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第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
目录
01 常考题型过关练
题型01 两点分布
题型02 二项分布
题型03 超几何分布
题型04超几何分布与二项分布综合
题型05 正态密度曲线
题型06 根据正态分布的对称性计算
题型07 正态分布的均值与方差
题型08 3决策
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 两点分布
1．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25
3．已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
4．已知随机变量服从两点分布，．若，则 ．
5．已知随机变量服从两点分布，且，则 .
02 二项分布
6．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数X的数学期望为 ．
8．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03.
(1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率；
(2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，记随机变盘，求的期望值
9．某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对1道填空题得2分，答对1道选择题得1分，答错得0分，若总得分大于或等于4分可获得纪念品.假定参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响.
(1)求某位参与者竞猜活动得3分的概率；
(2)设参与者获得纪念品的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
10．某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券.
(1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.
11．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率；
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由；
(3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）．
12．某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.
每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望.
03 超几何分布
13．昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.
(1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率；
(2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望.
14．2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 .
(1)求的值；
(2)若一次抽取3个城市，则：
①假设取出小城市的个数为，求的分布列；
②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.
15．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高不超过186的人数为24人，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过186的人数，以频率估计概率，求的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值.
16．某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各抽取了6条河流对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据．
区域 含沙量
甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2
乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3
丙 0.3，0.5，0.2，0.3，0.6，0.7
(1)求甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数与乙区域河流平均含沙量数据的方差；
(2)从丙区域所抽取的河流中再抽取2条，记其中平均含沙量大于0.5的条数为X，求X的分布列及数学期望．
17．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
18．某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.
(1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；
(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望.
04超几何分布与二项分布综合
19．强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
(1)若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且.
①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值；
②如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
20．某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
21．相约春风里奔跑幸福中—2025石家庄马拉松赛后，掀起了体育运动的热潮．为推进“阳光体育”进校园活动，市教育局随机选取8所小学调研“趣味体操”的参与情况，统计各校参与学生人数，得到数据如下表所示：
学校
参加趣味体操人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48
(1)体育特色校评选
若“趣味体操”参与人数超过30人的学校可评为“体育特色校”，现在从这8所学校中随机选出3所，记可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)体操技能测试
在趣味体操课程中，学生需掌握“平衡木”“跳箱”“前滚翻”三项基础技能．阶段性测试要求：在一轮测试中，这三项至少有两项达到“优秀”，该轮测试才被记为“优秀”．某同学3项基本技能每项达到“优秀”的概率均为，每项测试及每轮测试互不影响．
①求单轮测试“优秀”的概率；
②如果该同学进行多轮独立测试，若希望“优秀”总次数的期望达到2次，理论上至少需测试多少轮？
22．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，由此得到样本的频率分布直方图（如图），用频率估计概率．
(1)根据频率分布直方图，估计该流水线质量超过505克产品的概率；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望；
(3)从该流水线上任取2件产品，记为质量超过505克的产品数量．试比较和（2）中的大小．（只需写出结论）
23．杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据：
(1)从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率；
(2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求的分布列和数学期望；
(3)杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评．
05 正态密度曲线
24．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为，）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
25．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
26．（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
27．（多选）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，
则下列结论正确的是（ ）．
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．
B．长度误差落在内的概率为0.6826
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
28．已知三个正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则存在实数，使得
06 根据正态分布的对称性计算
29．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
30．（多选）若，则，．已知，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
31．随机变量，若，则 ．
32．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 ．
33．已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
34．已知随机变量，且，则函数的最小值为 ．
07 正态分布的均值与方差
35．某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求；
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
36．小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
(1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求．
（ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由．
(2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
37．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示.
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.
(2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.
参考数据：则，.
38．2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值：
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；
39．全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001）
附：①；②若，则③
08 3决策
40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标值(记为)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利元；若是次品，则亏损元．若将样本频率视为概率，记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求；
②某客户从该公司购买了件这种产品，记表示这件产品中该项质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求．
附：；若，则，.
