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第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
目录
01
02体系构建·思维可视 5
03核心突破·靶向攻坚 5
知能解码 6
知识点1 伯努利试验与二项分布 6
知识点2 两点分布、均值、方差 6
知识点3 超几何分布 6
知识点4 正态分布 7
题型破译 8
题型1 两点分布 8
题型2 二项分布 11
【方法技巧】二项分布应用
题型3 超几何分布 15
【方法技巧】超级分布的判断与使用
题型4 超几何分布与二项分布综合 22
题型5 正态密度曲线 28
题型6 根据正态分布的对称性计算 31
题型7 正态分布的均值与方差 33
题型8 3决策 40
04真题溯源·考向感知 45
05课本典例·高考素材 48
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）两点分布 （2）二项分布 （3）超几何分布 （4）正态分布 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷第5题，5分 2025年天津卷第13题，5分 2024年全国新课标Ⅰ卷第9题，6分 2023年甲卷（理）第19题(1)，6分
考情分析： 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点．本节的重点内容是求随机变量的分布列与数学期望．求分布列其实是求概率的过程，首先要明确随机变量的类型，是二项分布、超几何分布或是一般的概率分布．对于一般的概率分布，没有特别的公式，就需要将复杂事件拆分为等价的几个事件，根据概率计算公式求概率，从而得到分布列．对于数学期望与方差，都可用定义运用相应的公式求解，因而关键问题还是求分布列．
复习目标： （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． （2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识点1 伯努利试验与二项分布
（1）重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
（2）二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
自主检测某射箭场举行趣味射箭比赛，规定每轮有5次射箭机会，若选手甲参加比赛且不放弃任何一次射箭机会，每次射中靶心的概率为，且每次射箭互不影响，记X为选手甲射中靶心的次数，则 ．
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式可求答案.
【详解】由题可得X服从二项分布，则．
故答案为：
知识点2 两点分布、均值、方差
若随机变量服从两点分布,则,.
若,则,
自主检测已知随机变量服从两点分布，且，令，则 ．
【答案】0.6/
【分析】由两点分布可得答案.
【详解】由得，
所以．
故答案为：.
知识点3 超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
自主检测一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可.
【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为；
不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，
合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，
根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；
根据古典概型得.
故选：B
知识点4 正态分布
（1）正态分布定义：
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
（2）正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
（3）正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.
自主检测如果随机变量，则约等于（ ）（注：）
A．0.210 B．0.0228
C．0.0456 D．0.0215
【答案】B
【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解.
【详解】由题得，，
.
故选：B.
题型1 两点分布
例1-1随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，
因此，，
，
所以正确的是①②④．
故答案为：①②④．
例1-2设，随机变量的分布列如下表所示，
X 0 1
P
则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
【答案】B
【分析】先求出期望，再求出方差，最后根据二次函数的性质判断.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，，
所以
这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为，
当从增大到时，随增大而递增；
当从增大到时，随增大而递减，
因此，当在内增大时，方差先增大后减小.
故选：B.
【变式训练1-1】随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】设，根据两点分布得到期望值，利用方差得到方程，求出答案.
【详解】服从两点分布，设，
则，
故，解得或.
故选：C
【变式训练1-2】随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，结合两点分布方差公式列方程求即可.
【详解】设，
由两点分布方差公式可得，又，
所以，解得，
所以，
故选：A.
【变式训练1-3】设随机变量X服从两点分布，若，则（ ）
A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8
【答案】C
【分析】利用两点分布性质可得，再由方差计算公式可得结果.
【详解】由两点分布可得，
解得；
因此期望值为，
所以.
故选：C
题型2 二项分布
例2-1抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由二项分布的概率公式计算的概率，再结合组合数性质即可得解.
【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则，
则正面朝上次的概率为，
所以.
故选：A.
例2-2有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若，
（i）求随机变量Y的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小．
(2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由．
【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，；
(2)，理由见解析.
【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小；
（2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可.
