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重难点培优01 复合函数及嵌套函数的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 复合函数的单调性及参数问题（★★★★★） 3
题型二 复合函数的最值（值域）及参数问题（★★★★） 5
题型三 复合函数的奇偶性及参数问题（★★★★） 9
题型四 与复合函数有关的不等式问题（★★★★★） 12
题型五 内外自复合型的零点问题（★★★★） 15
题型六 内外双函数复合型的零点问题（★★★★） 22
题型七 二次型因式分解型的零点问题（★★★★★） 26
03 实战检测 分层突破验成效 30
检测Ⅰ组 重难知识巩固 30
检测Ⅱ组 创新能力提升 47
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
3、常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
4、奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
题型一 复合函数的单调性及参数问题
【技巧通法·提分快招】
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增增增增减减
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.
【详解】函数中，，解得，
又的开口向下，对称轴方程为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是.
故选：A.
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.
【详解】，
由题意单调递减，且，
则，解得，，
所以的单调递减区间是.
故选：D.
4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由，可得或，
即函数的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
.
故选：D.
5．（24-25高三上·河南·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性法则求解即可.
【详解】函数在上单调递增，
而函数在区间上单调递增，
则有函数 在区间 上恒为正数且单调递增，
因此 ，
解得 ，
实数的取值范围是 .
故选：C.
6．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
题型二 复合函数的最值（值域）及参数问题
【技巧通法·提分快招】
复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
1．函数的定义域 值域分别是（ ）
A．
B．
C．，且
D．，且
【答案】C
【分析】直接求出函数定义域，再求复合函数值域.
【详解】要使有意义，只需有意义，即.
令，则.
又，
函数的定义域为，值域为，且.
故选：C
2．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可．
【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，
则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．
当时，显然不成立，
所以，当时，则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可.
【详解】因为，令，所以；
令函数的值域为，因为，
所以，所以必须能取到上的所有值，
，解得.
故选：B
4．（24-25高三上·河南焦作·月考）若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
又，，故，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D.
5．已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解.
【详解】，
由，则，
当时，则，
则，
由任意的，均存在，使得，
则有，即.
故选：C.
6．函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据真数的取值范围及对数函数的单调性得出值域.
【详解】由，
可得，
所以函数的值域为，
故答案为：
7．函数的值域是 .
【答案】
【分析】应用换元法结合指数函数值域及二次函数求值域即可.
【详解】令，则，
当且仅当“”取等号，即原函数的值域为.
故答案为：.
8．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围.
【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含，
因此，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
题型三 复合函数的奇偶性及参数问题
【技巧通法·提分快招】
函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称
1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令，利用奇函数的定义计算可判断B，令，利用奇函数的定义计算可判断D.
【详解】因为，
对于A，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故A错误；
对于B，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，所以B正确；
对于C，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故C错误；
对于D，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，
所以不是奇函数，所以D不正确；
故选：B.
2．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由奇函数的性质和导数逐一判断即可.
【详解】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为，
又，所以为减函数，故A错误；
对于B，，，
二者不相等，所以不是奇函数，故B错误；
对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，定义域为，
，为奇函数；
，为增函数，故D正确.
故选：D
3．（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意知：，
则，
化简为，则，解得．
故选：A．
4．（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.
【详解】首先：，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD.
又，故排除B.
故选：A
5．（24-25高三下·天津南开·月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增，且曲线存在对称轴
B．在上单调递增，且曲线存在对称中心
C．在上单调递减，且曲线存在对称轴
D．在上单调递减，且曲线存在对称中心
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.
【详解】令，得，解得，可知的定义域是，
因为，
且在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数，
又因为，即，
所以是奇函数，曲线存在对称中心，即B选项正确.
故选：B.
题型四 与复合函数有关的不等式问题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果.
【详解】，
∴
故选：A.
2．（2025·浙江嘉兴·三模）关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用在上为增函数，由得，再由对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为在上为增函数，由有，
又在上为增函数，，，
故选：D.
3．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数单调性及不等式恒成立，将问题化为在上恒成立，即可求参数范围.
【详解】由题设，即，则对任意恒成立，
所以在上恒成立，只需，
对于，其在上单调递增，则，所以.
故选：C
4．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由，易知其定义域为，
由
，则函数为偶函数，
，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
整理可得，分解因式可得，
解得.
故选：A
5．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可.
【详解】因为，，所以为奇函数.
又，
当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增.
由，所以，所以.