41．为了保障某种药品的主要药理成分含量在国家药品监督管理局规定的范围内，某制药厂规定在该药品的生产过程中，检验员在一天中每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测四次，每次由检验员从该药品生产线上随机抽取20件药品进行检测，测量其主要药理成分含量，根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在之外的药品件数，求的均值；
(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在本次的生产过程中可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．
①下面是检验员某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 9.22 10.13 9.91 9.95 10.04
10.09 9.96 9.88 10.01 9.98 10.05 10.05 9.96 10.12 9.95
经计算得，，．其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量（），用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查．
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.0001）．
附：若随机变量服从正态分布，则，，，．
42．某制造企业向高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）.
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
（1）计算平均值与标准差；
（2）假设这台3D打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：）86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，，.
43．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
（1）求与．
（2）假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于的个数为，求；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
44．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸(单位：).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望.
（2）该工厂对生产的零件制定了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案一：每个零件均按85元定价销售.方案二：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为级零件，每个零件定价100元；否则为级零件，每个零件定价为30元.问哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.
附：若，则，，.
1．（2025·广东·一模）口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列为，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．580 B．480 C．380 D．280
3．（多选）（2025·云南·模拟预测）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·陕西安康·模拟预测）小明和小红参加反应速度测试，该测试通过一个简单的视觉刺激来测试反应速度，其规则为当看到屏幕上红色圆变为绿色时，测试人员应当以最快速度敲击屏幕，若测试结果低于150毫秒，则被认定为“优秀”．已知小明和小红分别进行了m，n次测试，其中小明反应速度的优秀率为94%，小红反应速度的优秀率为98%，若将两人的测试情况进行混合，总体优秀率为97%．
(1)求的值；
(2)以频率估计概率，若从两人所有的测试结果中随机抽取3次，记其中由小明完成的测试次数为X，求X的分布列，以及数学期望与方差．
5．（2025·辽宁盘锦·三模）某企业倡导员工工作之余积极参与户外活动，现调查每个员工上半年每周参加户外活动的时间，所得数据统计如图所示（每个员工上半年每周户外活动的时间为小时），已知该企业有3000名员工，其中每周户外活动时间低于6小时的有1050人．
(1)求该企业员工上半年每周户外活动时间的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)为了合理安排一些活动，现采用按比例随机抽样的方法从每周户外活动时间在，，小时的员工中抽取14人，再从这14人中随机抽取4人，记每周户外活动时间在小时的人数为，求的分布列以及数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从每周户外活动时间在小时的员工中随机抽取20人，用表示这20名员工中恰有k人每周户外活动时间在小时的概率，其中．当最大时，写出k的值．（写出证明）
6．（2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.
为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.
活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表.
壶1 壶2 壶3
投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中
高三年级 40 160 90 60 60 90
假设用频率估计概率
(1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率.
(2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束.
某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率.
(3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大 （只需写出结论）.
7．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
8．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表：
平均尺寸 标准差
甲生产线p件M型零件 80 6
乙生产线q件M型零件 70 4
(1)求这40件M型零件尺寸的平均数；
(2)求这40件M型零件尺寸的标准差；
(3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件
参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③.
1．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
3．（2018·北京·高考真题）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．中小学教育资源及组卷应用平台
第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
目录
01 常考题型过关练
题型01 两点分布
题型02 二项分布
题型03 超几何分布
题型04超几何分布与二项分布综合
题型05 正态密度曲线
题型06 根据正态分布的对称性计算
题型07 正态分布的均值与方差
题型08 3决策
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 两点分布
1．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列举法即可求解.
【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，，
所以，，
所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：A.
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25
【答案】B
【分析】根据两点分布概率性质即可求解.
【详解】由题意有：解得.
故选：B.
3．已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】D
【分析】根据两点分布可得，再根据即可得结果.
【详解】由题意可知：，
因为，所以.
故选：D.