【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，
Y可取0，1，2，3，4，，
，
Y服从超几何分布，Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4
P
，所以；
（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，
在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，
对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，，
则，
故，
由（i）可知，
因为，所以；
（2）当，则，若最大，则，
即，得，又，
，即时，取得最大值．
方法技巧 二项分布的应用
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数，；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将值代入求解概率．
【变式训练2-1】某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质，各取值概率之和为1，可求出分布列，进而可得到答案
【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为：
1 2 3 4 5
P
设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则，
所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为．
设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以，
所以，，
所以．
故选：B
【变式训练2-2】建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，．
(1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用间接法求解；
（2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可
【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为，
，故．
（2）由题可知．
的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
【变式训练2-3】某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表：
日均时长（分钟） [40，50]
频数 30 50 80 30 10
(1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；
(2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为.
（i）当时，求的分布列和数学期望；
（ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，；（ii）11次
【分析】（1）第70百分位数为累计频数，第70百分位数落在区间，利用比例求解即可；
（2）（i），列出Y的所有可能取值和对应概率，得到分布列，并利用二项分布求期望公式计算出数学期望；
（ii）利用对立事件计算出抽到潜在高粘性用户的概率，解不等式得到答案
【详解】（1）将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为，
前两组累计频数，前3组累计频数，
故第70百分位数落在区间，
则第70百分位数约为；
（2）（i）潜在高粘性用户的频率为，.
易得的可能取值有0，1，2，3，
则，
，.
故的分布列为
0 1 2 3
；
（ii）设至少需抽取次，则，即，.
即，
故至少需抽取11次.
题型3 超几何分布
例3-1全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】(1)，中位数；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，结合中位数的定义进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
由频率分布直方图可知：
前两组频率之和为，
前三组频率之和为，
设中位数为，则.
，
解得.
所以，估计这50名学生成绩中位数为68.
（2）的三组频率之比为
又在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中总共抽取了11人，
从中分别抽取7人，3人，1人.
由题知，从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，所有可能取值为0，1，2，3：
，
，
，
.
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望
例3-2某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3).
【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；
（2）由题可知服从超几何分布，即求；
（3）由超几何分布即得.
【详解】（1）由直方图可得第二组的频率为，
∴全校学生的平均成绩为：
（2）由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，
所以可取0,1,2,3，则
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
P
；
（3）.
方法技巧 超几何分布的判断与使用
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
【变式训练3-1】2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40
注射疫苗 60
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
(1)求列联表中的数据，，，的值；
(2)能否有把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记为3只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求的方差．
附：，．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)，，，
(2)没有把握认为注射此种疫苗有效，理由见解析
(3)
【分析】（1）由取到“感染病毒”的小白鼠的概率得出，进而根据题设数据得出其他数据；
（2）利用卡方，进行独立性检验即可；
（3）由分层抽样的确定的可能取值，进而由超几何分布得出期望和方差.
【详解】（1）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，
，解得，
则，，．
（2），
没有把握认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，
故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，从中抽取3只，
则的可能取值为1，2，3，
，，，
故期望为．
方差为
【变式训练3-2】在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间．这两个班级各有40名学生，均提供了有效数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据，估计该校高三年级每天学习时间不超过4小时的学生人数；
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较的大小．（只需写出结论）
【答案】(1)45
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）根据直方图计算出甲乙两个班每天学习时间不超过4小时的频率，再乘以600即可；
（2）按照超几何分布求解即可；
（3）根据直方图的集中与分散程度直接比较的大小即可.
【详解】（1）由题意知:甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，
乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，
则甲乙两班每天学习时间不超过4小时的学生频率为，
故该校高三年级每天学习时间不超过4小时的学生人数约为0.075×600=45人.
（2）甲班每天学习时间不超过4小时的人数为人，
乙班每天学习时间不超过4小时的人数为人，
故两个班每天学习时间不超过4小时的共6人,
由题意乙班抽到的学生人数X服从超几何分布: ；
所以，，
X的分布列为
1 2 3
（3）从直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故.
【变式训练3-3】冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.
（2）由题可知，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.
