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重难点培优01 集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 集合与元素的关系（★★） 2
题型二 集合的包含关系（★★★） 7
题型三 集合的交并补运算及容斥原理（★★★★） 10
题型四 集合的新定义（★★★★★） 13
题型五 常用逻辑用语中的参数问题（★★★★） 21
03 实战检测 分层突破验成效 24
检测Ⅰ组 重难知识巩固 24
检测Ⅱ组 创新能力提升 34
一、集合常用结论
1、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、．
4、,．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
二、集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
三、从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
（1）若AB，则p是q的充分不必要条件；
（2）若A B，则p是q的必要条件；
（3）若AB，则p是q的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p是q的充要条件；
（5）若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一 集合与元素的关系
【技巧通法·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
1．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（ ）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当时， D．当且仅当时，
【答案】C
【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若，则，
将代入不全部满足，此时可知，故A错误；
对B，当时，则，
将代入全部满足，此时可知，故B错误；
对C，若，，解之可得，所以C正确；
对D，当，则，将代入不全满足，
所以，故D错误.
故选：C
2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，可得，所以x可能取值为
当时：代入得，又，
所以，此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，.，，
此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，所以，
此时得到元素；
满足条件的元素分别为：
，，，，共11个，
故选：C
3．（24-25高三下·河北保定·模拟预测）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出.
【详解】对于，有，所以；
因为，则或，
而是方程的根，
当时，故，而不是方程的根，
故是方程的唯一根，则，
经检验，当时满足；
当时，则方程有三个不同根，
则当满足，即，
当，则满足；当，则满足；
当满足，即，
必有为方程的根，即，得，
当时，则满足；
当，则满足；
则，故.
故选：A.
4．（2025·河南新乡·三模）（多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，
对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，
对于，因为，所以，因为，所以，故正确，
对于，若，则，故错误，
故选：.
5．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】由题意设，进一步得，分析得到与必然都是偶数，从而考虑80的分解方式得数组的可能情况即可进一步求解.
【详解】由题意设，则，
注意到是偶数，所以与的奇偶性相同，
（否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾），
注意到是偶数，所以与必然都是偶数，
考虑80的分解方式，
满足题意的数组只可能是三种情况，
所以x的取值可能是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是得出得到与必然都是偶数，从而即可顺利得解.
6．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．
【答案】4
【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案.
【详解】如图，因为，且长度构成集合，
因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和，
所以或，
当时，可分为
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
由集合的互异性，可知3需舍去；
当，可分为：
，解得；
，解得；
，解得；
综上，的值可能为.
故答案为：4
题型二 集合的包含关系
【技巧通法·提分快招】
根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过和两类情况讨论即可.
【详解】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.
故选：D.
2．（24-25高三上·江苏·模拟预测）已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式化简,即可根据，对集合讨论求解.
【详解】由
，则,
故若，则，不等式无解，此时,符合题意，
当时，，
结合，则，解得，
综上可得，
故选：A
3．（24-25高三上·河北承德·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，且满足，，
所以当时满足，
此时，解得，
当时，则有，
解得,综上，，
即实数的取值范围为．
故选：A．
4．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题知的值域为，可得的值域为的真子集即可求的取值范围.
【详解】易知函数，的值域为，
若函数的值域为，存在实数，则的值域不为，
即使函数，的值域为的真子集即可；
利用二次函数性质可知当或时，函数值为0，如图，
所以根据图象可知，即的取值范围为.
故答案为：.
5．（24-25高三上·安徽·期中）已知集合，集合，若，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，将用表示，由求出的取值范围即可得解.
【详解】令，由，得，
则，显然，则，而，当且仅当时取等号，
因此，
而，因此，解得，
即，当且仅当时取等号，由，得，
所以的最小值为2，的最大值为.
故答案为：2；
【点睛】关键点点睛：令，将给定等式用表示，再结合基本不等式建立不等关系是求解的关系.
题型三 集合的交并补运算及容斥原理
【技巧通法·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围.
【详解】因为，所以或，
所以，
所以，
因为，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：.
2．（24-25高三下·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对A，由题可得是的真子集，可判断；对B，根据集合和集合的意义判断；对C，由 可判断；对D，由集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数，结合补集和并集运算判断.
【详解】对于A，因为，当是偶数，令，，此时，
当是奇数，令，，此时，
所以 ，所以，故A错误；
对于B，因为集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数，
表示自然数中除去被4整除的数，所以，故B错误；
对于C，因为 ，所以，故C正确；
对于D，因为不含偶数，不含被4整除的数，所以不含被4整除的数，故D错误.
