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重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 数列的单调性及其应用（★★★） 4
题型二 数列的周期性及其应用（★★★★） 5
题型三 的最值（★★★★） 5
题型四 的最值（★★★★★） 7
题型五 定义法求最值（★★★★） 8
题型六 函数法求最值（★★★★） 8
03 实战检测 分层突破验成效 9
检测Ⅰ组 重难知识巩固 9
检测Ⅱ组 创新能力提升 13
一、数列的概念及表示方式
1、数列的有关概念
数列 按一定次序排列的一列数叫做数列
项 数列中的每一个数叫做这个数列的项
首项 数列的第1项常称为首项
通项 数列中的第项叫做数列的通项
2、数列的表示
（1）一般形式：，，，…，，…
（2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。
3、数列的通项公式
（1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，
那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
二、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+
递减数列
常数列
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
三、数列的函数性质
1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。
3、判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：
数列是递增数列； 数列是递减数列；
数列是常数列．
（2）作商比较法：
ⅰ.当时，则 数列是递增数列； 数列是递减数列；
数列是常数列；
ⅱ.当时，则 数列是递减数列； 数列是递增数列；
数列是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：
写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
四、求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
五、由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
六、数列的通项an与前n项和Sn的关系
①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.
题型一 数列的单调性及其应用
【技巧通法·提分快招】
解决数列的单调性问题的方法 用作差或作商比较法，根据－an的符号或与1的关系判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
1．设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设无穷等比数列的公比是q，能说明命题“若存在正整数，当时，，则为递增数列”是假命题的一组，的值为 ， ．
5．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是 .
6．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
7．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列中，，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，证明：．
8．已知在数列中，，，，求证：
(1)是单调递减数列；
(2)对任意的，都有．
题型二 数列的周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
解决数列周期性问题的方法 （1）先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. （2）若an＋k＝an(k∈N*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
1．设数列满足：，，那么等于（ ）
A． B．2 C． D．
2．在数列中，若，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西榆林·二模）已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，则前40项和的最小值为 .
5．（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列满足，，，则的个位数字是 ．
6．（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为
题型三 的最值
【技巧通法·提分快招】
在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的首项为，若的前n项积，则（ ）
A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项
C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项
3．已知数列的通项公式为，若存在正常数，使得对一切都成立，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．23 B．12 C．20 D．
6．已知数列通项 ，那么数列最大项为 .
7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
题型四 的最值
【技巧通法·提分快招】
1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
1．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·云南昭通·月考）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列满足，且其前项和有最大值，则当数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（ ）
A．12 B．11 C．23 D．22
4．（2025·广东深圳·三模）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
6．设等差数列满足：且公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 ．
8．在等差数列中，，，则该数列的前 项的和最小．
9．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
10．（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 .
题型五 定义法求最值
1．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的通项公式是，数列最大项是 ．
3．已知数列的通项公式为，求数列的最大项．
4．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
题型六 函数法求最值
【技巧通法·提分快招】
解决数列的最大项与最小项问题的常用方法 （1）将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项及最小项. （2）通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项.
1．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B．的前项和中最小
C．使时的最大值为9 D．的最大值为0
4．设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 .
5．已知数列满足，则的最小值为 .
6．已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 .
7．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项.
8．若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A． B．0 C． D．2
2．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
3．（2025·福建厦门·三模）已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项
6．（2024·山西太原·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
7．（2025·湖北·一模）已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（ ）
A．27 B．26 C．25 D．24
8．（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
9．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
12．（23-24高三上·河南·期末）已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（23-24高三上·重庆·月考）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
14．已知递增数列的首项，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（多选题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·福建福州·期末）（多选题）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．为递增数列
B．为递减数列
C．当或时，的值最大
D．使得成立的的最大值是4038
17．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选题）已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项 B．数列中有最小项
C．若，则 D．若，，则取最小值时
18．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列 B．可能为常数列
C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则
19．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中的最小项为
20．（24-25高三下·重庆·月考）设正整数数列满足，则 ．
21．已知数列满足，，设，则的最小值为 .