【详解】（1）设A为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则
；
（2）由题可知随机变量的所有可能值为
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴
.
题型4 超几何分布与二项分布综合
例4-1随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示：
学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌
参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56
(1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望.
(2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为.
①求小明1次挑战成功的概率；
②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①；②12次
【分析】（1）写出所有的可能取值，再计算出分布列，最后利用期望公式即可；
（2）①利用组合数和独立事件的乘法公式即可；
②利用二项分布的期望公式得到不等式，解出即可.
【详解】（1）参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
（2）①小明1次挑战成功的概率为.
②小明在n轮挑战中挑战成功总次数服从二项分布，即，
由题意可得，因为，所以解得，
所以理论上小明至少需挑战12次.
例4-2一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.
(1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，；
(2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和
【答案】(1)分布列见解析，，；，.
(2)，
【分析】（1）对于不放回摸球，先判断其试验结果不独立，再求出对应事件的概率，进而列出分布列，利用期望公式求解期望，法一利用方差的定义式求解方差，法二利用方差的性质求解方程，对于放回摸球，先判断其试验结果相互独立，进而确定其服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解期望，利用二项分布的方差公式求解方差即可.
（2）法一结合题意求出，再求出，最后求出，法二先利用排列数性质求出，，再结合排列数性质求解即可.
【详解】（1）由题意得对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立，
且的取值为，而，
，，
，
故分布列如下：
0 1 2 3
则由期望公式得，
法一：由方差的定义式得；
法二：由方差的性质得，
故，
对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.4，且每次试验之间的结果是独立的，
则，由期望公式得，
由方差公式得.
（2）法一：采用不放回摸球，且表示前两次摸到红球的概率，
可得，
而，，
得到，
法二：由排列数性质得，，
我们采用不放回摸球，得到，故.
【变式训练4-1】某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．
(1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？
(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；
(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率．
【答案】(1)1个或4个
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析
【分析】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，由古典概率概率计算公式构造等式求解即可；
（2）设三位观众中二等奖的人数为X，由题意确定，即可求解；
（3）分有1个“哪”和4个“吒”，或有4个“哪”和1个“吒”，两类情况讨论求解.
【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，
一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B，
则由题意得，，
所以，
因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个．
（2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为，
则，，
，
，
，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
（3）①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”，
此时获奖的概率为．
②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”，
此时获奖的概率为．
【变式训练4-2】继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表：
训练营 A B C D E F G H
参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48
(1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值；
(2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立．
（i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率；
（ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）6轮
【分析】（1）由题意得到随机变量的可能取值，利用古典概率和组合数求出相应的概率，列出分布列，由公式可得期望；
（2）（i）由二项分布的概率公式可得；
（ii）由二项分布的期望公式计算可得.
【详解】（1）由题意得，参与人数超过30人的共有5个，未超过30人的共有3个，则随机变量的可能取值为
，
.
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
则随机变量的均值为
（2）（i）设甲学员单轮测试“优秀”的事件为，
则
（ii）设理论上至少需测试轮，
记甲学员在测试中获得“优秀”的次数为，则
则
又因为，所以的最小值是6.
所以理论上至少需要测试6轮.
【变式训练4-3】DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．
(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)万元
【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望；
（2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，
，，，
所以随机变量的分布列如下，
0 1 2
；
（2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为，
员工为公司创造的利润为万元，
则万元，
公司的年利润为万元.
所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元.
题型5 正态密度曲线
例5-1“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【答案】C
【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
所以平均数为，方差为，所以AB选项正确.
依题意，
而，即，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：C
例5-2（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【答案】AC
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D.
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC
【变式训练5-1】给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据正态分布密度函数的定义逐个分析判断.
【详解】对于①，，由于，所以，故它可以作为正态分布密度函数；
对于②，若，则应为，若，则应为，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；
对于③，它就是当，时的正态分布密度函数；
对于④，它是当时的正态分布密度函数．
所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．
故选：C
【变式训练5-2】（多选）已知随机变量的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据已知可求得，，，，即可判断A、B项；然后求出，根据正态分布的对称性，即可得出C、D项.