对任意，由，得，所以只需即可.
令，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以.
故选：D.
6．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得在区间上，在区间上，在区间上，在区间上，可得或，求解即可.
【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则，
又由在上单调递增，且，
则在上为增函数，且，
则在区间上，在区间上，
在区间上，在区间上，
不等式或，
所以或，
所以或，
所以或，
解得：或或
即不等式的解集为
故选：D.
题型五 内外自复合型的零点问题
1．已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将函数的零点个数问题转化为方程的解的个数，解方程即可.
【详解】对于，令，由得或，解得或．
所以或，
当时，或，解得或．
当时，或，解得（舍）或．
所以函数的零点为或或，
故选：C.
2．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案.
【详解】设，则化为，
又，
所以，，
作出函数的大致图象，如图
由图可得，当时，有两个根，，
即或，此时方程最多有5个根；
当时，有三个根，
即或或，
此时方程最多有6个根；
当时，有两个根，即或，
此时方程有4个根；
当时，有一个根，即，
此时方程有2个根；
综上，方程的实数解的个数至多是6个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】的对称轴为，分类讨论当时和当时，分别作出函数的图象，借助图象判断根的个数，或列出恰有三个根的条件即可求解.
【详解】由题意知，的对称轴为，
当即时，的图象如图1，此时令，可得，
观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；
当即时，的图象如图2，此时令，可得或，
因为和均为的根，
所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，．
当时，的对称轴为，
则，解得，
故．
综上，的取值范围为．
故选：A.
4．已知函数，则方程的根的个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式，可求出所有的根.
【详解】设，由方程.
若，则.
再由，若，则或；若，则或.
若，则或.
再由，若，则，无解；若，则或；
由，若，则，无解；若，则或.
综上可知，方程有8个根.
故选：B
【点睛】方法点睛：分段函数的问题一般要分段解决.
5．已知函数（），函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况
【详解】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于．
求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况
对于函数，易知当时，，，
故曲线在点处的切线方程为，
因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线，
数形结合判断曲线和的交点情况）
求方程的根，并判断该根的大致范围：
将代入，得，
则，令，得或，
故当时，，与无交点，
作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知，
方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解．
易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解．
又当时，，所以无解，显然有2个解，
所以函数有2个零点，
故选：B．
6．若函数，且关于的方程恰有3个不等实数根，则 .
【答案】或
【分析】分类讨论的符号，讨论一元二次方程根的个数.
【详解】设.
则，故或.
因为方程恰有3个根，就是方程和共有3个根.
当只有1个根，即只有1个根，则或.
若，则方程即有两根：或，此时，方程共有3个根；
若，则方程即无解；
当只有1个根，即只有1个根，则或.
当时，方程即无解；
当时，方程即有两解：，此时原方程有3个根.
综上，当或时，方程恰有3个根.
故答案为：或
7．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数，则函数的零点个数是 .
【答案】112
【分析】作出的图象，换元后，先考虑方程根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数.
【详解】作出的图象，如图，
令，考虑方程的根，由图象可知有16个根，
分别设为，由图象知，
，
再考虑，分别作出直线，
可知原函数共有零点个.
故答案为：112
【点睛】关键点点睛：本题的关键点一个是作出函数的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程的根的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数.
题型六 内外双函数复合型的零点问题
【技巧通法·提分快招】
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
【答案】B
【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案.
【详解】结合函数图象可知中，令，则，故，
结合图象可知，的根为0，有2个根，无解；
故有3个解，故；
中，令，则有2个根，不妨设，
当，即，此时有2个解，
当，即，此时有2个解，
故有4个解，即，
综上，.
故选：B
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
2．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
3．已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过换元，得出方程的根的情况，再把问题转换为二次函数根的分布问题即可求解.
【详解】当时，（时等号成立），
当时，在单调递减且，
的图像如图所示，
令，，即，
由有个不等解知，
一根，另一根，
根据韦达定理，，，
则，，，
由，所以.
故选：B.
4．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解；
当时，有4个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，即 ，解得，
有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，无解，舍去，
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5．已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是 .
【答案】0
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再求出其零点即可.
【详解】令，由函数为上的单调函数，且，，得为常数，
则，且，于是，又函数在上单调递增，且，
因此，即，由，得，
所以函数的零点是0.
故答案为：0
6．已知函数，，则函数的零点个数为 个．
【答案】
【分析】令，得，再令，根据的解析式再分类讨论，即可求出，即或或，再画出的图象，数形结合即可求解.