22．（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 .
23．已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
25．已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
26．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，试求数列的最小项．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（ ）
A． B． C． D．
2．记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（ ）
A．为单调数列 B．为递增数列
C．有最大值 D．有最小值
3．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
4．已知数列满足，，则的最大值为（ ）
A．420 B．380 C．342 D．6
5．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若数列为常数列，则或
C．若数列为递增数列，则
D．当时，
6．（24-25高三下·湖南长沙·月考）（多选题）设数列满足，，其中为实数，数列的前项和是，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是等比数列
B．当，时，数列是递增数列
C．当，时，不存在使是周期数列
D．当，时，
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ．
8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
9．设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则
10．（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列满足，记的前n项和为，若，则 ；若，则 ．中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优01 数列的单调、周期、最值性质及其应用
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 数列的单调性及其应用（★★★） 4
题型二 数列的周期性及其应用（★★★★） 9
题型三 的最值（★★★★） 12
题型四 的最值（★★★★★） 16
题型五 定义法求最值（★★★★） 22
题型六 函数法求最值（★★★★） 24
03 实战检测 分层突破验成效 28
检测Ⅰ组 重难知识巩固 28
检测Ⅱ组 创新能力提升 42
一、数列的概念及表示方式
1、数列的有关概念
数列 按一定次序排列的一列数叫做数列
项 数列中的每一个数叫做这个数列的项
首项 数列的第1项常称为首项
通项 数列中的第项叫做数列的通项
2、数列的表示
（1）一般形式：，，，…，，…
（2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。
3、数列的通项公式
（1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，
那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
（2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
二、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+
递减数列
常数列
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
三、数列的函数性质
1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。
3、判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：
数列是递增数列； 数列是递减数列；
数列是常数列．
（2）作商比较法：
ⅰ.当时，则 数列是递增数列； 数列是递减数列；
数列是常数列；
ⅱ.当时，则 数列是递减数列； 数列是递增数列；
数列是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：
写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
四、求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
五、由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
六、数列的通项an与前n项和Sn的关系
①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.
题型一 数列的单调性及其应用
【技巧通法·提分快招】
解决数列的单调性问题的方法 用作差或作商比较法，根据－an的符号或与1的关系判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
1．设为等比数列，则“存在，使得”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据等比数列递增性质及特殊数列结合必要不充分条件定义判断即可.
【详解】当“为递增数列”，则“，使得”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的必要条件；
当，则，使得，但是“不为递增数列”，所以“存在，使得”是“为递增数列”的不充分条件；
故选：B.
2．数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由递增数列得，化简即可求的取值范围.
【详解】因为为递增数列，所以，
因为，所以，
化简可得，
因为在上单调递增，且恒大于0，
则在上单调递增，
则数列单调递增，因为，所以当时，，所以.
故选：A
3．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围.
【详解】由数列为递增数列，，得，由，
得，即，因此，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
整理得，而，
则，整理得，
因此，解得，所以的取值范围是.
故选：C
4．设无穷等比数列的公比是q，能说明命题“若存在正整数，当时，，则为递增数列”是假命题的一组，的值为 ， ．
【答案】 （答案不唯一）
（答案不唯一）
【分析】分析题干知道，我们需要找一组，的值，使得满足“存在正整数，当时，，但不是递增数列”.
【详解】要说明该命题为假命题，需要找到反例，即找一组，，使存在正整数，满足时，，但不是递增数列，
取，则等比数列通项公式为，
验证条件：由通项公式可得，， ，，，
可以发现当时，，即，满足存在正整数，当时，，
递增数列要求对任意的，都有，
，，满足条件，
但，，不满足条件，
不是递增数列，
故答案为：.
5．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】变形给定的递推公式，结合累加法求出，进而求出，再利用递减数列的定义列式并分离参数求解.
