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重难点培优01 配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化积、积化和差公式的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）（★★★★★） 3
题型二 半角公式（★★★） 10
题型三 万能公式（★★★） 13
题型四 三倍角公式（★★★） 15
题型五 和差化积公式（★★★★） 18
题型六 积化和差公式（★★★★） 22
03 实战检测 分层突破验成效 25
检测Ⅰ组 重难知识巩固 25
检测Ⅱ组 创新能力提升 41
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：．
2、商数关系：；
二、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
三、两角和差公式
①；
②；
③；
变形：；
四、二倍角公式
①；
②；
③；
变式：
五、降幂公式
六、辅助角公式
（其中）．
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）
【技巧通法·提分快招】
拆分角的变形：①；；②； ③；④；⑤． 其他：
1．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【详解】.
.
故选：D.
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.
【详解】因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以
==.
故选：D.
3．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解.
【详解】由，得，所以，
又，
所以，
所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
4．（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值.
【详解】法一：由是锐角，得.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
法二：由已知可得，所以，
∴.
故选：C.
5．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由即可求解.
【详解】因为，所以.
又，所以，
所以
故选：C.
6．已知，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切的倍角公式求得，再结合正切的和角公式求得，结合的范围，即可求得结果.
【详解】；
，
又，，故，，
又，，故，则.
故选：B.
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可.
【详解】，，，
又，，
，，
，，
，，
则
，
故选：C．
8．若，且，，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.
【详解】因则.又，则，
可得.
又则
由，可得
由
.
因则 .
故选：A.
9．若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得.
【详解】因为，所以，又，
所以，则，
因为，，所以，
又，所以，
所以，
因为，，所以，
所以
，
所以.
故选：C
10．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解.
【详解】由，，得，，
∴，即，
∴，解得.
又，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
11．（24-25高三下·上海·月考）已知为锐角,若，则 .
【答案】
【分析】首先求出，再根据两角差的正（余）弦公式求出、，即可得解.
【详解】因为为锐角，所以，又，
所以，
所以
，
，
所以.
故答案为：
12．已知，若，则
【答案】
【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得，即可求角的大小.
【详解】由，
所以，又，
所以，而，
所以.
故答案为：
13．（23-24高三上·河北石家庄·月考）若，，，，则 .
【答案】
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求
【详解】由，，则，
，所以或，
，
，则，
当时，，则，
当时，，则，
又，.故.
故答案为：
题型二 半角公式
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平方关系、半角公式即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
故选：D.
2．若且，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围.
【详解】 由半角公式和化简得
，且，
得，所以.
故选：C.
3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 .
【答案】
【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解.
【详解】由，得，解得或，
又，所以，
所以，
所以，
故答案为：
4．已知为锐角，且，．则 ．
【答案】/
【分析】由题意得，结合为锐角即可求解.
【详解】题设条件中的两式相除得，
化简得，即，
又为锐角，从而．
故答案为：.
5．已知，，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式和题设条件，依次求出，，再利用和角的正弦公式计算即得.
【详解】由可得，
因，则，则，，
故.
故答案为：.
题型三 万能公式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解.
【详解】由可得，故，
由于是第四象限角，故，
∴．
故选：D．
2．已知第二象限角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解.
【详解】∵，∴，
解得或（舍去），
所以.
故选：D
3．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式求解即可.
【详解】法一：不妨设，则，
整理得到: ,
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，故的最大值为.
法二：由万能公式得，，
代入原式并化简得，
令，因为题设中欲求最大值，故可设,
故原式转化为，
当且仅当时取等，显然最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式，万能公式得到答案.
【详解】
.
故答案为：
5．已知，则 ．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：
题型四 三倍角公式
【技巧通法·提分快招】
1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 3、正切三倍角公式： 推导过程： 1.3 2.同理： 3. .
1．已知三倍角公式，则 ．
【答案】
【分析】根据三倍角公式，诱导公式及，代入求值即可．
【详解】因为
，
所以．
故答案为：
2．函数 的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先利用正弦三倍角、二倍角公式进行化简，再利用三角函数的周期公式进行求解.
【解析】因为
所以的最小正周期为.故选：C.
3．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（ ）
存在时，使得
给定正整数，若，，且，则
设方程的三个实数根为，，，并且，则
【答案】B
【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简即可判断选项A；令，则，根据三角函数的有界性得到，进而判断B选项；令，其中，，问题转化为，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程得到或或，比较大小得到，，，再验证是否成立即可.
