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重难点培优04 三次函数的图像与性质
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 5
题型一 三次函数的零点（★★★） 5
题型二 三次函数的单调性、极（最）值（★★★★★） 11
题型三 三次函数的对称性（★★★★） 17
题型四 三次函数的切线（★★★） 20
题型五 三次函数综合问题（★★★★★） 27
03 实战检测 分层突破验成效 36
检测Ⅰ组 重难知识巩固 36
检测Ⅱ组 创新能力提升 57
1、三次函数的概念
形如的函数叫做三次函数，其中x是自变量，a，b，c，d是常数
其导函数为二次函数，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
2、三次方程的实根个数
，判别式为：△=，设的两根为、
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
注：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，
即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且
）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
④三次方程韦达定理
若一元三次方程存在三个实数根，则：
3、三次函数的单调性
三次函数,
（1）若，则在上为增函数；
（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：, △=，
①当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数.
②当 即时，解方程，得
或 在和上为增函数.
在上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数,
(1) 若，则在R上无极值；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
4、三次函数的对称性
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
证明1：
易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.
， 当时，取得最小值，显然图象关于对称.
证明2：设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上,
5、三次函数图象的切线条数
过（）的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作的切线，有且仅有三条；
②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．
切线条数口诀：内一、上二、外三．
6、常用结论
（1）三次函数的图象关于点对称
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数
（3）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
（4）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
（5）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
题型一 三次函数的零点
【技巧通法·提分快招】
①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次， 即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且 ）. ②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以，且. ③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
1．（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数.
【详解】，，
令，得或；令，得，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，极小值为，
当时，，当时，，
所以函数的零点个数为2．
故选：C．
2．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数研究其图象性质，再将问题转化交点有3个，列式即可得解.
【详解】令，得，即，
记，求导得，
因为当时，，函数在单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
且当时，且，当时，且，
则函数的大致图象如图，
交点有3个，所以，
所以的取值范围为.
故选：A.
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解.
【详解】由题意可得在上有唯一解，即，
令，则，则，
令，则，
则，
当时，的，开口向上，恒大于零，
所以为递增函数，为递减函数，
因为，所以在上无解；
当时，必须成立，若，会出现图象的情况，
即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且），
所以图象只能为，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得，
又，所以的范围为.
故选：B
4．（2025·云南昆明·一模）已知函数，，且，若当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三次函数图象性质以及零点的符号即可判断得出结论.
【详解】由三次函数解析式可知其图象呈现“N”形，
又当时，，所以函数的所有零点均为非正数，
又，且，因此，即函数的所有零点均小于零；
可知，解得.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键在于熟练掌握三次函数图象性质，根据零点符号直接限定得出结果.
5．（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】问题化为在上有三个根，进而化为有三个根，导数研究且的区间单调性和值域，讨论参数m判断方程根的个数求参数范围.
【详解】令，则，
两侧平方得，即，
所以，
对于且，有，
上，即在上单调递增，
上，即在上单调递减，
当时有，当时有，当时有，
在上值域为，在上值域为，在上值域为，
当时，，则有三个根，则，满足题设；
当时，，可得或，共有两个零点，不合题设；
当时，或，且，
若，则，即为其中的两个根，
此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有三个零点，满足题设；
若，则为其中的两个根，而且有且仅有一个根为，
此时，一共只有两个零点，不满足题设；
若，则，此时为其中一个根，
此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有两个零点，不满足题设；
综上所述，的取值范围为.
故选：A.
6．（2025·湖南·二模）已知函数有三个不同的零点.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，比较的极大值与的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)极大值大于
【分析】（1）由极大值大于0，极小值小于0可得答案；
（2）由题可得是方程的两个根，则由韦达定理结合题意可得：，随后分类讨论与大小关系可得答案；
（3）设的两个不等根为，由题可得的极大值为，然后由，可用表示，可得，最后利用导数知识可比较大小.
【详解】（1）时，，，
知时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值是的极小值是，
由有三个零点知有解得.
（2）由知，所以，
所以是方程的两个根，
即有，得，
所以，由，得，
①时，，
则此时不成立；
②时，，
所以只需，即，解得.
综上可知.
（3）当时，，
由有三个零点知有两个不相等的解，记为（设），
所以有，得（舍去），
由求根公式知，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
由，得，得，
代入得，
由及知，
考虑函数，
，所以在上单调递减，
所以，所以，所以的极大值大于.
题型二 三次函数的单调性、极（最）值
【技巧通法·提分快招】
三次函数的单调性 三次函数, （1）若，则在上为增函数； （2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
1．（24-25高三下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围.
【详解】由得，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
又，
则在区间上有最大值时有，，
得，
则实数的取值范围是.
故选：B
2．设，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，令，解得或，然后分和，结合的正负讨论判断函数的极值点即可.
【详解】∵，
∴.
令，解得或.
若，即时，
当时，
令，解得或；令，解得，
∴函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时是函数的极大值点，不符合题意；
当时，
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
此时是函数的极小值点，满足题意，
此时由，可得；
若，即时，
当时，
令，解得或；令，解得，
∴函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时是函数的极小值点，满足题意，
此时由，可得；
当时，
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
此时是函数的极大值点，不符合题意，
综上，一定成立.