故选：C.
3．已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可.
【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：
对于A：，A错误；对于B：，B错误；
对于C：，C正确；对于D：； D错误；
故选：C.
4．（24-25高三上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A 径赛项目B 其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
【答案】B
【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解.
【详解】
由题意，，，，，
，，
因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，
所以这个班同学人数是.
故选：B.
5．（24-25高三上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为
【答案】16
【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得.
【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，
只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图，
则，由18人不支持德国，得，
由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，，
则，因此，
所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人.
故答案为：16
6．已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ．
【答案】3
【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可.
【详解】由题意作出韦恩图如图，因为，
所以全集中不属于交集的元素有个，
剩余的元素属于集合或，但不能同时属于两者，
每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为，
所以，解得．
故答案为：3
题型四 集合的新定义
【技巧通法·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点 （1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.
1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素
【答案】A
【分析】不妨设，则三者为1或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多有个元素.
【详解】中有且只有一个为，不妨设，
则三者为1或0，
若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即，
不合要求，舍去，
若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求，
若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足，
综上，一个“好子集”中最多有个元素.
故选：A
2．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①；
②；
③
④；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案.
【详解】对于①，，为偶函数，定义域为，
对于任意实数对，
则存在，满足，集合M是“垂直对点集”；
对于②，，取实数对,
假设存在，使成立，则，与矛盾，
即不是“垂直对点集”；
对于③，,作出函数的图象如图，
图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线，
在的图象上任取一点，连接OA，作，
则OB总与函数图象相交，设交函数图象于，
即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”；
对于④，作出函数的图象如图，
图象向左向右无线延伸，
在的图象上任取一点，连接OA，作，
则OB总与函数图象相交，设交函数图象于，
即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”；
故集合M是“垂直对点集”的有3个，
故选：D
3．（24-25高三上·北京·模拟预测）设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④
【答案】B
【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案.
【详解】对于①，对任意，都存在，
使得，故0是集合的聚点；
对于②，取，此时对于任意，
都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点；
对于③，对任意，都存在，即，
使得，故0是集合的聚点；
对于④，，即随n的增大而增大，
故的最小值为，故当时，不存在x，使得，
故0不是集合的聚点；
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义.
4．（23-24高三下·江西南昌·模拟预测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
【答案】C
【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数，
所以，又，
故，C正确；
对于D，若，
则，
若，则，
不妨设，
则，
所以，，
所以除以后余数相同，
所以属于同一“类”
所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误；
故选：C.
5．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
【答案】(1)，.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由的定义以及等比数列的定义，代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为，
所以集合，所以.
（2）证明：因为是递增数列，且，
因为是递增数列，所以，
所以且互不相等，所以，
又因为，
所以且互不相等，所以
所以，
所以，
所以，所以为等比数列.
6．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．
(1)若，求；
(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；
(3)设为有限集合，证明：．
【答案】(1)
(2)4
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于，
所以；
（2）设，则，因为，
故符合条件的的个数为.
（3）对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且．
若，则；若，则．
故，从而．
因此，结论成立．
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
(2)证明：是“好的”，是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)，是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、、外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断；
（2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”.
（2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0.
所以，此时，合乎题意；
时，取，，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.
所以，则，满足条件.
故是“好的”，是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*）
事实上，若正整数是“好的”，
设，，，此时集合、满足时条件.
时，考虑，，
则也满足条件，（*）得证.
②再证：为奇数是“好的”.（**）
事实上，取，，则满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.
③再证：不是“好的”.
对集合，记为中元素个数，由条件，.
若，则，矛盾.
若或，则，则，矛盾.
于是不是“好的”.
同理易知，2不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4外的正整数.
8．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可；
（2）先证明若，，则，即可得到，从而得证；
（3）依题意可得，从而求出，再说明即可.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；
因为，所以；
综上可得，.
（2）先证明：若，，则；
设，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，
当，时，，，所以，所以；
（3）因为，
所以，
所以，都是整数，
所以为整数，
所以，
假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以，即.
题型五 常用逻辑用语中的参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 2、根据命题的真假求参数的值（范围）的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.
1．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解.
【详解】若与共线，则存在实数，使得，即，
由于平面向量与不共线，所以且，故，
因此“与共线”是“”的充要条件，
故选：C
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】，
，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集,
可得，等号不同时成立，结合，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
3．（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）若，函数为奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性.
