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重难点培优04 向量中的不等式体系与最值（范围）、新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 向量中的函数不等式（★★★） 3
题型二 向量中的基本不等式（★★★★） 6
题型三 向量中的三角不等式（★★★★） 10
题型四 与数量积有关的最值（范围）问题（★★★★★） 14
题型五 与模长有关的最值（范围）问题（★★★★） 21
题型六 与夹角有关的最值（范围）问题（★★★★） 25
题型七 与系数有关的最值（范围）问题（★★★★★） 28
题型八 向量中的新定义问题（★★★★★） 34
03 实战检测 分层突破验成效 40
检测Ⅰ组 重难知识巩固 40
检测Ⅱ组 创新能力提升 54
一、向量的三角不等式
我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有．
当与同向时，，即；
当与反向时，，即．
综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，．
同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，．
综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式．
二、平面向量中的最值（范围）问题
以下是几种解决平面向量最值问题的方法：
1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减.
2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.
3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增.
4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.
5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△.
6、基本不等式
（1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号.
利用基本不等式求最值
①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
（2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤.
其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
7、三角函数的性质
（1）正弦函数的值域为.
（2）余弦函数的值域为.
8、利用平面几何知识
（1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立.
（2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心.
题型一 向量中的函数不等式
1．在正方形中，，点是边的中点，点在边上，且，若，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】以为基底，可得关于x的表达式，据此可得答案.
【详解】由题可得，，
则
，又，.
则
，又，则，则.
故答案为：
2．在平面直角坐标系中，已知，，，则的取值范围是
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可得，再结合三角恒等变换与正弦型函数的值域即可得的取值范围.
【详解】已知，，，
则
，
其中，因为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
3．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设得到，进而结合向量运算性质和数量积定义公式计算得到，再由判别式结合三角函数性质即可求解.
【详解】因为，所以，
则，即，
所以，解得，
因为向量，不共线，则，
故，故的取值范围是.
故选：B
4．如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，则，则，利用数量积的定义得，利用三角恒等变换和三角函数即可求解.
【详解】设，，则，所以，
所以，
令，由有，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
5．设点是的外心，，，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用已知边向量表示，再根据数量积的几何意义最后结合已知条件求出取值范围.
【详解】如图，过点作、，垂足分别为、，
点是的外心，、分别是、的中心,
，
由得，从而，
的取值范围为
故答案为：.
题型二 向量中的基本不等式
1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题意，可得，
故，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故选：A
2．已知点E，F分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，结合不等式即可得解.
【详解】∵，，，，∴，
∴，∴，当且仅当时取等号，
∴，即的最大值为.
故选：C.
3．在中，已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的定义及余弦定理将已知化为，进而由余弦定理和基本不等式求解最值即可.
【详解】因为，所以，
所以，整理得，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故选：C
4．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】令，，则由题意可得，即，由向量加法、减法的几何意义可得，结合不等式即可求解.
【详解】由题意，令，，所以，，
所以，由向量加法、减法的几何意义可得，
所以，
所以，当且仅当，且时取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
5．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得．
【详解】因为是中点，，，得，
在四边形中，令，，由，得，，
由，得，
在中，由余弦定理得，，
即，当且仅当时取等号，
由，得，，
因此
，
当且仅当时，两个等号同时成立，
所以的最大值为．
故答案为：.
6．如图，在平面四边形中，，，，．则四边形的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据数量积可得，设，根据模长结合基本不等式可得，进而分析面积最值即可.
【详解】因为，且，
即，可得，
设，则，
则，
，
即，可得，
当且仅当时，等号成立，
则四边形的面积
，
所以四边形的面积的最大值为.
故答案为：.
7．已知的重心为，，，其中，，且三点共线，则 ；与的面积之比的最小值为 ．
【答案】 3
【分析】利用三点共线所需条件，求出与的关系，利用基本不等式可以简化运算，求出最值.
【详解】因为为的重心，所以，
因为三点共线，故存在，使得，其中．
又因为，，
所以，
所以，即．
由，，
且，得，
由，得由，
消去得，
当且仅当，时取到等号．
故答案为：①3；②.