【详解】数列中，，则，，
即，
当时，
，也满足上式，因此，
，由数列是递减数列，得，，
即当时，，
整理得，
当或时，，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
6．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知数列是单调递增数列，则，得对任意恒成立，分离参数得，即求即可.
【详解】由有，所以，
由题知数列是单调递增数列，所以，
即对任意恒成立，所以，
即，当时，的最大值为，即.
故答案为：.
7．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列中，，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义得为等比数列，即可求解，
（2）根据作差法即可比较.
【详解】（1）由题意可得：，因为，，
所以，，
所以数列是首项为2公比为2的等比数列，
所以，解得：.
（2）由（1）知.
因为，所以数列各项为正的递减数列，
故，，
，
所以.
8．已知在数列中，，，，求证：
(1)是单调递减数列；
(2)对任意的，都有．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)为证明是单调递减数列，即，而=，只需证明任意，都有即可，用数学归纳法可证.
(2)由第一问以及题干可写出，再由递推得到，即可得到答案.
【详解】（1）（1），
当时，，
假设对于某个 成立，当时，
由于，所以，，所以，因此，
所以对任意，都有．于是，命题得证．
（2）（2）根据题意，有，
取倒数可得,又，
当时，有，
因此有，即．
题型二 数列的周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
解决数列周期性问题的方法 （1）先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. （2）若an＋k＝an(k∈N*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
1．设数列满足：，，那么等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据递推数列的规律可求出数列的周期，进而根据求出.
【详解】因为，设，
所以，，，
.
所以数列是以4为周期的周期数列.
所以，所以.
故选：A.
2．在数列中，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解.
【详解】因为且，
所以，
，
，
，
，
所以是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：A.
3．（2025·陕西榆林·二模）已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，计算出、的值，结合数列的周期性可求得数列的前项的和.
【详解】由，得，
所以，，
故数列是以为周期的周期数列，
又，，且，
则此数列前项的和．
故选：D.
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，则前40项和的最小值为 .
【答案】60
【分析】令，根据已知递推关系得，，，，，进而确定周期性，再应用周期性和基本不等式求的最小值.
【详解】当为奇数时，；当为偶数时，；
令，则，，，，，
所以是周期为4的数列，且，
当且仅当时取等号，则.
所以的最小值为60.
故答案为：60
5．（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列满足，，，则的个位数字是 ．
【答案】
【分析】设数列各项的个位数字构成数列，利用列举法可得出数列是周期为的周期数列，即可得解.
【详解】设数列各项的个位数字构成数列，
因为斐波那契数列满足，，，
则，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
由上可知，，即数列是周期为的周期数列，
因为，故的个位数字是.
故答案为：.
6．（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为
【答案】
【分析】题目等价于要求满足使得数列从第项开始为固定的常数的最小正整数，依题，可考虑从，，时，分别求得关于数列的项的等式，分析讨论是否满足题意，进行取舍即可.
【详解】由已知，，
①若，则，
因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列，
所以或，
若，则与矛盾；若，则，均不符合题意，故；
②若，则，与①同理，可得或，
由①分析知，故考虑，同理或，
由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即；
③若，则，与①同理，可得或，
由②知，，故考虑，同理，或，
若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立；
若，同理，或，
由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意.
故，此时数列为2024，1288，552，184，184，.
故答案为：4.
题型三 的最值
【技巧通法·提分快招】
在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解．
【详解】当时，，令，得：，
解得：或，因此可知：；
又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．
当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，
因为是中唯一的最小项，所以，且，
解得，且，
即．
故选：B
2．已知数列的首项为，若的前n项积，则（ ）
A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项
C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】由与关系可得，化简可得，从而得即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，则．
又，所以是首项为3，公差为1的等差数列，
所以，故，
所以是递增数列，故有最小项，无最大项．
故选:B
3．已知数列的通项公式为，若存在正常数，使得对一切都成立，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】令，判断的单调性即可.
【详解】令，
则，
所以单调递减，．
故选：C．
4．（2025·辽宁·一模）已知在数列中，，则的前项中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数是减函数，结合递推公式分析即可得解.
