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重难点培优03 数列与不等式及数学归纳法的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 数列与不等式的恒成立问题（★★★★★） 2
题型二 数列与不等式的证明问题（★★★★★） 4
题型三 数学归纳法（★★★★） 6
03 实战检测 分层突破验成效 8
检测Ⅰ组 重难知识巩固 8
检测Ⅱ组 创新能力提升 10
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
2、数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当取第一个值结论正确；
（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确
题型一 数列与不等式的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题. 恒成立； 恒成立.
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
2．（23-24高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的前项和.
(2)在（1）的条件下，若，，求的最小值.
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)若时，恒成立，求正整数的最小值．
4．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若.
(1)求和及；
(2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立.
（i）当时，求证：；
（ii）设数列，求数列的前项和.
5．（24-25高三上·江西抚州·月考）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
8．在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在轴上的截距为，点的横坐标为，．
(1)求证：，；
(2)求证：存在，使得对任意都有．
题型二 数列与不等式的证明问题
【技巧通法·提分快招】
1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和. 2、放缩法技巧 在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；.
1．求证：．
2．求证：．
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
4．已知求证：
(1)；
(2)．
5．已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
6．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0
(1)求实数的值：
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：
(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：
8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列.
(1)求，的值；
(2)求的通项公式；
(3)求的通项公式，并证明：.
9．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求，的值；
(2)设，证明是等比数列，并求其通项公式；
(3)证明：．
题型三 数学归纳法
【技巧通法·提分快招】
1、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
1．在数列中，，（n为正整数）．
(1)求，的值；
(2)证明：．
2．已知数列满足，且，．
(1)求，，；
(2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明．
3．已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值；
(3)若，求证：对任意自然数，总有成立．
4．已知数列满足，且.
(1)证明：；
(2)证明：.
5．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数；
(3)设，，求证：.
6．如图，已知实数，曲线与直线的交点为（异于原点），在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，，．设点的坐标为，．
(1)试用表示，并证明；
(2)求证：，且；
(3)当，时，求证：．
7．已知常数满足，数列满足，．
(1)求，，；
(2)猜想的通项公式（不用给出证明）；
(3)求证：对成立．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列的首项为3，且满足，令．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的都成立，求的范围．
2．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.
3．记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．已知，，是等差数列，且．
(1)求，；
(2)求证：．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：.
6．已知在数列中，，是它的前项和，当时，．
(1)求，，的值，并推测的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
7．已知在数列中，，求证：
(1)是递增数列；
(2)．
8．（23-24高三下·北京·强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求 .
9．已知在数列中，，，求证：
(1)；
(2)．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．
(1)求；
(2)若，
（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．
2．已知正项数列满足，，数列满足，（且）．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．
(1)判断是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：，，成等比数列；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
4．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，
(1)（i）求的值；
（ii）求的值.
(2)若数列满足对于，求证：，使得．
5．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：
6．已知在数列中，，.
(1)求数列的通项；
(2)求证：；
(3)求证：.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的零点的个数；
(2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：
（i）数列是递增数列；
（ii）．
8．（24-25高三下·河南·月考）已知数列满足，且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．（附：当时，）中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优03 数列与不等式及数学归纳法的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 数列与不等式的恒成立问题（★★★★★） 2
题型二 数列与不等式的证明问题（★★★★★） 11
题型三 数学归纳法（★★★★） 20
03 实战检测 分层突破验成效 28
检测Ⅰ组 重难知识巩固 28
检测Ⅱ组 创新能力提升 37
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
2、数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当取第一个值结论正确；
（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确
题型一 数列与不等式的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题. 恒成立； 恒成立.
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法可求的通项公式；
（2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围.
【详解】（1）数列的首项，可得，
而，故，故，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即.
（2）若恒成立，即为，即恒成立，
设，可得，.
即数列是单调递减数列，可得，
所以，即实数的取值范围是
2．（23-24高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的前项和.
(2)在（1）的条件下，若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和，
（2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解.
【详解】（1）由于为正项等比数列，，故，故公比，
故，则，
两式相减得，
所以
（2）由已知得由可得，即
设，
当时，；当时，
所以当时，取最大值，即.故的最小值是.
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)若时，恒成立，求正整数的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)11
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求出首项和公差，即可得到结果.