4．已知随机变量服从两点分布，．若，则 ．
【答案】0.44
【分析】根据两点分布的性质判断.
【详解】由题意可得．
故答案为：
5．已知随机变量服从两点分布，且，则 .
【答案】
【分析】利用概率的性质计算即可.
【详解】易知，解之得或（舍去）.
故答案为：.
02 二项分布
6．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况
【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”，
由题意知分离出1个轻水分子的概率为，
分离出1个非轻水分子的概率为，
所以，
故至少分离出2个轻水分子的概率为．
故选：D.
7．甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为．现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数X的数学期望为 ．
【答案】4
【分析】由题意可得，可求得，随机变量X服从二项分布，利用二项分布的数学期望公可求得期望.
【详解】因为比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为，每局比赛甲胜的概率为p，
所以，解得，
从而每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为．
由题意可知，随机变量X服从二项分布，
所以，
故甲胜的局数X的数学期望为4．
故答案为：4.
8．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03.
(1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率；
(2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，记随机变盘，求的期望值
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）全概率公式可得零件为次品的概率，然后由条件概率公式可得该零部件是甲工厂生产的概率；
（2）由题结合（1），可得满足二项分布，然后由，可得.法1，由题可得的可能值，据此可得期望.法2，由二项分布期望公式可得答案.
【详解】（1）设零件由甲工厂生产为事件，零件由乙工厂生产为事件，零件为次品为事件B，则由题，，，.
则.
则若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率为：
；
（2）由（1），结合题意可得，因，则.
法1，因的可能值为0，1，2，3，则的可能值为：-3，-1，1，3.
根据题意，，
，
，
.
则；
法2，由二项分布均值公式：，
则.
9．某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对1道填空题得2分，答对1道选择题得1分，答错得0分，若总得分大于或等于4分可获得纪念品.假定参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响.
(1)求某位参与者竞猜活动得3分的概率；
(2)设参与者获得纪念品的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用互斥事件的和事件的概率公式，独立事件的概率公式即可求解；
（2）先确定随机变量的取值，再分别求出概率值，列出分布列，根据数学期望定义求解期望即可.
【详解】（1）答对1道填空题和1道选择题的概率为，
答错填空题且答对3道选择题的概率为，
所以某位参与竞猜活动者得3分的概率为；
（2）由题意知随机变量的取值有0，1，2，3，4．
又某位参与竞猜活动者得4分的概率为；
某位参与竞猜活动者得5分的概率为；
所以参与者获得纪念品的概率为．
所以，概率分布列为，，
即
0 1 2 3 4
所以，
故随机变量的数学期望为．
10．某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券.
(1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2),理由见解析.
【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可；
（2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可.
【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有，
则
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故；
（2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券，
则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为，
所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数，
可得奖券数的概率为，，
假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有:
,化简得：
，解得，
又因为，所以，
即同学获得张奖券的概率最大.
11．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率；
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由；
(3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）．
【答案】(1)
(2)采用五局三胜制甲获胜的概率更大，理由见解析
(3)10
【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式进行计算.
（2）根据题意，分别求出采用五局三胜制和三局两胜制甲最终获胜的概率，列式运算得解.
（3）根据二项分布得，，记，分析的单调性，可得最大时，对应的值.
【详解】（1）设事件为“比赛采用三局两胜制乙获胜”．
因为每局比赛乙获胜的概率为，
所以．
（2）在五局三胜制中甲获胜的概率．
在三局两胜制中甲获胜的概率．
．
当时，，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大．
（3）根据二项分布得，可知．
令，则．
令，解得，当时，可得；
令，解得，当时，可得．
故当时，最大，即时，的值最大，所以的估计值为10．
12．某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.
每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)0.6
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由互斥加法即可求解；
（2）由二项分布的概率公式求得分布列，由期望公式计算期望即可求解.
【详解】（1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为；
（2）由题意可得，的所有可能取值为，
所以，，，
，，
所有的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为.