题型三 向量中的三角不等式
【技巧通法·提分快招】
，应用向量的三角形不等式时，要把问题的结构特征与向量三角形不等式的结构特征联系起来，抓住两者的相似性，构造出合适的结构，同时应特别关注等号成立的条件．
1．已知是两个非零向量，则与的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】要比较的大小，可将其平方展开进行比较即可.
【详解】.
.
因为，所以.
所以，所以.
故选：D.
2．若函数，则最小值为 ．
【答案】
【分析】借助向量的性质即可求函数最值.
【详解】设，则，
因为，
所以，
当且仅当且与方向相同，即时，等号成立．
故所求最小值为．
故答案为：.
3．已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据平面向量数量积的定义及运算律求得，进而结合向量三角不等式求解即可.
【详解】由题意，，
则，
所以，
当且仅当方向相反时等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
4．已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 .
【答案】 5
【分析】第一空：直接根据模的计算公式即可求解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.
【详解】第一空：因为，，，
所以，
；
第二空：对于两个向量，有，
进一步有，
所以，
注意到，，
从而，等号成立当且仅当反向，
，等号成立当且仅当同向，
所以的取值范围为.
故答案为：5；.
【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合，得到，其中，，由此即可顺利得解.
5．已知平面向量满足，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，可知C在以为圆心，1为半径的圆上，D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），利用向量的模长公式及三角不等式，数形结合可求解.
【详解】，
如图建立平面直角坐标系，且，
设，则，，
即,知C在以为圆心，1为半径的圆上，
设，则，
即,知D在以为圆心3为半径的圆内（含边界）
作出图像，如图所示：
当点取时，点取时，与是相反向量，此时；
当且仅当与同向时等号成立，
又，即
由图像可知与可以同向，此时
∴的取值范围为
故答案为：
【点睛】方法点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：平行四边形法则和三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
题型四 与数量积有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理．
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得.
【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示），
则，
因为，
则点D在线段（不含端点）上，
设，则，
所以，
所以当时，取得最小值，
当时，，
故的取值范围为.
故选：A．
2．（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.
【详解】设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.
故选：A
3．（24-25高三下·江西吉安·月考）已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用和向量数量积的运算律可求得，并将所求式子化为，由可求得结果.
【详解】，
，
，
，
，
即的最大值为.
故选：B.
4．（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理求外接圆半径，在其外接圆中连接，由，讨论的位置情况确定范围.
【详解】由题设，外接圆半径为，
如下图，外接圆中连接，可得，，
所以，
当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20，
所以.
故选：D
5．已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得，，再由平面向量数量积的运算律可得，即可得到结果.
【详解】如图，取的中点，连接，
则，，
所以，
，
所以，即．
因为，，所以．
又，所以，即的取值范围为．
故选：D．
6．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形为边长为的正六边形，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以，所以，
所以.
故选：A.
7．已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解,
【详解】因为，即为的中点，又，所以为的中点，
又正三角形的边长为，所以，
依题意，，
所以，
所以当时取得最小值，
如图，此时点在的位置，连接，则，
又，，所以，
所以，
所以.
故选：D
8．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案.
【详解】由题，
因为，，所以，
因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值，
所以，解得，
又因为与的夹角为锐角，所以，故；
因为，
又有，
将模长代入，
设，即原式，
因为，所以.
因此，的最大值为.
故选：D.
题型五 与模长有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直．
1．已知，，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量的三角不等式即可求解.
【详解】让点运动起来，作图如下，即得，
故选：C．
2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】设，根据向量数量积的坐标运算可得，再根据向量加法的坐标运算、向量模长的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】不妨设.
∵，，∴，解得，∴.
又，则，∴，
∴在时取最小值3.
故选：D.
3．（2024·安徽·一模）已知平面向量、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由题意可得，进而可求的取值范围.
【详解】设，又，，
因为，所以，
所以在以为圆心，4为半径的圆上，又，
则，即.
故选：A.
