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重难点培优03 导数中的切线问题方法题型全归纳
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 求在点的切线方程及参数问题（★★★★★） 2
题型二 求过点的切线方程及参数问题（★★★★★） 3
题型三 利用切线求距离的最值问题（★★★★） 4
题型四 求有一个切点的公切线及参数问题（★★★★） 5
题型五 求有两个个切点的公切线及参数问题（★★★★★） 5
题型六 切线的条数问题（★★★） 6
题型七 切线中的新定义问题（★★★） 7
03 实战检测 分层突破验成效 8
检测Ⅰ组 重难知识巩固 8
检测Ⅱ组 创新能力提升 10
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
3、公切线问题
求函数和的公切线.
步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为；
步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率；
步骤3：函数的切线，函数的切线；
步骤4：化简得，；
步骤5：对比得，联立解方程得公切线.
4、已知切线的数量求参数
若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向四，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
（1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量.
（2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量.
步骤1：设切点；
步骤2：求导数，得；
步骤3：写切线方程；
步骤4：将代入步骤3；
步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
题型一 求在点的切线方程及参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程. 2、已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程.
1．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 .
题型二 求过点的切线方程及参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、求函数过某点的切线 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程.
1．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 .
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·月考）曲线过坐标原点的两条切线方程为 ， .
题型三 利用切线求距离的最值问题
【技巧通法·提分快招】
通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题.
1．（24-25高三上·河北保定·开学考试）函数图象上的点到直线距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（23-24高三下·安徽·月考）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．
3．（24-25高三上·江苏南通·月考）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·山东·月考）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ．
题型四 求有一个切点的公切线及参数问题
1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
题型五 求有两个个切点的公切线及参数问题
【技巧通法·提分快招】
已知存在公切线求参数范围 已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高
1．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
2．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选题）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程）
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
题型六 切线的条数问题
【技巧通法·提分快招】
切线条数问题 判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性.
1．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知，则与的公切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
3．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·上海青浦·月考）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 .
6．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
题型七 切线中的新定义问题
1．（24-25高三下·重庆城口·月考）已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数 ．
3．（24-25高三下·福建漳州·期中）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
4．（24-25高三下·上海松江·月考）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是 ．
5．已知函数.
(1)求函数的单调区间.
(2)定义：若函数满足对于任意的实数k，b，直线与函数的图象总相切，则称函数具有性质.
（i）证明：当时，“”是“函数具有性质”的充要条件；
（ii）若函数具有性质，记，试判断是否具有性质.
6．（24-25高三上·江西·月考）定义：设函数的图象上一点处的切线为在处的垂线也与的图象相切于另一点，则称和为的一组“垂切线”，为“垂切点”．已知三次函数和为的一组“垂切线”，其中为的垂切点，与相切于点．
(1)求曲线在点处的切线方程；（用和b表示）
(2)若对任意都存在使，求正数的取值范围；
(3)证明：点和之间连线段的长度不小于．
参考公式：．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
2．曲线过点的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·东三省·一模）函数过原点的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在点处的切线方程是 ．
9．（23-24高三下·广东东莞·月考）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
10．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 .
11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ．
12．（2024·河南·一模）记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ．
13．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ．
14．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
15．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
16．（24-25高三上·四川绵阳·月考）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 .
17．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
18．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
19．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 .
20．已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则 ．
21．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .
22．（2025·浙江台州·二模）函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合．
(1)若，求；
(2)若，为自然对数底数（下同），求证：；
(3)若，求，并说明理由．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．当，时，过点可作曲线的三条切线
B．当，时，过点可作曲线的三条切线
C．若过点不能作曲线的切线，则，
D．若过点可作曲线的两条切线，则，
3．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
4．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
5．（2024·广西·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优03 导数中的切线问题方法题型全归纳
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 求在点的切线方程及参数问题（★★★★★） 2
题型二 求过点的切线方程及参数问题（★★★★★） 5
题型三 利用切线求距离的最值问题（★★★★） 8
题型四 求有一个切点的公切线及参数问题（★★★★） 11
题型五 求有两个个切点的公切线及参数问题（★★★★★） 12
题型六 切线的条数问题（★★★） 16
题型七 切线中的新定义问题（★★★） 21
03 实战检测 分层突破验成效 28
检测Ⅰ组 重难知识巩固 28
检测Ⅱ组 创新能力提升 41
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
3、公切线问题
求函数和的公切线.
