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第07讲 抛物线及其性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 抛物线的定义 4
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质 5
题型破译 6
题型1 抛物线的定义与标准方程 6
【方法技巧】焦点与准线
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程 8
【方法技巧】焦点与准线相反
题型3 抛物线的轨迹方程 10
【方法技巧】到点与到线的距离相等
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 12
题型5 焦半径问题 15
题型6 抛物线的几何性质 17
题型7 抛物线中三角形、四边形的面积问题 20
题型8 抛物线的实际应用 23
04真题溯源·考向感知 26
05课本典例·高考素材 34
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率) 3.了解抛物线的简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第10题，6分 全国二卷，第6题，5分 天津卷，第9题，5分 北京卷，第11题，5分 天津卷，第12题，5分 新课标II卷，第10题，6分 新课标I卷，第22题，12分 新课标Ⅱ卷，第10题，5分 全国乙卷（文数），第13题，5分 北京卷，第6题，4分
考情分析： 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用.
复习目标： 1.理解、掌握抛物线的概念，能够求解抛物线的标准方程； 2.能掌握抛物线的几何性质； 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与抛物线的位置关系问题； 4.会解抛物线的弦长，与面积等问题.
知识点1 抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
自主检测（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（ ）
A．F的坐标为 B． C． D．
【答案】BC
【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D.
【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误；
对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确；
对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确；
对于D，联立，得，解得，
所以，由，所以D错误．
故选：BC.
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图象
顶点 (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴x=0
焦点
准线
离心率 e =1 e=1
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
焦半径
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
自主检测（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可.
【详解】
如图所示，设，由，，
由可知准线方程为，
根据抛物线定义可得，，故，，
过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E，
明显，所以，
故选：A．
题型1 抛物线的定义与标准方程
例1-1已知抛物线上的点到焦点的距离为4，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定专线方程，结合抛物线的定义确定点 的纵坐标，带入即可求解.
【详解】由题可知抛物线 的准线方程为 .
设点 ,根据抛物线的定义可知 ,即 .
由抛物线方程可得 ,即 ,所以点 到 轴的距离为 .
故选：D.
例1-2（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可.
【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为，
所以或，
则.
故选：D
方法技巧
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
【变式训练1-1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义，可得进而求得点的坐标，得点坐标，利用斜率公式得解.
【详解】由题，，则，代入抛物线方程得，
，又，
.
故选：C.
【变式训练1-2】抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】通过抛物线方程可知其准线方程，设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3，进而利用定义即得结论．
【详解】由题意，抛物线的准线方程为：，焦点坐标为，
设点在抛物线上，且与焦点的距离等于3，
由抛物线定义可得：，即，
所以，则，所以点的坐标是或.
故答案为：或.
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程
例2-1抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程可得结果.
【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左，
所以抛物线的准线方程为．
故选：B.
例2-2（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线定义求得，进而求出坐标判断A、B、C；根据抛物线方程得焦点判断D.
【详解】A：由抛物线的定义，得，所以，对；
B：因为点在抛物线上，所以，所以，错；
C：，对；
D：由抛物线，可得，错；
故选：AC
【变式训练2-1】（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
【答案】BCD
【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D.
【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误．
对于B，设点，由抛物线的定义可得，
可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确．
对于C，因的中点为 该点到轴的距离为，
故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确．
对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确．
故选：BCD.
【变式训练2-2·变考法】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，在C上，则 ．
【答案】5
【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】抛物线为，，
在C上，.
故答案为：5.
【变式训练2-3·变载体】已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 .
【答案】6
【分析】方法一、设，根据点M为的中点得到，再代入抛物线即可得到，利用勾股定理即可求；方法二、由为的中点，得到点的横坐标为1，根据抛物线定义可得，由即可求解；方法三、由题可知线段为梯形的中位线，进而得到，再求即可.
【详解】方法一、抛物线的焦点为，点在轴上，设.
又为的中点，，即，
又点在抛物线上，，
所以.
方法二、依题意，抛物线的焦点，准线，
是上一点，的延长线交轴于点为的中点，
点的横坐标为1，.
方法三、抛物线的焦点为，准线，
如图，设与轴的交点为，分别过作直线的垂线，垂足分别为，
由为的中点，易知线段为梯形的中位线，
，
又由抛物线的定义得，且，
.
故答案为：6.
