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重难点培优02 利用基本不等式求最值
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 分离转化对勾型（★★★） 2
题型二 变形后利用常数代换法（★★★★） 3
题型三 消元法（★★★★） 4
题型四 换元法化简（★★★★） 4
题型五 双换元法化简（★★★★） 5
题型六 三角换元法化简（★★★） 5
题型七 多次使用基本不等式（★★★★） 6
题型八 三元型均值不等式（★★★★） 6
题型九 基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） 7
03 实战检测 分层突破验成效 8
检测Ⅰ组 重难知识巩固 8
检测Ⅱ组 创新能力提升 9
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．
【说明】，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：、、．
2、基本不等式
（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：；
（3）常用结论：
①（同号），当且仅当时取等号；
（异号），当且仅当时取等号．
②（），当且仅当时取等号；
（），当且仅当时取等号；
3、基本不等式链：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
题型一 分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型
1．设，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．函数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的最小值为 ．
5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为 ．
题型二 变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河南·月考）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ．
5．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知正数，满足，则的最小值为 ．
6．（24-25高三上·四川南充·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为 ．
题型三 消元法
【技巧通法·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
3．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·吉林长春·一模）已知，，，则的最小值为 ．
5．（24-25高三上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 .
题型四 换元法化简
1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的最小值为 ．
3．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 .
4．（24-25高三上·浙江·期中）设，则的最大值为 .
题型五 双换元法化简
1．已知为正数，求的最大值（ ）
A． B．1 C． D．
2．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ．
题型六 三角换元法化简
【技巧通法·提分快招】
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知实数满足，则的最大值为 .
3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ．
题型七 多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
1．（23-24高三上·河北·月考）已知正实数，满足，则的最小值为 ．
2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
3．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 .
题型八 三元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
题型九 基本不等式与其他知识交汇
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
5．（23-24高三上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2025·重庆九龙坡·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·陕西·模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知正数，满是，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数f(x)＝(x>1)的最小值为 ．
10．（24-25高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ．
13．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
14．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 .
15．（24-25高三上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ）
0
A．1 B． C．4 D．2
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
4．（23-24高三下·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 .中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优02 利用基本不等式求最值
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 分离转化对勾型（★★★） 2
题型二 变形后利用常数代换法（★★★★） 5
题型三 消元法（★★★★） 8
题型四 换元法化简（★★★★） 11
题型五 双换元法化简（★★★★） 13
题型六 三角换元法化简（★★★） 16
题型七 多次使用基本不等式（★★★★） 18
题型八 三元型均值不等式（★★★★） 21
题型九 基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） 23
03 实战检测 分层突破验成效 27
检测Ⅰ组 重难知识巩固 27
检测Ⅱ组 创新能力提升 34
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．
【说明】，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：、、．
2、基本不等式
（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：；
（3）常用结论：
①（同号），当且仅当时取等号；
（异号），当且仅当时取等号．
②（），当且仅当时取等号；
（），当且仅当时取等号；
3、基本不等式链：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
题型一 分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型
1．设，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对变形后，利用基本不等式求解.
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
故选：D.
2．函数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以
即函数的最大值是.
故选：C.
3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A、B选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C选项，先将原式变形为，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D选项，根据，利用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可.
【详解】对于选项A：，
当且仅当，即时等号成立，但不成立，
所以的最小值不为8，故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，故B正确；
对于选项C：，
当且仅当时，即时，取得最小值8，故C正确；
对于选项D：由题意，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D不正确.
故选：BC
4．函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
题型二 变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】C
【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
则，
所以
，
当且仅当时，
即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
3．（24-25高三上·河南·月考）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用“1”的代换后由基本不等式得最小值．
【详解】由，有，有，有，
，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．
故选：C．
4．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由，可知，，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：
5．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知正数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由条件结合基本不等式证明，解不等式可得结论.
【详解】由，得，
所以，
因为，，所以，
所以，即，
所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”，
所以的最小值为．
故选：D.
6．（24-25高三上·四川南充·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先利用换元法探索的关系，再结合常数代换法求的最小值.
【详解】因为，为正数，且，
两边平方得：，
所以.
设，则，解得，
，整理得：，即.
所以
.
当且仅当：即时取“”.
即的最小值为.
故答案为：
题型三 消元法
【技巧通法·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得且、，再由，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件.
【详解】由，，即，易知，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
所以的最小值为.
故选：D
3．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果.
【详解】由得，
即，
当且仅当，取到等号，
故选：C.
4．（2024·吉林长春·一模）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】/4.5
【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可.
【详解】由可得，解得，
又，所以，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
5．（24-25高三上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 .
【答案】25
【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得.
【详解】由可得，代入中，可得，
设，则，
于是，
因，当且仅当时，等号成立，
即时，取得最小值25.
故答案为：25.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值.
题型四 换元法化简
1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形得到，根据为正数，得到不等式，求出，并且，换元后得到，由基本不等式求出最小值，得到答案.
【详解】正数满足，
故，
由于，故，即，等价于，
解得，
，
令，则，
则
，
当且仅当，即时，即，等号成立.
故选：C
2．已知，则的最小值为 ．
【答案】/1.5
【分析】设，则，将已知代入根据基本不等式性质可求解.
【详解】令，则，
将代入则，
当且仅当，时取到等号，所以的最小值为．
故答案为：
3．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可.
【详解】，令，所以，
则，
当且仅当，即，时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（24-25高三上·浙江·期中）设，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.
【详解】，
，
令
又，
，当且仅当时等号成立,
,
在上单调递减，
时，
的最大值为.