【详解】令，得，
令，得或，
解得或或，
所以或或，
作出函数图象，如图所示：
由图象可知有个解，有个解，有个解，
所以共有个零点.
故答案为：.
题型七 二次型因式分解型的零点问题
1．（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解.
【详解】由题意，令，解得或，
作出的图象，如图，
由图可知，直线与图象有3个交点，
直线与图象有4个交点，
所以原方程有7个解，
即函数有7个零点.
故选：C
2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据单调性的定义得到的范围，接着将看作一个整体，然后结合一元二次方程求解出的值，然后结合的值域求解出的范围.
【详解】由题意可知：为单调函数，
当时，单调递减;
故当时，也是单调递减，故
要确保在R上单调递减，则，
解得：，
所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为
当时，，
又在上单调递减，，
所以，
即在上的值域为
令，则或3，
即或，
要使得有4个不同的实数解，
则，
解得：
综上，实数a的取值范围为：，即
故选：C.
3．已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可.
【详解】函数的部分图象如图所示.
由方程，解得或.
当时，有5个实根，当时，有6个实根，
故方程的实根个数为11.
故选：C.
4．（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围.
【详解】令，则方程可转化为.
对进行因式分解可得，则，.
所以或.
当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且.
当时，，对其求导，.
令，即，解得（）.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得极小值，也是最小值，.
对于：
当时，，即，，解得，有个根.
因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根.
结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根.
的取值范围为.
故选：B.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】由且，得，即或，
所以函数的定义域为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解.
【详解】令，，易知是减函数，
因为，又在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，
则函数的最大值是，
故选：C.
3．（24-25高三下·江苏南通·月考）若函数为奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由求出的值，再根据验证即可.
【详解】由题得，解得：.
所以，
，符合题意.
所以.
故选：D
4．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据的解析式得到的定义域和奇偶性，再根据的取值情况得到符合题意的选项．
【详解】由已知，定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B,C；
又，故D错误，A正确．
故选：A．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可.
【详解】设的值域分别为，
当时，则，可得；
因为的值域为，可知，
则，且，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6．（24-25高三上·江苏徐州·月考）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由增函数结合函数在区间上单调递增得函数在区间上单调递增，再由一元二次函数图像性质即可求解.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
7．已知，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，将不等式转化为一元二次不等式在闭区间恒成立求解.
【详解】依题意，，令，
当时，，不等式，
则恒成立，当时，成立，；
当时，，函数在上单调递减，
当时，，因此；
当时，，而，
当且仅当时取等号，因此，
所以的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：换元，把不等式转化为闭区间上的一元二次不等式问题求解.
8．（24-25高三下·重庆·月考）已知函数被称为双曲余弦函数，则函数的零点在下列哪个区间中 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用基本不等式求出的范围，再令，求出的值，进而可得出答案.
【详解】，
当且仅当，即时取等号，
令，解得或（舍去），
由，得，
所以函数有唯一零点，
即函数的零点在区间上.
故选：C.
9．（24-25高三上·江西新余·月考）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：( ).
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简，再设，将问题转化为和的交点问题，数形结合得到其交点的范围，再次数形结合即可得解.
【详解】因为
，
令，，则换元整理为，
作出图像和在上的大致图象，
由图可知两函数在定义域内有两交点，
即方程在定义域内有2个实根分别为，，
再作出的图像，用和与之相交，共有8个实根.
故选：D.
10．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解.
【详解】由得，解得或，
画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，）
故选：D.
11．已知，则方程实数根的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由方程先求出或或，再解方程即可．
【详解】解：①当时，
，
解得，，
或，
或，
故或；
②若，则，
或，
或，
若，则或，
则或或；
若，则或，
则（舍去）或或，
综上所述，方程实数根的个数是7，
故选：C．
12．（24-25高三下·山西吕梁·月考）若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案.
【详解】，，是方程的两根，
由，得或，
即的根为或的解．
∵根据题意画图：
，
由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.
13．（24-25高三下·江西·月考）已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为图象交点问题，从而结合图象即可得解.
【详解】画出函数的图象，如图所示，
设，则原方程可化为，解得或．
由图可知当时，有2个根．
因为原方程有4个不同的实数根，则有2个根，
所以或或，
解得或或，则实数的取值范围为.
故选：D.
14．（24-25高三上·黑龙江大庆·月考）已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由，解得或，再对函数解析式分段讨论解方程即可．特别注意依据时函数的范围确定的范围.