题型3 抛物线的轨迹方程
例3-1已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为，
故选：D
例3-2已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大．
(1)求曲线的方程；
(2)求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程；
（2）分情况讨论，当直线平行与抛物线对称轴时可得直线方程，当直线斜率不存在时可得直线方程，当直线既不平行于对称轴也满足斜率存在时，设直线的点斜式方程，联立直线与抛物线，根据，可得解.
【详解】（1）由曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大，
可知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线的定义可知曲线为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标为，
所以曲线的方程为；
（2）当直线过点且斜率为，即直线与抛物线的对称轴平行时，
直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；
当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，
显然与抛物线相切，直线与曲线有一个公共点．
当过的直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
则，即，解得，
此时直线的方程为．
综上所述，满足条件的直线的方程为或或.
方法技巧
（1）关于坐标轴对称的点；
（2）标记为F的点；
（3）圆心；
（4）题上提到的定点等等．
当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．
【变式训练3-1】若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程.
【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2，
因此P到的距离与到直线的距离相等，
故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，
所以P的轨迹方程为．
故选：C
【变式训练3-2】在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值.
【答案】(1)
(2)-4
【分析】(1)根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程；
(2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解.
【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小，
得点到点的距离等于点到直线的距离，
因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，
由消去得，恒成立，，
所以.
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
例4-1已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离.
【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为，
因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：，
所以只需要求最小即可.
当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即.
故选：B.
例4-2已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 .
【答案】
【分析】利用抛物线的定义可求则到的距离与到准线的距离之和的最小值.
【详解】设为抛物线的焦点，则，
如图，设，为到准线的距离且为垂足，
则，
当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
方法技巧
（1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，
（3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
【变式训练4-1】（2025·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即可求解.
【详解】由抛物线，即，
又由抛物线表示开口向上，且焦点为，准线方程为，
将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为点是抛物线上任意点，则点到焦点的距离等于点到的距离，
如图所示，过点作，可得，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【变式训练4-2·变载体】已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程是．
如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接．
因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
当时，取最小值，即，所以的最小值为1．
故选：A．
题型5 焦半径问题
例5-1已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由抛物线定义及得，进而将点代入抛物线方程即可得.
【详解】由抛物线的定义，知，又，，
所以，即，
由点在上，得，
结合，解得.
故选：C
例5-2已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可．
【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图，
则，，
则，，故，
所以直线的方程为，
令得，即A，B，F三点共线，
所以．
故选：C．
方法技巧
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
【变式训练5-1】设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解.
【详解】由抛物线，则焦点，准线：，
又因为直线的斜率为，则直线的方程为：，
因，所以可得点，
又，所以，即得点，
则.
故选：C.
【变式训练5-2】（2025·云南·模拟预测）已知点在抛物线C：上，则A到C的焦点的距离为 ．
【答案】
【分析】根据点在抛物线上得出，再应用抛物线定义得出焦半径公式得出距离.
【详解】因为点在抛物线C：上，所以，即，
所以A到C的焦点的距离为．
故答案为：5.
【变式训练5-3】设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点的坐标，进而求得，再根据解得，．法一：根据两角互补和余弦公式解得结果；法二：计算得到，，在中，由余弦定理计算得到结果．
【详解】因为抛物线，所以，所以抛物线的焦点的坐标为．
设，如图，由抛物线的定义可知，又，
所以，解得，故．
方法一：设为原点，则．
方法二：，所以，
在中，由余弦定理得．
故答案为：.
题型6 抛物线的几何性质
例6-1已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解．
【详解】设，（），
由，得，所以．
因为在圆上，所以，得，
故选：A．
例6-2已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 .
【答案】②
【分析】根据给定条件，判断选择的条件，再设出标准方程，利用待定系数法求出方程即可.
【详解】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在轴的正半轴上，因此条件①不可选，
选择条件②，
设抛物线方程为，由抛物线经过点，得，解得，
所以所求抛物线标准方程是.
故答案为：②；
方法技巧
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【变式训练6-1】（多选）已知抛物线的焦点为，顶点为，过点作直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是抛物线的准线 B．若直线的斜率为2，则
C．面积的最小值为4 D．的最小值为18
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义、性质、直线与抛物线的关系、韦达定理、基本不等式的性质等知识对选项逐一判断即可.
【详解】因为抛物线方程为，所以其准线方程为，所以A正确；
因为 ，那么直线的方程为.
将该直线方程与抛物线方程联立方程组化简为.