【详解】对于A项，根据已知可得，，.
因为的极大值点为，所以有，所以，故A项错误；
对于B项，由A分析可知，，故B项正确；
对于C项，由A分析可知，.
又，，
根据正态分布的对称性，可知，所以，故C正确；
对于D项，因为，所以，.
所以，，故D项正确.
故选：BCD.
【变式训练5-3】（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（ ）
附：随机变量，则，，．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的
【答案】AD
【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项.
【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，
其中，其中，，
则，故A正确；
B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，，
所以生产线乙的食盐质量，故B错误；
C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误；
D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确.
故选：AD
题型6 根据正态分布的对称性计算
例6-1已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】B
【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为，且，
因为，所以.
所以，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故选：B
例6-2已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正态密度曲线的对称性，得到，再利用“1”的妙用，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且，
所以，
则，
当且仅当，，即时，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B
【变式训练6-1】设随机变量，若，则 .
【答案】4
【分析】根据正态分布的对称性运算求解即可.
【详解】由正态分布可知，故.
故答案为：4.
【变式训练6-2】已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，
则，
所以，且，，即，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选：C.
【变式训练6-3】若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题设，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为1.
故选：C
题型7 正态分布的均值与方差
例7-1近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示．
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望．
(2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．
（ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频．
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：若，则，．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析
【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式；
（2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；
（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案.
【详解】（1）因为抽样比为，
所以从中抽取（人），从中抽取（人），
从中抽取（人）．
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
方法一：．
方法二 ：服从参数的超几何分布，故．
（2）（ⅰ），，
所以，，，．
所以．
（ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取．
，
，
．
，
因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多.
例7-2某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值以及这批零件内径的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以这批零件内径的平均数作为的估计值，这批零件内径的标准差作为的估计值，已知的近似值为0.105，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差．
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)，2.6
(2)分布列见解析，0.8
(3)26.88
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，及频率分布直方图中平均值的计算公式，求出相应的值即可；
（2）确定的可能取值，求出的不同值对应的概率，得到的分布列，再根据离散型随机变量数学期望的计算公式求出的数学期望即可；
（3）由正态分布的概率求法，求出内径在上的概率，再根据二项分布的定义判定，最后根据二项分布方差的计算公式求出的方差．
【详解】（1）由，得．
这批零件内径的平均值2.6.
（2）由题意知，内径在区间内的频率为，则，
的可能取值为0，1，2，3，4，
则，，，，，
因此可得的分布列：
0 1 2 3 4
0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
则的数学期望0.8，
或，所以；
（3）由题意知，，，
又，，
则．
由二项分布的定义知，
由二项分布的方差公式知，26.88．
【变式训练7-1】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61.
（ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量；
（ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性．
参考数据：若，则，，，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析
【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可；
（2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量；
（ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可．
【详解】（1）由题意可知，．
（2）（ⅰ）由题意，，
则，
则，即．
则这批产品质量指标值在的数量约为．
（ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有，
一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小，
因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理．
【变式训练7-2】某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.
(1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；
(2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；
(3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.
参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；
②若，则，，.
【答案】(1)，，，
(2)①组更有可能是专业评委组，理由见解析；②
(3)大约为人
【分析】（1）根据题意结合平均数公式可求得、，并结合标准差公式可求得、；
（2）①比较、的大小，进而可得出结论；
②根据题中公式可求得的值；
（3）计算出正态分布的均值，标准差，利用原则求得，再乘以可得结果.
【详解】（1）由题意可知，，
，
（2）①因为，因此组更有可能是专业评委组；
②；
（3）由（1）（2）可知，正态分布的参数，.
设某评委打出的分数为随机变量，则，
故
.
，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人.
【变式训练7-3】某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码t 1 2 3 4 5
报考人数y 30 65 95 135 175
(1)经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数；
(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，.
【答案】(1)；208
(2)90
【分析】（1）先根据所给数据计算，，，再根据所给公式计算和，可得线性回归方程，再将代入方程，可以预测2025年的报考人数.