【详解】
，A对；
令，则，，则，B错；
令，其中，，
，即，∴，
由可得，
，即，∴，∴，C对；
令，，，，即，
即，∵，∴或或，
令，，，，，
∴的根都在，∴，，，
，D对.
故选：B.
题型五 和差化积公式
【技巧通法·提分快招】
和差化积公式: 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 证明：由，，得 .其他同理可证.
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】原式
.
故选：C.
2．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解
【详解】由和差化积公式，
得，
，
两式相除，所以.
所以.
故选：B．
3．（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【分析】先利用条件求出，然后可得答案.
【详解】因为，所以，
由和差化积公式可得，
因为，所以，
由，
可得，所以.
故选：C
4．在中，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案.
【详解】由和差化积公式：
，又注意到，
则.
故选：A
5．（2025·吉林长春·一模）已知，是函数，的两个零点，则 ．
【答案】
【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可得到答案.
【详解】根据和差化积公式得，
则令，
当时，因为，则，此时无解，
当 ，因为，则，
则或，解得或，
则.
故答案为：.
6．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：.
如果角与满足，，则 .
【答案】/
【分析】根据已知及和差化积公式得、，进而有，再由，即可求值.
【详解】由，
所以，
由，
所以，
所以，而.
故答案为：
题型六 积化和差公式
【技巧通法·提分快招】
积化和差公式： ； ； ； . 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式.
1．若，则 ．
【答案】
【分析】根据积化和差公式求解即可.
【详解】因为
，所以，
故答案为：.
2．已知，则 .
【答案】
【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得.
【详解】由，
可得
，
则.
故答案为：.
3．计算： ．
【答案】
【分析】根据和差的余弦公式和积化和差角公式对原式进行化简即可求得结果.
【详解】因为，
.
同理，由积化和差角公式可得，，
则.
所以.
故.
故答案为：.
4．已知，那么 ．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简表达式得，代入即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可.
【详解】首先，我们先对合理变形，
得到，
，
由积化和差公式得，
同理可得，
，
则，
得到，故A正确.
故选：A
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解.
【详解】由已知及正弦公式得，，
是第三象限角，．
．
故选：A.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可.
【详解】由可得，
得，则，
，
故．
故选：C.
3．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为整体，利用诱导公式结合倍角公式求，结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，则，
且，可得，
则，
，
所以，
故选：A.
4．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可.
【详解】由，
所以，则，
由，则.
故选：A
5．若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】将用替换后，解方程解出即可.
【详解】因为，
可得，
可得，
解得，因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
6．已知是第三象限的角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案.
【详解】是第三象限的角，故，
故，
因为，，
则，，
若，，，，
此时，满足要求，故，
若，，，，
此时，不合要求，舍去，
，D正确.
故选：D
7．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意代入函数解析式，利用二倍角公式、同角三角函数的关系式，结合弦化切化简即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
.
故选：D.
8．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.
【详解】因，所以，又，
根据，得，同时也能确定.
因为，，，所以.
.
将转化为.
所以
因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故选：C.
9．函数在内的零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简函数为，得到或，结合正弦、余弦函数的性质，求得相应的的值，即可求解.
【详解】由函数，其中
令，即，所以或，
当时，可得或或，
当时，可得或或或，
所以的零点之和为.
故选：C.
10．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求进而解方程即可得解.
【详解】因为，
所以，又
所以，化简得，
可得，
解得（负值舍去），所以.
故选：B.
11．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差化积公式，即可求值.
【详解】．
故选：A.
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得.
【详解】依题意，，则，
又，则
所以.
故选：B
13．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】，
，
所以.
故选：D.
14．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.
【详解】
，
故选：C
15．（多选题）下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据和差化积公式判断A，根据正切的半角公式判断B，根据积化和差公式判断C，根据特殊值判断D.
【详解】由和差化积公式，得，故A错误；
根据半角公式，得，故B正确；
由积化和差公式，得，故C正确；
当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误.
故选：BC.
16．（23-24高三上·江苏泰州·期中）（多选题）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A．
B．
C．已知方程在上有三个根，记为，，，则
D．对于任意的，当时一定有
【答案】ACD
【分析】直接利用二倍角公式计算得到A正确，根据得到，解得B错误，设，得到三个根分别为，，，代入计算得到C正确，代入数据利用三角恒等变换得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：
，正确；
对选项B：，，
整理得到，，
即，解得或（舍），错误；
对选项C：，设，，，
即，，或，或，
故三个根分别为，，，
，正确；
对选项D：
，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据推导的三倍角的公式设得到方程的解，再代入计算是解题的关键.
