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重难点培优01 坐标法与极化恒等式、矩形恒等式在平面向量中的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 坐标法（★★★★★） 3
题型二 极化恒等式（★★★★） 12
题型三 矩形恒等式（★★★） 16
03 实战检测 分层突破验成效 18
检测Ⅰ组 重难知识巩固 18
检测Ⅱ组 创新能力提升 28
1、建系的常见技巧
（1）前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
（2）技巧
①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；
②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等.
2、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
3、矩形恒等式
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②.
证明：①连接，根据，
可得；
②根据极化恒等式，可得.
题型一 坐标法
1．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则，
所以，
因为，
所以，
则，解得，
所以，
故选：B
2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得.
以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，
设，则，
因为，所以，，
由，得，解得，故.
故选：A
3．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题.
【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，E是线段中点，
所以，
而是线段上的动点，
从而可设，
所以点的坐标是，
所以，
，
所以当时，的最小值是.
故选：C.
4．已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设，，表示出个各点坐标，利用向量模的公式可得当最小时，代入，即可求解.
【详解】解法1：如图建立平面直角坐标系，不妨设，则，，，，
所以，，，
则
．
当时，，最小．
由得，则此时．
5．在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值，进而得到答案．
【详解】由，得，即，
所以．
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，，可得，，．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值．
综上所述，当时，有最大值．
故选：D．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解长度，进而可得，．是等边三角形，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
连接，在中，由余弦定理得
．所以，
所以．而，所以．
连接，在中，由余弦定理得
．所以，
所以．在中，，
所以三角形是等边三角形，所以，
所以．设，令，
即，所以，所以，
所以，
所以当时，有最小值为．
故选:B．
7．（24-25高三上·河南·月考）在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，得到以为圆心，半径为的圆方程为，
设，，根据，求得，进而得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，，可得，
以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为，
由点在圆上，可得设点的坐标为，
因为，可得，
可得，所以，
所以
，其中，
所以当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
8．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 .
【答案】/
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设，则，
则，，
所以，即，
所以，
因为，
所以，则，
所以，
则，
故答案为：.
9．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，用设点，坐标，使用向量数量积的坐标运算建立函数求解.
【详解】
∵，∴，以为原点，直线，分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
∵向量在向量上的投影向量为，∴，∴，
由已知，设，，（，），
则，，，
∵，∴，即，
∴，∴，，∴，
又∵，分别为线段，上的动点，且，，
∴，解得，
且，，
∴，，
∴，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
设，，则由以上基本不等式所求最小值可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
，，
∴的最小值为，最大值为
∴的取值范围是.
故答案为：.
题型二 极化恒等式
【技巧通法·提分快招】
1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数量积，可利用极化恒等式进行转化求解. 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： （1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在中，若求.，取中点，连接. （2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即. （3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.
1．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，
所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，则，即.
故选：B
3．已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义，虽夹角不变，但长度时刻变化，导致数量积不易求，观察发现为定线段，可用极化恒等式转化．
【详解】如图，取中点为，连结．
由条件可知，
．
因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值，
所以，所以．
故答案为：
4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.
【详解】如图，取的中点，，
而，所以．
故答案为：
5．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形，已知是其边上任意一点，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】取的中点，根据向量的线性运算可得，结合正八边形的特征，求出，即可得答案.
【详解】如图，取的中点，
则
，
当点与点或点重合时，取得最大值，
易得正八边形的内角为135°，
可解得，
所以，
故的最大值为．
故答案为：
题型三 矩形恒等式
【技巧通法·提分快招】
（1）矩形恒等式，适用于以矩形为背景的问题.如果题目本身给出了矩形当然好，如果没给出矩形，但是给出了两条线段(两个向量垂直)，那么我们就可以以这个直角为矩形的一个内角，构造矩形.一旦构造出矩形，就可以运用矩形恒等式解决问题了. （2）矩形恒等式的第一个结论，往往适用于求向量的数量积.这两个向量的数量积不容易求，就可以转化为另外两个向量的数量积.这里体现了数学中的转化(化归)思想，具有深刻的意义. （3）矩形恒等式的第二个结论，往往运用于与向量(线段)长度有关的问题.如果两个向量的长度都不确定，另外两个向量中一个长度确定，那么这种转化一定会给我们带来极大的方便. 模长平方和：|PA| + |PC| = |PB| + |PD| ，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题.结合三角不等式或轨迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形恒等式转化为对角线关系，快速得出范围.