（2）根据正态分布的性质，先求和，再根据全概率公式预测2025年报考该专业考生中被录取的人数.
【详解】（1）因为，，
.
所以，.
所以.
当时，，即预测2025年的报考人数为.
（2）因为.
.
所以预测2025年报考该专业考生中被录取的人数约为：
人.
题型8 3决策
例8-1在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且.
(1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数；
(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）.
参考数据：若，则【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到，即可求解；
（2）根据条件，求出和的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解.
【详解】（1）由已知得，，
所以，
所以长度在内的圆钢根数约为.
（2）圆钢的长度在区间的概率为
，
圆钢的长度在区间内的概率为
，
因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为
.
例8-2某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
【答案】(1)
(2)①能，理由见解析②假
【分析】（1）设为第次通过第一关，为第次通过第二关，计算即可；
（2）①由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；
②假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论．
【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且，
所以，则；而，
且，
所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则，
，
而，所以，从而，
而，
所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.
【变式训练8-1】近期，广西军训冲上了热搜，军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦克步兵同步行军等.十万学生十万兵，无惧挑战、无惧前行，青春正当时.为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)，平均数为76分
(2)分布列见解析，期望为
(3)46
【分析】（1）根据频率和为1求的值，并结合平均数公式运算求解；
（2）由题意可知随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600，进而求分布列和期望；
（3）根据正态分布的性质和题中数据分析求解.
【详解】（1）依题意，得，解得.
由频率分布直方图，知成绩的平均数为.
所以估计这100名学生测试成绩的平均数为76分.
（2）随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600.
，，
，
，
，，
.
所以的分布列为
0 100 200 300 400 500 600
所以.
（3）由（1）可知.
因为，
所以，
所以，
所以该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46.
【变式训练8-2】新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理 历史里选一门；“2”指考生要在生物学 化学 思想政治 地理4门中选择2门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试 满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附：，，.
【答案】(1)种
(2)①4093人；②不可信
【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可；
（2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的原则判断即可.
【详解】（1）甲乙两个学生必选语文 数学 外语，若另一门相同的选择物理 历史中的一门，有种，在生物学 化学 思想政治 地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种；
若另一门相同的选择生物学 化学 思想政治 地理4门中的一门，则有种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法；
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则，
由题知，，，
则，所以，
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；
②不可信.，
则，
5000名学生中成绩大于430分的约有人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
【变式训练8-3】年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布.
(1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求；
(2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，
【答案】(1)
(2)需要进一步调试，理由见解析
【分析】（1）计算出一件产品的质量指标值位于区间的概率，分析可知，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（2）计算得出，，且，根据原则可得出结论.
【详解】（1）解：由题意知，，，则，
一件产品的质量指标值位于区间的概率即为
因为，，
所以
，
所以，所以.
（2）解：服从正态分布，由于，
则，，
所以内径在之外的概率为，为小概率事件而，且，
根据原则，机器异常，需要进一步调试.
1．（多选）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
3．（2018·全国I卷·高考真题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
，当且仅当，即可得所求．
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；
方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．
1．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则：
（1）事件“质点回到原点”的概率为 ；
（2）事件“质点位于4的位置”的概率为 .
【答案】 /0.3125 /0.09375
【分析】（1）质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，根据古典概型的概率公式即可求解；
（2）质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可求解．
【详解】（1）质点移动6次，可能的结果共有种情况，
质点回到原点则向左移动3次，向右移动3次，共种情况，
所以质点回到原点的概率为.
（2）质点移动6次，可能的结果共有种情况，
质点位于4的位置则质点向左移动1次，向右移动5次，共种情况，
所以质点位于4的位置的概率为.
故答案为：（1）；（2）.
2．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.
【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
（2）可取0，1，2，3，
，
，
，
.
所以的分布列如下：
3．已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）由题意列出，解不等式即可求解.
【详解】（1）门大炮同时对某一目标各射击一次，
设击中目标的次数为，
则，
故恰好击中目标3次的概率为.