设，
所以根据韦达定理得.
所以，B正确；
设直线的方程为，联立，
消去得.
根据韦达定理有，
所以，
所以，所以最小值为8，所以C错误；
由抛物线的定义可知，
所以.
因为
，
所以，
当且仅当时等号成立，此时的最小值为18，所以D正确.
故选：ABD.
【变式训练6-2】）已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】根据结合抛物线方程得到点，进一步得到点，然后可得直线方程.
【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设，
由，，所以，所以或，
所以或，
所以直线的方程为或，即或.
故选：A
题型7 抛物线中三角形、四边形的面积问题
例7-1已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】点在抛物线上，为抛物线的焦点，
，解得，
故抛物线的方程为，,，
则的面积．
故选：A．
例7-2已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过分别作的准线的垂线交轴于点，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数，进而可得抛物线方程.
【解答过程】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点，
则，故，
因为的准线为，所以，，
所以，解得，
故抛物线C的方程为.
故选：B.
方法技巧
利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
【变式训练7-1】已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】
如图，设点，连接，四边形MACB的面积为，
而，又点在曲线上，则有，
依题意，，故当且仅当时，，此时四边形MACB的面积取得最小值.
故选:B.
【变式训练7-2】已知抛物线C：y =8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由题意得：抛物线C：y =8x的焦点为，准线为，
设准线l与x轴的交点为，
由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得，
不妨令直线，设，
联立方程，消去x得，解得或，
即，可得，
所以．
故选：C.
【变式训练7-3】设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】设点的坐标，再表示出的面积，借助向量等式即可求得答案.
【解答过程】设点的坐标分别为，而抛物线的焦点，，
，由，得，
于是，
所以.
故选：A.
题型8 抛物线的实际应用
例8-1有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（ ）
A．米 B．2米 C．米 D．4米
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，进而即可得结果．
【详解】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为，代入点，
∴，，
将代入可得，所以水面宽度为．
故选：C．
例8-2（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由图可得点在抛物线上，即
，解得，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为.
故选：A.
【变式训练8-1】如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解.
【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以，
则这条抛物线的方程为，即．
故答案为：.
【变式训练8-2·变考法】某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令．
(1)求航天器变轨时点C的坐标；
(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标.
（2）由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点之间的距离.
【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得
又点上在，所以联立得方程组，
解方程组得或（舍去），当时，，
由图可知，所以，
故C的坐标为．
（2）（2）由题意设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，，
所以，，解得，即．
令可得或（舍去），即，
所以，
故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3．
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
5．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
6．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
7．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值；
（2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可；
（3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可.
【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则.
（2）由代入抛物线方程有，解得，则，
设，则的中点为,
代入抛物线方程有，解得，
直线的斜率为，其方程为，即,
坐标原点到的距离为.
（3）设，根据，
则，则直线方程为，
化简得，
令，则，又，，
化简得 ①对任意的 恒成立.
则, 结合，，
当时，，则，则①也成立.
综上所述:.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可.
1.在同一坐标系中画出下列抛物线：
（1）
（2）；
（3）．
再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系．
【答案】答案见解析
【分析】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象，
由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大.
2.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求．
【答案】答案见解析
【分析】结合焦点坐标可求得点横坐标，利用焦半径公式可求得，进而得到结果.
【详解】
由抛物线方程得：，准线方程为：
为中点，点在轴上，点的横坐标为，
由抛物线定义知：，.
3.已知探照灯的轴截面是抛物线（如图），平行于x轴的光线照射到抛物线上的点，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点．试确定点Q的坐标．
【答案】
【分析】根据抛物线方程可知，直接可得直线的方程，与抛物线方程联立运算求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为．
由于是抛物线与直线的公共点，
联立方程，解得或（舍去）．
故点Q的坐标为．
4.某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm）？
【答案】灯泡应该安装在距顶点约35mm处
【分析】由抛物线的光学性质可知，灯泡应该装在抛物线焦点处，建立如图所示的坐标系结合已知条件待定系数即可求解.
【详解】如图所示：
在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy．
设抛物线的方程为，灯应安装在其焦点F处．
在x轴上取一点C，使．
过C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，
即，所以点A的坐标为．
将点A的坐标代入方程，解得．
所以抛物线的焦点坐标约为，
所以灯泡应该安装在距顶点约35mm处．
5.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
【答案】建系见解析，抛物线的标准方程是，焦点坐标是
【分析】在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上，然后设抛物线方程，代入点求解可得.