故选：D.
3．（24-25高三上·福建宁德·月考）（多选题）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据函数两个极值可知导函数等于0有2个不等实根判断A，根据两个根的关系结合函数单调性判断B，根据奇函数的性质判断CD.
【详解】因为函数有两个极值点，
所以有2个不等实根，故，A正确；
由是的两根，且知，，
令，解得，所以函数在上单调递减，
所以，B正确；
令，则，为奇函数，
所以，
所以，故C错D对.
故选：ABD
4．（24-25高三下·江苏南通·月考）（多选题）已知函数满足，则（ ）
A． B．对于任意有三个零点
C．对于任意有两个极值点 D．时，在上存在最大值
【答案】AB
【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；求导，确定函数在上单调性即可判断；
【详解】对于A，由，，
可得，即，故A正确；
对于B，由A选项可得，
则，则，
当时，令，则，
令，则或，
令，则，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
由，可得，
而，所以，
又当时，，当时，，
所以函数在和都存在一个零点，
所以对于任意，有三个零点，故B正确；
对于C，当时，
，则，
由，
得恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以函数无极值点，故C错误；
对于D，由A知：，，得，
所以，
所以，
易知：时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又，
所以在上不存在最大值，D错误，
故选：AB
5．（多选题）已知函数，则（ ）
A．可能没有零点
B．有两个极值点
C．，在有最大值
D．，在单调递增
【答案】BC
【分析】根据极值点和零点的性质以及区间最值和单调性的计算方法依次判断即可.
【详解】选项A，三次函数，当时，，当时，，所以函数至少有一个零点，选项A错误；
选项B，，，判别式，故导数恒有两个不同的零点，对应原函数有两个极值点，选项B正确；
选项C，，根据韦达定理，导函数的两个零点之积为，所以两个零点一正一负，故在内仅有一个极值，由于导函数二次项系数为正，该极值为极大值，也为最大值，选项C正确；
选项D，在单调递增需恒成立，但开口向上，且必有一个正的变号零点，导致原函数在存在递减区间，选项D错误.
故选：BC.
6．（2025·河北·一模）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为 .
【答案】
【分析】由三次不等式的解集可得的解析式，再进行求导研究单调性即可.
【详解】因为原不等式的解集是且，
故、为的零点，
则或（舍）
所以，
则，
，得或；，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为.
故答案为：.
7．已知函数，如果且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数可得函数单调性，从而可得的范围，再构造函数，结合三次函数交点式即可得、，再结合的范围即可得解.
【详解】，
则当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
则有极大值，
有极小值，
由，则可设，
令，则，
即有，
则，
故，，
则，
故答案为：.
题型三 三次函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
1．已知函数，则函数的图像对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案.
【详解】任意取函数上一点，则，
对于A，点关于点成中心对成的点为点，
，故A错误；
对于B，点关于点成中心对成的点为点，
，故B错误；
对于C，点关于点成中心对成的点为点，
，故C正确；
对于D，点关于点成中心对成的点为点，
，故D错误.
故选：C.
2．（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可.
【详解】由题意可得，，
令解得，
又，
所以的图象的对称中心为，即，
所以
，
故选：B
3．（多选题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．的极大值为0
C．的图象是轴对称图形
D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】A求导，解不等式、即可；B利用单调性可知；C由时；时，可判断；D计算即可.
【详解】依题意，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，故A正确；
而的极大值为，故B正确；
因，结合单调性可知时；时，，
故不是轴对称图形，故C错误；，
则关于点对称，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）设函数，则（ ）
A．是极大值点
B．有三个零点
C．当时，
D．的图象关于对称
【答案】ACD
【分析】利用导数判断出的单调性，结合图象可判断AB；根据的范围可判断C；利用点对称可判断D.
【详解】，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处有极大值，为，
在处有极小值，为，
，
可得的大致图象，故A正确，B错误；
对于C，当时，，由图象可知，故C正确；
对于D，因为，
所以的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
题型四 三次函数的切线
1．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围即可.
【详解】因为，所以，
设切点为，则切线方程，
而过，将代入方程得到，
令，，
令，，此时单调递减，
令，，此时单调递增，
故有极小值，有极大值，
则得到，故A正确.
故选：A.
2．（23-24高三上·广东汕头·月考）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设切点为，则，
，故，且切线方程为，
因为在切线上，故，
整理得，
因为过点可作曲线三条切线，
故有三个实数根，
设，则，
由得，或，
因为，由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
故要有三个实数根的充要条件为，
即，解得.
故选：D
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 已知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
3．（23-24高三上·北京·月考）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在区间上是增函数 D．过点的图象的切线有且只有1条
【答案】C
【分析】利用导函数图象与原函数图象关系可知，函数的图象开口向上，交于轴负半轴，且对称轴在轴左侧可判断AB错误；由图象单调性即可知C正确；设出过点的切线的切点坐标，利用斜率构造方程并利用方程根的个数判断切点个数，即可得切线条数，可知D错误.