【详解】因为，所以，
所以，
所以此时是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若是奇函数，则，
即，所以，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.
【详解】因为命题：“，都有”为真命题，
所以命题：“，都有”为真命题.
令，.
则.
因为，
所以，
所以函数为增函数.
又因为，
所以.
故选：B.
5．（24-25高三下·江苏盐城·模拟预测）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】写出为真命题，求出为偶函数且为函数的一个周期，求出，，得到答案.
【详解】由题意得为真命题，
令，则定义域为R，
，
故为R上的偶函数，
又，
所以为的一个周期，
当时，，
因为，所以，所以，
故在R上的值域为，
所以a的取值范围为.
故选：C
6．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案.
【详解】解得，此时无论取何值，均符合题意；
当时，，只需，
解得或；
当时，，由题中条件，只需对于恒成立，
当时，不符合题意；
当时，图象为开口向上的抛物线，
不能满足对恒成立，不符合题意；
当时，的2个根为，
需，结合，可得，
综合上述可知的取值范围是，
故选：B.
【点睛】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解；
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解.
【详解】因为，，
所以，
，
故选：C
2．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故.
3．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可.
【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素，
所以方程有2个相等的实数解，
即，解得，
所以实数的取值集合为，
故选：B.
4．（24-25高三下·北京海淀·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分别变形，然后根据数值的奇偶判断出的关系.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为表示所有奇数，表示部分奇数，
所以.
故选：.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3
【答案】D
【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值.
【详解】因为方程的判别式，
所以，
根据题意得到集合，，
即，，
因为，所以，
所以或，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以或.
故选：D.
6．（24-25高三上·湖北·模拟预测）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
【答案】B
【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.
【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为，
赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得.
所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.
故选：B
7．（24-25高三上·吉林长春·期中）已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算求得，各选项逐个验证即可.
【详解】由题意，，
又，则，
对于A，元素不符合，所以不属于，故A错误；
对于B，元素不符合，所以不属于，故B错误；
对于C，元素符合条件，所以属于，故C正确；
对于D，元素不符合，所以不属于，故D错误.
故选：C.
8．“存在，使得”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可.
【详解】必要性：若为等差数列，设其公差为，则，
故存在，使得，故满足必要性；
充分性：若存在，使得，
则，两式相减可得，
所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列，
如时，数列，故不满足充分性.
所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
9．（2025·河北秦皇岛·三模）已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A．360个 B．640个 C．960个 D．1920个
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算.
【详解】由，得从全集中选择3个元素分别作为中的元素，不同方法种数是，
余下的两个元素中的每一个元素只能是属于中的一个或都不属于这3个集合，
因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法，
所以所有的有序子集列有个.
故选：C
10．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断.
【详解】充分性：因为，所以或，
当时，或，，
当时，
或，，
可得或，所以充分性不成立，
必要性：若，
当为偶数时，设，则，
则，满足，
当为奇数时，设，则，
则，满足，
所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
11．（2025·四川绵阳·三模）（多选题）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（ ）
A．4个 B．7个 C．9个 D．10个
【答案】AB
【分析】通过对集合中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性.
【详解】当时，不满足集合元素的互异性，排除.
不妨设（效果一样），已知，则.
将其变形为关于的表达式：
，移项可得，进一步得到.
因为且，所以，那么.
由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾.
令，对求导，可得，所以在上是递增函数.
假设存在且，令，，
由的单调性可知，这与矛盾，
所以中至多只有中的一个整数.
因为，所以集合至多只有中的一个整数.
因为，所以集合至多有中的一个整数.
因为，所以集合至多有中的一个整数.
又因为，，，所以集合中可以同时存在，，.
综上，集合至多有个元素.
，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个.
故选：AB.
12．（2025·浙江绍兴·模拟预测）（多选题）已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】理解“一字集”的定义，根据该内涵对每个选项进行分析判断.
【详解】对于选项A：
任取两点在该单位圆内，
则线段的所有点均满足，
因此属于该集合，A正确.
对于选项B：
取特殊值进行排除，假设两点，令，
则它们的中点不满足，所以B错误.
对于选项C:
设，因为,
所以对于任意，满足.
又因为,所以对于任意，满足.
所以，所以.所以C正确.
对于选项D：
若,设，.
那么.
因为,所以.
则.
所以选项D正确.
故选：ACD.