【详解】解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是.
由已知条件得，点A的坐标是，代入方程，得
，即.
所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是.
6.已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线．
【答案】，作图见解析
【分析】设M的坐标是，根据题已列出方程，化简可得答案，继而作出图象.
【详解】设M的坐标是，则根据题意可知，
化简得．
当时，方程可变为，这表示的是端点在原点方向为y轴正方向的射线，
且不包括端点，
当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线，
如图所示：
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第07讲 抛物线及其性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 抛物线的定义 4
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质 4
题型破译 5
题型1 抛物线的定义与标准方程 5
【方法技巧】焦点与准线
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程 6
【方法技巧】焦点与准线相反
题型3 抛物线的轨迹方程 6
【方法技巧】到点与到线的距离相等
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 7
题型5 焦半径问题 7
题型6 抛物线的几何性质 8
题型7 抛物线中三角形，四边形的面积问题 9
题型8 抛物线的实际应用 10
04真题溯源·考向感知 11
05课本典例·高考素材 12
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率) 3.了解抛物线的简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第10题，6分 全国二卷，第6题，5分 天津卷，第9题，5分 北京卷，第11题，5分 天津卷，第12题，5分 新课标II卷，第10题，6分 新课标I卷，第22题，12分 新课标Ⅱ卷，第10题，5分 全国乙卷（文数），第13题，5分 北京卷，第6题，4分
考情分析： 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用.
复习目标： 1.理解、掌握抛物线的概念，能够求解抛物线的标准方程； 2.能掌握抛物线的几何性质； 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与抛物线的位置关系问题； 4.会解抛物线的弦长，与面积等问题.
知识点1 抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作 .点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的 .
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
自主检测（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（ ）
A．F的坐标为 B． C． D．
知识点2 抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图象
顶点 (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴x=0
焦点
准线
离心率 e =1 e=1
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
焦半径
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
自主检测（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
题型1 抛物线的定义与标准方程
例1-1已知抛物线上的点到焦点的距离为4，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
例1-2（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
【变式训练1-1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1-2】抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 ．
题型2 抛物线的焦点坐标及准线方程
例2-1抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
例2-2（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．的坐标为
【变式训练2-1】（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
【变式训练2-2·变考法】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，在C上，则 ．
【变式训练2-3·变载体】已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 .
题型3 抛物线的轨迹方程
例3-1已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例3-2已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大．
(1)求曲线的方程；
(2)求过定点且与曲线只有一个公共点的直线的方程．
方法技巧
（1）关于坐标轴对称的点；
（2）标记为F的点；
（3）圆心；
（4）题上提到的定点等等．
当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．
【变式训练3-1】若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值.
题型4 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
例4-1已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例4-2已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 .
方法技巧
（1）抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，（2）把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，
（3）若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
【变式训练4-1】（2025·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【变式训练4-2·变载体】已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型5 焦半径问题
例5-1已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
例5-2已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
【变式训练5-1】设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练5-2】（2025·云南·模拟预测）已知点在抛物线C：上，则A到C的焦点的距离为 ．
【变式训练5-3】设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则 ．
题型6 抛物线的几何性质
例6-1已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
例6-2已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 .
方法技巧
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【变式训练6-1】（多选）已知抛物线的焦点为，顶点为，过点作直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是抛物线的准线 B．若直线的斜率为2，则
C．面积的最小值为4 D．的最小值为18
【变式训练6-2】）已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C． D．
题型7 抛物线中三角形、四边形的面积问题
例7-1已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
例7-2已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
【变式训练7-1】已知点 M在曲线 上，过M作圆 的切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【变式训练7-2】已知抛物线C：y =8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【变式训练7-3】设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型8 抛物线的实际应用
例8-1有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位上涨1米后，水面宽为（ ）
A．米 B．2米 C．米 D．4米
例8-2（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【变式训练8-1】如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．
【变式训练8-2·变考法】某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令．
(1)求航天器变轨时点C的坐标；
(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离．
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
5．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
6．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
7．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．
1.在同一坐标系中画出下列抛物线：
（1）
（2）；
（3）．
再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系．
2.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求．
3.已知探照灯的轴截面是抛物线（如图），平行于x轴的光线照射到抛物线上的点，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点．试确定点Q的坐标．
4.某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm）？
5.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
6.已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线．