【详解】根据题意可知，
由图像可知和是方程的两个不相等的实数根，
且函数的图象开口向上，所以，其图象大致如下图所示：
显然导函数图象与轴负半轴有交点，所以，即A错误；
又因为，所以对称轴，由可知，即B错误；
由图可知，函数在区间上是增函数，即C正确；
不妨设过点的切线与图象的切点为，
则此时切线斜率为，
又易知；
即，
整理可得，即；
显然当时，方程有唯一实根，此时过点的图象的切线有且只有1条；
当时，方程有不相等的两实根，此时过点的图象的切线有2条；
所以D错误.
故选：C
4．（2024·山东·模拟预测）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上的最小值为
B．的图象与轴有3个公共点
C．的图象关于点对称
D．的图象过点的切线有3条
【答案】ABD
【分析】将原函数的导函数求出，即为：，由导函数的正负判断原函数的单调性，然后即可判断出函数在上的最值，将原函数的极大值与极小值求出，即可画出函数图象，判断出函数与轴的交点个数，对于C选项，只需判断出即能说明的图象关于点对称，D选项需求过点的切线方程，注意区分过某点的切线方程和在某点的切线方程.
【详解】因为，所以，
所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增，
A选项中，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，
所以在上的最小值为，A正确；
因为在，上单调递增，在上单调递减，
，
，
且当时，，时，，
如图所示：
所以的图象与轴有3个公共点，B正确；
若的图象关于对称，则有，
因为，
所以C错误；
因为，设的切点为，
所以，
所以在切点处的切线方程为：，
当切线过时，即：，
整理得：，
设，
则
所以时，或，
当时，，单调递减，
当时，或，单调递增，
所以，
所以的图象如图所示：
所以由图象知有三个零点，所以有三个根，
所以的图象过点的切线有3条，D正确.
故选：ABD
5．已知函数，且曲线上有且仅有一个点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 .
【答案】
【分析】根据导函数的几何意义，求过一点的函数切线，根据斜率之间的关系，列出方程，求出参数的值.
【详解】已知，则，
设切点为，切线斜率，
根据切线方程，可得，
过该点有两条曲线的切线，则有两个解，因式分解得，解得或，
所以另一个切点的横坐标为，此点切线斜率为，
此两条切线垂直，则，
令，则原方程为，化简得，
此方程只有一个非负数解，则，
则，
解得，因为，即，所以.
故答案为：.
6．设函数在处取得极值．
(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；
(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．
【答案】(1)证明见解析，切线方程为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分析可得，可得出，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，即可得出结论；
（2）将原点的坐标代入切线方程可得，设，分析可知函数有三个零点，利用导数分析函数的单调性与极值，可得出关于实数的不等式，结合零点存在定理可得出结果；
（3）利用反证法，假设，可得出，由（2）可得出，作差变形可得出，可得出，利用韦达定理与基本不等式推出矛盾，即可出结论.
【详解】（1）证明：由，得：，
由题意可得，所以，．
此时，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数在处取得极大值．
设切点为，则切线方程为，
即，
即为，
将点的坐标代入方程可得，
即，所以，即点为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．
所以切线方程为.
（2）解：因为切线方程为，
把点的坐标代入切线方程可得，
因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根．
设，
，令，可得和．
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，函数在处取得极大值，且，
函数在处取得极小值，且，
因为方程有三个根，则，解得，
因为，，
由零点存在定理可知，函数有三个零点，
综上所述，．
（3）证明：假设，则，则，
因为，所以．
由（2）可得，两式相减可得．
因为，故．
把代入上式可得，，
所以，，所以．
又由，这与矛盾．
所以假设不成立，即证得．
题型五 三次函数综合问题
1．（多选题）已知函数，则（ ）
A．可能没有零点
B．有两个极值点
C．，在有最大值
D．，在单调递增
【答案】BC
【分析】根据极值点和零点的性质以及区间最值和单调性的计算方法依次判断即可.
【详解】选项A，三次函数，当时，，当时，，所以函数至少有一个零点，选项A错误；
选项B，，，判别式，故导数恒有两个不同的零点，对应原函数有两个极值点，选项B正确；
选项C，，根据韦达定理，导函数的两个零点之积为，所以两个零点一正一负，故在内仅有一个极值，由于导函数二次项系数为正，该极值为极大值，也为最大值，选项C正确；
选项D，在单调递增需恒成立，但开口向上，且必有一个正的变号零点，导致原函数在存在递减区间，选项D错误.
故选：BC.
2．（24-25高三下·江苏南通·月考）（多选题）已知函数满足，则（ ）
A． B．对于任意有三个零点
C．对于任意有两个极值点 D．时，在上存在最大值
【答案】AB
【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；求导，确定函数在上单调性即可判断；
【详解】对于A，由，，
可得，即，故A正确；
对于B，由A选项可得，
则，则，
当时，令，则，
令，则或，
令，则，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
由，可得，
而，所以，
又当时，，当时，，
所以函数在和都存在一个零点，
所以对于任意，有三个零点，故B正确；
对于C，当时，
，则，
由，
得恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以函数无极值点，故C错误；
对于D，由A知：，，得，
所以，
所以，
易知：时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又，
所以在上不存在最大值，D错误，
故选：AB
3．（2025·辽宁大连·三模）（多选题）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是.则（ ）
A．
B．若是对称中心，则极小值是-12
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数极值，单调性，零点，与导函数之间的关系，以及函数对称性，列出等式，分别判断各选项的正误.