【详解】因为，所以函数是减函数，
因为，所以，即，
由函数是减函数，，
得，即，
由函数是减函数，，
得，即，
由函数是减函数，，
得，即，
以此类推，可知数列的最大项为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据指数函数是减函数，结合递推公式类推，是解决本题的关系.
5．已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．23 B．12 C．20 D．
【答案】D
【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】由题意可知：，
当时，；
当时，，
两式相减可得：，整理得：，
所以，或，
当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大，
此时，解得，此时；
当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大，
此时，解得，此时；
综上所述：的最大值为.
故选：D.
6．已知数列通项 ，那么数列最大项为 .
【答案】147
【分析】先构造函数，求出导函数根据正负得出单调性进而得出极大值，计算比较即可求解.
【详解】构造辅助连续函数 ，
求导得，
单调递增；单调递减；
所以在 处取得函数的极大值即最大值.
比较和 时的值：，
故最大项为 .
故答案为：147.
7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项求出，再利用前项和与第项的关系求出.
（2）由（1）求出，再作差判断单调性求出最小值.
【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则，
当时，，由，得满足上式，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，则，
当，时，，当，时，，
所以当时，的最小值为.
题型四 的最值
【技巧通法·提分快招】
1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
1．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式和性质求得，再利用等差数列求和公式和二次函数即可求出其最值.
【详解】假设等差数列的公差为，由得,
所以，所以，故，
则
则．
故选：C．
2．（24-25高三下·云南昭通·月考）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得到，由得到，即可求解；
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，即中最小的项是，
故选：C.
3．设等差数列满足，且其前项和有最大值，则当数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（ ）
A．12 B．11 C．23 D．22
【答案】B
【分析】由数列前项和有最大值，可得该等差数列为递减数列，得到，即可根据邻项变号法判断.
【详解】因为数列的前项和有最大值，所以，
由，所以，，
故当时，前项和最大.
故选：B．
4．（2025·广东深圳·三模）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系.
【详解】若，这意味着是数列中的最小值.
因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线.
当是最小值时，说明从第项开始数列的项变为正数，即，且.
所以由“”可以推出“”，充分性成立.
若，仅知道第项是非正的，但无法确定就是的最小值.
例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：C
5．（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】B
【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】由已知可得，
的公差为，故，
故，
令，又，所以，故n的最大值为41，
验证，，
所以n的最大值为41.
故选：B.
6．设等差数列满足：且公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的三角恒等变换化简已知的等式，根据公差的范围求出公差的值，代入前项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项取值范围．
【详解】，
，
即，
即，
即，
即，
所以，
，.
，
则.
由.
对称轴方程为，
由题意当且仅当时，数列的前项利取得最大值，
，解得：.
首项的取值范围是.
故选：D.
7．等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解.
【详解】令等差数列公差为，由，得，
则，解得，，
显然数列是递减数列，由，得，即数列前6项都为正，从第7项起为负，
所以最大时，的值是6.
故答案为：6
8．在等差数列中，，，则该数列的前 项的和最小．
【答案】10或11．
【分析】根据，得，得是首项为负数的递增数列，求出，令，求出，即可得到答案.
【详解】因为，所以，其中为公差，
所以，所以．
所以是首项为负数的递增数列，
则有．
令，则，
所以，所以当或11时，有最小值．
故答案为：10或11.
9．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
【答案】5
【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值.
【详解】，，且，
是以为首项, 为公比的等比数列.
, .
,
，即，
, ,
的最大值是.
故答案为：5.
10．（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 .
【答案】6
【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
所以等差数列的前项和为，
则，
，，
所以数列是等差数列，公差为.
因为，所以数列单调递减，
所以，即，所以等差数列单调递减.
因为数列单调递减，所以，
因为，
，所以.
因为等差数列单调递减，且，所以，
所以当时，取最大值.
故答案为：6
题型五 定义法求最值
1．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件说明，再假设数列的第项最小，，，列不等式求其解，可得结论.