【详解】由，解得：或，
又，
若，
当时，，即，所以，所以；
当时，，而当时，此种情况无解；
若，
当时，或，即或；
当时，
当，则，满足题设；
当，根据对称性及时知，，故此种情况无解；
综上所述：的实数根个数为4个，分别是.
故选：B．
15．为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出函数，的图象，数形结合对分类讨论可得结果.
【详解】画出函数，的图象，的零点个数即为方程的根的个数，设，则，
（1）当时，无实数根，则无实数根；
（2）当时，有两个实数根，其中，，有一个实数根，无实数根，所以共有1个实数根；
（3）当时，有三个实数根，，，其中，，，有一个实数根，有一个实数根，无实数根，所以共有2个实数根；
（4）当时，有四个实数根，，，，其中，，，，有一个实数根，有一个实数根，有两个实数根，无实数根，所以共有4个实数根；
（5）当时，有两个实数根，，其中，，有一个实数根，有一个实数根，所以共有两个实数根；
（6）当时，无实数根，则无实数根；综上所述，实数的取值范围为.
故选：B．
16．（24-25高三上·福建·月考）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数.
【详解】当时，符合题意；
当时，需，解得．
综上可得．
故答案为：.
17．（23-24高三上·宁夏石嘴山·月考）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，
【详解】
令则，
由于在单调递减,单调递增，
所以，故的值域为.
故答案为: .
18．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
【答案】4
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解．
【详解】由题意知，得，
令，解得或，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以，解得，即，
令，其定义域为，
，满足题意，
故答案为：4．
19．（24-25高三上·四川成都·月考）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是
【答案】
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.
【详解】
的值域为，
当时，
则，为增函数，，
而时，为增函数，
此时，，不符题意；
当时，
则，为减函数，，
而时，为减函数，
此时，，
因为的值域为，当且仅当时，满足题意，
此时，，则，整理得，，解得；
综上，时满足题意.
故答案为：
20．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】当时，，，；
当时，，，；当时，，
因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减，
则函数在上单调递减，则，
于是，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
21．已知函数则函数的零点个数为 ．
【答案】6
【分析】令，作出的图象，由图可得出函数的零点的个数及范围，再作出的图象，结合图象即可得解.
【详解】令，则，
作出的图象，如图（a）所示，
有3个根，且，
作出的图象，如图（b）所示，
则各有2个根．
综上，函数的零点个数为．
故答案为：.
22．已知函数，则的解集为 .
【答案】
【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.
【详解】函数的定义域为，
，
当时，，得，在上单调递减，
当时，，得，在上单调递增，
又
，故为上的偶函数，
故等价于，
即，两边平方解得或.
所以不等式解集为，
故答案为：
23．已知则方程的解集是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质讨论和时代入求解即可；
【详解】当时，，若，，此方程恒成立，故；
若，，
因为，，所以方程在时无解；
当时，，，即，解得，
所以方程的解集是.
故答案为：.
24．定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，则方程有 个解．
【答案】3
【分析】先利用换元法将方程根的问题转化方程及根的问题，由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的单调性及值域即可求解.
【详解】令
则，
由函数的图象可得：方程有个解，其中
由函数的图象可知：函数在上单调递减
又因为值域为
所以对于每一个，都存在唯一的与之对应.
所以方程有个解.
故答案为：
25．已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ．
【答案】 ; 4
【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；在方程中，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再利用数形结合思想得出方程、、的根的个数，即可得解.
【详解】①由题意可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故；
②方程中，设，
即，即函数与直线的交点问题，
作出函数的图象如下图所示：
因为，函数与有个交点，
即有三个根、、，其中、、，
再结合图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，
方程有个根，
综上所述，方程有个不同的解.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：
判断函数零点个数（或方程的根的个数）的常用方法：
（1）直接法：直接令，求解方程得到方程的根，即得到个数；
（2）零点存在定理法：结合单调性利用零点存在定理判断零点的存在，即得个数；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，通常借助分离参数把一个函数构造成常值函数，研究曲线与直线的交点个数问题，以减低难度.
26．已知函数则函数有 个零点．
【答案】4
【分析】令，由可得，，转化为数形结合，判断图象交点个数，即可得解.
【详解】令，由可得，，
作与的图象，如图，
由图象知有两个交点，分别设横坐标为，
则，
由可知或，有两个根，
由，显然有两个根，
综上，有4个根，即有4个零点.
