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第二章 函数与基本初等函数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，根据定义域代入求分段函数值即可.
【详解】由题意知，
则.
故选：C.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数幂运算可得，又由对数函数单调性可得，得解.
【详解】因为，所以.
又，所以.
故选：B.
3．下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，排除CD选项，
当时，，则，此时，排除B选项.
故选：A.
4．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.
【详解】是由与复合而成，
在中，，，所以在上单调递减.
因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.
对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，
则对称轴需满足，解得.
故选：A.
6．已知函数的最小值为，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以．易知的定义域为，
当时，，则；当时，，则，
所以的值域为．
故选：A．
7．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式.
【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增，
则由可得，利用函数的单调性可得；
又是定义在R上的奇函数，故；
当时，，则，因，则，
函数在上单调递增且，
则由可得，利用单调性可得.
综上可得，不等式的解集是.
故选：A.
8．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年 B．年
C．年 D．年
【答案】C
【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论.
【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，，
以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，
由，可得，
所以，，
所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据幂函数，指数函数，以及对数函数的性质，逐个判断选项即可.
【详解】对于A，幂函数单调递增，所以，故A正确；
对于B，若，则，，此时，故B错误；
对于C，函数单调递增，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：AC
10．设函数的定义域为，满足．当]时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为减函数
C．为奇函数 D．方程有且仅有6个实数解
【答案】ACD
【分析】由题意可得函数的对称性，从而可得其周期性，易知AC的正误，由二次函数的性质，可得B的正误，由零点的等价关系，作函数图象，可得D的正误.
【详解】由，则函数为奇函数，
即函数的图象关于点成中心对称，可得；
由，则函数为偶函数，
即函数的图象关于直线成轴对称，可得；
两式相加可得，则，即，
对于A，，故A正确；
对于B，由，则函数在区间与上图象相同，
由函数的图象关于点成中心对称，则函数在区间与上的单调性相同，，
当时，，易知函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；
对于C，由，则函数为奇函数，故C正确；
对于D，由题意作图如下：
则函数与有且仅有个交点，所以有且仅有6个实数，故D正确.
故选：ACD.
11．已知函数与交于两点，如图截取两函数在之间部分图象得到一条封闭曲线，则（ ）
A．关于直线对称
B．若点的横坐标为，则
C．上的点到直线距离的最大值为
D．是上互异的两点，分别过作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组
【答案】BCD
【分析】由反函数的性质即可判断A,D；通过赋值法即可判断B；由点到直线的距离公式及导数求函数单调性即可判断C.
【详解】对于A，由函数，得，
故函数与函数互为反函数，
所以封闭曲线关于直线对称，故A错误；
对于B，当时，，
当时，，
所以，
即点的横坐标为，且，故B正确；
对于C，设函数上一点，即，
则点到直线的距离为
，
令，则，
令，解得，
令，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，
故，故C正确；
对于D，因为封闭曲线关于直线对称，
所以对任意点，存在对称点，满足，
故由对称性导致存在无数对关联点，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知是偶函数，则的取值为 ．
【答案】
【分析】由题意得，代入解出即可.
【详解】由题意有，即，
所以，所以，
解得，解得，
故答案为：.
13．已知，则 ．（请用含的代数式表达）
【答案】
【分析】根据换底公式及对数的运算性质可得结果.
【详解】由题意得，.
故答案为：.
14．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得.
【详解】因为，所以或，
因为关于的方程共有5个不同的实数根．
所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点．
如图，的图象与直线有2个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】
（1）依题意，
原式；（6分）
（2）依题意，
原式（13分）
16．二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10
(1)求函数的解析式；
(2)设，当时，求函数的最小值.
【答案】
（1）二次函数有两实数根分别为0，4，所以，
所以，所以二次函数为，对称轴为，
当时，当时，最大值为，所以，所以当时函数解析式为，
当时，当时，最大值为，所以，所以当时函数解析式为. （6分）
（2）当时函数解析式为，开口向上，对称轴为，
当时，时，函数单调递减，当时，，（9分）
当时，时，函数单调递减，时，函数单调递增，当时，，（12分）
当时，时，函数单调递增，当时，；（15分）
17．已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求幂函数的表达式；
(2)令，求满足不等式的实数a的取值范围．
【答案】
（1）因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称；（4分）
当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意；
综上所述，. （6分）
（2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，（12分）
即，
所以满足的实数的取值范围为.（15分）
18．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)设函数；求的零点；
(3)求当时，函数的值域.
【答案】
（1）由题意知，代入得；
解得：
经检验，时为奇函数. （4分）
（2），
令得：，
综上的零点为. （9分）
（3）,
设，， （12分）
结合二次函数性质，对称轴，
当， （14分）
当时， （16分）
综上函数值域为. （17分）
19．已知函数的图象可由的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且．
(1)若函数，试判断在上的单调性，并求其在此区间上的值域；
(2)若函数与函数在上都单调，且具有相同的单调性，求实数的取值范围．
【答案】
（1）的图象向下平移2个单位长度后得到的表达式为，再向左平移1个单位长度后得到且，
又因为，即且且，所以．
法一：故，
因为在上单调递减，故在上单调递增，
又，故在区间上的值域为．
法二：，设任意，
，
所以，即在上单调递增，又，故在区间上的值域为． （6分）
（2）因为与函数在上都单调，且具有相同的单调性，
若两函数在区间上都是增函数，则在区间上恒成立，
可得，解得； （10分）
若两函数在区间上都是减函数，则在区间上恒成立，
可得，该不等式组无解； （15分）
综上所述，实数的取值范围为． （17分）中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数与基本初等函数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最小值为，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年 B．年
C．年 D．年
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．设函数的定义域为，满足．当]时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上为减函数
C．为奇函数 D．方程有且仅有6个实数解
11．已知函数与交于两点，如图截取两函数在之间部分图象得到一条封闭曲线，则（ ）
A．关于直线对称
B．若点的横坐标为，则
C．上的点到直线距离的最大值为
D．是上互异的两点，分别过作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知是偶函数，则的取值为 ．
13．已知，则 ．（请用含的代数式表达）
14．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．化简求值：
(1)；
(2).
16．二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10
(1)求函数的解析式；
(2)设，当时，求函数的最小值.
17．已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求幂函数的表达式；
(2)令，求满足不等式的实数a的取值范围．
18．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)设函数；求的零点；
(3)求当时，函数的值域.
19．已知函数的图象可由的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且．
(1)若函数，试判断在上的单调性，并求其在此区间上的值域；
(2)若函数与函数在上都单调，且具有相同的单调性，求实数的取值范围．