【详解】因为，故，，所以，
假设数列的第项最小，，，
则，故，
所以，
所以，即数列的前项中最小项是，
故选：D.
2．已知数列的通项公式是，数列最大项是 ．
【答案】
【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项.
【详解】，
，，
取最大值，有，
，解得：，
当时，；当时，；
所以最大项为，且.
故答案为：.
3．已知数列的通项公式为，求数列的最大项．
【答案】最大项为．
【分析】法一：用作差法判断数列的单调性，找到最大项；
法二：空前绝后法得到数列的最大项.
【详解】法一：．
当时，；当时，．
因此，
所以数列的最大项为．
法二：设数列的最大项为，则，即，解得，
因为，所以，故数列的最大项为．
4．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式．
（2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围．
【详解】（1），则当时，，
当时，，不符合，
所以．
（2）因为，，所以，．
令，则，
当时，不妨设的第n项的值最小，
只需令，
解得，
又，
所以的最小值为，
所以，即的取值范围是．
题型六 函数法求最值
【技巧通法·提分快招】
解决数列的最大项与最小项问题的常用方法 （1）将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项及最小项. （2）通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项.
1．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
2．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，由，解得，
所以，，
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，
故，，，
故选：D．
3．（多选题）等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B．的前项和中最小
C．使时的最大值为9 D．的最大值为0
【答案】BC
【分析】根据等差数列前和基本量的计算求出通项公式和前和公式，代入计算判断A，结合二次函数求解的最小值判断B，解不等式判断C，求出的通项公式，利用数列的单调性求解最值判断D.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，
所以，.
对于A，，错误；
对于B，因为，所以当时，有最小值，正确；
对于C，若，则，又，所以的最大值为9，正确；
对于D，因为，所以数列为关于的单调递增数列，所以没有最大值，错误.
故选：BC.
4．设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 .
【答案】
【分析】由可得，则得，再由，可得当取最大值时的值.
【详解】等差数列中，
∵，∴，解得，
则
，
因为，所以当取最大值时，.
故答案为：.
5．已知数列满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据数列的知识以及基本不等式求得正确答案.
【详解】，但没有正整数解，
所以等号不等成立，，
，
所以的最小值为.
故答案为：
6．已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用数列单调性定义列式求解得到答案.
【详解】由数列为严格增数列，
得，，
因此，，而数列为严格减数列，
所以，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
7．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项.
【答案】2和3
【分析】结合对勾函数的单调性求解即可.
【详解】
在上单调递减，单调递增，
且故该数列的最大项是第二项和第三项.
故答案为：2和3
8．若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ．
【答案】0
【分析】根据二次函数、指数函数的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，，，
令，解得或，即，
根据二次函数与指数函数的图象和性质可知：
在内指数函数在二次函数图象下方，即在内，
当时，,所以在或处最大值为0．
故答案为：
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
【分析】根据数列的单调性求解.
【详解】.
当时，函数单调递减，
则当时，数列单调递减，
所以中的项最大为.
故选：D.
2．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】B
【分析】把等差数列的前n项和设为二次函数，利用二次函数的对称性可求最值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
令，因为，所以，
所以二次函数的图象关于直线对称．
又因为，可得，所以当取得最小值时，．
故选：B
3．（2025·福建厦门·三模）已知数列是首项和公比均大于0的无穷等比数列，设甲：为递增数列；乙：存在正整数，当时，，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】由递增数列的性质结合等比数列的通项可得充分性成立，再举反例，可得必要性不成立.
【详解】若为递增数列，则，即，即，则公比，为指数型递增数列，易得存在正整数，当时，.充分性成立；
不妨设，此时不是递增数列，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用递推公式写出数列的前项的值，可知数列是周期为的周期数列，结合数列的周期性可求得的值.
【详解】在数列中，，，则，
，，，
以此类推可知，对任意的，，
因为，所以，.
故选：C.