故答案为：4
27．（24-25高三上·天津南开·月考）已知函数，则以下说法正确的有 ．
①若的定义域为，则的取值范围是；
②若的值域为，则的取值范围是；
③若，则的单调递增区间是；
④若，且则．
【答案】①③
【分析】先化简被开方式，由函数的定义域为以及指数幂运算即可判断①；根据①的结果，由值域为可得即可否定②；先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可判断③；化简得到，结合基本不等式，求解指数不等式，即可否定④.
【详解】对于①，因，
由的定义域为，即恒成立，故须使即可，即，故①正确；
对于②，由的值域为可知，必须取遍一切非负数，即须使，即，故②错误；
对于③，时，记，
由可得，解得，，此时，即函数在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间即，故③正确；
对于④，由，可得，，
化简得，，即，
由可得，，即得，故④错误.
故答案为：①③.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查指数、根式型函数的性质判断，属于难题.
解题关键在于将根式函数看成内函数进行单独分析，将定义域为转化为配方后的常数项恒为非负，将值域为转化为配方后的常数项恒为非正来解决，对于函数的单调区间，则利用复合函数的单调性求解.
28．（23-24高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
【答案】
【分析】作出大致图象，结合图象可得实数的取值范围；令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解.
【详解】作出大致图象如下：
若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是；
令，则，可得，
且，
结合图象可知方程的一个根，另一个根，
当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根，
当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，
综上所述：共有4个零点.
故答案为：；4.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的最大值为2
C．的最小正周期是 D．在区间单调递减
【答案】D
【分析】利用奇偶性定义即可判断A项；通过正余弦函数的图象性质，分别求出和的最值即可判断B项；根据函数的周期性定义可判断C项；利用正余弦函数在的单调性和值域，结合复合函数的单调性即可判断D项.
【详解】对于A,函数的定义域为,
因，故A错误；
对于B，当时，，则，
当且仅当时，取得最大值1；
又，当且仅当时，取得最大值，
因，则的最大值为，故B错误；
对于C，对于， 不能恒等于，故C错误；
对于D，当时，单调递减，且，此时因在上单调递增，
则由复合函数的单调性知，在上单调递减；
又当时，单调递增，且，此时因在上单调递减，
则由复合函数的单调性知，在上单调递减.
综上所述，函数在区间单调递减，故D正确.
故选：D.
2．已知函数，若，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将化为，由奇偶性把化为，再根据单调性得，解此不等式取交集得范围.
【详解】显然的定义域为，
因为，所以为偶函数．
又，
令，令，，则，且在上单调递增，
当时，，又在单调递增，所以在单调递增；
当时，，又在单调递减，所以在上单调递减，
（也可利用定义求证单调性）
又在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，为偶函数，
所以等价于，
所以，故，则，即或，
得或.
综上，m的取值范围为.
故选：C．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，作出函数函数的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图．
令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根；
当时，关于的方程无实数根；
当或时，关于的方程只有1个实数根．
因为关于的方程有3个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在内，
另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内．
当为方程的根时，，且方程的另一根为．
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意．
当为方程的根时，有，则或．
当时，方程的另一个根为，不符合题意；
当时，方程的另一个根为，不符合题意．
所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．
令，
则即解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B.
4．（多选题）已知函数，，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【答案】AC
【分析】由已知可得在，上单调递减，在，上单调递增，利用是偶函数，结合的单调性可得复合函数的单调性.
【详解】由是对勾函数且是奇函数，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
易得的定义域为，
，
所以函数是偶函数，
故只需研究在上的单调性即可，
由，解得，
又在上的单调递减，
由复合函数的单调性可得在上单调递增，故B错误；
由，解得，同理可得在上单调递增，
另外，可知在上单调递减，故D错误；
结合是偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，故AC正确.
故选：AC.
5．（24-25高三上·河北邢台·月考）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．的图象是轴对称图形
【答案】BCD
【分析】D选项，变形得到，结合关于直线对称，故，D正确；AB选项，换元后，由基本不等式得到值域，得到A错误，B正确；C选项，由同增异减得到函数单调性.
【详解】D选项，函数的定义域为，因为，
所以.
因为的图象关于直线对称，
所以，
则的图象关于直线对称，D正确；
AB选项，令，则，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，A错误，B正确；
C选项，又当时，单调递增，
此时，在上单调递减，
所以在上单调递减，C正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：将函数变形为，再结合换元法进行求解.