4．（24-25高三下·海南·月考）设是非零向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，结合向量三角不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，
当和方向相反时等号成立，
若不共线，则设，则，无解；
故此时共线，设，
则由可得，
则，两边平方解得或，
当时，和方向相同，舍去，故，
即得，，此时的最大值为，
故选：C
5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】令，，则由题意可得，即，由向量加法、减法的几何意义可得，结合不等式即可求解.
【详解】由题意，令，，所以，，
所以，由向量加法、减法的几何意义可得，
所以，
所以，当且仅当，且时取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
6．已知向量满足，，则的最小值与最大值的和是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设向量的夹角为，根据向量的数量积运算可得，平方结合余弦函数的有界性运算求解.
【详解】设向量的夹角为，则，
可得，
，
则，
令，可得，
则，，
即的最小值与最大值的和是.
故选：B.
7．已知向量，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先由向量线性运算法则得、、所在有向线段构成等边三角形，再作图数形结合即可求解.
【详解】因为，
由向量线性运算法则可得、、所在有向线段构成等边三角形，如图，
设，，，则为等边三角形，
取D为AB的中点，则方向为的方向或反向，且，
因为，以C为起点，方向或反向作，
结合图象可知的最小值为．
故选：C
8．已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】证明，证明，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，所以，
，
根据二次函数性质可得在处取得最小值的平方为2，
所以最小值为.
故选：B.
9．已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将已知条件代入，分别求得，再利用几何意义求的最小值.
【详解】．
．
,．
的几何意义为点到，的距离之和．
关于轴的对称点坐标为，
.
故选：B．
题型六 与夹角有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角．
1．（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意且与不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可.
【详解】因为为锐角，则且与不共线．
由得，，
则，解得．
若与共线，则，即，
解得或，所以且，即x的取值范围是．
故选：A
2．已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数量积的运算律结合向量垂直得到向量夹角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函数关系可得.
【详解】由题意，得，
因为，所以，当且仅当时取等号，
又由同角的平方和为1，所以．
故选：C．
3．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的模可求得，可求的取值范围.
【详解】因为与均为单位向量，其夹角为，
由，可得，所以，
所以，所以，
由，，所以，
所以，所以，
所以，又，所以，
所以的取值范围是.
故选：D.
4．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设得到，进而结合向量运算性质和数量积定义公式计算得到，再由判别式结合三角函数性质即可求解.
【详解】因为，所以，
则，即，
所以，解得，
因为向量，不共线，则，
故，故的取值范围是.
故选：B
5．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【答案】C
【分析】设，，求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得的最值，即可得出合适的选项.
【详解】因为，不妨设，，
则，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故有最大值.
故选：C.
题型七 与系数有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数．
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】用表示，由向量共线定理得出的关系式，然后由基本不等式得结论．
【详解】如图．
由题得D为BC的中点，，．又，．
则．
∵E，G，F三点共线．．即，
．当且仅当时取等号，则的最小值为．
故选：B．
2．在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过作于，设正六边形的边长为，根据向量的数量积的定义计算，由，可得，根据数量积的几何意义计算得取值范围，从而得的取值范围，即可得答案.
【详解】如图，过作于，
设正六边形的边长为，则，，
则，
因为，
所以，
又，
由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以，
所以，即，所以，
故的最大值为.
故选：C.
3．已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由向量模的计算可得的关系，利用三角函数性质可得最大值.
【详解】因为向量满足，，
设，
因为，则，从而.
因为为线段的中点，所以
由得，
设，，，
则，
当时，取最大值．
故选：A．
4．（24-25高三上·吉林长春·月考）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.
【详解】设圆的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过点作轴垂线为轴建立直角坐标系，
其中，其中，
由，
即，
整理得，
解得，
则，
，
所以.
故选：C.
5．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为 .
【答案】
【分析】根据向量共线列方程，利用基本不等式来求得正确答案.
【详解】∵λ，μ为正实数，，故，∴，
又P，B，D三点共线，∴，∴，
当且仅当，时取等号，故λμ的最大值为.
