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重难点培优02 平面向量共线定理及其推论、爪型图（秒杀）、等和线的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 平面向量共线定理及参数问题（★★★★） 4
题型二 平面向量共线定理的推论（★★★★★） 5
题型三 向量三角形爪型图秒杀法（★★★） 6
题型四 等和线解决系数和问题（★★★★★） 6
题型五 等和线解决系数差问题（★★★★） 7
题型六 等和线解决其他系数问题（★★★） 8
03 实战检测 分层突破验成效 9
检测Ⅰ组 重难知识巩固 9
检测Ⅱ组 创新能力提升 11
1、共线向量定理及其推论
（1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
2、向量三角形爪型图秒杀
（1）中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
（2）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．
3、等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
等和线一般性结论：
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
证明：如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以，于是
综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
题型一 平面向量共线定理及参数问题
【技巧通法·提分快招】
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．
1．已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．， B．， C．2， D．，
2．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．在中，，点满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ．
6．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ．
题型二 平面向量共线定理的推论
【技巧通法·提分快招】
平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明：由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明：由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有.
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．8 C． D．9
3．在中，为中点，，设与交于点，则 ．
4．已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则 ．
5．（24-25高三上·重庆·月考）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 .
题型三 向量三角形爪型图秒杀法
【技巧通法·提分快招】
已知在线段上，且，则
1．设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
题型四 等和线解决系数和问题
【技巧通法·提分快招】
利用等和线求解数值k(k>0) 的基本步骤如下： （1）连接AB，构造直线AB， （2）连接（有时需要延长）OP交直线AB于点Q，那么k=， （3）求的取值范围时，在动点P的轨迹内分别作分别为距离点O最近与最远的平行线，下面记分别为点O到直线的距离，记为点O到等和线的距离. 又由平面几何知识可得因为所以.
1．在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ）
A. B. C. D.
2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A.3 B. C. D.2
3．已知为的外心，若且，则（ ）
4．在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________.
5．设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
题型五 等和线解决系数差问题
1．将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ．
2．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
3．如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 等和线解决其他系数问题
1．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 .
3．设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知向量不共线，，且，则实数（ ）
A．1或4 B．1或 C．或1 D．或1
2．（23-24高三上·安徽亳州·期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·河南·月考）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
10．（多选题）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（ ）
A． B．3 C．7 D．9
11．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
12．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．
13．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．
14．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）
①满足的点有且只有1个；
②满足的点有且只有2个；
③能使取最大值的点有且只有2个；
④能使取最大值的点有无数个．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在单位圆上，是两个给定的夹角为的向量，为单位圆上动点，设，且设的最大值为,最小值为,则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．
4．（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．点在所在的平面内，若，则点为的垂心
B．若对平面中任意一点，有，则P，A，B三点共线
C．在中，已知，则
D．如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最大值是2
5．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则 ．
6．点AB在单位圆O上，、是两个给定夹角为120°的向量，P为单位圆上动点，C为线段OA上靠近A的三等分点，D为线段OB上靠近B的四等分点，设，则的最大值为 .
7．如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设，则的取值范围是
8．如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点），是圆上及其内部的动点，设，，则的取值范围是 .中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优02 平面向量共线定理及其推论、爪型图（秒杀）、等和线的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 平面向量共线定理及参数问题（★★★★） 4
题型二 平面向量共线定理的推论（★★★★★） 8
题型三 向量三角形爪型图秒杀法（★★★） 12
题型四 等和线解决系数和问题（★★★★★） 13
题型五 等和线解决系数差问题（★★★★） 16
题型六 等和线解决其他系数问题（★★★） 18
03 实战检测 分层突破验成效 20
检测Ⅰ组 重难知识巩固 20
检测Ⅱ组 创新能力提升 31
1、共线向量定理及其推论
（1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
2、向量三角形爪型图秒杀
（1）中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
（2）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．
3、等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
等和线一般性结论：
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
证明：如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以，于是
综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
题型一 平面向量共线定理及参数问题
【技巧通法·提分快招】
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．
1．已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．， B．， C．2， D．，
【答案】B
【分析】根据向量共线的性质来求解与的关系，再据此逐一分析选项.