13．（24-25高三上·安徽铜陵·模拟预测）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果；
（2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，，，
令，可得，解得或，
令，解得，，
则或，，
若，则，解得，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，或，，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
所以或，
解得或，
即实数的取值范围为.
14．（24-25高三下·河南·模拟预测）已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.
(1)已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；
(2)已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；
(3)已知，且集合A为“完美集”，求A.
【答案】(1)－2
(2)不存在，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果.
（2）根据“完美集”的定义得到等式，解得，不符合题意，得到结果.
（3）根据题干，设，若集合A为“完美集”，
则，再对n分情况讨论即可.
【详解】（1）依题意，，
，解得；
（2）设数列的公比为q，依题意，
，，
因为集合A为“完美集”，所以，
整理得，解得，不符题意，
所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”；
（3）设，若集合A为“完美集”，
则，
易知，，，当时，，
当时，显然不符题意；
当时，不妨设，，故，所以；
当时，因为，所以，符合题意；
当时，，不符题意；
综上，或.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运
算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息
的迁移，达到灵活解题的目的.
15．（2025·河南·二模）已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合．
(1)证明：集合不是好集合；
(2)若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
(3)证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义，举例说明即可；
（2）根据好集合的特点和坏集合的定义可证结论；
（3）利用反证法，假设存在这样的有限集A符合题意，得出矛盾，可证结论成立.
【详解】（1）取，，记，则，，故A不是好集合．
（2）记集合，则P中元素均为正数，且与集合A中元素个数相同，下证P为坏集合，
因为A为好集合，所以，且，都有或（其中B为A去掉a，b后的集合），
设Q为P去掉，后的集合，此时，，，
若，则；若，则与必然有一个属于Q，故P为坏集合，命题得证．
（3）假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且A为好集合，
则设，且，，
因为，设B为集合A去掉元素，，后构成的集合，
所以只能，考虑，这个数均属于A，且各不相同，均小于，
所以，，…，，
因为，故，
若，即，矛盾，故，
又因为这个数属于A，且均小于，
所以，…，，即，，
再考虑A集合中去掉与记为集合，
因为，所以，即，所以只能；
又，故矛盾，所以原假设不成立，
即不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·上海·模拟预测）已知、、为三角形的三个内角，则“”是“角为直角”的（ ）条件
A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断可得答案.
【详解】当时，由得，，
令，则，，
根据零点存在性定理可知，关于的连续函数在上有零点，
∴，满足条件，但角不是直角，
∴由不能得到角为直角.
当角为直角时，，，
∴，
∴由角为直角能得到.
∴“”是“角为直角”的必要不充分条件.
故选：C.
2．我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再求出中零向量个数即可得解.
【详解】对任意，且，
则，令，得，
则，得，又，则，
令，得，解得，且，即且，
又，因此，
于是变换将中的元素变换为零向量的，
所以中的元素个数为4.
故选：C
3．（24-25高三上·上海宝山·模拟预测）命题P：的是命题Q：的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】将命题P：去掉绝对值符号，分四种情况讨论，得出命题Q：不一定成立，即是的不充分条件；将命题Q：变形为后，分或情况讨论，得出不一定成立，即是的不必要条件.
【详解】命题Q：可变形为，即，
即，即或.
()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件；
()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件；
综上两种情况可知，是的不必要条件；
命题P：,去掉绝对值符号，有以下四种情况：
()当，即时，，，即，
故是的不充分条件；
()当，即时，，，即，
故是的充分条件；
()当，即时，，，即，
故是的充分条件；
()当，即时，，，即，
故是的不充分条件；
综上四种情况可知，是的不充分条件；
所以是的即不充分也不必要条件.
故选：D
4．（2025·山西·二模）（多选题）记表示个元素的有限集合，表示非空数集中所有元素的和.若集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则的最小值为14
【答案】ABD
【分析】根据所给定义判断A、B，依题意可得，再由等差数列求和公式判断C，依题意可得，由等差数列求和公式求出，即可判断D.
【详解】对于A：由题可知，故A正确；
对于B：由，知的所有可能为：，
则分别为，所以，故B正确；
对于C：因为，
所以，所以，故C错误；
对于D：因为，所以，
所以，
又当时，，当时，，
所以满足的的最小值为，故D正确.
故选：ABD
5．（24-25高三下·重庆·期中）按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个.