故答案为：
6．已知点在以为圆心的圆弧上运动，，．若，其中，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】利用数量积的运算律得即，结合三角函数的恒等变换可求的最大值.
【详解】设，
则
即，
所以，
即的最大值为2．
故答案为：2．
7．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设，则，，
由题意设，则，
由得，
则，故，
即，
故答案为：
8．在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为
【答案】/
【分析】利用向量的坐标运算，来计算数量积，向量的加法与数乘，通过计算得到的等式转化为关于的函数，再利用对勾函数来求值域即可.
【详解】当为钝角或直角时，，且与不共线，
，由，可得，
解得，
若与共线，则，即，
所以的取值范围是2，
由题意可得，，，
，
由，可得，
展开式子:，
整理得，
进一步得到，
所以，
设，对其求导，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
此时，则
所以，
综上，的最小值为.
故答案为：
题型八 向量中的新定义问题
1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果.
【详解】若，则，则或.
当时，未必成立；
当时，.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故，
又因为，即，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
且，所以的最大值为.
故选：D.
3．（多选题）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ）
A．已知，则
B．已知，，则
C．已知，，则
D．已知，，若，则
【答案】BD
【分析】根据新定义，结合已学的向量的模长，向量运算，向量数量积，向量平行的定理可以逐一计算判断.
【详解】对于A，，则，
所以
，故A错误；
对于B，已知，，
则，，，
则，故B正确；
对于C，，，则，，
所以
，故C错误；
对于D，，，则，，
若，则当或时，或，满足；
当，则存在唯一，使得，则，
则，消元变形得到，故D正确.
故选：BD.
4．（2025·四川成都·三模）（多选题）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）
A．若，，，则，，线性相关
B．若，，，则，，线性无关
C．若，，线性无关，则，，线性相关
D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关
【答案】AB
【分析】根据题意，设，由向量相等的条件求，可判断AB；利用反证法判断C；根据条件无法判断，，是否线性相关，判断D.
【详解】若，，，
根据题意，设，
即，
所以，解得，取，
所以，A正确；
若，，，
根据题意，设，
即，
所以，解得，
所以，，线性无关，B正确；
假设，，线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，
因为，，线性无关，则，得，
与假设矛盾，C错误；
对于非零向量，，，若存在实数，使得，
即，
所以，
但不能确定，，是否线性相关，D错误.
故选：AB
5．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题.
【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径.
因为，所以为圆的直径.
设，.
由.
因为为直径，所以，
则.
令，即，且，
当直线与圆相切时，取得最值.
根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或，
所以，则的取值范围是.
故答案为：.
6．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
如下图所示：
记点、、、，
则点的轨迹为四边形，
因为，，同理可得，
故四边形为矩形，且，
所以，点的轨迹围成的图形面积为；
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
因为，要求其最大值，令，
不妨设，，于是，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹所围成图形的面积，解题的关键在于紧扣题中的定义，分析出动点的轨迹图形，通过作出图形求解.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0且两向量不平行，可求的值.
【详解】由，
由.
所以向量与夹角为钝角时，且.
故选：B
2．（24-25高三上·江苏·月考）中，是的中点，在上，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由是的中点得，所以，三点共线得，，利用二次函数即可得解.
【详解】由是的中点得，所以，因为三点共线，所以，
所以，故的最小值为，
故选：A.
3．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】求解即可.
【详解】，
当与同向时取等号，
故选：B
4．（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设，求出点P的轨迹方程，得，利用数量积求出关于y的函数，求出最值即可
【详解】如图建立直角坐标系，
则，
设，则，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆，
又，所以，所以，
所以,
所以，
又点P在上，所以，
所以，
所以的最大值为5，
故选：C
5．（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值.
【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为，
当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
则
.
当与正方形的顶点重合时，，
因此，．
故选：C
6．（24-25高三上·浙江嘉兴·月考）已知圆O是圆心为原点的单位圆，A，B是圆O上任意两个不同的点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设C是弦的中点，则,再由数形结合C点在圆内可得答案.