03 超几何分布
13．昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.
(1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率；
(2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，利用条件概率公式可求得的值；
（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，
由条件概率公式可得.
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为、、、，
，，，
.
故的分布列为
故.
14．2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 .
(1)求的值；
(2)若一次抽取3个城市，则：
①假设取出小城市的个数为，求的分布列；
②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可.
（2）①由题意可知，的可能取值为，用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列.
②分别求出是同一大类的情况有多少种，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为，
，则，得或（舍），
故.
（2）①由题知的可能取值为
，，
，.
故的分布列为：
②取出个城市全为超大城市，共有种情况,取出个城市全为小城市，共有种情况.
取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为.
15．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高不超过186的人数为24人，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过186的人数，以频率估计概率，求的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2).
【分析】（1）根据已知可能的取值为0，1，2，3，且，应用二项分布的概率求法求出对应概率，写出分布列，并求期望；
（2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，可得，应用作商法判断单调性，即可确定最大参数值.
【详解】（1）由题设，可能的取值为0，1，2，3，且.
；；
；.
故的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以.
（2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为，
所以，
所以，解得.
所以，
故当时，最大.
16．某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各抽取了6条河流对其平均含沙量（单位：）进行测量，得到如下表格数据．
区域 含沙量
甲 2.5，3.2，1.8，2.8，3.0，2.2
乙 1.2，0.8，0.9，1.1，0.7，1.3
丙 0.3，0.5，0.2，0.3，0.6，0.7
(1)求甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数与乙区域河流平均含沙量数据的方差；
(2)从丙区域所抽取的河流中再抽取2条，记其中平均含沙量大于0.5的条数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)第40百分位数为2.5，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据百分位数的定义求解，利用方差的计算公式求解；
（2）根据题意，X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率并列出分布列，求解期望.
【详解】（1）将甲区域平均含沙量数据按照从小到大排序为：1.8，2.2，2.5，2.8，3.0，3.2，
由于，
故甲区域河流平均含沙量数据的第40百分位数为2.5，
乙区域河流平均含沙量数据的平均数，
方差.
（2）丙区域含沙量大于0.5的数据有2个，不大于0.5的数据有4个，故X的可能取值为0，1，2．
且，，，
故X的分布列为
X 0 1 2
所以数学期望.
17．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有种情况，从11人中抽4人有种情况，
所以所求的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为、、、、，
，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以.
18．某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.
(1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；
(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望.
【答案】(1)估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和
(2)的分布列为：
【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解；
（2）根据分层抽样计算出年龄在的人数，和年龄在的人数.由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，根据超几何分布的概率分布列公式求出取每个值对应的概率，即可求解的分布列，根据离散型随机变量的期望公式即可求出的期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于区间中，
中位数的估计值为；
由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为.
故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为和.
（2）由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在的有人，其中年龄在的有人.
由题知年龄在的志愿者人数服从超几何分布，的所有可能取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
的期望.
04超几何分布与二项分布综合
19．强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
(1)若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且.
①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值；
②如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①；②轮
【分析】（1）分析可知，的所有可能取值是、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，利用独立事件的概率公式结合可得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，令，，结合二次函数的基本性质可求得的最大值；
②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，根据二项分布的期望公式以及已知条件可得出关于的不等式，即可解得的最小值.
【详解】（1）由题意可知，的所有可能取值是、、、，
，，
，，
所以的分布列是
数学期望是.
（2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，
则
，
由，得.
因为，，所以，
令，
所以，设，则，
当时，取得最大值.
所以，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值.
②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值.
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即解得.
而，则，所以理论上至少要进行轮答题.
20．某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求出每次都中奖的概率为，可知，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的方差公式可求得的值；
（2）分析可知，中奖次数的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次中奖相互独立，所以中奖次数，的可能取值为、、，
则，，，
则的分布列为
因为，所以的方差为.
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
则中奖次数的可能取值为、、，
则，，
，
所以，随机变量的分布列为
所以的期望为.