（2）由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次，
击中次的概率为，
则至少击中一次的概率为，
则，
即，
解得，
因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要门大炮.
4．一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为．利用计算工具求（精确到0.0001）：
（1）这家保险公司亏本的概率；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．
【答案】（1）0.0037；（2）0.9197
【分析】（1）用表示10万人中遭遇意外伤害的人数，可得，则由可求；
（2）可得一年内最多只能有2人出险，求出即可.
【详解】（1）一份意外伤害保险费为20元，销售10万份保单可得保险费200万元，保险金额为50万元，可得出在一年内若有4人以上出险，保险公司将亏本，
由题意可得10万人参保，可看作10万次独立重复实验，每人是否遭遇意外伤害相互独立，用表示10万人中遭遇意外伤害的人数，每人遭遇意外的概率为，则，
则这家保险公司亏本的概率
；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元，则一年内最多只能有2人出险，
则
.
5．某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）
【答案】答案见解析
【分析】设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数未达到的就是等级，根据正态分布的对称性，求得，且满足，把该正态分布转换为标准的正态分布，结合正态分布表，即可求解.
【详解】由题意，考试成绩服从正念分布，其中平均分为，标准差为，
设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数未达到的就是等级，
根据题意，可得，，
，，
又由，
所以分，
又由，所以，即，
把该正态分布转换为标准的正态分布，可得，则，
可得，
查标准正态分布表可知，可得，
所以取，
综上所述，等级分数线的划分为：分数大于或等于83分为A等级；
分数大于或等于75分但小于83分为B等级；
分数大于或等于67分但小于75分为C等级；
分数小于67分为D等级.中小学教育资源及组卷应用平台
第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
目录
012
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 伯努利试验与二项分布 4
知识点2 两点分布、均值、方差 4
知识点3 超几何分布 4
知识点4 正态分布 5
题型破译 6
题型1 两点分布 6
题型2 二项分布 6
【方法技巧】二项分布应用
题型3 超几何分布 10
【方法技巧】超级分布的判断与使用
题型4 超几何分布与二项分布综合 14
题型5 正态密度曲线 17
题型6 根据正态分布的对称性计算 18
题型7 正态分布的均值与方差 19
题型8 3决策 24
04真题溯源·考向感知 27
05课本典例·高考素材 29
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）两点分布 （2）二项分布 （3）超几何分布 （4）正态分布 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷第5题，5分 2025年天津卷第13题，5分 2024年全国新课标Ⅰ卷第9题，6分 2023年甲卷（理）第19题(1)，6分
考情分析： 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点．本节的重点内容是求随机变量的分布列与数学期望．求分布列其实是求概率的过程，首先要明确随机变量的类型，是二项分布、超几何分布或是一般的概率分布．对于一般的概率分布，没有特别的公式，就需要将复杂事件拆分为等价的几个事件，根据概率计算公式求概率，从而得到分布列．对于数学期望与方差，都可用定义运用相应的公式求解，因而关键问题还是求分布列．
复习目标： （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． （2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识点1 伯努利试验与二项分布
（1）重伯努利试验的定义
①我们把只包含 的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为
（2）二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为 ，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 ．
自主检测某射箭场举行趣味射箭比赛，规定每轮有5次射箭机会，若选手甲参加比赛且不放弃任何一次射箭机会，每次射中靶心的概率为，且每次射箭互不影响，记X为选手甲射中靶心的次数，则 ．
知识点2 两点分布、均值、方差
若随机变量服从两点分布,则 , .
若,则,
自主检测已知随机变量服从两点分布，且，令，则 ．
知识点3 超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
自主检测一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
知识点4 正态分布
（1）正态分布定义：
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为 .