步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为；
步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率；
步骤3：函数的切线，函数的切线；
步骤4：化简得，；
步骤5：对比得，联立解方程得公切线.
4、已知切线的数量求参数
若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向四，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
（1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量.
（2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量.
步骤1：设切点；
步骤2：求导数，得；
步骤3：写切线方程；
步骤4：将代入步骤3；
步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
题型一 求在点的切线方程及参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程. 2、已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程.
1．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，再由垂直关系即可求解.
【详解】设，求导得，
即，即曲线在处的切线斜率为．
又曲线的切线与直线垂直，
可得，所以，
解得．
故选：C
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积.
【详解】求导得：，则，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，
则与轴相交于点，与轴相交于点，
所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
故选：C.
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先求出，接着由求出参数a得切点代入切线方程即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以由题意得，
所以切点，所以.
故选：C
4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求.
【详解】设直线与曲线的切点为，
对求导，得，直线的斜率为1，
导数的几何意义知，在切点处，即．
又切点既在直线上又在曲线上，
且，即．
将代入，得：，即．
故选：A
5．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出在一点的切线方程.
【详解】，当时，切线的斜率，，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
题型二 求过点的切线方程及参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、求函数过某点的切线 若已知函数与平面上一点，不知切点与斜率。设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，解出切点. 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3，解得； 步骤5：将代入步骤3，得切线方程.
1．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果.
【详解】设，由，得，
曲线在点处的切线方程为，
把代入切线方程，得，
化简得，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
都满足直线，
直线的方程为.
故选：A
2．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 .
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解.
【详解】设切点为，则，
故切线方程为，
将代入可得，解得，
故切线方程为，即，
故答案为：
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值.
【详解】直线过定点，
，设直线与曲线的切点坐标为，
则，
则，∴.
故答案为：
4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
【答案】或
【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
当点P为切点时，则切线的斜率为，
所以所求切线方程为，即；
当P点不为切点时，设切点坐标为，
切线的斜率为，
则切线方程为，
因为切线过点，且，
所以，
整理，得，解得或1（舍去），
则，
所以切点坐标为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
所以所求切线的方程为或或．
故答案为：或．
5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·月考）曲线过坐标原点的两条切线方程为 ， .
【答案】
【分析】由对称性，只需先求当时，的切线方程.设切点，利用斜率相等建立方程求解即可.
【详解】当时，，
设切点为，则，即，解得，
则切线斜率为，切线方程为.
又因为为偶函数，所以当时，切线方程为.
故答案为：，.
题型三 利用切线求距离的最值问题
【技巧通法·提分快招】
通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题.
1．（24-25高三上·河北保定·开学考试）函数图象上的点到直线距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案.
【详解】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，
设切点为，
又因为，所以，解得，
所以切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故选：A.
2．（23-24高三下·安徽·月考）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】D
【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可．
【详解】设直线与直线平行，且与函数的图象相切，
设切点为，因为是单调递增函数，
直线的斜率为1，所以，解得，
即切点为，
所以点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，
即为．
故选：D
3．（24-25高三上·江苏南通·月考）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得，
则两条切线的斜率为，对应的两个切点为，
切线方程为和，即和，
切线过定点，切线过定点，
所以两平行线之间距离的最大值为.
故选：C
4．（23-24高三下·山东·月考）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得到函数的图象与函数的图象关于直线对称，则问题转化为点到直线距离最小值的倍，求出过点的切线恰与平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得.
【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
又，即点在函数的图象上，
所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以这，两点之间距离的最小值等于点到直线距离最小值的倍，
由，则，
函数在点处的切线斜率为，令，解得，，
所以点到直线距离的最小值为，
所以这，两点之间距离的最小值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值.
5．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先分析曲线与直线是否存在交点，若存在交点则距离的最小值为，若不存在交点，则问题转化为与直线平行的切线所对应的切点到直线的距离.
【详解】因为，所以与没有公共点，
则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2倍．
设为上的一点，
因，则过点的切线斜率为，
令，则，
故是递增函数，且当时，，
则存在唯一解，此时过点的切线与平行，
所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点到直线的距离，
即，
所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为．
故答案为：.