【详解】因为，，三点共线，则存在实数，使得，
即，即，所以，
又因为向量，不共线，所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解．
故选：B．
2．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值.
【详解】因为，，且，
所以向量、不共线，且向量，方向相反，
所以存在实数使，
即，
所以，整理得，解得或，
又，所以.
故选：B.
3．在中，，点满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，在中取中点为，且点在直线上，由数量积运算可得，从而得解.
【详解】因为，易知为等腰直角三角形且，
取中点为，则，又点满足，则点在直线上，
所以，
由，则，结合图知，所以.
故选：A
4．设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，，且不能共线反向，再求解即可得实数的取值范围；
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不能共线反向，
若，
则，
解得，
若向量与向量共线反向，则有，
即，解得（舍去）或，所以，
综上可得实数的取值范围.
故选：B
5．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ．
【答案】
【分析】根据已知，可由向量分别表示出，再由可得含有的等式，又不共线，可得方程组，计算即得.
【详解】如图所示，
由为边的中点，得到，而，
因此，
所以，
因为，得，
因为，设（），所以，
所以，即．
因为与不共线，所以，得，故．
故答案为：.
6．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ．
【答案】
【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，且为梯形，再应用梯形、三角形面积公式求四边形与的面积，即可结果.
【详解】由，
所以，若分别为的中点，如下图，
则，即，又，则，
故，所以，
综上，，
令梯形的高为，则，，
所以.
故答案为：
题型二 平面向量共线定理的推论
【技巧通法·提分快招】
平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明：由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明：由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有.
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
2．在中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线于不同的两点M，N，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．8 C． D．9
【答案】B
【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由点O是BC的中点，得，
由三点共线，得，则，，
则，
当且仅当，即时取等号，所以取得最小值8.
故选：B
3．在中，为中点，，设与交于点，则 ．
【答案】/
【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解.
【详解】因为，
所以，
由三点共线，可设，
所以.
又三点共线，所以，
又、不共线，所以，解得，
所以，又，
，
所以，即.
故答案为：
4．已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则 ．
【答案】2
【分析】根据已知等式，结合向量的线性运算，化简得，而三点共线，可得，解得，再代回到条件中，可得，即可得到的值.
【详解】由题意，是直线上不同的三点，点在直线外，即，如图．
则，
即，
从而，
得，解得．
将代回原式得，
则，即，
所以．
故答案为：2.
5．（24-25高三上·重庆·月考）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 .
【答案】3
【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，因为面积比得出，化简后求值.
【详解】因为，所以，得.
又是的中点，，，
所以.
因为三点共线，所以，且，
所以，
即.
故答案为：
题型三 向量三角形爪型图秒杀法
【技巧通法·提分快招】
已知在线段上，且，则
1．设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【分析】利用爪型图求解即可
解析：由爪型图结论得：，解得：
故选A
2．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如下图所示：
由爪型图结论得.
故选：C
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】：利用“爪型图”的结论先表示，再间接求解
【解析】由爪型图结论得．
故选B
题型四 等和线解决系数和问题
【技巧通法·提分快招】
利用等和线求解数值k(k>0) 的基本步骤如下： （1）连接AB，构造直线AB， （2）连接（有时需要延长）OP交直线AB于点Q，那么k=， （3）求的取值范围时，在动点P的轨迹内分别作分别为距离点O最近与最远的平行线，下面记分别为点O到直线的距离，记为点O到等和线的距离. 又由平面几何知识可得因为所以.
1．在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ）
A. B. C. D.
【解析】 ，则，
所以，则
答案：C
2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A.3 B. C. D.2
【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时
有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则
答案：A
3．已知为的外心，若且，则（ ）
【解析】过点作于，过点作于，
过点作交的延长线于，交的延长线于，
因为则，从而有,
而三角形的外接圆的半径为，所以,
且，所以，所以,
所以,故，由于，因此.
4．在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________.
【解析】连接，交于G，∵共线，则，且
记，则，
5．设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
【解析】如图,取中点,则
此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大,
由于,
所以,
于是的最大值为
所以的取值范围是.
题型五 等和线解决系数差问题
1．将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ．
【答案】
【详解】
如图示，设且，，中，
由题意知，当取最大值时，点与点重合， 又，
则，，
所以.