【详解】
由题作图如上图，设C是弦的中点，则，
因为两点不重合，则直线与圆O相交，所以点C在圆内，
设D为圆内或圆上一点，当D在位置时，三点共线，此时最大，
为
当D在位置时，三点共线，此时最小，
为
故当点C在圆O内时，,则
故选：D
7．已知非零平面向量，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】把给定的条件两边平方，利用平面向量数量积的运算性质，转化为的不等式，再结合基本不等式可求解.
【详解】设非零向量，的夹角为，
∵，
∴，
将两边同时平方，
得，
∵，∴，
即，
即，
∵，∴，
∴当时，取得最小值，为8.
故选：C
8．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得.
【详解】在中，，则，即，
以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由点P，Q是线段AB上的动点，设，
于是，
因此，当且仅当时取等号，
而，则当，即时，，
又，当且仅当或时取等号，
所以的取值范围是.
故选：D
9．若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件对进行变形，再结合向量模的计算公式以及不等式求出的最小值.
【详解】由可得.
根据向量数量积的性质，则有，
已知，所以，两边同时平方可得.
根据向量模的平方等于向量自身平方，，
已知，，则，，
所以.
那么，展开得，
移项化简可得，即.
由于，展开.
因为，所以当时，取得最小值.
则的最小值为.
故选：B.
10．（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ）
A．44 B．48
C．72 D．76
【答案】B
【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】设点，正六边形的边长为4，
所以，
所以，
所以，
设点到原点的距离为，则的最大值为，
由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，
如图，可取，
所以，
即的最大值为48.
故选：.
11．在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据条件，列出等式，并化简，最后求出的取值范围.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
设,.
则.
因为，所以.
化简得：.
解得：.
所以.
因为，所以.
所以.
故选：B.
12．（24-25高三上·吉林·期末）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由单位向量的概念以及题目中的模长等式，可得向量夹角，即可设出坐标，根据题目中的等式，可得向量终点的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，可得答案.
【详解】由，为单位向量，且，则，解得，
设的夹角为，则，解得，
不妨设，，，
由，则，整理可得，易知圆心，半径为，
设，由，则，
易知当直线与圆相切时，取得最值，
可得，整理可得，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于向量运算的坐标表示，根据题意建立合理的坐标系，设出向量的坐标，整理未知向量终点的轨迹方程，利用解析几何的解题思想，将向量问题等价转化为直线与圆的位置关系问题.
13．（多选题）若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影数量结果不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据新定义得，然后由投影数量公式可解.
【详解】因为被“同余”，所以，即，
则在方向上的投影数量为，
故A不符合题意，BCD符合题意.
故选：BCD
14．（多选题）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）
A．当点在线段上移动时，
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点有两个
D．最大值为3
【答案】ACD
【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点在、(不含点)、(不含点)、(不含点)上时的取值，进而逐项进行判断即可.
【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则
，
所以，
由，得，
所以，所以，
①当点在上时，，且，
所以，故A正确；
②当点在(不含点)上时，则，
所以，化简，
所以，
因为，所以，即；
③当点在(不含点)上时，则，且，
所以，即，所以；
④当点在(不含点)上时，则，
所以，化简，
所以，
因为，所以，所以；
对于B，由①知，当时，，此时点与点重合；
由④可知当时，，，此时点在的中点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误；
对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点；
由③知，当时，，，此时点在点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确；
对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确.
故选：ACD.
15．（2024·河南·模拟预测）（多选题）设向量，，当且仅当，且时，则称；当且仅当，且时，则称，则下列结论正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，，则
C．若，则对于任意向量，都有
D．若，则对于任意向量，都有
【答案】BC
【分析】通过举反例判断AD错误，利用定义证明判断出BC正确.
【详解】对于A，取，，满足，取，，则，，满足，但，A错误；
对于B，因为，，根据新定义可知，，B正确；
对于C，设向量，，，由，得，且，则，且，所以，C正确；
对于D，根据，取向量，，，则，，，D错误.
故选：BC.