题型四 求有一个切点的公切线及参数问题
1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ．
【答案】
【分析】设公共点坐标为，由题意可得，进而可得.
【详解】函数与的导数分别为与，
设公共点坐标为，则，
所以，又因为，故，，所以．
故答案为：
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出在处的切线方程，设切点为，即可得到方程组，解得即可.
【详解】由，则，则，又当时，
所以曲线在处的切线为；
对于，可得，设切点为，
则，解得.
故答案为：.
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
【答案】/0.5
【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值.
【详解】因为，所以.
所以曲线在点的切线方程为：.
因为，设曲线与该切线的切点为.
所以，所以，即.
又，
所以.
故答案为：.
题型五 求有两个个切点的公切线及参数问题
【技巧通法·提分快招】
已知存在公切线求参数范围 已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高
1．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出.
再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出.
解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到.
【详解】解法一：令，，则，
设直线与的切点为，
则切线方程为，即，
又因为，所以，解得，，所以切线方程为，
令，则，
设直线与的切点为，所以 ①，
又因为切点在直线上，所以，即 ②，
由①和②可得，所以，解得．
解法二：设切点分别为，，
．∴，．
同理．∴，∴，∴．
故选：B．
2．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切线分别切两曲线于，，则直线斜率为，从而可得，，再利用导数，即可求解．
【详解】因为和曲线，
所以，，，
设切线分别切两曲线于，，
则直线斜率为，所以，
所以，，
设，，则，，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，且当与时，，
所以
故选：B.
3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选题）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可．
【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，，
由，得，由，得，
则两切线方程分别为与，
化简得，
又两条切线为同一条，可得，得，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，∴
所以实数的取值可能是1，，．
故选：ABD.
4．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程）
【答案】或（写出其中一条即可）
【分析】方法一：分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程；
方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1的切线，再验证是他们的公切线即可.
【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或，
整理得或，
所以，即.
所以，解得或，
所以公切线方程为或.
（方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线.
故答案为：或.（写出其中一条即可）
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】/
【分析】根据导数几何意义可分别用和表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可.
【详解】曲线在点处的切线与曲线相切于点，
，
∴曲线在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，
或，
，即，
，易知，，
.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求导数中的公切线问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.
题型六 切线的条数问题
【技巧通法·提分快招】
切线条数问题 判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性.
1．（24-25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程结合切线有且仅有1条，令判别式为即可求解.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
所以切线方程为，
因为直线过点，则，
化简得，
又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，
故选：A
2．已知，则与的公切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截距分别相等，则公切线的数量可转化为满足条件的方程组的解的个数或者符合条件的切点个数的求解即可.
【详解】根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点，
对于，有，则直线l的斜率，
则直线l的方程为，即，
对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即，
则
可得，即或，
则切线方程为或，故与的公切线有2条．
故选：C.
3．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解.
【详解】设切点为，则，
又，所以切线斜率为，
又切线过点，所以，整理并化简得，
令，则，
令，则，
易知时，，时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，又，，
所以存在唯一，使，所以切线只有一条，
故选：B.
4．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围.
【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
而，依题意，，则，因，则，
消去得，令函数，
由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点，
，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，，
而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，，
则当且仅当，即时，函数有两个不同零点，
所以的取值范围是.
故选：C
5．（24-25高三下·上海青浦·月考）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.
【详解】曲线即曲线，
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
设点，则，即.
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以．
由题意知，直线与曲线有两个交点，则，
当时，且当t无穷靠近0,无穷接近0，
当时，恒成立，
大致图象如下：
故.
故答案为：.
6．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围.
【详解】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
题型七 切线中的新定义问题
1．（24-25高三下·重庆城口·月考）已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用斜率的几何意义求出，再利用导数的正负求解单调区间即可.
【详解】因为图象上任意一点处的切线方程为，
所以，则，
令，，则在上单调递减，
即的单调递减区间为，故B正确.
故选：B
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据自公切线的定义，结合常见函数的图象与性质，找出一个有自公切线的函数.对于三角函数，其图象具有周期性和对称性，可能存在不同两点处的切线重合的情况.