1．在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则
2 B.4 C.5 D.10
【解析】把直角三角形ABC补成矩形
易知，所以
故
故选D
2．在三角形中,,，点P满足,则的最大值为( )
A.11 B.16 C.18 D.25
【解析】把三角形ABC补成矩形ACBD则
易知点P在以C为圆心半径为2的圆上
延长DC与圆交于点E
当P点与E点重合时最大，
故选B
3．在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________.
【解析】连接，取的中点，连接和，
因为，
所以.
4．在四边形中，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】构造正方形和圆弧，根据矩形恒等式可知，，数形结合得到最小值.
【详解】如图所示，构造正方形，边长为，
以为圆心，为半径在正方形内部作作圆，
显然在圆弧上，根据矩形恒等式可知，，
故当，，三点共线时，取得最小值，
由于，，
故最小值为.
故答案为：
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知平面四边形，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值；
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
因为，
，
化简，即
化简得，即
所以，即,
故选：B.
2．（多选题）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（ ）
A． B．3 C．7 D．9
【答案】ACD
【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解.
【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，
则，不妨设，则，
则，
设，则，
因为，所以，
所以，整理得
因为，所以.
故选：ACD
3．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值.
【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设,.
所以,,,,
所以,
因为,
即,
故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动，
所以的最大值为.
故选：D.
4．（24-25高三上·北京海淀·月考）已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出，由数量积的定义结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】设交于点，
因为以B为圆心的圆与直线相切，所以半径，
建立如下图所示的直角坐标系，可得圆：，
则，，
所以，
所以
，，
当，即，则的最大值是.
故选：D.
5．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图中，O为AB中点，
（极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取中点，则由极化恒等式知，
，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.
由图，可知最大时，P在D点，即，此时，
最小时，P在O点，即，此时.
综上所得，取值范围为: .
故选：D.
6．（23-24高三下·湖北武汉·月考）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】借助中点Q和平方差公式得，再探究PQ的最大值即可.
【详解】分别取，中点Q，R，连接，，
则由题，，即，
所以，
作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，
所以
，
所以的最大值为3.
故选：C.
7．如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值；
方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可；
方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向量坐标形式求解即可；
【详解】解法一 由，，，
得，，
所以，，
．
设，则，所以
，
当且仅当时，取得最小值．
解法二： 由，，，
得，，
所以，，
，，
连接，交于点，则易知，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
所以．
设，
则，
所以，
，，
则
，
当且仅当时，取得最小值．
解法三 由，，，
得，，
所以，，
，，
如图，
分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，
所以，．
因为点在边上，
所以设，
所以，，
所以
，
当且仅当时，取得最小值．
故选：A.
8．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.
【详解】根据题意，连接，取中点为，作图如下：
，
在三角形中，由余弦定理可得：，即，
则，故，
显然当且仅当时，取得最小值，
故，的最小值为.
即的最小值为.
故选：
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选：D.
10．已知点为矩形所在平面上一点,若,则为
【解析】由得.
11．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________.
【解析】如图所示，令，，，易知，
则作矩形，根据矩形恒等式可知，
即，
根据，，
即，
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可.
【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值4，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值为8．
故选：D
2．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设（），利用表示出，再利用二次函数值域的求法求解.
【详解】如图：
设（），
则，
又，
所以.
所以，（）.
所以当时，取得最小值，为；
当时，取得最大值，为.
所以.
故选：A
3．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案.