16．如图，在中，，点P在线段上，若的面积为，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先通过三角形面积公式、三点共线结论得出以及，再结合模长公式以及基本不等式即可求解.
【详解】若的面积为，，则，所以，
又因为，点P在线段上，
所以，所以，
，等号成立当且仅当，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．（24-25高三下·天津·开学考试）已知为的重心，直线过，交线段于，交线段于，其中，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】由题意作出图例，由向量的线性运算用向量表示出向量，由平面向量基本定理得到的关系，然后利用基本不等式求出的最小值.
【详解】由题意作图，点为线段的重心，
，
∴，
∴，
∵三点共线，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9，
故答案为：9.
18．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆，再由直线与圆相切，可得的最大值．
【详解】因为，
所以，所以，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：
由图可知，当与圆相切时，取得最大值，
因为，，所以，即的最大值为．
故答案为：
19．在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为 .
【答案】8
【分析】根据面积公式、正弦定理、余弦定理得出是边长为的等边三角形，再结合极化恒等式可求出.
【详解】设，
则，，
则，，得，
因，则，，
利用正弦定理、余弦定理可得，，即，
则是边长为的等边三角形，
取中点，
则
因的最大值为，故的最大值为.
故答案为：
20．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，为单位向量，则向量与夹角的最大值为
【答案】
【分析】设向量，的夹角为，根据向量夹角公式求向量与夹角余弦可得，求其最小值，结合余弦性质求结论.
【详解】由已知，设向量，的夹角为，
所以，
，
所以，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，又，
所以，
所以向量与夹角的最大值为.
故答案为：.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可.
【详解】因为
得，即
所以点在的角平分线上，设的中点为
因为，所以点在线段上，
不妨设，
所以
易知
所以
因为
所以
因为
所以
故选：B
【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线.
2．（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
【答案】C
【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解.
【详解】设，
由得，故,因此，
故，
由于
，则，
则，
令，
故在上单调递增，由于，
故当在上恒成立，在上恒成立，
故在单调递减，在单调递增，
故当时，取到极小值也是最小值，因此
因此，
故由于恒成立，故，
故选：C
3．边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到范围.
【详解】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，
因为正三角形边长为2，
根据三角形面积公式得到，
所以内切圆半径为，则设，，
则，
因为，
即，
所以，解得，
则，
因为，则，
则，所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求出内切圆半径，设，由，可解出，利用三角函数和三角恒等变换求范围.
4．已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ）
A． B． C．11 D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用向量数量积运算可证，，由向量三角不等式可得，求出得解.
【详解】由题，，，
所以
，
同理，，
由向量三角不等式，，
又，
，当且仅当与共线反向时，取等号，
所以的最小值为.故选：A.
5．（多选题）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（ ）
A．存在单位向量，使得
B．对任意、，恒成立
C．若，则的最大值为
D．，则
【答案】BCD
【分析】利用变换规则，结合向量模长公式可判断A；根据变换规则，结合数量积的坐标运算判断B; 根据变换规则，结合平面向量的坐标运算以及向量的模长公式判断C；先求出，再依次化简即可判断D.
【详解】设单位向量，则，，
而，，所以不存在单位向量，使得，A选项错误;
已知，，则，
又，，
计算，
所以恒成立，B选项正确;
由，则，，
，，
，，
设，的夹角为，对平方得
，
即当时，取得的最大值为，C选项正确;
已知，则，
即，
由B选项有，则，
即，所以，D选项正确，故选：BCD.
6．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ．
【答案】 ； .
【分析】根据不等式，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围.
【详解】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为；
不妨设，满足；
则，，，
设与的夹角为，则，
则，
令，故，
根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，
又当时，，当或时，，故，又，故.