5．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项
【答案】A
【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可．
【详解】令，因为，所以当时，
而，
所以当时，即时，取最大值；
因为，且，，因为，所以距离最近，
所以当，即时，取最小值；
所以该数列既有最大项又有最小项，
故选：A．
6．（2024·山西太原·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
【答案】B
【分析】利用与的关系得，再利用累乘法求出，即可求出结果.
【详解】解：由，当时，得，
两式相减并整理得，则
，,即，，
又因为，所以，，
当时也满足上式，所以，，
则，，显然随的增大而增大，
又，，的最大值为17.
故选：B.
7．（2025·湖北·一模）已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（ ）
A．27 B．26 C．25 D．24
【答案】C
【分析】根据题意有且，根据递推公式有，两式相减有得，即数列是周期为3的周期数列，根据条件③即可求解.
【详解】依题意且，则，
相减得，故，
因为，所以，故
故数列是周期为3的数列，由，及可得，
所以
，
故选：C.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项.
【详解】因为中，，
当时，；
当时，，用代替得：，
两式相减得：.
又，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.
所以，
由或.
所以数列中，有：，即数列中，最大，且.
故选：B
9．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系利用迭代法（累加法）求出，可得，再利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】由，得，
所以
，，
显然满足上式，则，所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，且，
所以当时，取最小值.
故选：B.
10．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项.
【详解】因为
所以当，即时，，所以.
当，即时，，所以.
且时，数列为递减数列，
所以该数列的前50项中最大项是.
故选：C
11．（24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解.
【详解】数列的通项公式为，则
，
由，，解得，而,
因此当时，，即，当时，，
即，
所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，.
故选：C
12．（23-24高三上·河南·期末）已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解.
【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列，
即，，
整理得，
令，则，，
所以数列单调递减，故是数列的最大项，
则的取值范围为，故C正确.
故选：C．
13．（23-24高三上·重庆·月考）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
【答案】B
【分析】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可.
【详解】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故，
令，即，
解得，，故，即第九项最大.
故选：B.
14．已知递增数列的首项，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，，由与关系可得，据此可得，然后由可得答案.
【详解】由已知，，得，
当时，有.
两式相减可得：，即，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
即，因为，
所以
.
当为奇数时，可得；
当为偶数时，可得；
综上可得.
故选：C．
15．（多选题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据数列的性质依次判断各个选项是否正确即可.
【详解】由，故，A错误；
，即为递减数列，故，B正确；
，故，C正确；，
当且仅当时，等号成立，故，D正确；
故选：BCD
16．（24-25高三上·福建福州·期末）（多选题）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．为递增数列
B．为递减数列
C．当或时，的值最大
D．使得成立的的最大值是4038
【答案】BC
【分析】通过已知条件来分析数列的单调性，分析数列项的正负来得到前项和的最值情况即可.
【详解】已知为等差数列的前项和，且.
根据等差数列前项和公式，那么.
.
因为是等差数列，若设公差为，则.
这11项的和，所以.
又因为，，可得.
所以是首项大于，公差小于的数列，即为递减数列，A选项错误，B选项正确.
由于，，且.则，，，，
那么当或时，的值最大，C选项正确.
根据等差数列前项和公式.
（因为）.
，因为，，所以.
所以使得成立的的最大值是，选项错误.
故选：BC.
17．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选题）已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项 B．数列中有最小项
C．若，则 D．若，，则取最小值时
【答案】BC
【分析】AB选项，根据首项和公差即可判断最大项及是否有最值；结合等差数列前n项和性质来判断CD选项.
【详解】对于A，因为，且，故中无最大项，A错误；
对于B，，，故，，，则为中的最小项（当时，，均为中的最小项），B正确；
对于C，若，则可知，，即，则可知，故，C正确；
对于D，，则可知，则，又，则可知，则，即，故，故最小，D错误.
故选：BC.
18．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列 B．可能为常数列
C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则
【答案】ABC
【分析】对于A，利用与的关系求出数列通项，再根据等差数列的定义判断即得；对于B，根据A项结论，取即可推得；对于C，通过作差判断易得；对于D，利用和条件，判断，由对的分析即可求得即可.