21．相约春风里奔跑幸福中—2025石家庄马拉松赛后，掀起了体育运动的热潮．为推进“阳光体育”进校园活动，市教育局随机选取8所小学调研“趣味体操”的参与情况，统计各校参与学生人数，得到数据如下表所示：
学校
参加趣味体操人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48
(1)体育特色校评选
若“趣味体操”参与人数超过30人的学校可评为“体育特色校”，现在从这8所学校中随机选出3所，记可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)体操技能测试
在趣味体操课程中，学生需掌握“平衡木”“跳箱”“前滚翻”三项基础技能．阶段性测试要求：在一轮测试中，这三项至少有两项达到“优秀”，该轮测试才被记为“优秀”．某同学3项基本技能每项达到“优秀”的概率均为，每项测试及每轮测试互不影响．
①求单轮测试“优秀”的概率；
②如果该同学进行多轮独立测试，若希望“优秀”总次数的期望达到2次，理论上至少需测试多少轮？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①；②6轮
【分析】（1）先计算随机变量X不同取值的概率，得到分布列和期望；
（2）①运用独立乘法公式计算一轮测试“优秀”的概率，②根据二项分布期望公式求出至少进行的测试轮数.
【详解】（1）参加“趣味体操”人数在30人以上的学校共5所，所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以．
（2）①由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为
.
②该同学在轮测试中获“优秀”次数服从二项分布，即满足．，
由.
所以理论上至少要进行6轮测试．
22．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，由此得到样本的频率分布直方图（如图），用频率估计概率．
(1)根据频率分布直方图，估计该流水线质量超过505克产品的概率；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望；
(3)从该流水线上任取2件产品，记为质量超过505克的产品数量．试比较和（2）中的大小．（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列见解析；（件）
(3)
【分析】（1）结合频率分布直方图求解；
（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．
【详解】（1）因用频率估计概率，
故质量超过505克的产品的概率为.
（2）重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，
则X的取值为0，1，2，X服从超几何分布，
则，，，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
则
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为，
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，，，
则.
23．杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据：
(1)从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率；
(2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求的分布列和数学期望；
(3)杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评．
【答案】(1)
(2)分布列见详解，
(3)20
【分析】（1）由题意信息得到不低于120分的人数为7人，结合总人数为10人即可求解；
（2）首先求出不低于135分的人数为4人，由此得到X的可能取值以及每种取值对应的概率，由此得到分布列，最后由数学期望公式得到数学期望；
（3）首先根据甲同学每个模块达到90分以上的概率，得到至少有2个模块达到90分以上的概率，又甲同学在轮测评中合格的次数Y满足，再利用二项分布的期望达到5即可求次数的最小值.
【详解】（1）由题知其数学成绩不低于120分的人数为7人，
故其数学成绩不低于120分的概率为.
（2）由题知其数学成绩不低于135分的人数为4人，的取值可能为0,1,2,3.
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
期望.
（3）设甲同学在一轮测评中合格为事件A，
则，
又甲同学在轮测评中合格的次数Y满足，
则期望，解得，
所以至少要进行20轮测评.
05 正态密度曲线
24．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为，）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】A
【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.
【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，
所以，，，故A正确，C错误；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中），
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误．
故选：A．
25．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【详解】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.
故选：C
26．（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【答案】AC
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D.
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC
27．（多选）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，
则下列结论正确的是（ ）．
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．
B．长度误差落在内的概率为0.6826
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
【答案】ABC
【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可．
【详解】由图中密度函数解析式，可得，A选项正确；
又由图像可知，
则长度误差落在内的概率为
，B选项正确；
长度误差落在内的概率为
，C选项正确；
长度误差落在内的概率为
，D选项错误；
故选：ABC.