故答案为：
2．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
3．如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，，
点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且.，
由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，
，
的取值范围为.
故选：B
题型六 等和线解决其他系数问题
1．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，
于是得，而，且与不共线，
则，即有，因此，，
当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，
所以的最小值为.
故选：C
2．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】；
为边的中点，如图，
则：；
在线段上；
设，；
又；
；
即，且；
；
时，取最小值．
故答案为：．
3．设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】
设与相交于,且
由，，三点共线可得
即,所以
又因为
所以
即
当时，,此时
当与(或)点重合时,此时,此时
所以
由基本不等式,可得
当或时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知向量不共线，，且，则实数（ ）
A．1或4 B．1或 C．或1 D．或1
【答案】B
【分析】根据条件，利用向量的共线的充要条件建立方程组，即可求出结果.
【详解】因为，且，
所以，即，
又向量不共线，得到，
消得到，解得或，
故选：B.
2．（23-24高三上·安徽亳州·期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.
【详解】因为，则为的中点，可得，
注意到三点共线，可得，
又因为三点共线，则∥，
则存在实数，使得，即，
则，可得，
综上所述：，解得，可得.
故选：B.
3．已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由，，三点共线，可得，结合基本不等式即可求.
【详解】因为，，三点共线，
所以存在非零实数，使得，
所以，
所以，
所以，
所以.
当时等号成立，所以的最小值为
故选：A
4．已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得.
【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，
过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，
因三点共线，则，
设，，则，
而，因此，，则得到，
由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以，
从而，
则的取值范围是．
故选：C
5．在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用向量的线性运算用表示，再代入求出范围即得.
【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，
则，于是，
因此，
所以的取值范围是.
故选：B
6．键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解.
【详解】
由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是.
下面先证明“等和线定理”，
如图，设，，
因为三点共线，所以存在，使得.
，
，，则.
由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
综上，可得.
故选：C．
7．（23-24高三上·河南·月考）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果．
【详解】
如图，设，，设P是直线EF上一点，
令，则，
，又，所以
因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，
设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1，
连接MP，连接并延长使之与EF交于点，
过M作，垂足为N，
因为，设，则，
，
则，由，得，
故的最大值为．
故选：D．
8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选：D.
9．（多选题）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】AB
【分析】根据，，三点共线，可得出存在，使得，从而可得出，根据不共线可得出，从而得出，从而可得出正确的选项．
【详解】因为，，三点共线，则存在实数，使得，
即，即，所以，
又因为向量，不共线，所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解．
故选：AB．
10．（多选题）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（ ）
A． B．3 C．7 D．9
【答案】ACD
【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解.
【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，
则，不妨设，则，
则，
设，则，
因为，所以，
所以，整理得
因为，所以.
故选：ACD
11．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据题意可知，，，，可得出的取值范围，再计算与同向时的值，即可得的取值范围.
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向，
所以，
因为，为互相垂直的单位向量，
所以，，，
所以，可得，
当与同向时，，即，
可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角，
综上所述：实数的取值范围为且.
故答案为：且.
12．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】过点作，交的延长线于点，结合已知得，问题化为求最大值，作，利用相似得，进而得最大，即可得.
【详解】如图1，过点作，交的延长线于点，
由，则，
由共线得，可得．
当最大时，取到最大值，此时，
如图2．作，又，则，即，
由，即，则四边形为平行四边形，故，
易知，可得，，
而，，得，
所以，
因此的最大值为3．
故答案为：3
13．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，求出的范围.
【详解】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则，
∵．
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，∴，
当时，有且，∴，
当时，有且，∴，
综上，，
故答案为：
14．如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）
①满足的点有且只有1个；
②满足的点有且只有2个；
③能使取最大值的点有且只有2个；
④能使取最大值的点有无数个．
【答案】②④
【分析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误.
【详解】当在边上时，如图，取中点，连接，则
设，，
，
又，
，，
，，
当在边上时，，，，
当在边上时，设，，
，
，，
，，；
①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误；
②当时，有或，这样的点有两个，故正确；
③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误；
④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确.