6．（多选题）已知函数， 则（ ）
A．不关于原点对称
B．
C．在上单调递减
D．的解集为
【答案】AC
【分析】先求出函数定义域检验选项A；代入求出检验选项B；结合复合函数单调性检验选项C；结合函数单调性解不等式检验选项D．
【详解】由，得，即定义域为，不关于原点对称，故A正确；
因为 ，
，
所以，B错误；
当时，，
函数 在区间 上单调递增，函数 在区间上单调递增，
则 在区间上单调递增， 在区间上单调递减，
在区间上单调递减， 在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故C正确．
对于D，由B知图象关于对称，
所以在区间上单调递减，所以在区间和上单调递减．
又时，，
所以，
时，．
①当，即时，由得，解得，即；
②当时，不等式组无解，不合题意；
③当，即时，，，不合题意；
④当，即时，，，符合题意．
综上所述，的解集为,,，D错误．
故选：AC．
7．（24-25高三上·四川绵阳·月考）（多选题）已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
【答案】ACD
【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可．
【分析】作出函数的图象，如图所示：
对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，
所以，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．
故选：ACD中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优01 复合函数及嵌套函数的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 复合函数的单调性及参数问题（★★★★★） 3
题型二 复合函数的最值（值域）及参数问题（★★★★） 4
题型三 复合函数的奇偶性及参数问题（★★★★） 5
题型四 与复合函数有关的不等式问题（★★★★★） 6
题型五 内外自复合型的零点问题（★★★★） 7
题型六 内外双函数复合型的零点问题（★★★★） 7
题型七 二次型因式分解型的零点问题（★★★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 9
检测Ⅰ组 重难知识巩固 9
检测Ⅱ组 创新能力提升 13
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
3、常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
4、奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
题型一 复合函数的单调性及参数问题
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在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增增增增减减
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河南·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二 复合函数的最值（值域）及参数问题
【技巧通法·提分快招】
复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
1．函数的定义域 值域分别是（ ）
A．
B．
C．，且
D．，且
2．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河南焦作·月考）若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的值域是 .
7．函数的值域是 .
8．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
题型三 复合函数的奇偶性及参数问题
【技巧通法·提分快招】
函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称
1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·天津南开·月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增，且曲线存在对称轴
B．在上单调递增，且曲线存在对称中心
C．在上单调递减，且曲线存在对称轴
D．在上单调递减，且曲线存在对称中心
题型四 与复合函数有关的不等式问题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江嘉兴·三模）关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型五 内外自复合型的零点问题
1．已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ）
A． B． C． D．
3．设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则方程的根的个数是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知函数（），函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若函数，且关于的方程恰有3个不等实数根，则 .
7．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数，则函数的零点个数是 .
题型六 内外双函数复合型的零点问题
【技巧通法·提分快招】
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
2．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是 .
6．已知函数，，则函数的零点个数为 个．
题型七 二次型因式分解型的零点问题
1．（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·江苏南通·月考）若函数为奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏徐州·月考）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三下·重庆·月考）已知函数被称为双曲余弦函数，则函数的零点在下列哪个区间中 （ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·江西新余·月考）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：( ).
A． B． C． D．
10．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．已知，则方程实数根的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（24-25高三下·山西吕梁·月考）若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（24-25高三下·江西·月考）已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25高三上·黑龙江大庆·月考）已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．为定义在上的偶函数，当时，，，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·福建·月考）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
17．（23-24高三上·宁夏石嘴山·月考）函数的值域是 ．
18．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
19．（24-25高三上·四川成都·月考）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是
20．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
21．已知函数则函数的零点个数为 ．
22．已知函数，则的解集为 .
23．已知则方程的解集是 .
24．定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，则方程有 个解．
25．已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ．
26．已知函数则函数有 个零点．
27．（24-25高三上·天津南开·月考）已知函数，则以下说法正确的有 ．
①若的定义域为，则的取值范围是；
②若的值域为，则的取值范围是；
③若，则的单调递增区间是；
④若，且则．
28．（23-24高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的最大值为2
C．的最小正周期是 D．在区间单调递减
2．已知函数，若，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知函数，，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
5．（24-25高三上·河北邢台·月考）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．在上单调递减 D．的图象是轴对称图形
6．（多选题）已知函数， 则（ ）
A．不关于原点对称
B．
C．在上单调递减
D．的解集为
7．（24-25高三上·四川绵阳·月考）（多选题）已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