28．已知三个正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则存在实数，使得
【答案】CD
【分析】利用正态分布曲线的性质判断AB，再根据已知求解概率即可判断CD．
【详解】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A错误；
又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误；
，
则，
所以，故C正确；
由三个正态密度函数的图象可知，存在实数，使得，故D正确；
故选：CD．
06 根据正态分布的对称性计算
29．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性可求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：D
30．（多选）若，则，．已知，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由正态分布的对称性求出，再由原则求解即可.
【详解】因为，且，
所以，解得．
．
故选：AC．
31．随机变量，若，则 ．
【答案】
【分析】已知随机变量，即均值，利用正态分布的对称性以及所给的概率等式来求解的值.
【详解】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得.
故答案为：.
32．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据正态分布的性质得，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，则，
所以，
当且仅当时取等号，则的最小值为9.
故答案为：9
33．已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用正态分布对称性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值.
【详解】因为随机变量，正数满足，
有对称性可知，即，
所以
；
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：9
34．已知随机变量，且，则函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由随机变量，且，得，解得，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为.
故答案为：
07 正态分布的均值与方差
35．某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求；
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值；
（2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解；
（ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】（1）由频率分布直方图可得.
（2）（i）由题意可得，，则，
所以，；
（ii）由题意可知，，故.
36．小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
(1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求．
（ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由．
(2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析
(2)
【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求；
（ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论；
（2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可.
【详解】（1）（i）因为，所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（ii）由（i）得．
因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，，
所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由．
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则．
由，，得．
根据题意易得随机变量，
．
37．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示.
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.
(2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.
参考数据：则，.
【答案】(1)
(2)（i），（ii）方案2
【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可；
（2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案..
【详解】（1）因为抽样比，
所以抽取人，抽取人，
抽取人.
设事件：这4人中至少有2人来自前2组，
.
（2），
所以，，，.
所以
.
对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则.
，
，
.
，
所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多.
38．2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值：
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；
【答案】(1)75，71.7
(2)分布列见解析，
(3)504，不能
【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可；
（2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可；
（3）由正态分布的概率特征求解即可．
【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分；
由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1，
所以中位数在组，故中位数为：分；
（2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）由题可知，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，
因为，则，
所以，
因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
39．全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001）
附：①；②若，则③
【答案】(1)，；
(2)①317户；②0.499.
【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数和方差的计算公式求解即可.
（2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数
；
这2000户农户家庭年收入的样本方差
.
（2）①由（1）知，，，农户家庭年收入近似服从正态分布，
所以，
而，
所以这2000户农户家庭年收入超过万元的户数约为317.
②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布，
所以.
08 3决策
40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标值(记为)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利元；若是次品，则亏损元．若将样本频率视为概率，记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求；
②某客户从该公司购买了件这种产品，记表示这件产品中该项质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求．
附：；若，则，.
【答案】(1)分布列见解析；数学期望
(2)①；②
【分析】（1）根据频率分布直方图可求得产品为正品和次品的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；
（2）①根据频率分布直方图估计平均数和方差的方法可求得，由正态分布的原则可求得结果；
②根据二项分布期望公式可求得结果.
【详解】（1）由频率估计概率，产品为正品的概率为，
产品为次品的概率为；
随机变量的分布列为：
数学期望.
（2）①抽取产品的该项质量指标值的样本平均数为；
样本方差.；
，则，，
.
②由①知：一件产品中该项质量指标值位于区间内的概率为，
，.
41．为了保障某种药品的主要药理成分含量在国家药品监督管理局规定的范围内，某制药厂规定在该药品的生产过程中，检验员在一天中每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测四次，每次由检验员从该药品生产线上随机抽取20件药品进行检测，测量其主要药理成分含量，根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在之外的药品件数，求的均值；
(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在本次的生产过程中可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．
①下面是检验员某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 9.22 10.13 9.91 9.95 10.04
10.09 9.96 9.88 10.01 9.98 10.05 10.05 9.96 10.12 9.95
经计算得，，．其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量（），用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查．
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.0001）．
附：若随机变量服从正态分布，则，，，．
【答案】(1)0.06
(2)①需要；②0.0189
【分析】(1)由已知，根据二项分布均值公式可求的均值；(2)①由题意知，，观察抽取的20件药品的主要药理成分含量在区间外的件数，由此判断是否需对本次的生产过程进行检查，②设“在一次检测中，出现了主要药理成分含量在之外的药品”为事件A，求事件A的概率，由此求一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率.