（2）正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在时达到峰值 ；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
（3）正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地， ，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为
自主检测如果随机变量，则约等于（ ）（注：）
A．0.210 B．0.0228
C．0.0456 D．0.0215
题型1 两点分布
例1-1随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有 ．
例1-2设，随机变量的分布列如下表所示，
X 0 1
P
则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ）
A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大
【变式训练1-1】随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
2】随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】设随机变量X服从两点分布，若，则（ ）
A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8
题型2 二项分布
例2-1抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例2-2有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若，
（i）求随机变量Y的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小．
(2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由．
方法技巧 二项分布的应用
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数，；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将值代入求解概率．
【变式训练2-1】某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，．
(1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列．
【变式训练2-3】某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表：
日均时长（分钟） [40，50]
频数 30 50 80 30 10
(1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；
(2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为.
（i）当时，求的分布列和数学期望；
（ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：）
题型3 超几何分布
例3-1全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；
例3-2某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
方法技巧 超几何分布的判断与使用
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
【变式训练3-1】2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40
注射疫苗 60
总计 100 100 200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
(1)求列联表中的数据，，，的值；
(2)能否有把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记为3只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求的方差．
附：，．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【变式训练3-2】在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间．这两个班级各有40名学生，均提供了有效数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据，估计该校高三年级每天学习时间不超过4小时的学生人数；
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较的大小．（只需写出结论）
【变式训练3-3】冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.
题型4 超几何分布与二项分布综合
例4-1随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示：
学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌
参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56
(1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望.
(2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为.
①求小明1次挑战成功的概率；
②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？
例4-2一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.
(1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，；
(2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和
【变式训练4-1】某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．
(1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？
(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；
(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率．
【变式训练4-2】继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表：
训练营 A B C D E F G H
参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48
(1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值；
(2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立．
（i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率；
（ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【变式训练4-3】DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．
(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
题型5 正态密度曲线
例5-1“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
例5-2（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【变式训练5-1】给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5-2】（多选）已知随机变量的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（ ）
附：随机变量，则，，．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的
题型6 根据正态分布的对称性计算
例6-1已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．16
例6-2已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】设随机变量，若，则 .
【变式训练6-2】已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
题型7 正态分布的均值与方差
例7-1近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示．
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望．
(2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．
（ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频．
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：若，则，．
例7-2某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值以及这批零件内径的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间内的零件个数为，求的分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径（单位：mm）服从正态分布，现以这批零件内径的平均数作为的估计值，这批零件内径的标准差作为的估计值，已知的近似值为0.105，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在区间上的零件个数为，求的方差．
参考数据：若，则，，．
【变式训练7-1】从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61.
（ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量；
（ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性．
参考数据：若，则，，，．
【变式训练7-2】某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.
(1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；
(2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；
(3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.
参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；
②若，则，，.
【变式训练7-3】某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码t 1 2 3 4 5
报考人数y 30 65 95 135 175
(1)经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数；
(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，.
题型8 3决策
例8-1在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且.
(1)若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数；
(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）.
参考数据：若，则
例8-2某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
【变式训练8-1】近期，广西军训冲上了热搜，军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦克步兵同步行军等.十万学生十万兵，无惧挑战、无惧前行，青春正当时.为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
【变式训练8-2】新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理 历史里选一门；“2”指考生要在生物学 化学 思想政治 地理4门中选择2门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试 满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附：，，.
【变式训练8-3】年月日时分，搭载空间站梦天实验舱成功发射，并进入预定轨道，梦天舱的重要结构件导轨支架采用了打印的薄壁蒙皮点阵结构.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.随着技术不断成熟，打印在精密仪器制作应用越来越多.某企业向一家科技公司租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台打印设备打印出品的零件内径（单位：）服从正态分布.
(1)若该台打印了件这种零件，记表示这件零件中内径指标值位于区间的产品件数，求；
(2)该科技公司到企业安装调试这台打印设备后，试打了个零件.度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，
1．（多选）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
2．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
3．（2018·全国I卷·高考真题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
1．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则：
（1）事件“质点回到原点”的概率为 ；
（2）事件“质点位于4的位置”的概率为 .
2．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.
3．已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？
4．一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为．利用计算工具求（精确到0.0001）：
（1）这家保险公司亏本的概率；
（2）这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．
5．某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）