故答案为：；.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优04 向量中的不等式体系与最值（范围）、新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 向量中的函数不等式（★★★） 3
题型二 向量中的基本不等式（★★★★） 4
题型三 向量中的三角不等式（★★★★） 5
题型四 与数量积有关的最值（范围）问题（★★★★★） 6
题型五 与模长有关的最值（范围）问题（★★★★） 7
题型六 与夹角有关的最值（范围）问题（★★★★） 8
题型七 与系数有关的最值（范围）问题（★★★★★） 9
题型八 向量中的新定义问题（★★★★★） 11
03 实战检测 分层突破验成效 12
检测Ⅰ组 重难知识巩固 12
检测Ⅱ组 创新能力提升 15
一、向量的三角不等式
我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有．
当与同向时，，即；
当与反向时，，即．
综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，．
同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，．
综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式．
二、平面向量中的最值（范围）问题
以下是几种解决平面向量最值问题的方法：
1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减.
2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.
3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增.
4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.
5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△.
6、基本不等式
（1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号.
利用基本不等式求最值
①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
（2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤.
其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
7、三角函数的性质
（1）正弦函数的值域为.
（2）余弦函数的值域为.
8、利用平面几何知识
（1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立.
（2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心.
题型一 向量中的函数不等式
1．在正方形中，，点是边的中点，点在边上，且，若，，则的取值范围是 .
2．在平面直角坐标系中，已知，，，则的取值范围是
3．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为 .
5．设点是的外心，，，，则的取值范围为 ．
题型二 向量中的基本不等式
1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知点E，F分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．在中，已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
5．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为 ．
6．如图，在平面四边形中，，，，．则四边形的面积的最大值为 ．
7．已知的重心为，，，其中，，且三点共线，则 ；与的面积之比的最小值为 ．
题型三 向量中的三角不等式
【技巧通法·提分快招】
，应用向量的三角形不等式时，要把问题的结构特征与向量三角形不等式的结构特征联系起来，抓住两者的相似性，构造出合适的结构，同时应特别关注等号成立的条件．
1．已知是两个非零向量，则与的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
2．若函数，则最小值为 ．
3．已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ．
4．已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 .
5．已知平面向量满足，若，则的取值范围为 .
题型四 与数量积有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理．
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·江西吉安·月考）已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
8．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
题型五 与模长有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直．
1．已知，，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（2024·安徽·一模）已知平面向量、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·海南·月考）设是非零向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知向量满足，，则的最小值与最大值的和是（ ）
A． B． C． D．4
7．已知向量，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六 与夹角有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角．
1．（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
题型七 与系数有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． （1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； （2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数．
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
2．在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
4．（24-25高三上·吉林长春·月考）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为 .
6．已知点在以为圆心的圆弧上运动，，．若，其中，则的最大值是 ．
7．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
8．在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为
题型八 向量中的新定义问题
1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ）
A．已知，则
B．已知，，则
C．已知，，则
D．已知，，若，则
4．（2025·四川成都·三模）（多选题）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）
A．若，，，则，，线性相关
B．若，，，则，，线性无关
C．若，，线性无关，则，，线性相关
D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关
5．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 .
6．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
2．（24-25高三上·江苏·月考）中，是的中点，在上，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
5．（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）．
A． B．0 C． D．
6．（24-25高三上·浙江嘉兴·月考）已知圆O是圆心为原点的单位圆，A，B是圆O上任意两个不同的点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零平面向量，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ）
A．44 B．48
C．72 D．76
11．在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高三上·吉林·期末）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（多选题）若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影数量结果不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
14．（多选题）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）
A．当点在线段上移动时，
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点有两个
D．最大值为3
15．（2024·河南·模拟预测）（多选题）设向量，，当且仅当，且时，则称；当且仅当，且时，则称，则下列结论正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，，则
C．若，则对于任意向量，都有
D．若，则对于任意向量，都有
16．如图，在中，，点P在线段上，若的面积为，，则的最小值为 .
17．（24-25高三下·天津·开学考试）已知为的重心，直线过，交线段于，交线段于，其中，则的最小值为 ．
18．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
19．在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为 .
20．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，为单位向量，则向量与夹角的最大值为
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
3．边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ）
A． B． C．11 D．
5．（多选题）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（ ）
A．存在单位向量，使得
B．对任意、，恒成立
C．若，则的最大值为
D．，则
6．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ．