（2）分两种情况讨论，再利用等差数列的前项和公式计算可得结果.
（3）根据（1）、（2）可得，解不等式可得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）可得，，
当时，，
当时，
，
故．
（3）因为，,
所以，
整理得，解得或，
因为，，所以正整数的最小值为．
4．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若.
(1)求和及；
(2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立.
（i）当时，求证：；
（ii）设数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由等差数列与等比数列的基本公式求解即可；
（2）（i）由题意对任意时恒成立，进行赋值即可证明；
（ii）由（i）可猜想，然后论证猜想，最后分组求和即可解出．
【详解】（1）因为，则，所以公比为，从而，
故；
又，则，公差为，
从而.
（2）（i）由题意对任意时恒成立，
则；
又对任意时恒成立，
则，
综上，.
（ii）由（i）知，，
猜想，否则，若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立；
若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立，所以，
.
5．（24-25高三上·江西抚州·月考）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由可求得数列的通项公式，当时，由可得出，两式作差可得出，利用累乘法可求出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】（1）当时，，
当时，满足上式，所以，，.
因为，当时，，
两式作差得，
即，所以，，
所以，当时，，，，，，
上述等式全部相乘得，所以，，
也满足，所以，对任意的，.
（2）因为.
所以，.
由已知，即，解得，
因此，实数的取值范围是.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求得，再利用前n项和与第n项的关系推理得证；
（2）利用（1）的信息即可求出，；
（3）求出并求出其最大项，建立不等式求解．
【详解】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，即，①
则，②
②①得：，即，
可得，又，
是等比数列．
（2）由（1）知，
则．
（3）由，且，得，
当时，，当时，，
，
若，则，
若，则，可得，
因此数列的最大项为，
由，，得，
即，整理得，则，即，
的取值范围是．
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)6
【分析】（1）利用得到，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）在（1）基础上，得到，先当为偶数时，分组求和得到，再求出当为奇数时，为偶数，，从而得到答案；
（3）求出公比，由（2）知，，即，令，则，，得到，又，，当时，，故使得成立的最大整数为6.
【详解】（1）①，
当时，②，
式子①-②，化简得，
两边同时除以得，
中，令得，
即，又，故，
，故对，
数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2），则，设数列的前项和为，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，为偶数.
，
；
（3）设等比数列的公比为，
由，或，
又数列是递增数列，.
由（2）知，即，
令，则，
，
当时，，当时，，当时，，
即有，
又，
故当时，，
又，
，当时，，故使得成立的最大整数为6.
8．在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在轴上的截距为，点的横坐标为，．
(1)求证：，；
(2)求证：存在，使得对任意都有．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出，再根据直线在轴上的截距为求出，即可证明；
（2）设，代入化简，利用放缩方法得到，再设，证明当时即可.
【详解】（1）依题设有，，
由，得，，
解得，，
又直线在轴上的截距为，
即满足，得，
因为，，
所以，
所以．
因此，对于，有，．
（2）设，，
则
，
因为，所以，，
设，，则当时，
．
所以取，则对任意都有：
，
故有成立．
题型二 数列与不等式的证明问题
【技巧通法·提分快招】
1、对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，有时采用比较法；有时采用构造函数法；但更多采用放缩法进行证明.在运用放缩法证明时，若能够直接求和，则考虑先求和再放缩；若不能或很难求和，则考虑先放缩再求和. 2、放缩法技巧 在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；.
1．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由裂项相消法求和即可得证.
【详解】，
.
2．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】放缩法证明即可.
【详解】由,则
则,证毕.
3．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令，求出的值，对任意的，由可得，两式作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）因为①，所以，解得，
对任意的，②，
②-①得，即，
所以，即，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
（2）因为，
所以，
因为，数列为单调递增数列，所以，
即．
4．已知求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据放缩法化简再应用裂项相消法计算证明；
（2）根据放缩法化简再应用裂项相消法计算证明.
【详解】（1）因为，
所以
．
（2）因为，
所以
．
5．已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可；
（2）采用放缩法和裂项相消法来证明不等式.