【详解】正弦函数的图象是周期为的波浪线.
而在处，，，切线方程为，即.
在处，，，切线方程为，即.
可以看到和这两点处的切线重合，所以有自公切线.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（24-25高三下·福建漳州·期中）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象，结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围.
【详解】
由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.
设直线，直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，
，，则，
则，且，联立解得，，
所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.
故答案为：.
4．（24-25高三下·上海松江·月考）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是 ．
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设，求导，判断的正负情况，即可判断“类对称中心”的坐标.
【详解】设“类对称中心”的坐标为，
由，，
得，，
则切线斜率为，
切线方程为，
即，
设，
则，
，
令，解得或，
当时，，在上单调递减，
即当，，
即，
当时，，在上单调递减，
即当时，，
即，
所以在上无“类对称中心”点；
当时，恒成立，在上单调递增，
即当时，，，
当时，，，
此时函数有“类对称中心”点，为，
即，
故答案为：.
5．已知函数.
(1)求函数的单调区间.
(2)定义：若函数满足对于任意的实数k，b，直线与函数的图象总相切，则称函数具有性质.
（i）证明：当时，“”是“函数具有性质”的充要条件；
（ii）若函数具有性质，记，试判断是否具有性质.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析（ii）否
【分析】（1）求导后，对进行分类讨论，研究导数正负即可；（2）（i）运用充要条件概念，结合导数与切线斜率关系证明即可；（ii）借助新定义和（i）的结论，找出反例即可.
【详解】（1）因为，所以的定义域为.
当时，，所以函数在上单调递增.
当时，由得，所以函数在上单调递增；
由得，所以函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）（ⅰ）设出切点坐标，根据新定义列方程，得到，
设直线与函数的图象的切点为，
若函数具有性质，则，得.
当时，，
显然存在，使得成立，
所以函数具有性质，所以充分性成立.
因为函数具有性质，所以存在使得，即，
得，得或，
当时，方程组无解，不合题意，
所以，所以，所以必要性成立.
所以当时，“”是“函数具有性质”的充要条件.
（ⅱ）根据具有性质，得到方程组因为函数具有性质，
所以由（ⅰ）知存在使得，即.
由，得，且，
所以，即.
，易知，而，所以不具有性质.
6．（24-25高三上·江西·月考）定义：设函数的图象上一点处的切线为在处的垂线也与的图象相切于另一点，则称和为的一组“垂切线”，为“垂切点”．已知三次函数和为的一组“垂切线”，其中为的垂切点，与相切于点．
(1)求曲线在点处的切线方程；（用和b表示）
(2)若对任意都存在使，求正数的取值范围；
(3)证明：点和之间连线段的长度不小于．
参考公式：．
【答案】(1)；
(2)的取值范围为；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；
（2）根据新定义可得，，
由此证明，转化条件可求的取值范围；
（3）求点和的距离，化简可得 ，
换元利用导数求的最小值，由此证明结论.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以曲线在点处的切线的斜率为，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得；
（2）由已知曲线在点处的切线与直线垂直，
又曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以，，，
所以，
又，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
因为关于的方程有解，所以其判别式，
故，即，
因为对任意都存在使，
所以函数，的值域包含区间，
所以，
所以的取值范围为；
（3）因为点和之间连线段的长度，
所以，
又，
所以，
由（2），
所以
故，
由（2）知，即
所以，
由已知方程的判别式，
所以，
所以，
令，则，，
设，则，
令，则，
故
又，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当，即时，取最小值，最小值为，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】B
【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值.
【详解】与的图象相切，设切点为，
则，故，
由，即，将代入上式，得，故.
故选：B.
2．曲线过点的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的方程，结合切线过点且与直线垂直，求得a的值.
【详解】函数，有，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
由切线过点且与直线垂直， 有，
解得，.
故选：A.
3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，令，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故选：B
4．（2025·东三省·一模）函数过原点的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得.
【详解】，
，
设切点为，切线方程为，
将原点代入切线方程可得，
所以，
化简可得，解得或，
当时，，，切线方程为；
当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为；
所以共有3条不同的切线.
故选：C
5．可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案.
【详解】设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程可为．
故选：D．
6．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】设切点为，由题意得解得，令，利用导数研究的单调性求最大值即可求解.