【详解】已知函数在上是增函数，在上是减函数，所以在取得极大值，则，
由，得，所以A正确.
方程有一个根是，则，得，
由函数对称中心是，可得，
代入得，化简得，
联立，解得，则，
求导得，令，解得或，
可知函数在单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，
则，所以B错误.
已知，可得，因为在上是减函数，所以，
即，解得.
由，得，则，
由，可得，所以，所以C正确.
因为方程有3个实数根，所以设，
所以，得，
由得，
因为，所以，所以，所以D正确.
故选：ACD.
4．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．
【答案】ABD
【分析】先求导函数的极值点，再代入原函数得，化简可得，可判断A选项；根据极值存在条件可得，可判断B选项；由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即，可判断C选项；由A选项得，结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故，A对；
对于B选项，因为有极值，故有两相异实根，
由得，且，得.
此时有两个相异的实根，.
列表如下
极大值 极小值
故的极值点是、，从而，B对；
对于C选项，由A选项知，.
设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即，则，C错；
对于D选项，由A选项可知，D对.
故选：ABD.
5．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）已知函数有3个零点和2个极值点，则（ ）
A．的3个零点之和等于
B．的3个零点之积等于
C．在3个零点处的切线的斜率之和大于零
D．的3个零点和2个极值点的算术平均数相等
【答案】BCD
【分析】令三个零点为，则并展开，结合已知解析式判断A、B；对函数求导有，由，若两个极值点为，则，且，即可判断C、D.
【详解】由题设，令三个零点为，则，
又，则，，A错，B对；
对函数求导得，显然，即，
若两个极值点为，则，故，D对；
三个零点的斜率之和为，
又，且，
所以，
所以，C对.
故选：BCD
6．（多选题）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有个零点
C．若在上的最大值为，则
D．
【答案】BCD
【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，借助函数的单调性、极值及，可判定C正确；D选项，求得，令，求得，得出，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.
【详解】A选项，由函数，
可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
在单调递增，当时，取得极大值，
极大值为，所以极大值点为，A错误；
B选项，由A知，当时，取得极小值，
极小值，且当时，，
当时，，，
所以函数有3个零点，所以B正确；
C选项，，
由A、B可知，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，，
所以，在上的最大值为，则，C正确；
D选项，由，可得，
令，可得，
又由，
所以点是函数的对称中心；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以
，
所以，即，
所以D正确.
故选：BCD.
7．（24-25高三上·湖北武汉·月考）（多选题）设函数，则（ ）
A．当时，直线是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
【答案】ABD
【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当时，，
令解得，且，
此时在处的切线方程为，即，正确.
B选项，，
要使有三个零点，则，
若有三个不同的零点，
则
，
通过对比系数可得，正确.
C选项，若存在，使得为曲线的对称轴，
则，即，
即，
即，此方程不恒为零，
所以不存在符合题意的，使得为曲线的对称轴，错误.
D选项，当时，，
则，
所以在处的切线方程为，
，
由，
消去得①，
由于，
，
所以①可化为，
提公因式得，
化简得，
进一步因式分解得，解得，
由于，所以，
所以，所以，
所以当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点，正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·全国·月考）某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设三次函数，求得，设，求得，得到，再令，得到为函数极值点，代入求得，进而化简得到，即可求解.
【详解】设三次函数为，可得，
设，可得，
因为为极值点，所以，
令，可得为函数极值点，
将代入，可得，所以，
则，
即，
即，即，
可得，解得.
故选：C
2．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）三次函数有如下性质：①设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值.
【详解】由函数，求导得，再求导得，由，得，
因此函数图象的对称中心为，则，化简得，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
3．已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算.
【详解】设切点为，
由可得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
由点在切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，
所以极值点为和，
又极值点处函数值为，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以，解得.
故选：B
4．（24-25高三上·江苏·月考）已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】先因为定义域和值域都为，得出，分和两种情况结合导函数得出函数单调性即可根据值域列式求解即可.
【详解】因为，
三次函数的定义域和值域都为，所以，所以，
所以，
当时，不合题意；
当时，，
单调递减；
单调递增；
所以，
所以，即得.
故选：D.
5．（23-24高三上·辽宁·月考）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出过点的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条件即可.
【详解】设切点，由，求导得，
则切线方程为，由切线过点，
得，整理得，
令函数，求导得，而，
当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，在处取得极大值，
由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根，
即函数有3个零点，所以.
故选：D.
6．（2025·云南·一模）已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求，再借助已知代入即可解出，利用导数可求函数单调性，再求出极值，据题意列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，
所以，
因为的图象关于直线对称，
所以，所以，
又，
解得，
所以，
所以，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取到极大值，
当时，取到极小值，
函数有三个零点，
所以，解得.
故选：C
7．设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（ ）个.
①；
②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点；
③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】运用极值的概念和性质，求出，代入判断①；函数解析式知道后，根据导数研究处函数单调性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图像和函数对称性，判断③即可．
【详解】求导，即，由于函数在处取得极大值3，则
，解得，则，则①正确；
由上面知道，，
且，解得.
当，，单调递减；
当或者，，单调递增．
则当时，由极大值；时，由极小值；
且对称中心为.画出函数图像．
由图像，可知对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点，故②正确；
若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则
，根据函数对称性，知道，,则，.故③正确．
故选：D.