【详解】（1）因为为正项数列，①，
当时，得；
当时，②，
①－②得，得．
又，，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以．
（2）解法1：因为，
所以当时，
，
当时也符合，所以原不等式成立．
解法2：因为，所以，
所以，
所以当时，
，
当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立．
6．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1），，利用累加法可求出的通项公式
（2）由（1）可知，结合，得，进而求．设函数，利用函数导数判断函数单调性得，令，得，结合放缩证明．
【详解】（1）因为，所以
将各式相加可得
．
（2）由（1）可知，因为，所以，
所以．
设函数，则，
即在上单调递减，故，则．
令，则，
所以，
故．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0
(1)求实数的值：
(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：
(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1），分类讨论，判断单调性，求出的值；（2）由（1）可以判断单调性，证明结论；（3）要证，只需证，设判断单调性，进行放缩，进行累加证明.
【详解】（1）当时，，当时，，不成立
当时，，
当时，
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取最小值，此时，解得.
（2），
设
当时，，所以在上单调递增，
所以，即.
（3）要证，只需证
又
所以只需证，即证，
由于，只需证,
，
即证，由（2）可知，，
即需证，
设，
所以单调递减，因为,所以，
即，所以，
即，累加后得证.
8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列.
(1)求，的值；
(2)求的通项公式；
(3)求的通项公式，并证明：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)，证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件可得，取依次计算得解.
（2）由（1）的信息，按的奇偶分类，结合累加法及等比数列前项和公式求解.
（3）利用与的关系求出通项公式，再作差比较得证.
【详解】（1）由是以为首项，为公比的等比数列，得，
则，而，
所以.
（2）数列中，，，
当时，，
，则，
当为奇数，时，，满足上式，因此当为奇数时，；
当时，，
，则，
当为偶数，时，，满足上式，因此当为偶数时，，
所以的通项公式是.
（3）由（2）知，，
当时，，
而满足上式，因此，
，
所以.
9．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求，的值；
(2)设，证明是等比数列，并求其通项公式；
(3)证明：．
【答案】(1)，．
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合数列的递推关系式，进行计算，即可求得，的值；
（2）由，分别化简求得，，得到，得出，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（3）由（1）知且，求得，结合，利用等比数列的求和公式，即可得证.
【详解】（1）解：由数列中，，，
可得，.
（2）解：由，
可得，，
所以，
因为，所以，即，
又因为，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（3）解：由（1）知且，可得，
所以，
又由，
因为显然成立（当且仅当时等号成立），所以，
因此.
题型三 数学归纳法
【技巧通法·提分快招】
1、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
1．在数列中，，（n为正整数）．
(1)求，的值；
(2)证明：．
【答案】(1)0，
(2)证明见解析
【分析】（1）代值计算即可；
（2）由数学归纳法和数列与函数的性质即可证明；
【详解】（1）在数列中，，，
，．
（2）证明：设，则，
①当时，命题成立．
②假设时，命题成立，即．
当时，易知在上为减函数，
从而，即，
所以当时结论成立，
由①②可知命题成立，即．
2．已知数列满足，且，．
(1)求，，；
(2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)，，．
(2)猜想，证明见解析
【分析】(1)利用题干的迭代条件即可得到，，;
(2)利用第一问的结果即可猜想，再用数学归纳法证明
【详解】（1）将已知等式展开整理得
，
解得．
由，知．
故，，.
（2）由，，，，猜想．
（i）当时，，命题成立；
（ii）假设当，命题成立，即，
那么，
即时命题成立．
由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立．
3．已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值；
(3)若，求证：对任意自然数，总有成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设是图象上任意一点，验证满足解析式可完成证明；
（2）由（1）结合题意可得答案；
（3）等价于证明，然后由数学归纳法可完成证明.
【详解】（1）设是图象上任意一点，
则点关于点对称的点的坐标为．
已知，则，
．
故，即函数的图象关于点对称．
（2）由（1）有，即，
所以，，，
则．
（3），即，不等式等价于．
下面用数学归纳法证明．
当时，左边，右边，，不等式成立；
当时，左边，右边，，不等式成立；
假设当时不等式成立，即，
则当时，左边，右边，
，
因在上单调递增，则.
则，所以对任意自然数，总有成立，
即对任意自然数，总有成立．
4．已知数列满足，且.
