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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第三章 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．曲线在处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．0
3．已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“关于的不等式有实数解”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．的周期为3 D．
7．已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
8．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，集合，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．的极小值点为2
B．的极小值为
C．当恰有1个零点时，的取值范围是
D．当恰有2个零点时，的取值范围是
11．已知函数在区间上的最大值为2，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若有3个零点，则
C．若，则函数有2个零点
D．若，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时，
13．已知二次函数的值域为，则的最小值为 .
14．若，则的大小关系为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知集合，集合．
(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.
16．（15分）已知函数.
(1)当时，求在上的值域；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.
17．（15分）已知函数．
(1)若的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集；
(3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）已知，，，设函数，，且与的最大值相等.
(1)求，间的等量关系；
(2)证明：与都恰有1个零点；
19．（17分）已知函数，其中，.
(1)若曲线在处的切线方程为，求，的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若曲线的一条切线是轴，求的取值范围.中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第三章 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，可得，.
故选：D.
2．曲线在处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】由题意可知，
所以曲线在处的切线的斜率，
故选：B
3．已知a、b、，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对A，当时，，则，故A错误；
对B，则则，故B正确；
对C，当时，故C错误；
对D，当时，故D错误.
故选：B
4．“”是“关于的不等式有实数解”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为关于的不等式有实数解，所以，所以，
又由于真包含于，
所以“”是“关于的不等式有实数解”的必要不充分条件，
故选：B．
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，即，，，
设降温到35℃大约需要，则，
即，，
，
所以，
故选：B．
6．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．的周期为3 D．
【答案】D
【详解】对于A，令，得，则，
令，得，函数是偶函数，A错误；
对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误；
对于C，令，得，则，
令，，得，则，，C错误；
对于D，由为偶函数，得，D正确.
故选：D
7．已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【详解】对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
8．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点，
当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需；
当时，，令，得，
令，，
令，解得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得最大值，
又，.
要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点，
则需满足，所以.
综上，实数a的取值范围为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，集合，集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由，得，所以.
由，得且，得或，所以或.
由，得，所以.
对于A，，所以A错误；
对于B，，所以B正确；
对于C，因为{或}，所以，
所以 ，所以C正确；
对于D，因为，所以.
因为{1或}，所以 ，所以D正确，
故选：BCD.
10．已知函数，则（ ）
A．的极小值点为2
B．的极小值为
C．当恰有1个零点时，的取值范围是
D．当恰有2个零点时，的取值范围是
【答案】BC
【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，A错误，B正确.
当时，，当时，，
当恰有1个零点时，或，得，C正确.
当恰有2个零点时，且，得，D错误.
故选：BC.
11．已知函数在区间上的最大值为2，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若有3个零点，则
C．若，则函数有2个零点
D．若，则
【答案】ABD
【详解】由，则，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
则，故A正确；
对于B，若有3个零点，
则，
因此，故B正确；
对于CD，当时，，
令，得或，所以函数有3个零点，故C错误，
因为，
，且，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 是定义在上的奇函数，且当 时， ，则当 时，
【答案】
【详解】设，，
因为函数是奇函数，.
故答案为：
13．已知二次函数的值域为，则的最小值为 .
【答案】4
【详解】因为二次函数的值域为，
所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为，
所以的最小值为，
所以，即，而，
当且仅当时取等，此时.
故答案为：4
14．若，则的大小关系为 ．
【答案】
【详解】，，，
令，则，
由，得，由，得．
在上单调递增，在上单调递减．
最大，
而，
，
则．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【详解】（1）,，
所以或， 2分
当时，， 4分
所以. 6分
（2）由，则， 7分
当时，，满足要求； 9分
当时，，；
由，则， 11分
综上，的取值范围是或. 13分
16．（15分）已知函数.
(1)当时，求在上的值域；
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
令，，
则，. 2分
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时；当时， 5分
故函数，的值域为.
所以当时，在上的值域为. 7分
（2）当时，，满足在上单调递增，满足题意； 9分
当时，设，则，.
因为单调递增，
所以要使在上单调递增，
须使在上单调递增，
所以解得. 13分
综上可得：实数的取值范围为，即. 15分
17．（15分）已知函数．
(1)若的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集；
(3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两根为1，2，
所以解得 3分
（2）因为，所以．
①当时，不等式为，解集为；
②当时，不等式可化为，解集为或；
③当时，，不等式可化为，解集为；
④当时，，不等式可化为，解集为；
⑤当时，，不等式可化为，解集为， 8分
综上，当时，解集为；当时，解集为或；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为. 10分
（3）由（1）知不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需． 12分
因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，，故实数的取值范围为． 15分
18．（17分）已知，，，设函数，，且与的最大值相等.
(1)求，间的等量关系；
(2)证明：与都恰有1个零点；
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，； 3分
函数的定义域为，求导得，
当时，，不符合题意； 5分
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，不符合题意； 7分
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，， 9分
由与的最大值相等，得，所以. 11分
（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，而，，
13分
当时，，当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点；
函数在上单调递增，在上单调递减，， 15分
当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此函数有唯一零点，
所以与都恰有1个零点. 17分
19．（17分）已知函数，其中，.
(1)若曲线在处的切线方程为，求，的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若曲线的一条切线是轴，求的取值范围.
【详解】（1）由得，， 1分
由题意得，，因为，
所以，解得. 3分
将代入切线方程可得，即，解得， 4分
（2），
当时，恒成立，则在上单调递增； 6分
当时，由，得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增. 9分
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 11分
（3）设切点为，则，即.所以，， 14分
则，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以的值域为，
故的取值范围为. 17分