8．（24-25高三上·湖南·月考）已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题设得到，设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义及过两点直线的斜率得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出单调区间，再结合的图象与题设条件，即可求出结果.
【详解】设，，因为，所以，
由题有有解，
又，所以，即，
设过点的直线与相切于点，
则有，整理得到，
令，则，
由，得到或，由，得到，
即的单调递增区间为，，递减区间为，
又当时，，当时，，
当时，，当时，，
的图象如图，又过点只能作1条切线与的图象相切，
所以或，又，所以或，
故选：C.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，通过设过点的直线与相切于点，根据题设得到，从而将问题转化成只有一解，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，进而得出函数图象，数形结合，即可解决问题.
9．（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知函数，则不正确的是（ ）
A．若点可能是曲线的对称中心，则，
B．一定有两个极值点
C．函数可能在上单调递增
D．直线可能是曲线的切线
【答案】C
【分析】根据函数的对称性和导数确定单调性和极值点，导数的几何意义即可求解.
【详解】，
若点可能是曲线的对称中心，
则有恒成立，
所以恒成立，
所以，，
故选项A正确；
因为，
所以，
所以，
所以有两个变号零点，不妨假设为且，
x
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以一定有两个极值点，
故选项B正确；
，
所以有两根，不妨假设为且
所以在区间函数单调递增，在函数单调递减，在函数单调递增，
故选项C错误；
设切点为，则有
，
解得或
故直线可能是曲线的切线，
故D选项正确.
故选：C.
10．（多选题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在处有极大值
C．若在上不单调，则
D．若在区间 上有最小值，则
【答案】ACD
【分析】求导，判断函数的单调性，然后画出函数图象，即可判断ABCD四项是否正确.
【详解】，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A项正确，B项错误.
根据单调性可得，若在上不单调，则，C项正确.
对于D项，当时，在区间上单调递减，无最小值；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，有最小值；
当时，在区间 上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，要使有最小值，则；
综上可得，，故D正确.
故选：ACD.
11．（多选题）已知函数，则（ ）
A．点是图像的对称中心 B．是的极小值点
C．当时， D．当时，
【答案】ABD
【分析】利用导数判断出单调性，作出的大致图象，利用任意三次函数的图象均为中心对称图形，且对称中心为点可判断A；由单调性可判断BCD.
【详解】由题可得，令，得或，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
且当时，，当时，，
所以可作出的大致图象如图所示：
选项A：设，则，令，得，
又，所以点是图象的对称中心，故A正确；
选项B：易知是的极小值点，故B正确；
选项C：当时，，又在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，，，
所以，故C错误.
选项D：当时，，又在上单调递增，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．（24-25高三下·江苏·开学考试）（多选题）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为5
【答案】ABD
【分析】由函数的单调性得到，求出，同时的另外一个根，求得，再由，比较系数构造等式即可判断；
【详解】解：由得，
因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，
此时的另外一个根，所以，
因为方程有3个实数根，它们分别是，，2，
所以，所以，
且，
所以，则，
所以，
因为，所以，所以的最小值是5，
故选：ABD
13．（24-25高三上·江西·月考）（多选题）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若是的极小值点，则在上单调递减
B．若是的极大值点，则且
C．若，且的极小值大于0，则的取值范围为
D．若，且在上的值域为，则的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据，即可结合极值点定义求解吧，根据即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D.
【详解】,若是的极小值点,则，
故有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值，
故由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，
在上不单调，A错误.
，若是的极大值点，则，
所以.
若没有极值点.的解为.
因为是的极大值点，所以，即B正确.
若，则.
因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0，
所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0，
所以解得，C正确.
若，则.
令，若，即单调递增，符合题意.
由，解得或，
此时的2个解为.
当时，，所以在上单调递减，
即当，时，，不符合题意.
当时，，
所以在上的最大值为，且，不符合题意.
综上，若，且在上的值域为，则的取值范围为，D正确，
故选：BCD
14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选题）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数有1个极值点
B．函数的对称中心是
C．当时恒成立，则的最小值是
D．当恒成立，则
【答案】BD
【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据函数的单调性可知时，与矛盾判断C；将恒成立问题转化为恒成立，当时，；当时，转化为恒成立，构造，利用导数法研究其最小值即可判断D.
【详解】对于A：因为不等式的解集为且，
即不等式的解集为且，
所以方程的根为和（二重根），
得，即，
所以，则，得，
令，或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点，即函数有2个极值点，错误；
对于B：由选项A知，
则，
所以，即函数的对称中心是，正确；
C：由选项A知在上单调递增，
且，若的最小值是，
则时，而，所以不满足恒成立，错误；
D：由选项A知，
当恒成立，即恒成立，
当时，原不等式显然成立，此时；
当时，转化为，则，
记，得，
记，
则，所以在上单调递增，
又，所以当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以，综上，正确.
故选：BD
15．（多选题）已知函数，若过点可作曲线的切线有三条，则以下有序实数对中符合条件的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义及斜率的两点式得，问题化为有三个零点，导数研究极值即可得，结合各选项即可得答案.