(1)证明：；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）通过构造函数，并求导分析单调性，证得任意时，，再结合不等式的性质运算即可得证；
（2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，利用变形后的不等式结合累乘法可证明.
【详解】（1）由题意可得.构造函数，x，
则，在上单调递增.
所以，即任意时，.
，，且，
且，故.
所以，.
（2）下面用数学归纳法证明.
①当时，成立；当时，成立；
②假设当时，，，
则当时，，
且，所以，
综合①②可知，对任意，成立.
，，
由，则，即，
，数列为递增数列，
，即.
当时，，即，
当时，，
所以，对，得证.
5．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数；
(3)设，，求证：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求得曲线在处的切线斜率，由点斜式方程即可；
（2）对函数求导，按照和分类讨论函数的单调性，即可判断函数的极值点个数；
（3）由推得，根据（2）的分析得出且时，；当且时，.接着根据数学归纳法证明结论成立.
【详解】（1）当时，，则，
又，
则曲线在处的切线方程；
（2）的定义域为，
则，因，故，
由可得或，
当时，，则在上单调递增，故函数无极值点；
当时，，
由可得或；由可得，
即函数在上单调递增；在上单调递减.
故当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
综上，当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点.
（3）由可得，两边取对数，
即，.
由（2）知，当时，函数在上单调递增，且，
故当时，，即，也即；
当时，函数在上单调递减，
故当时，，即，也即.
下面用数学归纳法证明：.
①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即.
则当时，；
又，
即当时，有，结论成立.
由①②可得，对，都成立.
6．如图，已知实数，曲线与直线的交点为（异于原点），在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，，．设点的坐标为，．
(1)试用表示，并证明；
(2)求证：，且；
(3)当，时，求证：．
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据点是直线和曲线的交点，联立方程组，把点的坐标代入，解出参数和的关系；
（2）由题意先证明，再根据数学归纳法证明，根据题意得，设出，依据此条件证明，即可证明原命题；
（3）由，得出和之间的关系，根据曲线方程，求出，再根据放缩法证明不等式恒成立.
【详解】（1）点的坐标满足方程组，所以，
解得，故，
因为，所以，故.
（2）由已知，，，
即，，
所以，
因为，，所以.
下面用数学归纳法证明.
（i）当时，成立；
（ii）假设当时，有成立，
则当时，，
所以，
所以当时命题也成立，
由（i）（ii）知成立.
（3）当时，，，
，，
所以，
因为，所以当时，由（2）知，
所以有，
又因为，，
所以，，
故有.
7．已知常数满足，数列满足，．
(1)求，，；
(2)猜想的通项公式（不用给出证明）；
(3)求证：对成立．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据已知递推式依次写出对应项即可；
（2）根据（1）写出的通项公式，应用数学归纳法证明；
（3）由已知得，结合（2）所得通项公式得，易得与的符号相同，问题化为证明，即可证.
【详解】（1），
，
；
（2）猜想：，
显然时，满足，
若，成立，
则对于，
有，
综上，；
（3）因为，，
所以，
由（2）知，，
所以的符号与的符号相同，
依次类推，我们只需要证明，
因为，
而，所以，所以，，
所以，所以，即.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知数列的首项为3，且满足，令．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的都成立，求的范围．
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）将递推关系变形，利用等比数列的定义证明，并求出通项公式；
（2）由（1）可得，对任意均成立，令，判断数列的单调性，求出最大项得解.
【详解】（1）由，则，又，
所以，又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
.
（2）由，则，即对均成立，
所以，对任意均成立，
令，由，，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
，即的取值范围为.
2．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可.
（2）利用错位相减法求和.
（3）分析数列的单调性，求的最大值，再解二次不等式即可.
【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以.
又.
所以.
（2）由.
所以.
所以，
所以，
两式相减得：，
所以.
（3）由.
所以数列从第2项开始，单调递减.
所以.
由或.
所以实数的取值范围是：.
3．记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和的关系式，消去得到的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可；
（2）根据（1）的结论和的关系式，利用裂项相消法求出的表达式，结合数列增减性即可证明.
【详解】（1）因为①，
当时，，解得．
当时，②，
由 ①－②得，
即，所以．
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，所以．
（2）由（1）可知，
从而，
因为，单调递增，则．
4．已知，，是等差数列，且．
(1)求，；
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出.
