·模拟预测）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为．
(1)用表示“”这一事件，求事件的概率；
(2)设复数的实部为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得的值；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、，利用列举法可求出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）所有的基本事件个数有（个），
包含的基本事件有、、、共个，所以．
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
所包含的基本事件有：、、、，共个，
所包含的基本事件有：、、、、、、、，共个，
所包含的基本事件有：、、、，共个，
所以，，，，
的分布列为
所以．
3．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望；
(3)，理由见解析
【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；
（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望.
（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系.
【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布，
所以，，，
故.
4．（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可得，
（2）利用数学期望的性质，结合两点分布的期望公式即可得解.
【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，
小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件，
，
故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为，
（2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王），
则，
由数学期望的性质可知，
对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布，
；
；
则.
5．（2024·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：）
第1组（只） 3 4 1 2 0
第2组（只） 1 3 2 3 1
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（3）分别求出，，，，从而求出、，即可比较.
【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件，
其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，
所以.
（2）依题意的可能取值为、、，
且，，，
所以的分布列为：
所以.
（3）依题意可得，，
所以，所以，
又，，
所以，
所以，
所以.
6．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
【答案】(1)答案见解析
(2)甲面试通过的可能性大
【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可；
（2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论.
【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，
则可取，可取，
则，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数为的分布列为：
；
（2）由（1）得，
，
因为，
所以甲得成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大.
7．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
【答案】(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
1．已知随机变量X的分布为，则期望 ．
【答案】
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有.
故答案为：.
2．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
从而.
3．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 常考题型过关练
题型01 离散型随机变量分布列
题型02 离散型随机变量分布列
题型03 离散型随机变量的均值
题型04离散型随机变量的方差
题型05 均值与方差的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 离散型随机变量分布列
1．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条，当它们相交时，；当它们平行时，的值为它们之间的距离；当它们异面时，.求随机变量的分布列.
2．某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取1个球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动．
(1)若该家庭获得的返现金额为X（单位：元），求的值；
(2)求该家庭获得的返现金额X的分布列．
3．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少能进入一个社团的概率为，且．
(1)求m与n的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列．
4．在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立.
(1)求某人病毒检测结果呈阴性的概率；
(2)现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值.
5．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是．
(1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；
(2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列；
(3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列．
02 离散型随机变量分布列性质
6．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ）
0
A．1 B． C．2 D．4
7．已知随机变量的分布列如下所示，且，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
8．随机变量的分布列是．若，则（ ）
1 2
A．2 B．3 C．4 D．5
9．设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则（ ）
A． B． C． D．
10．若随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
0 1
A． B．2 C． D．
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
03 离散型随机变量的均值
12．在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3次．具体比赛规则如下：在距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，每投进一次得3分，没投进不得分，且得分高于5分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是，在距离较近的区域内投中沙包的概率是，且每次是否投进互不影响．
(1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2次就停止该项比赛的概率；
(2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包；
(3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包．
13．某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已知有两类问题可供选择，其中类问题答对得5分，答错得0分，类问题答对得10分，但答错扣2分．每位参赛的选手需从这两类题中共抽出3个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影响），且要求从类题中至少抽1道．设选手甲答对类每个问题的概率分别为．
(1)求选手甲共答对3道题的概率；
(2)若选手甲第1道题是从类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为，则要使最大，选手甲应该如何选择剩余的2道题？
14．某中医研究所研制了一种治疗疾病的中药，为了解其对疾病的作用，要进行双盲试验．把60名患有疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期结束后，统计得甲、乙两组的康复人数分别为20和5．
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为使用这种中药与疾病康复有关联．
组别 康复情况
康复 未康复 总计
甲组 20 30
乙组 5 30
总计
(2)若将乙组未用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有疾病的人群中随机抽取3人，记其中能自愈的人数为，求的分布列和均值．
15．欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响.
约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道；
约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试.
(1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率；
(2)按照约定2，
（i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率；
（ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望.
16．某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望.
04离散型随机变量的方差
17．商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153
(1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率；
(2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望；
(3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大 （结论不要求证明）
18．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组 中年组 老年组
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
第一款
第二款
第三款
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，记为这人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．写出方差、、的大小关系并说明理由．
19．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组 中年组 老年组
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
第一款 40 20 80 20 20 20
第二款 30 30 60 40 30 10
第三款 50 10 80 20 10 30
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系．
20．在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)记选手甲正确作答的题目的个数为，乙正确作答的题目个数为，求，概率分布；
(2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀.
21．某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，下表记录了随机抽取的上一年的10个工作日两个车间生产的零件个数：
甲车间 62 63 43 74 73 70 59 70 43 66
乙车间 39 45 50 36 23 20 23 38 51 39
(1)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，求甲车间生产的零件个数小于50的概率；
(2)用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3天（假设每次抽取的结果互不影响），记X为乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数，求X的分布列和数学期望；
(3)从记录的这10个工作日中随机抽取1天，用“ξ=0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40，a）内，用“ξ=1”表示甲车间生产的零件个数在区间[a，80]内.请写出一个实数a的值使得方差D(ξ)取到最大值.（结论不需要证明）
05 均值与方差的应用
22．习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况：
(1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率；
(2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望；
(3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明）
23．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案：
方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答；
方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答．
假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二．
(1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值；
(2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由．
24．高黎贡山国家级自然保护区位于云南省保山市，被誉为“世界自然博物馆”及“动植物物种基因库”．经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量．设该区域中种的数目为，种的数目为均大于100，每一次试验均相互独立．
(1)求的分布列；
(2)记随机变量．定义，且．证明：．
25．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若，设随机变量的方差为，求证：．
26．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)求选手乙正确作答2个题目的概率；
(2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
(3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
27．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2) 商场对奖励总额的预算是6000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由
1．（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3:1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数的分布列和数学期望.
2．（2025·河北保定·模拟预测）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为．
(1)用表示“”这一事件，求事件的概率；
(2)设复数的实部为，求的分布列及数学期望．
3．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由.
4．（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.
5．（2024·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：）
第1组（只） 3 4 1 2 0
第2组（只） 1 3 2 3 1
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）
6．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
7．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
1．已知随机变量X的分布为，则期望 ．
2．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
3．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