【详解】设切点为，则，化简得，
若切线有三条，则以上关于的方程至少要有三个不同的解，
（切点个数不能代表切线条数，此例可以验证三个切点必有三条切线）．
构造函数，三次函数要有三个零点，
等价于的极大值大于0，极小值小于0，而，
当或时，即在、上单调递增，
当时，即在上单调递减，
易知的极大值和极小值分别是，，
所以，解得．
对于，显然满足，
此时，，则，
当或时，即在、上单调递增，
当时，即在上单调递减，
且，，，
所以有三个不同的零点，其中一个为，另两个分别位于区间内，
代入必有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，A对；
对于，有，后一个不等关系不成立，不满足，B错；
对于，有，满足，
此时，，同理易知，，，
所以有三个不同的零点，分别位于区间内，
代入有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，C对；
对于，有，满足，
此时，，可得为函数的三个零点，
代入有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，D对；
故选：ACD
16．（2025·湖北武汉·一模）（多选题）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A选项，举出例子，画出的图象，得到其不关于直线对称；BD选项，为奇函数，得到，BD正确；C选项，二次求导，结合三次函数图象特征得到，则，又，故
【详解】A选项，令，则，满足为偶函数，
但的图象如下，不关于直线对称，A错误；
BD选项，为偶函数，故为奇函数，
即，即，
故，故点为曲线的对称中心，
故，则，故B，D正确；
C选项，由题意得，令，则，
由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知，
，则，又，故，故C正确.
故选：BCD.
17．（2025·福建莆田·二模）（多选题）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，是的极大值点
B．存在实数，使得成立
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
【答案】ABD
【分析】通过求导判断函数的单调性进而确定极值点即可判断A；代入函数进行化简验证等式即可判断B；根据函数在区间上的单调性得出关于的不等式，解之即可判断C；利用导数讨论函数的单调性，结合零点情况确定的取值范围即可判断D.
【详解】A：，令，得或.
当时，，令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，故A正确；
B：，
所以，
整理得，
所以，解得，即存在使得，故B正确；
C：若在上单调递减，则在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又在上单调递减，其值域为，所以，故C错误；
D：由选项A知，当时，，
令，解得，所以函数又两个零点，不符合题意；
当时，，令或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，则，
解得或（舍去），所以，此时，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值，
且当时，，当时，，
要使存在唯一的零点，且，则，
解得或（舍去），所以.
综上，的取值范围为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：解决本题选项D的关键是分类讨论取值范围，求出对应的极值，利用存在唯一的零点且建立不等式，解不等式即可.
18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．当时，函数有两个极值
B．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
C．当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则
D．当时，若，则
【答案】BCD
【分析】求导函数，根据当时，，得单调递增，根据极值的概念判断A，设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，通过方程解的个数判断切线的条数判断B，由等差中项的定义得直线恒过点，且此点在上，再通过对称中心定义得为的对称中心，利用对称性求得判断C，利用导数法得在上单调递减，求出值域，再利用换元法求出的值域即可判断D.
【详解】由得，
对于A，当时，则有，
所以当时，，所以单调递增，
此时函数没有两个极值，故A错误；
对于B，设过点且与曲线相切于点，
则斜率为，可得切线方程为，
代入得，整理得，
令，则，令得或，
令得，所以在和上单调递增，
在上单调递减，又，，，
所以函数只有一个零点，即方程只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故B正确；
对于C，当时，，又因为是与的等差中项，
所以直线即为直线，即，
该直线过定点，且此点在曲线上，
又，令得或，
令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
由题意作出函数的示意图，
设函数的对称中心为，则，即，
整理得，
所以，解得，
所以函数图象关于点中心对称，设，
则有，所以，故C正确；
对于D，当时，，则，
令得或，令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，，作出作出函数的示意图
所以在上单调递减，所以，即，
令，当时，，则在上单调递减，
所以，所以，即，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：判断函数的极值点个数：可通过函数的单调性也就是的取值正负来判断，若的取值正负不易直接判断，可先通过判断的正负来确定的单调性，由此来确定的取值正负；
19．（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】将原题转换为求函数的值域，故只需结合导数求函数最值即可.
【详解】原题条件等价于方程在区间上有实数根，
故只需求函数的值域，
求导得，
当，时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
注意到，
即函数的值域为，
所以的取值范围为.
故答案为：.
20．（23-24高三上·安徽蚌埠·月考）已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 .
【答案】8090
【分析】先通过条件求出对称中心，再利用对称性计算即可.
【详解】，
则，
即函数的图象的对称中心为，
则，
故
.
故答案为：8090.
21．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 .
【答案】
【分析】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得，再由对称轴 在区间右侧可推出，解不等式组即可求解.
【详解】解：函数，则，
因为在有唯一的极值点且为极大值点，
所以根据零点的存在性定理得，
的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ，
由于对称轴在区间 右侧，
要使在内有唯一的变号零点，则需满足 ，
而，
，
则不等式组可化为 ，解得，
综上,的取值范围为.
故答案为：.
22．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知函数恰有两个零点和一个极大值点，且成等比数列.若的解集为，则 .
【答案】2
【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系，由不等式的解集求出.