【详解】由题意有：设切点为，
所以，所以，解得，，
令，所以，
令有，由有，有，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，故b的最大值为1.
故选：A.
7．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值.
【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．
故选：B．
8．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义先计算，结合点斜式计算即可.
【详解】易知，所以，
故在点处的切线方程是.
故答案为：.
9．（23-24高三下·广东东莞·月考）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线方程，将代入，即可求得答案.
【详解】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
10．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则 .
【答案】
【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，由切点求得切线方程，利用导数以及切线方程求得在另外一条曲线上的切点，建立方程，可得答案.
【详解】由，求导可得，切线斜率，切线方程为，
由，求导可得，令，解得，
将代入，可得，将代入，
可得，解得.
故答案为：.
11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解.
【详解】当时，函数，可得
设切点为，则，
所以切线方程为，
因为切线过原点，可得，解得，不符合题意，舍去；
当时，函数，可得
设切点为，则，
所切线方程为，
因为切点过原点，可得，解得，
此时切线方程为，即，
故答案为：
12．（2024·河南·一模）记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合导数的几何意义以及对称性分析求解.
【详解】由题意可知：，设为曲线上的一点，
令过点A的切线斜率为，解得，
所以，所以点A到直线的距离为，
所以曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为．
故答案为：.
13．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参.
【详解】因为的导数为，设切点为，
所以切线斜率为，
所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为：.
14．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
【答案】2
【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出.
【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同，
，，
故，故，
上点处的切线方程为，
显然在切线上，故，
即，即，
解得，
故.
故答案为：2
15．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解.
【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：，
因切线经过点，则，故有两个不同的实数根.
不妨设，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故，则，即，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16．（24-25高三上·四川绵阳·月考）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解.
【详解】求导：导数；导数.
设切点写切线方程：
设与切点，切线方程.
设与切点，切线方程.
列方程组求解：由公切线性质得.
由得，代入另一式解得，.
求直线方程：把代入，得.
故答案为：.
17．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
【答案】-1
【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值.
【详解】对函数求导得：.
因为直线为曲线的一条切线，
设切点为，令，即①.
又②，用①除以②得：.
所以.
所以,所以.
设，则求导得.
当时，，所以，此时在上单调递增；
当时，，所以，此时在上单调递减.
所以，所以的最小值为-1.
故答案为：-1.
18．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，构造函数并利用函数有3个零点求解即可.
【详解】设切点坐标为，则，即，
整理得，令，
依题意，函数有3个不同的零点，求导得
，当时，，在上单调递减，值域为；
当时，，在是单调递增，值域为；
当时，在上单调递减，值域为，
由函数有3个零点，得，即，
解得，又，则，
所以的取值范围为.
故答案为：
19．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 .
【答案】2
【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可.
【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直，
如图，可得的零点为1，故不妨设，，
则，，
当时，，，
当时，，，
则，．
所以，即．
因为：，即，
：，即，
则，，因为，且，
故.
故答案为：2.
20．已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则 ．
【答案】
【分析】先设切点，再求出导函数得出切线斜率进而写出切线方程，再联立，应用判别式为0，最后应用函数极小值为0，计算求解.
【详解】设直线与曲线相切于点．
因为，所以直线的斜率为．
所以直线的方程为．
联立，整理得，所以．
所以有唯一解．
设，则有唯一零点．
又单调递增，令，得，
单调递减；单调递增；
在处取得唯一极小值，
则，解得．
故答案为：
21．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设公切线分别切，于点，由题可得，据此可将问题化简为有两解，据此可得答案.
【详解】设公切线分别切，于点.
则有以下关系式：①，②
由①得：代入②式变形得：，又.
令，原命题化为：有两解.
，令，
则，为上的减函数.
又注意到，则在区间上，，在区间上递增，
结合，，则此时值域为；
在区间上，，在区间上递减，
结合，则此时值域为.
则当时，存在，使.
故的取值范围是.
故答案为：.
22．（2025·浙江台州·二模）函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合．
(1)若，求；
(2)若，为自然对数底数（下同），求证：；
(3)若，求，并说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，即可得出的表达式；
（2）利用导数求出，利用反证法，取，证明出，推出矛盾，从而可证得结论成立；
（3）利用导数的几何意义求出，令，推导出，分析可知，，，且时，，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，分析的符号变化，结合集合中的元素特征进行验证，综合得出结果.