（2）利用导数证明不等式，进而证得，由（1）求出并放缩裂项求出即可得证.
【详解】（1）由，得，等差数列的公差，则，
当时，，于是，满足上式，
所以.
（2）令函数，求导得，在上单调递增，
，即，取，则，
于是，由（1）知，，
所以.
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，，两式相减可得，从而求出的通项公式；
（2）设数列的公差为，结合已知条件可得：，所以，利用裂项相消及不等式的性质求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减可得，
即，则，
由，可得，
所以当时，，即，
因为不满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）设数列的公差为，因为成等比数列，且，
所以，即，整理得，
解得或，
因为，所以，又因为，所以数列的通项公式为.
可得
综上可得，对于任意，都有.
6．已知在数列中，，是它的前项和，当时，．
(1)求，，的值，并推测的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项；
（2）用数学归纳法证明.
【详解】（1）因为，所以，解得．
这时，，所以，解得．
这时，，所以，解得．
由，，，猜想时，，
所以推测数列的通项公式是.
（2）用数学归纳法证明：
（i）当时结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即，
这时
，
所以.
当时，由得，
得，所以，即时结论成立.
由（i），（ii）可知对时结论都成立.
7．已知在数列中，，求证：
(1)是递增数列；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法证明数列单调性即可；
（2）首先根据题意找出数列的递推关系，再利用累加法求出，最后利用分析法将要证明的不等式转化为证明，最后利用放缩法和裂项相消求和法，当时，给出证明即可.
【详解】（1）设，
则
，
单调递增，即是递增数列．
（2）由，得，
整理得，
，…，，，
累加得，
又,所以，
所以．
要证原不等式成立，只需证．
，时，显然成立；
时，
，得证，
故．
8．（23-24高三下·北京·强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求 .
【答案】
【分析】求出，，用归纳法证明，从而求出.
【详解】因为，，
所以，
同理，
猜想：，
①当时，成立；
②假设时成立，即，
则时，
，
所以，猜想成立，
综上可得：对，都有成立；
故数列为公差为2，首项为的等差数列，
则.
9．已知在数列中，，，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推公式直接计算即可；（2）将式子进行化简成与（1）相关的式子，利用累乘法与裂项相消法求证.
【详解】（1）因为，
，
所以．
（2）当时，;
当时，，
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．
(1)求；
(2)若，
（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．
【答案】(1)或
(2)（ⅰ）．；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）方法1：由及，利用等差数列基本量的运算求解即可；
方法2：先求出，然后利用化简得，将已知条件代入求解即可.
（2）（ⅰ）与相减得，，利用累乘法得，即可；
（ⅱ）由（ⅰ）得，进而求得，累加法结合即可证明.
【详解】（1）方法1：，，，
由或，
于是或，所以或．
方法2：显然，则，
于是，所以，
相减得，即，
所以，，又，，解得或.
（2）（ⅰ）当时，，即，
所以，相减整理得，，
所以，，…，，累乘得，，
也满足上式，所以．
所以．
（ⅱ），，显然．
，
所以，，…，，
累加得，得证．
2．已知正项数列满足，，数列满足，（且）．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，构造等比数列可求得；
（2）由已知可得，进而可得，可得结论.
【详解】（1）由，得，
所以，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
（2）由，得，
由，得，
得，即，
因为，，，则,
由（1）知，
所以
．
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．
(1)判断是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：，，成等比数列；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)成等比数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，令，和，依次求出，利用等比数列定义判断即可；
（2）由，，成公差为的等差数列，得，即可利用累加法求出，从而可得，，，再利用等比数列定义判断即可；
（3）当为奇数时，，，当为偶数时，，，利用放缩法求出数列的前项和为，即可证明.
【详解】（1）当时，成公差为1的等差数列，
则，；
当时，成公差为2的等差数列，则，；
当时，成公差为3的等差数列，则．
所以，，从而，故成等比数列.
（2）由，，成公差为的等差数列，得，
可得：，，，，，
累加得
因为，，成公差为的等差数列，所以，
，又因为，，成公差为的等差数列，
所以，
所以，得，，成等比数列．
（3）由，由（2）知：
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
故，且对一切正整数，有，
时，
，
综上，．
4．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，
(1)（i）求的值；
（ii）求的值.