【详解】对于A，因为，所以当时，；
当时，．
显然当时，上式也成立，所以．
当时，因为，
所以是以为公差的等差数列，故A正确；
对于B，当时，为常数列，故B正确；
对于C，若为递增数列，则，即，故C正确；
对于D，若为递增数列，由可得，
由，需使，
即，因，故可得，解得，故，即D错误．
故选：ABC.
19．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中的最小项为
【答案】ACD
【分析】利用等差数列及，判断出、、，再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可.
【详解】若，则，，故，
所以，即等差数列是递减数列，
A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对；
B：由，，则，，
所以成立的最小自然数，错；
C：，则，对；
D：当或时，，当时，，
由，，所以数列中的最小项为，对.
故选：ACD
20．（24-25高三下·重庆·月考）设正整数数列满足，则 ．
【答案】3
【分析】由已知得出，再结合得出数列是周期为3的周期数列，即可求解．
【详解】因为正整数数列满足①，，
所以，则或，
由题意得②，
①②得，，即数列是周期为3的周期数列，
所以，
故答案为：3．
21．已知数列满足，，设，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值.
【详解】由，得，而，则，
因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，
，
注意到离函数对称轴最近2个整数为和3，
又，所以当时，取得最小值.
故答案为：
22．（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．
【详解】因为点在直线上，所以，所以，
所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以，
当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足，
所以满足条件的和，因为，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
23．已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
【答案】有，为第2项和第3项，．
【分析】建立不等式组解不等式即可.
【详解】根据题意，令，
即，解得．
又，则或．
故数列有最大项，为第2项和第3项，且．
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）利用的关系，将转化，整理即可得证；
（2）根据（1）中结论，求出的通项，结合已知可得所求；
（3）根据通项公式即可得解.
【详解】（1）因为，所以，故，
又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
当时，，
而时，不满足上式，
所以.
（3）由（2）知，当时，，
又，所以的最大值为.
25．已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项是该数列的第几项．
【答案】(1)
(2)第项
【分析】（1）根据求通项即可；
（2）根据得到，然后列不等式求最大项即可.
【详解】（1）当时，，不满足上式，
当时，，
故数列的通项公式为.
（2）由已知得，
当时，，
则，即，
得， 即，
所以当，的最大项为第7项，
又，
所以数列的最大项是该数列的第项.
26．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，试求数列的最小项．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在时，将代入数列递推式，化简得，利用等差数列的定义即可证明；
（2）利用（1）可得，求出，利用作差比较法求得，根据差值函数在正整数集上的增减性即可求得最小项.
【详解】（1）当时，，将其代入，
整理得：，因，则，故，
其中，故，故数列为首项是1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可得，即得.
则，
当时，，即有；
当时，，即有；
可得数列的最小项为.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可得，将数列中每项除的余数一一列举，找出余数的周期性，进而可求得结果.
【详解】当且时，蜜蜂到达第号蜂房，可以从第号蜂房到达第号蜂房，
也可从第号蜂房到达第号蜂房，所以，，且，，
所以，，，，，，，，，
，，，，，，，
，，
所以，中每项除的余数依次为：、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，
发现余数的周期是，而，因此，被除的余数为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是列举出每项除的余数，结合周期性求解.
2．记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（ ）
A．为单调数列 B．为递增数列
C．有最大值 D．有最小值
【答案】D
【分析】由，可得或，然后逐项讨论.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，且或，
即或.
当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误；
因为，所以，
所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误；
又，且，
①当时，由于，
则，，
所以有最小值，最大值；
②当时，，
所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值；
综上所述，有最小值，C错误，D正确．
故选：D.
3．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．22 C．26 D．31
【答案】B
【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解.