【详解】（1）因为，则，所以，，，
所以，函数在处的切线方程为，故.
（2）假设，则存在，使得对任意的，则有，
因为，则，所以，
所以，函数在处的切线方程为，
所以，所以，
当时，，与假设矛盾，
因此，假设不成立，即.
（3）因为，则，
所以，，，
所以，在处的切线方程为，
所以，，
令，
当时，，可知当时，，因此，
，，且时，，
，
令，则，
①若，则当时，，则在上单调递增，
所以，，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
②若，则当时，，即函数在上单调递增，
所以，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
③若，则当时，，
即函数在上单调递减，则，
所以函数在上单调递减，此时，矛盾；
④若，则矛盾；
⑤若，当时，，则函数在上单调递增，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，而，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，.
综上所述，.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】设公切线与函数,的图象分别切于点，求出，，可得公切线方程为和，则有，可得，令，利用导数可得，则，即可解得实数的值.
【详解】设公切线与函数,的图象分别切于点，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为函数与的图象有且只有一条公切线，
所以，由 得,
代入，
则，
整理得，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，，
则当时，
函数与的图象有且只有一条公切线，
即，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：因为函数与的图象有且只有一条公切线，设切点分别为，分别得出与的公切线后，通过斜率，纵截距相等得到方程组，得到关于和的关系后，利用导数得到关于的函数的最大值，即可得到的值.
2．已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．当，时，过点可作曲线的三条切线
B．当，时，过点可作曲线的三条切线
C．若过点不能作曲线的切线，则，
D．若过点可作曲线的两条切线，则，
【答案】D
【分析】设出切点，借助导数的几何意义可得切线方程，将代入切线方程后构造相应函数，对进行分类讨论后结合导数求取方程的解的个数即可得切线条数.
【详解】令点在函数上，且其切线过点，
，，，
故点的切线方程为，
由点在该直线上，故有，
即，
令，，
则
，
由，故，
令，则或，
①当时，时，，时，，
（Ⅰ）当，时，，
时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
有，，
故当，时，有三个不同的解，
即过点可作曲线的三条切线，即A正确；
当或时，有两个不同的解，
即过点可作曲线的两条切线，故D错误；
（Ⅱ）当，时，，时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
亦有，，
故当，时，有三个不同的解，
即过点可作曲线的三条切线，
即B正确；
（Ⅲ）当，恒成立，即在上单调递减，
即有且仅有唯一解，
故此时可作的切线且只能作唯一一条，
当时，对任意的，恒有解，
即过点恒能作曲线的切线，
②当，时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递增减，
有，时，，
故当，时，无解，
即过点不能作曲线的切线，故C正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题关键在于设出切点，借助导数的几何意义得到切线方程，则关于的方程的解的个数即为过点可作曲线的切线的条数.
3．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
4．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
【答案】
【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.
【详解】由函数可得，即,
所以的反函数为,
由点在曲线上可知点在其反函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
即，
利用反函数性质可得与关于对称，
所以可得当与垂直时，取得最小值为2，
因此两点到的距离都为1，
过点的切线平行于直线，斜率为1，即，
可得，即，
点到的距离，解得，
当时，与相交，不合题意；
因此，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.
5．（2024·广西·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；
（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；
（3）设对应的切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，
满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．
【详解】（1）不是，理由如下：
由已知，由解得，，
又，，不妨设切点为，，
在点处的切线的方程为，即，
在点的切线方程为，即与直线不重合，
所以直线不是曲线的“双重切线”．
（2）由题意，函数和都是单调函数，
则可设切点为，且，
所以在点处的切线的方程为，
在点的切线方程为，
所以，消去得，
设（），
则，所以是减函数，
又，所以在时只有一解，
所以方程的解是，从而，
在点处切线方程为，即，
在点处的切线方程为，即，
所以“双重切线”方程为；
（3）证明：设对应的切点为，，对应的切点为，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，，其中，
所以，
又，，
即，，
时，，，
令（），则，，
在上单调递减，又，所以，
所以，此时，则，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．