【详解】因三次函数有一个极大值点，
则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，
又恰有两个零点，且，因此是的极小值点，
求导得：，即是方程的二根，
有，即，
显然，
则，整理得，
两边平方得：，因成等比数列，即，
于是得，即，
而，有，显然有，
，
因的解集为，则5是方程的根，
即有，整理得：，解得或，
当时，，，
不等式，
解得，符合题意，函数的极大值为，
当时，，，
不等式，解得，不符合题意，舍去，
所以.
故答案为：2.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·山西·二模）设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】先将代入，化简可得，由三次函数的图象性质及零点存在性定理得，，从而得到，最后利用导数计算极小值即可.
【详解】由可得，
，
由于等式对任意都成立，则项系数必须为0，
即，所以，
令，可得或，
由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点，
由任意，都有，
可得，时，总有，
所以为函数的变号零点，所以，则，
此时，求导得，
令，得或2，当或时，；当时，.
故为极小值点，极小值.
故选：A.
2．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先进行求导，利用导数和方程系数相同，得到或，转化为和，图像交点问题，
最后利用题目条件画出的图像即可求解.
【详解】函数有两个极值点，假设，则有两个不等的实数根，，方程的判别式，所以方程有两解，且或，函数的图像
和直线的交点个数即为方程解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程解的个数.
在上单调递增，在上单调递减，又，画出图象如图所示，的图像和直线的交点个数为2个，
的图像和直线的交点个数为1个，或的根共有3个，即方程的不同实根个数为3.
故选：B.
【点睛】本题关键在于发现导数和方程系数对应相等，得到方程有两解，且或，
再转化成图像交点问题，最后数形结合即可求解.
3．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若是上的增函数，则
B．当时，函数有两个极值
C．当时，函数有三个零点
D．若关于的方程恰有两个非零的实数根，则或
【答案】ABD
【分析】根据导函数大于等于0恒成立，可求的取值范围，判断A的真假；分析时，函数的极值情况，判断B的真假；当时，只有1个零点，从而判断C错误；设，根据函数只有两解，可得函数的极小值或极大值为0，可探索，与的关系，判断D的真假.
【详解】因为，所以.
对A：函数是上的增函数，等价于在上恒成立，
由，故A正确；
对B：当时，因为，所以有两个不同的根，
分别为和，
且当或时，，
当时，.
所以函数在和上单调递增，
在上单调递减.
所以是函数的极小值，是函数的极大值.故B正确；
对C：当，，
对方程，，
因为时，，所以方程无实根.
所以方程只有一个根，故C错误；
对D：设，，
由B选项可知，函数在和上单调递增，
在上单调递减.
因为关于的方程恰有两个非零的实数根，
所以必有或.
当时，设方程的另一根为，
则必有，
所以，
所以；
同理，当时，设方程的另一根为，
则有.故D正确.
故选：ABD
4．（23-24高三下·山西晋城·月考）（多选题）函数有三个不同极值点，且.则（ ）
A． B．
C．的最大值为3 D．的最大值为1
【答案】BCD
【分析】选项A可根据求导后分析单调性，得到的最小值大于1恒成立可得；选项B可由分析求出；选项C可由及求出；选项D可由和求出；
【详解】对于A：有三个不同极值点，
则有三个不等实根为，则定有三个解.
设，
当，恒成立，
得单调递增，不会有三个解，
所以，，
得在单调递增，在单调递减，在单调递增.
定有三个解恒成立，
因为，所以恒成立.
即，得，故A错误；
对于D：设
，
故，，，故，故D正确；
对于B：又
，故B正确；
对于C：又，，，
则，
又，放，
的最大值为3，故C正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于由导数分析单调性，得到的最小值大于1恒成立从而得到的范围；选项BCD根据方程根的特征求解.
5．（24-25高三下·山东·月考）设函数，其中，若，求的最小值 ．
【答案】5
【分析】构建，根据题意分析可知的零点与的零点相同，进而可得，结合基本不等式即可得结果.
【详解】令，
因为的零点为，
可知的零点为，的零点为，
又因为，则，，
若，即，则，
可知的零点与的零点相同，
则，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：5.
6．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合导数将问题转化为直线与的图象有三个不同交点，利用导数求出的范围，再利用零点的定义及，构造函数，利用导数求出的范围，进而求出所求范围.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
由函数有三个极值点，得有三个不同的零点，显然，
则方程有三个不相等的实根，令，于是直线与的图象有三个不同交点，
求导得，由，得，由得，或，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
，又时，恒成立，因此，
而，则，令，则，即，
令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递减，
，则，函数在上单调递减，，
而函数在上单调递增，当时，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优04 三次函数的图像与性质
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 5
题型一 三次函数的零点（★★★） 5
题型二 三次函数的单调性、极（最）值（★★★★★） 6
题型三 三次函数的对称性（★★★★） 7
题型四 三次函数的切线（★★★） 8
题型五 三次函数综合问题（★★★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 11
检测Ⅰ组 重难知识巩固 11
检测Ⅱ组 创新能力提升 14
1、三次函数的概念
形如的函数叫做三次函数，其中x是自变量，a，b，c，d是常数
其导函数为二次函数，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
2、三次方程的实根个数
，判别式为：△=，设的两根为、
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
注：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，
即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且
）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
④三次方程韦达定理
若一元三次方程存在三个实数根，则：
3、三次函数的单调性
三次函数,
（1）若，则在上为增函数；
（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：, △=，
①当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数.