【详解】因为，所以互为相反数，不妨设，
要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知，满足，取的最小值为，
则满足，因为，故取的最小值，
满足，因为，，故取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
满足，取的最小值，
满足，因为，所以，取的最小值，
满足，因为，所以，取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22．
故选：B．
4．已知数列满足，，则的最大值为（ ）
A．420 B．380 C．342 D．6
【答案】A
【分析】条件可变形为①，将代入递推公式可得或；当时，②. ①-②化简变形可得或.当时，或；
当时，，故数列是以为首项，公差为2的等差数列.由等差数列通项公式可得，再利用累加法即可求解.
【详解】，①.
当时，，解得或.
当时，②.
①-②得，
或.
当时，或；
当时，，
∴数列是以为首项，公差为2的等差数列.
要使取得最大值，则，，
由等差数列通项公式可得.
，，，…，，
以上式子相加得
，
.
故的最大值为420.
故选：A.
【点睛】本题考查求数列通项公式与数列求和，解题关键是当时，两条件式作差变形后可得或.对第二种情况变形后利用等差数列通项公式与累加法即可求解.
5．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若数列为常数列，则或
C．若数列为递增数列，则
D．当时，
【答案】ABD
【分析】令可得，据此判断A，令，由递推关系求出即可判断B，根据B及条件数列为递增数列，分类讨论求出或时判断C，通过对取对数，构造等比数列求解即可判断D.
【详解】对于A，当时，，
令，则，，故，
即，故A正确；
对于B，若数列为常数列，令，则，解得或，
或，故B正确；
对于C，令，则，
若数列为递增数列，则数列为递增数列，
则，解得或，
当时，，且，
，此时数列为递增数列，即数列为递增数列；
当时，，且，
，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列；
当时，，
，此时数列为递增数列，即数列为递增数列.
综上所述，当或，即或时，数列为递增数列，故C错误；
对于D，令，则，，
则，，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
，即，故D正确.
故选：ABD.
6．（24-25高三下·湖南长沙·月考）（多选题）设数列满足，，其中为实数，数列的前项和是，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则是等比数列
B．当，时，数列是递增数列
C．当，时，不存在使是周期数列
D．当，时，
【答案】AD
【分析】利用对数的运算性质结合等比数列的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断B选项；由得出，令，结合零点存在定理可判断C选项；推导出，进而可得出，然后利用放缩法结合等比数列求和公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，且,故,
所以，且，
所以，是首项为，公比为的等比数列，即A选项正确；
对于B选项，当时，函数在上单调递增，
因为，所以，则，
同理，依次类推可得，即一定是递减数列，故B不成立；
对于C选项，当时，，则，所以，
由，
令，因为，，所以存在零点，
即存在使是周期数列，即C选项错误；
对于D选项，当时，，，
因为，则，则，
假设，其中，由于函数在上为增函数，
所以，即，
由归纳原理可知，对任意的，所以，
所以，，
所以，则，
所以，
因为时，，所以，即D正确.
故选：AD．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用关系得，且得，结合数列的单调性求参数范围.
【详解】由题设，
又各项均不为零，则，
由，则，
又为递增数列，则，
而，即，则，
综上，，即的取值范围是.
故答案为：
8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值.
【详解】由，得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，故，
令，则，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以的最小值为6．
故答案为：6
9．设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则 ；数列的前项和为，则
【答案】 16 219
【分析】列举出数列的各项，则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，得，分类讨论为或不为6的整数倍，求出对应的，即可求出；结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解.
【详解】由，且得，
，
所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，
当为6的整数倍时，；
当不为6的整数倍时，，所以；
当时，
，
故．
故答案为：16；219
10．（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列满足，记的前n项和为，若，则 ；若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，当时，得到数列是以为周期的周期数列，进而求得的值，当时，得到，进而求得的值.
【详解】由知数列满足，记的前项和为，
若，，
则，，
所以数列是以为周期的周期数列，一个周期的和为，
所以.
当时，，
，
，
因为时，可得，则以三个为一组循环，
且，
则
.
故答案为：99，.
【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于，分析数列的前若干项，得到其具有周期性质，再利用分组求和法即可得解.