17．（23-24高三上·山西忻州·月考）已知，则 .
【答案】
【分析】将所求的角转化为用已知的角表示，即，再利用两角差的余弦公式展开即可求解.
【详解】， ，
又，，
.
故答案为：.
18．若，则 ．
【答案】
【分析】根据积化和差公式及二倍角公式即可得解.
【详解】已知积化和差公式
则
．
故答案为：.
19．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为、为关于x的方程的两个根，
所以，
又因为，
所以，
又，所以，
，
故答案为：
20．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则 ．
【答案】/
【分析】首先利用三角函数的基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出的值，最后利用诱导公式计算的得出结果.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：
21．已知， ，则
【答案】2
【分析】利用同角关系，求出和的值，再利用半角公式求解.
【详解】由，，则，，
又，所以，解得或（舍），
，所以；
故答案为：2.
22．已知三倍角公式，则 ．
【答案】
【分析】根据三倍角公式，诱导公式及，代入求值即可．
【详解】因为
，
所以．
故答案为：
23．已知，则 ．
【答案】/
【分析】运用和差化积恒等公式，结合同角三角函数关系式计算即可.
【详解】由得①，
由得②，
得．
故答案为：.
24．（23-24高三上·重庆·期中）已知，，且，，则 .
【答案】
【分析】先通过角所在象限求出，再利用展开计算即可.
【详解】,
,
，
，又
当时，，，
当时，，，
，
.
故答案为：.
25．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 .
【答案】/0.6
【分析】将两式平方相加，可得，平方相减，可得与的关系，结合和差化积公式把化成，可得的值.
【详解】因为，
所以，，
相加得，
即，所以，
相减得
，
又，
，
所以，
所以，
所以，
解得.
故答案为：
26．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论： ．（用<，=，>填空）
【答案】
【分析】先求函数的单调性，然后令函数分别等于与，求出此时的值，然后比较即可.
【详解】已知，得，
显然当时，，此时单调递增，
令，解得或
故只需要比较与的大小即可；
构造函数
得
显然当，恒成立，故函数单调递减，
所以，即
故，
显然，
又因为函数在时单调递增，
即.
故填：
【点睛】此题需要利用，去对应自变量的值，然后比较两个值的自变量，比较自变量时，可以构造函数，也可数性结合，利用三角函数线求解.
27．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
(1)根据上述过程，推导出关于的表达式；
(2)求的值；
(3)求证：是方程的一个根．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用和差公式和二倍角公式整理；
（2）利用余弦的三倍角公式得到，然后利用正弦的三倍角公式和和差公式计算；
（3）通过计算证明.
【详解】（1）
.
（2）由（1）得，
.
（3）
，
所以是的一个根.
【点睛】关键点点睛：（2）的解题关键在于根据诱导公式得到，然后将角拆成，解方程得到，然后再利用正弦的三倍角公式计算.
28．（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可；
（2）将转为方程的一个实根，通过函数的单调性及零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）因为
；
（2）由（1）可知，，
即是方程的一个实根.
令，
，
显然，
当时，，
所以在上单调递减，
又，
，
所以，
即.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】因为，所以，
即
，
，
所以，，
因为、的终边不重合，则，则，
所以，则，所以，
因此，.
故选：D.
2．（23-24高三下·重庆大足·月考）设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先由，可得，再根据，结合两角差的正弦公式求出，进而可求出，再根据唯一性可求出，再求出，结合两角差的正切公式求出，即可得解.
【详解】由，得，即，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，
所以，
所以，经检验符合题意，
所以，
因为，所以，所以，
则，解得，
所以.
故选：B.
3．已知，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD.
【详解】由得，两边平方得：，①
由得，两边平方得：，②
①+②得：，
因为，所以 ，
由可得：，即，
所以， 又，所以，
所以，故A错误；
由，两边平方得，③
由得，两边平方得：，④
③+④得：，
因为，所以，故，
由，，可得，故C正确，D错误；
综上不是定值，故B错误.
故选：C
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
所以
，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）求值：（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
故选：A
【点睛】和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
6．（23-24高三下·全国·强基计划）（多选题）已知，则可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用积化和差和辅助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案.
【详解】，
，
，
，
，
，
，
，
或，,
，，或，，
经检验，或符合，其它都不符合.
故选：AB.
7．已知均为锐角，且，，求，的值．
【答案】，．
【分析】将条件等式平方后相加，结合和角余弦公式求，应用和差化积公式得、，再作商并应用万能公式求.