【详解】（1）抽取的一件药品的主要药理成分含量在内的概率为0.997，从而主要药理成分含量在之外的概率为0.003．
故，所以的均值为．
（2）①由题意知，，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量为9.22，
在，即（9.39，10.53）之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
②设“在一次检测中，出现了主要药理成分含量在之外的药品”为事件，则
．
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，
故所求概率为．
故一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率约为0.0189．
42．某制造企业向高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）.
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
（1）计算平均值与标准差；
（2）假设这台3D打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：）86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：，，，，.
【答案】（1），；（2）需要，答案见解析.
【分析】（1）利用测量数据，即可计算平均值与标准差.
（2）由（1）得服从正态分布，又由，得内径在之外的概率为0.003，根据原则，可得结论.
【详解】解：（1）利用测量数据，即可计算平均值与标准差.
.
，∴.
（2）需要进一步调试.
∵服从正态分布，，
∴内径在之外的概率为0.003，而，根据原则，需要进一步调试.
43．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
（1）求与．
（2）假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于的个数为，求；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
【答案】（1）；；（2）①；②需要进一步调试；理由见解析．
【分析】（1）直接根据平均值和方差公式求出与，即可求出；
（2）①根据题意分析得知即可套公式求出；
②先计算出5个零件中恰有1个的内径（单位：）不在内的概率，根据原则，即可下结论.
【详解】解：（1），
，
则．
（2）①因为，
所以，
则，
所以，
故．
②因为，
所以5个零件中恰有1个的内径（单位：）
不在内的概率为，
因为，所以试生产的5个零件就出现了1个不在内，
出现的频率是0.01485的十三倍多，根据原则，需要进一步调试．
44．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸(单位：).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望.
（2）该工厂对生产的零件制定了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案一：每个零件均按85元定价销售.方案二：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为级零件，每个零件定价100元；否则为级零件，每个零件定价为30元.问哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.
附：若，则，，.
【答案】（1），；（2）可得方案二的利润更大，理由见解析.
【分析】（1）利用正态分布的性质直接求解即可.
（2）求出方案二的期望，比较两种方案的均值得解
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9545，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0455，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）对方案二，设零件价格的随机变量为，故可取30，100，
可得，
.
故.
又方案一中，每个零件售价均为85，故可得方案二的利润更大.
1．（2025·广东·一模）口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列为，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】说明共摸球七次，只有两次摸到白球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．
【详解】由题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是.
故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是，
故选：B．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．580 B．480 C．380 D．280
【答案】B
【分析】利用正态分布的对称性得，进而有，根据已知及对称性求概率，即可估计人数.
【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而，
所以，
所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人.
故选：B
3．（多选）（2025·云南·模拟预测）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据正态分布的性质及图象逐项分析即可得解.
【详解】因为，所以，故A错误；
由图象知，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，故D正确.
故选：BCD．
4．（2025·陕西安康·模拟预测）小明和小红参加反应速度测试，该测试通过一个简单的视觉刺激来测试反应速度，其规则为当看到屏幕上红色圆变为绿色时，测试人员应当以最快速度敲击屏幕，若测试结果低于150毫秒，则被认定为“优秀”．已知小明和小红分别进行了m，n次测试，其中小明反应速度的优秀率为94%，小红反应速度的优秀率为98%，若将两人的测试情况进行混合，总体优秀率为97%．
(1)求的值；
(2)以频率估计概率，若从两人所有的测试结果中随机抽取3次，记其中由小明完成的测试次数为X，求X的分布列，以及数学期望与方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析 数学期望为，方差为
【分析】（1）由优秀率建立等式求解即可；
（2）先确定服从二项分布，再根据分布列的公式求出各取值的概率，进而计算期望和方差.