【详解】因为分别表示与方向上的单位向量，
所以表示的平分线上的共线向量，
又，即与垂直，
由三线合一可知，，
如图，取的中点，连接，则⊥，
又，其中，
所以，，故，
由于，，两式平方相减可得
，
当⊥时，取得最小值，
其中由勾股定理得，
故，
故的最小值为.
故选：D
4．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.
【详解】取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
5．已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.
【详解】
如图，设，，，点在圆上，
点在圆上，则，，由可得：，
作矩形, 则.
下证： .
设交于点，连接,因则 ，
同理可得：，两式左右分别相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故选:C．
5．（多选题）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．的最大值为
D．若函数，则函数的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可.
【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为，
，以为原点，分别为轴，设，
则，解得，
，
对于A，因为 ，，所以，故A正确；
对于B，，
在方向上的投影向量为，故B错误；
对于C，设中点为，
，所以取最大即取最大，
由题知，当 在点或点处时，取最大，
此时，，
，
所以，故C正确；
对于D，设 ，，
所以当时，取的最小值，
根据题意，，所以在延长线上，
又，则，
所以，故D正确；
故选：ACD.
6．已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意建系，设取，，由图可得，由题得，，由正弦定理可得，再利用向量数量积的定义将所求式化成关于角的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设点取，
满足则，取，连接，则，依题意，
记中角所对的边分别为，由正弦定理，，
则得，
由
，因，故，
故当，即当时，取得最大值1，
此时取得最大值为.
故答案为：.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优01 坐标法与极化恒等式、矩形恒等式在平面向量中的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 坐标法（★★★★★） 3
题型二 极化恒等式（★★★★） 5
题型三 矩形恒等式（★★★） 6
03 实战检测 分层突破验成效 7
检测Ⅰ组 重难知识巩固 7
检测Ⅱ组 创新能力提升 9
1、建系的常见技巧
（1）前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
（2）技巧
①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；
②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等.
2、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明：，①，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
3、矩形恒等式
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①；②.
证明：①连接，根据，
可得；
②根据极化恒等式，可得.
题型一 坐标法
1．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ）
A． B． C．2 D．
2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·河南·月考）在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 .
9．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是 .
题型二 极化恒等式
【技巧通法·提分快招】
1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数量积，可利用极化恒等式进行转化求解. 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： （1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在中，若求.，取中点，连接. （2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即. （3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.
1．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ．
4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ．
5．2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形，已知是其边上任意一点，，则的最大值为 ．
题型三 矩形恒等式
【技巧通法·提分快招】
（1）矩形恒等式，适用于以矩形为背景的问题.如果题目本身给出了矩形当然好，如果没给出矩形，但是给出了两条线段(两个向量垂直)，那么我们就可以以这个直角为矩形的一个内角，构造矩形.一旦构造出矩形，就可以运用矩形恒等式解决问题了. （2）矩形恒等式的第一个结论，往往适用于求向量的数量积.这两个向量的数量积不容易求，就可以转化为另外两个向量的数量积.这里体现了数学中的转化(化归)思想，具有深刻的意义. （3）矩形恒等式的第二个结论，往往运用于与向量(线段)长度有关的问题.如果两个向量的长度都不确定，另外两个向量中一个长度确定，那么这种转化一定会给我们带来极大的方便. 模长平方和：|PA| + |PC| = |PB| + |PD| ，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题.结合三角不等式或轨迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形恒等式转化为对角线关系，快速得出范围.
1．在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则
2 B.4 C.5 D.10
2．在三角形中,,，点P满足,则的最大值为( )
A.11 B.16 C.18 D.25
3．在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________.
4．在四边形中，，，则的最小值为 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知平面四边形，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．（多选题）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（ ）
A． B．3 C．7 D．9
3．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·北京海淀·月考）已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．8
5．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·湖北武汉·月考）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点为矩形所在平面上一点,若,则为
11．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．的最大值为
D．若函数，则函数的最小值为
6．已知平面向量分别满足与的夹角是，则的最大值为 .
