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第六章 数列
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．11
2．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
3．若数列是等比数列，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．2
6．已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．在数列中，已知，设，则数列的前项和（ ）
A． B．
C． D．
8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ）
A．4052 B．4051 C．4050 D．4049
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
10．数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．已知正项数列满足 的前项和为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， D．，则的值有3种情况
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．记为数列的前n项和，若，求 ．
13．设等差数列，的前项和分别为，，，则 ．
14．在数列中，已知，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．（15分）
设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．（15分）
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
18．（17分）
设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
19．（17分）
已知正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足．求数列的前项和为；
(3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 数列
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【详解】由于6是t和2的等差中项，故，故，
故选：C
2．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
【答案】D
【详解】．
故选：D.
3．若数列是等比数列，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为数列是等比数列，
则，而.
则.
故选：B.
4．生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得将八进制数转换为十进制数，
则转换后的数为，
故选：C．
5．已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．2
【答案】C
【详解】由，所以数列是公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
6．已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设数列的公比为，由题意知，
由，解得，
所以，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得.
故选：A
7．在数列中，已知，设，则数列的前项和（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由得，，所以，
则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则，
所以，
所以，
故选：C．
8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（ ）
A．4052 B．4051 C．4050 D．4049
【答案】B
【详解】由，得，
所以数列为公差为2的等差数列，首项为，
，
则
，
，
又，当时，，故，
所以数列的前2025项之和为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
【答案】ABD
【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确；
对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确；
对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误；
对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确．
故选：ABD.
10．数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】CD
【详解】对于A，由得，，所以是递减数列，故A错误；
对于B，由得，数列是等差数列，
所以，
所以，故B错误；
对于C，令，即，解得，故C正确；
对于D，，对称轴为，
所以当或4时，取得最大值，故D正确；
故选：CD．
11．已知正项数列满足 的前项和为，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， D．，则的值有3种情况
【答案】ACD
【详解】对于A，由题意得且，
依次可得，，，，，，，，…，
则数列从第4项开始呈现周期为3的规律，可得，故A正确；
对于B，易得，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，若，则或；若，则或；
若，则，所以的值有3种情况，故D正确，
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．记为数列的前n项和，若，求 ．
【答案】64
【详解】由有，当时，得，
当时，，
所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，所以.
故答案为：.
13．设等差数列，的前项和分别为，，，则 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，
所以．
故答案为：.
14．在数列中，已知，，则 ．
【答案】
【详解】，，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列，，得．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，根据题意，当时，．（1分）
即，（2分）
解得．（4分）
所以．（5分）
（2）因为，所以，（7分）
方程两边都除以得．（9分）
所以．（11分）
于是．（13分）
16．（15分）
设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．（1分）
依题意得，（3分）
解得，则或．（4分）
又因为，所以，（5分）
解得，（7分）
故，．（9分）
（2）因为，所以，（10分）
则.（15分）
17．（15分）
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意知，（2分）
解得或，（4分）
当时，，，故，；（6分）
当时，，，故，
，（7分）
所以或；（8分）
（2）因为，所以.（9分）
因为，（10分）
所以，（11分）
两式相减得（12分）
，（14分）
故.（15分）
18．（17分）
设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【详解】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则（1分）
，即，①
则，②（3分）
②①得：，即，（5分）
可得，又，（6分）
是等比数列．（7分）
（2）由（1）知，（9分）
则．（10分）
（3）由，且，得，（11分）
当时，，当时，，
，（12分）
若，则，（13分）
若，则，可得，（14分）
因此数列的最大项为，（15分）
由，，得，（16分）
即，整理得，则，即，（17分）
的取值范围是．
19．（17分）
已知正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足．求数列的前项和为；
(3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知条件可知，对任意的，.
当时，，解得；（1分）
当时，由可得，（2分）
上述两式作差得，即，（3分）
即，（4分）
由已知条件可知，所以，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，.（5分）
（2）由（1）可得，（6分）
所以，.（8分）
（3）因为，所以①，（9分）
②，（10分）
③，（11分）
②①可得，②③可得，（12分）
又，（13分）
当时，，（14分）
当时，，
又因为，当时，，（15分）
当时，，（16分）
当时，，
对任意的，则恒成立，故.（17分）