故答案为：
题型五 双换元法化简
1．已知为正数，求的最大值（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】把代数式等价变形结合基本不等式可得结果.
【详解】法一：令，则
当且仅当，即时取等号．
法二：令，则，
∴原式，当且仅当时，即时取等号．
法三：
，当且仅当时取等号．
法四：
当且仅当时，即时取等号．
故选：A．
2．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】/0.25
【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】方法一
设，，则，
，
，
当且仅当，，即，时取等号，
．
方法二，，
，
当且仅当，时取等号，．
故答案为：
题型六 三角换元法化简
【技巧通法·提分快招】
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.
【详解】，由，
得，
令，且，
所以，有，
即，故，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键.
2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值．
【详解】由条件知令，
则，
令，
则，
当时，，当时，时，，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得最大值，
故答案为：
3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ．
【答案】 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得，从而即可得解.
【详解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1；
由题意，
因为，所以设，
所以，
所以，
所以，
令，，所以，
又，
所以，
所以.
故答案为：1；.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于的代数式，并求出的范围，由此即可顺利得解.
题型七 多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
1．（23-24高三上·河北·月考）已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】12
【分析】由条件可得，将展开并变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为正实数，满足，
故，当且仅当时等号成立，
故
，
当且仅当，即时取等号，符合题意，
故的最小值为12，
故答案为：12
2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数，满足，
由于为正实数，故由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为.
故答案为：
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
3．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 .
【答案】1
【分析】由基本不等式可得，，故，再结合基本不等式可得，进而可得.
【详解】设，
则，，，，
因为，所以,，
当且仅当时两个不等式同时取等号，
所以，
又，
当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号，
故的最大值为1.
故答案为：1
题型八 三元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以
所以，
又，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当，，时等号成立，
所以的最小值为，
故选：A.
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为为正实数，
故，
即，
，
当且仅当，即，此时，
所以的最小值为.
故答案为：
题型九 基本不等式与其他知识交汇
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题意，可得，故，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故选：A
2．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得，
因为，
所以，
所以，
即，且.
因为，当且仅当时，取到最小值.
故选：B
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由，可得，即，
所以，
则
，
当且仅当时，即，即时，
也就是时，等号成立.
故选：C
4．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
【答案】B
【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以最小值为8.
故选：B
5．（23-24高三上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，
由题设，又共线，
所以，即，注意，
由
，当且仅当，即时等号成立，
故目标式最小值为1.
故选：A
6．（2025·重庆九龙坡·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，又，所以，
由知，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以线段长度的最小值为.
故选：D
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·陕西·模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得.
【详解】由，有，
令，即，故，
即，即，则，
当且仅当或时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得.
【详解】正项等差数列中，设公差为，
因为，所以，因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：B
3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由，则
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：C.
4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，结合基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，
所以
所以，
所以，所以，
当时，，等式变为，显然不成立，
所以，所以，
所以
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以.
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换得到，最值问题常常借助基本不等式求解.
5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【详解】因为
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
6．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出．
【详解】设，
则，解得，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为2，
故选：D.
7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.
8．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知正数，满是，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先利用换元法探索的关系，再结合基本不等式求的最小值.
【详解】因为，为正数，且，
两边平方得：，
所以.
设，则.
所以.
所以.
当且仅当：即时取“”.即的最小值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据已知条件，探索出满足的条件等式.
9．函数f(x)＝(x>1)的最小值为 ．
【答案】8
【详解】
(解法1：基本不等式法)f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号，则f(x)min＝8.
(解法2：导数法)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去).当14时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8.
10．（24-25高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】1
【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，则,
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：1
11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.
【详解】由可得，
因为，所以，即，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ．
【答案】/0.75
【分析】根据给定条件，消去并变形，借助二次函数最值求解即得.
【详解】实数x，y，z满足，则，
于是
，
当且仅当且时取等号，所以当时，.
故答案为：
13．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数，满足，
即，令，，则且，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
14．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 .
【答案】
【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
则，
又，所以，
当且仅当，即时取等号，
又，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解.
15．（24-25高三上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值.
【详解】设，则，即，
若，则，而，仅当时等号成立，
所以，显然与矛盾，所以，
由上，由，即，则，
所以
，当且仅当时等号成立，
所以，，即，时，目标式最小值为4.
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ）
0
A．1 B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值.
【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得.
已知随机变量的期望为，可得.
化简可得：，进一步变形为.
设，则，
将进行变形，
给式子乘以得到.
展开式子：
根据基本不等式，有.
所以，当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可.
【详解】,
由于，
当且仅当，即取等号.
则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值.
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】D
【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解.
【详解】设，，
令，解得，所以，
即，当且仅当，时，等号成立．
故选：D.
4．（23-24高三下·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件.
【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，
从而，
令，设，显然，
则，
因为关于的一元二次方程有实数根，所以，
整理得，即，
解得，注意到，从而，
等号成立当且仅当，即，
所以经检验的最大值，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解.
5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式计算可得A正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B正确，将表达式化简计算可得，解不等式可得，即可得C错误，D正确.
【详解】对于A，由可得，
因此，可得，
当且仅当时，等号成立，即A正确；
对于B，将表达式化简可得，
将方程参数化可知，；
所以，其中；
又，所以，可得B正确；
对于C，由可得，
即，
因此，解得，
当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式计算即可得出结论.
6．（24-25高三上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解.
【详解】因为，
则方程与有相同的解，不妨设为，
则，故，即，整理得，
因为，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解.