(2)若数列满足对于，求证：，使得．
【答案】(1)（i）;（ii）
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出；
（ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出；
（2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式.
【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得：
，又，
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式可得.
所以.
（ii）将与两式相减可得：
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以.
由平方差公式，则
设 ①
则 ②
① - ②得：
所以
则.
（2）因为，所以.
由，，可得，.
则.
设 ③
则 ④
③ - ④得：
所以.
则.
当足够大时，会大于2025，所以，使得
5．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）设数列的前项和为，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据作差计算可得；
（2）由（1）可得，利用分组求和法及裂项相消法计算可得；
（3）首先利用作差法证明（），从而得到（），利用放缩法证明即可.
【详解】（1）因为，即，
当时，，所以；
当时，，
所以，
而也满足上式，
；
（2）因为，，，
，
；
（3）由（1）可得，
因为
（），
所以（）
所以（），
【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是推导出（）.
6．已知在数列中，，.
(1)求数列的通项；
(2)求证：；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用构造数列法求数列的通项；
（2）对数列的通项进行变形，利用分组求和的方法表示出，将所证不等式转化为，用求证即可；
（3）将所证不等式转化为，用求证即可.
【详解】（1）因为，所以，
可得，
因此，
即是一个以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故，.
（2）因为，
要证明，
即证明，
因为，令，得，即，
所以，原不等式得证.
（3）要证明，
即证明，
因为，
即，
证明①成立即可.
由，得，
令，则，，
所以，
，
又，所以，即①式成立，
综上得原不等式成立.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的零点的个数；
(2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：
（i）数列是递增数列；
（ii）．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用分离参变量，再构造函数求导研究单调性，然后结合取值规律，可得到零点个数的判断；
（2）（i）利用递推及放缩思想，可得到，然后再利用函数的单调性可得到数列的单调性；
（ii）利用，结合零点的条件进行放缩，，再利用裂项相消求和，从而原不等式可得证.
【详解】（1）令，可得，设，
因为，
所以当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
即，
又因为，，，
所以当时，无零点；
当或时，仅有一个零点；
当时，有两个零点；
（2）（i）由（1）知，当时，仅有一个零点；
由的唯一零点为，则，
两边取自然对数得：，
即，两式相减得：，
可得，
设，则，因为，所以，
即是在上单调递增，
所以有，即数列是递增数列；
（ii）先证明：时，，
构造，求导得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
即，所以，即，
又因为，结合上面不等式有，
所以，又因为，
所以有，
即
再由可得：，当且仅当时取等号；
再由，得，
结合上式可得：，整理得：，
当且仅当时取等号，
当时，，
再由，得：，
所以有，
则，
当且仅当时等号成立.
【点睛】关键点点睛：（i）利用，再结合赋值相减可得递推关系，然后放缩，可得简化的递推关系，再结合函数的单调即可得证；
（ii）关键是两个放缩思想，，,这两个式子都需要借助常用函数不等式来进行证明，最后利用求和思想即可得证.
8．（24-25高三下·河南·月考）已知数列满足，且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．（附：当时，）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先构造函数，利用导数证明任意，；由再结合所证不等式与不等式性质证明；
（2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，变形可得所求证不等式；
（3）由题附结论转化放缩变形得，再利用裂项求和法证明，由此得证，变形可得.
【详解】（1）由题意可得.
构造函数，
则，在单调递增.
所以，即任意时，.
，，且，
且，
故.
（2）下面用数学归纳法证明.
①当时，成立；当时，成立；
②假设当时，，，
则当时，，
且，所以，
综合①②可知，对任意，成立.
，，
由，则，即，
， 数列为递增数列，
，即.
（3）要证，由，故即证.
当时，成立；
当时，由题附结论可知，当时，，
所以，即，
由，故在式两边同除以得，
所以，即，
，，
由，可得数列是正项递减数列，又数列为正项递增数列，
所以，
则
，
又，
，
，
综上所述，对任意，都有，
故，得证.
【点睛】关键点点睛：解决此题关键有两点，一是递推关系的变形，转化为进而利用放缩法证明不等式；二是借助裂项、放缩变形数列求和证明不等式，如：；.