【详解】（1）由题意，小明和小红分别进行了m，n次测试，
其中小明反应速度的优秀率为94%，小红反应速度的优秀率为98%，
则小明反应速度优秀的次数为，小明反应速度优秀的次数为，
因为总的测试次数为，所以，
即，即，
所以，所以；
（2）由可知，由小明完成的测试次数的概率为，
由小红完成的测试次数的概率为.
表示这次测试中由小明完成的次数，
则服从参数为，的二项分布，即.
则，.
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以的分布列为：
则，所以期望为，
方差为.
5．（2025·辽宁盘锦·三模）某企业倡导员工工作之余积极参与户外活动，现调查每个员工上半年每周参加户外活动的时间，所得数据统计如图所示（每个员工上半年每周户外活动的时间为小时），已知该企业有3000名员工，其中每周户外活动时间低于6小时的有1050人．
(1)求该企业员工上半年每周户外活动时间的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)为了合理安排一些活动，现采用按比例随机抽样的方法从每周户外活动时间在，，小时的员工中抽取14人，再从这14人中随机抽取4人，记每周户外活动时间在小时的人数为，求的分布列以及数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从每周户外活动时间在小时的员工中随机抽取20人，用表示这20名员工中恰有k人每周户外活动时间在小时的概率，其中．当最大时，写出k的值．（写出证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)7
【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；
（2）利用古典概型概率计算公式求解概率可得分布列，进而计算可得数学期望；
（3）利用二项分布概率公式表示，结合题意列不等式求解即可.
【详解】（1）记每周户外活动时间在，小时的频率分别为m，n，
则，，
故所求平均数为；
（2）每周户外活动时间在，，小时的频率之比为，
所以14人中每周户外活动时间在小时的人数为，在小时的人数为，
在小时的人数为，
则的可能取值为0，1，2，3，4，
所以，，，
，，
故的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故．
（3）从每周户外活动时间在小时的员工中随机抽取20人，每周户外活动时间在小时的概率，
则，
故
，
解得，所以当时，最大，
故最大时，k的值为7．
6．（2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.
为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.
活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表.
壶1 壶2 壶3
投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中
高三年级 40 160 90 60 60 90
假设用频率估计概率
(1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率.
(2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束.
某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率.
(3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大 （只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算；
（2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算；
（3）利用二项分布的概率最值计算.
【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为.
（2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，
则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为，
壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为，
则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为.
（3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则，
则，
假设投中壶2的次数为时最大，则
，即，
解得，因，则，
故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大.
7．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
【答案】(1)①；②
(2)28
【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可.
（2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果.
【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为：
．
②证明：由题意，所以，所以，
因为，
所以，
即，
所以，即，所以．
（2）由已知得：
，
因为，
所以服从二项分布，，
设，
由得，即，
解得，由得，
所以的估计值为28．
8．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表：
平均尺寸 标准差
甲生产线p件M型零件 80 6
乙生产线q件M型零件 70 4
(1)求这40件M型零件尺寸的平均数；
(2)求这40件M型零件尺寸的标准差；
(3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件
参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③.
【答案】(1)72；
(2)6；
(3)低于40件.
【分析】（1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求；
（2）设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得；
（3）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数.
【详解】（1）由题设，，，
所以；
（2）由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差，
所以，，
而，即，
所以，，而，
所以，可得；
（3）由（1）（2）知零件服从，则，
这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有，
所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件低于40件.
1．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
【答案】
【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.
【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，
则；
若至少跑11圈为运动量达标为事件，，
所以，；
故答案为：；
2．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】/．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
3．（2018·北京·高考真题）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【答案】(1) 概率为0.025
(2) 概率估计为0.35
(3) >>=>>
【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从0-1分布，因此，即得>>=>>．
详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).