故答案为：②④.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对点所在位置分类讨论，结合共线定理将双变量问题转化为单变量问题.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在单位圆上，是两个给定的夹角为的向量，为单位圆上动点，设，且设的最大值为,最小值为,则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】可由等和线分析的取值范围
【详解】，由平面向量共线定理知：
当点在直线上时，
作图如图所示，当在时取最大值，当在时取最小值，
，故，
故选：C
2．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解.
【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：
(1)若P在A点，因为，所以；
(2)若P在B点，因为，所以；
(3)若P在C点，因为，所以；
(4)若P在D点，因为，所以；
(5)若P在E点，因为，所以；
(6)若P在F点，因为，所以.
所以的最大值为，
根据对称性，可知的最小值为，
故的取值范围是.
故选：C.
3．（多选题）如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，，则（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．
【答案】BD
【分析】A.结合图形，利用基底表示向量；B. 过作交于,利用平行线的比例关系，求得；C.由B的结果，结合基本不等式判断；根据共线关系，转化，再结合基本不等式，即可判断.
【详解】A.
，故A错误；
B.过作交于，则，，
,由向量关系知：，即，
故B正确；
C.由B知,当且仅当时成立，
故C错误；
D.由，
，，则
当且仅当时成立，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是B选项，需过作交于点，得到，从而可判断，，属于中档题.
4．（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．点在所在的平面内，若，则点为的垂心
B．若对平面中任意一点，有，则P，A，B三点共线
C．在中，已知，则
D．如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最大值是2
【答案】BCD
【分析】根据向量运算及数量积的性质即可判断A，利用共线向量的基本定理可判断B，利用两角和的余弦公式及同角三角函数基本关系判断C，以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可判断D.
【详解】对于A，向量，，分别表示在边和上取单位向量和，
它们的差是向量，当，即时，
则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心，错误；
对于B，因为，即，所以，
即，又因为有公共点，故点P，A，B三点共线，正确；
对于C，在中，，则，
又，所以.
又，则，所以，则，
所以，正确；
对于D，以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，
设，，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
所以，
因为，所以，所以当时，，
即的最大值是2，正确.
故选：BCD.
5．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则 ．
【答案】
【分析】设，得，得的最大值为，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题.
【详解】如图，延长交于，设，则，
因为在上，所以，即，
所以的最大值为，
设外接圆的半径为，所以，
当最大时，即最小时，即时，取最大值，
所以，解得，
此时是等腰三角形，，
.
故答案为：.
6．点AB在单位圆O上，、是两个给定夹角为120°的向量，P为单位圆上动点，C为线段OA上靠近A的三等分点，D为线段OB上靠近B的四等分点，设，则的最大值为 .
【答案】4
【分析】在平面直角坐标系中，借助三角函数写出三点的坐标，利用坐标表示，再把用三角函数表示出来，并求出其最大值即可求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，即，
设，则，
因为，
即，
所以，所以，
所以，
因为，所以 ，
所以当时，有最大值2，
所以有最大值4.
故答案为：4
7．如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设，则的取值范围是
【答案】
【分析】
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.
【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，
直线的方程为，化简得，
点到的距离，
可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，
设，则，，，
，
，
可得且，的坐标为，
在圆内，，
设，则，代入上式化简整理得，
若要上述不等式有实数解，则，
化简得，解得，即，
取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点的坐标用表示是解决本题的关键.
8．如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点），是圆上及其内部的动点，设，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得的坐标，进而可得的坐标．分类讨论，当动圆圆心在边或上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点坐标，再利用三角函数求的最值．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，
，由可得，
当点在上运动时，设，
则点在圆：上及内部，
故可设，
则，
，故，
其中锐角满足，
由于，,
当时，取最小值为，即；
当时，取最大值为，即，
的取值范围是；
当点在上运动时，设，
则在圆：上及其内部，
故可设，
则，
，故，
其中锐角满足，
由于，,
当时，取最小值为；
当时，取最大值为，即，
的取值范围是；
综上可得的取值范围是；
故答案为：
【点睛】关键点点睛：当点在上运动时，则点在圆：上及内部，故可设，当点在上运动时，则在圆：上及其内部，故可设.