【详解】，
，
两式相加，得，
由，得，
由，得，
两式相除，得，
所以．
8．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知试证明此三倍角公式；
(2)若角满足，求的值（已知）；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论；
（3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论.
【详解】（1）由
，得证；
（2）由（1）知，可得，
而.
（3）由，则，
所以，则，
所以，可得（负值舍），
所以.
9．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)已知函数有三个零点且.
（i）求的取值范围；
（ii）若，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析；
【分析】（1）转化为两角和的公式求解；
（2）（i），分和，根据函数有三个零点求解；
（ii）设，由，，得到，利用零点存在定理得到方程的三个根均在内，将方程变形为，令，再利用三倍角公式求解.
【详解】（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解：，
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；
当时，令，得；
令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
若有三个零点，则，即，解得，
当时，，
且，
所以在上有唯一一个零点，
同理
所以在上有唯一一个零点.
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
（ii）证明：设，
则.
又，所以.
此时，
方程的三个根均在内，
方程变形为，
令，则由三倍角公式.
因为，所以.
因为，所以，
所以
.
【点睛】关键点点睛：第二问的（ii）中，由零点存在定理得到方程的三个根均在内，将方程变形为，再利用（1）的结论，令，转化为三倍角公式而得证.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优01 配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化积、积化和差公式的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）（★★★★★） 3
题型二 半角公式（★★★） 4
题型三 万能公式（★★★） 5
题型四 三倍角公式（★★★） 6
题型五 和差化积公式（★★★★） 7
题型六 积化和差公式（★★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 10
检测Ⅰ组 重难知识巩固 10
检测Ⅱ组 创新能力提升 13
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：．
2、商数关系：；
二、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
三、两角和差公式
①；
②；
③；
变形：；
四、二倍角公式
①；
②；
③；
变式：
五、降幂公式
六、辅助角公式
（其中）．
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）
【技巧通法·提分快招】
拆分角的变形：①；；②； ③；④；⑤． 其他：
1．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，且，，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三下·上海·月考）已知为锐角,若，则 .
12．已知，若，则
13．（23-24高三上·河北石家庄·月考）若，，，，则 .
题型二 半角公式
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若且，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 .
4．已知为锐角，且，．则 ．
5．已知，，则 .
题型三 万能公式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知第二象限角满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，，则 .
5．已知，则 ．
题型四 三倍角公式
【技巧通法·提分快招】
1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 3、正切三倍角公式： 推导过程： 1.3 2.同理： 3. .
1．已知三倍角公式，则 ．
2．函数 的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
3．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（ ）
存在时，使得
给定正整数，若，，且，则
设方程的三个实数根为，，，并且，则
题型五 和差化积公式
【技巧通法·提分快招】
和差化积公式: 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 证明：由，，得 .其他同理可证.
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A． B．7 C． D．
4．在中，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·吉林长春·一模）已知，是函数，的两个零点，则 ．
6．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：.
如果角与满足，，则 .
题型六 积化和差公式
【技巧通法·提分快招】
积化和差公式： ； ； ； . 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式.
1．若，则 ．
2．已知，则 .
3．计算： ．
4．已知，那么 ．
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
5．若，则（ ）
A． B． C． D．1
6．已知是第三象限的角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数在内的零点之和为（ ）
A． B． C． D．
10．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
11．（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
13．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
14．计算：（ ）
A． B． C． D．
15．（多选题）下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（23-24高三上·江苏泰州·期中）（多选题）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A．
B．
C．已知方程在上有三个根，记为，，，则
D．对于任意的，当时一定有
17．（23-24高三上·山西忻州·月考）已知，则 .
18．若，则 ．
19．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .
20．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则 ．
21．已知， ，则
22．已知三倍角公式，则 ．
23．已知，则 ．
24．（23-24高三上·重庆·期中）已知，，且，，则 .
25．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 .
26．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论： ．（用<，=，>填空）
27．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
(1)根据上述过程，推导出关于的表达式；
(2)求的值；
(3)求证：是方程的一个根．
28．（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：；
(2)若，，求的值.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·重庆大足·月考）设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．已知，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）求值：（ ）
A． B． C．1 D．
6．（23-24高三下·全国·强基计划）（多选题）已知，则可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知均为锐角，且，，求，的值．
8．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知试证明此三倍角公式；
(2)若角满足，求的值（已知）；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
9．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)已知函数有三个零点且.
（i）求的取值范围；
（ii）若，证明：.