【答案】 96 625/
【分析】对于空①：先利用组合确定的不同的可能种数，然后结合集合的交并运算，利用乘法计数原理得到对于的每一种确定的情况，集合列的不同种数，进而利用乘法计数原理求得集合列的不同种数，得到空①的答案；类似空①的求解过程，得到的元素个数为0，1，2，3，4的各种情况下的集合列的不同种数，然后根据加法计数原理求和，并利用二项式定理化简计算得到空②的答案.
【详解】空①：有2个元素，是从中任选2个数字，有种不同的可能；
由于，所以中必须而且只需包含没有被选中的2个元素；
其余的2个元素都可以任意的在或不在中，各有4种不同的处置方法，
每种方法都确保了集合列的不同，
从而有种不同的处置方式，得到集合列的16种不同的结果，
所以集合列有种不同的结果.
空②：类似空①的过程，可知当时，
集合列有个不同的结果，
因为，
所以所有满足条件的集合列有625种不同的结果.
故答案为：96；625.
6．（24-25高三下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.
(1)求集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和.
【答案】(1)12；
(2)672；
(3).
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；
（3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可.
【详解】（1）集合的非空子集有，
根据题意，集合的交替和分别为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为.
（2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况，
相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次.
同理，每个元素出现的次数为次，
所以，集合所有非空子集的元素和的总和为.
（3）集合，其非空子集有个，
将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3；
第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个；
第三类，不含元素3的非空集合，有个，
将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对，
则集合与集合的“交替和”的和始终为3，
如取，则，集合与集合的“交替和”的和为，
这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优01 集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 集合与元素的关系（★★） 2
题型二 集合的包含关系（★★★） 4
题型三 集合的交并补运算及容斥原理（★★★★） 4
题型四 集合的新定义（★★★★★） 5
题型五 常用逻辑用语中的参数问题（★★★★） 7
03 实战检测 分层突破验成效 9
检测Ⅰ组 重难知识巩固 9
检测Ⅱ组 创新能力提升 11
一、集合常用结论
1、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、．
4、,．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
二、集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
三、从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
（1）若AB，则p是q的充分不必要条件；
（2）若A B，则p是q的必要条件；
（3）若AB，则p是q的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p是q的充要条件；
（5）若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一 集合与元素的关系
【技巧通法·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
1．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（ ）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当时， D．当且仅当时，
2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
3．（24-25高三下·河北保定·模拟预测）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
4．（2025·河南新乡·三模）（多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
5．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
6．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．
题型二 集合的包含关系
【技巧通法·提分快招】
根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏·模拟预测）已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北承德·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 .
5．（24-25高三上·安徽·期中）已知集合，集合，若，则的最小值为 ，的最大值为 ．
题型三 集合的交并补运算及容斥原理
【技巧通法·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. ［注意］ 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A 径赛项目B 其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
5．（24-25高三上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为
6．已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ．
题型四 集合的新定义
【技巧通法·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点 （1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.
1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素
2．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①；
②；
③
④；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高三上·北京·模拟预测）设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．①③④
4．（23-24高三下·江西南昌·模拟预测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
5．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
6．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．
(1)若，求；
(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；
(3)设为有限集合，证明：．
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
(2)证明：是“好的”，是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
8．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
题型五 常用逻辑用语中的参数问题
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1、充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 2、根据命题的真假求参数的值（范围）的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.
1．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）若，函数为奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·江苏盐城·模拟预测）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三下·北京海淀·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3
6．（24-25高三上·湖北·模拟预测）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
7．（24-25高三上·吉林长春·期中）已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（ ）
A． B． C． D．
8．“存在，使得”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025·河北秦皇岛·三模）已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A．360个 B．640个 C．960个 D．1920个
10．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2025·四川绵阳·三模）（多选题）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（ ）
A．4个 B．7个 C．9个 D．10个
12．（2025·浙江绍兴·模拟预测）（多选题）已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
13．（24-25高三上·安徽铜陵·模拟预测）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
14．（24-25高三下·河南·模拟预测）已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.
(1)已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；
(2)已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；
(3)已知，且集合A为“完美集”，求A.
15．（2025·河南·二模）已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合．
(1)证明：集合不是好集合；
(2)若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
(3)证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·上海·模拟预测）已知、、为三角形的三个内角，则“”是“角为直角”的（ ）条件
A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
2．我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25高三上·上海宝山·模拟预测）命题P：的是命题Q：的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．（2025·山西·二模）（多选题）记表示个元素的有限集合，表示非空数集中所有元素的和.若集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则的最小值为14
5．（24-25高三下·重庆·期中）按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个.
6．（24-25高三下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.
(1)求集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和.