②当 即时，解方程，得
或 在和上为增函数.
在上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数,
(1) 若，则在R上无极值；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
4、三次函数的对称性
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
证明1：
易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.
， 当时，取得最小值，显然图象关于对称.
证明2：设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上,
5、三次函数图象的切线条数
过（）的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作的切线，有且仅有三条；
②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．
切线条数口诀：内一、上二、外三．
6、常用结论
（1）三次函数的图象关于点对称
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数
（3）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
（4）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
（5）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
题型一 三次函数的零点
【技巧通法·提分快招】
①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次， 即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且 ）. ②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以，且. ③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
1．（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·云南昆明·一模）已知函数，，且，若当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·湖南·二模）已知函数有三个不同的零点.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，比较的极大值与的大小.
题型二 三次函数的单调性、极（最）值
【技巧通法·提分快招】
三次函数的单调性 三次函数, （1）若，则在上为增函数； （2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
1．（24-25高三下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建宁德·月考）（多选题）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三下·江苏南通·月考）（多选题）已知函数满足，则（ ）
A． B．对于任意有三个零点
C．对于任意有两个极值点 D．时，在上存在最大值
5．（多选题）已知函数，则（ ）
A．可能没有零点
B．有两个极值点
C．，在有最大值
D．，在单调递增
6．（2025·河北·一模）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为 .
7．已知函数，如果且，则的取值范围为 ．
题型三 三次函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
1．已知函数，则函数的图像对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．的极大值为0
C．的图象是轴对称图形
D．的图象关于点对称
4．（多选题）设函数，则（ ）
A．是极大值点
B．有三个零点
C．当时，
D．的图象关于对称
题型四 三次函数的切线
1．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·广东汕头·月考）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（23-24高三上·北京·月考）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在区间上是增函数 D．过点的图象的切线有且只有1条
4．（2024·山东·模拟预测）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上的最小值为
B．的图象与轴有3个公共点
C．的图象关于点对称
D．的图象过点的切线有3条
5．已知函数，且曲线上有且仅有一个点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 .
6．设函数在处取得极值．
(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；
(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．
题型五 三次函数综合问题
1．（多选题）已知函数，则（ ）
A．可能没有零点
B．有两个极值点
C．，在有最大值
D．，在单调递增
2．（24-25高三下·江苏南通·月考）（多选题）已知函数满足，则（ ）
A． B．对于任意有三个零点
C．对于任意有两个极值点 D．时，在上存在最大值
3．（2025·辽宁大连·三模）（多选题）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是.则（ ）
A．
B．若是对称中心，则极小值是-12
C．
D．
4．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．
5．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）已知函数有3个零点和2个极值点，则（ ）
A．的3个零点之和等于
B．的3个零点之积等于
C．在3个零点处的切线的斜率之和大于零
D．的3个零点和2个极值点的算术平均数相等
6．（多选题）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有个零点
C．若在上的最大值为，则
D．
7．（多选题）（24-25高三上·湖北武汉·月考）设函数，则（ ）
A．当时，直线是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·全国·月考）某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）三次函数有如下性质：①设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是该函数图象的对称中心．若直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·江苏·月考）已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
5．（23-24高三上·辽宁·月考）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南·一模）已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（ ）个.
①；
②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点；
③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（24-25高三上·湖南·月考）已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知函数，则不正确的是（ ）
A．若点可能是曲线的对称中心，则，
B．一定有两个极值点
C．函数可能在上单调递增
D．直线可能是曲线的切线
10．（多选题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在处有极大值
C．若在上不单调，则
D．若在区间 上有最小值，则
11．（多选题）已知函数，则（ ）
A．点是图像的对称中心 B．是的极小值点
C．当时， D．当时，
12．（24-25高三下·江苏·开学考试）（多选题）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为5
13．（24-25高三上·江西·月考）（多选题）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若是的极小值点，则在上单调递减
B．若是的极大值点，则且
C．若，且的极小值大于0，则的取值范围为
D．若，且在上的值域为，则的取值范围为
14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选题）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数有1个极值点
B．函数的对称中心是
C．当时恒成立，则的最小值是
D．当恒成立，则
15．（多选题）已知函数，若过点可作曲线的切线有三条，则以下有序实数对中符合条件的有（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·湖北武汉·一模）（多选题）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
17．（2025·福建莆田·二模）（多选题）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，是的极大值点
B．存在实数，使得成立
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．当时，函数有两个极值
B．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
C．当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则
D．当时，若，则
19．（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为 .
20．（23-24高三上·安徽蚌埠·月考）已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 .
21．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 .
22．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知函数恰有两个零点和一个极大值点，且成等比数列.若的解集为，则 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·山西·二模）设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．0
2．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若是上的增函数，则
B．当时，函数有两个极值
C．当时，函数有三个零点
D．若关于的方程恰有两个非零的实数根，则或
4．（23-24高三下·山西晋城·月考）（多选题）函数有三个不同极值点，且.则（ ）
A． B．
C．的最大值为3 D．的最大值为1
5．（24-25高三下·山东·月考）设函数，其中，若，求的最小值 ．
6．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ．
