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重难点培优04 常见函数与函数中的新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 对勾函数（★★★★） 4
题型二 反函数（★★★） 7
题型三 高斯函数（★★★★） 11
题型四 狄利克雷函数（★★★） 16
题型五 最值函数（★★★★） 19
题型六 黎曼函数（★★★） 25
题型七 倍值函数（★★★） 31
题型八 给出其他新性质定义（★★★★★） 37
题型九 给出其他新概念定义★★★★★） 46
题型十 给出其他新运算定义（★★★★★） 55
03 实战检测 分层突破验成效 59
检测Ⅰ组 重难知识巩固 59
检测Ⅱ组 创新能力提升 85
1、反函数
（1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．
例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数
（2）性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；
③互为反函数的两个函数的单调性相同；
④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
⑤单调函数必有反函数．
2、对勾函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数
3、高斯函数
（1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
（2）性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
（3）图象
4、狄利克雷函数
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
5、最值函数
设min{a，b}＝max{a，b}＝
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.
6、倍值函数
对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
7、函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.
题型一 对勾函数
【技巧通法·提分快招】
基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
1．（23-24高三下·天津滨海新·月考）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D
2．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意，
当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，
当时，在单调递增，在单调递减，
故在上单调递减，则，
故选：C
3．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数.
【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，
且，.
所以当时，，
由，.
只有当时，的值分别对应.
又因为在上各有2个解，
所以在上有6个零点.
故选：C
4．（24-25高三上·贵州·期中）（多选题）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ）
A．2 B．14 C． D．
【答案】AC
【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案.
【详解】由题意，若时，有，可得，满足；
若时，有：
，则，可得，不满足；
，则，可得（舍）或，
所以，此时，满足；
若时，有，可得，不满足；
综上，或.
故选：AC
若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ．
【答案】/0.75
【分析】由可得，分和两种情况讨论即可.
【详解】因为，则，
所以，即，
当，即，恒成立，
因为，则，所以．
当，即或时，恒成立，
因为，
所以．
综上，，
所以实数的最大值为．
故答案为：
6．已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案.
【详解】当时，，
故，
令，由对勾函数的性质可得在上单调递减，
故，所以，解得，
当时，，
故，其中，
所以，
综上，.
故答案为：
题型二 反函数
【技巧通法·提分快招】
互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
1．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值.
【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，
函数是函数的反函数，所以，即，
故选：A.
2．函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域.
【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为，
则反函数的定义域为.
故选：D.
3．函数的图象与函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．关于原点对称
【答案】A
【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案.
【详解】的反函数满足，化简可得，
所以，因为反函数的图象关于直线对称，
即与关于直线对称，
故选：A.
4．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由题中条件，求出，得到，再求出其定义，利用复合函数单调性的判断方法，即可得出结果.
【详解】∵函数与的图象关于直线对称，则，
∴，由，解得，令，，
在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，
∴的单调减区间为.
故选：D.
5．（24-25高三上·陕西西安·期中）已知函数，，．则下列说法正确的是（ ）
A．函数与函数不互为反函数
B．函数在区间内没有零点
C．若均为正实数，且满足，则
D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
【答案】D
【分析】求函数的反函数，判断A，根据零点存在性定理判断B，取特殊值判断C，根据反函数的性质判断D.
【详解】函数的反函数为，
所以函数与函数互为反函数，A错误；
由已知，
因为当时，，
当时，，
所以函数在区间内至少有一个零点，B错误；
取，可得，，，
所以，，，故，C错误；
因为函数，互为反函数，
所以函数，的图象关于直线对称，
又函数图象关于直线对称，
又函数与函数的图象的交点为，
函数与函数的图象的交点为，且
所以点和点关于对称，
所以，故，
所以，D正确.
故选：D.
6．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意看得出、，数形结合可知点、关于直线对称，由此可得出结论.
【详解】由题意可得，可得，
，则，所以，，
作出函数、、的图象如下图所示：
对于函数可得，所以，函数的图象关于直线对称，
又因为函数、的图象关于直线对称，
所以，点、关于直线对称，则，故.
故选：B.
题型三 高斯函数
【技巧通法·提分快招】
高斯函数的性质 （1）定义域：R； （2）值域：Z. （3）不具有单调性、奇偶性、周期性.
1．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.
【详解】，
，则，即，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
综上，函数的值域为.
故选：C.
2．（2024·河南新乡·二模）函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解.
【详解】，当且仅当时取等号，
由可得，
所以，故，
故选：C
3．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可.
【详解】易知函数的零点即的交点，
对于函数，
显然，所以要符合题意需，如下图所示，
四个交点应在区间，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：对于高斯函数相关的函数可以分区间讨论其函数形式，然后利用方程转化为两函数交点问题，数形结合计算即可.
4．（24-25高三上·四川德阳·月考）（多选题）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ）
A． B．为偶函数
C． D．的值域为
【答案】AC
【分析】根据取整函数的定义判断各选项.
【详解】A选项：，A选项正确；
B选项：，，即，所以函数不是偶函数，B选项错误；
C选项：由已知可得，所以，
，C选项正确；
D选项：由已知，则，即，D选项错误；
故选：AC.
5．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）（多选题）函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B．对任意整数，有
C．存在正实数，使得对所有成立
D．函数有2个零点
【答案】ABD
【分析】由高斯函数的定义，可判断A；整数不影响小数部分可判断B；由的图象可判断C；由，求解可判断D.
【详解】对于A，由高斯函数的定义，是不超过的最大整数，故，A正确；
对于B，整数不影响小数部分，故，B正确；
对于C，由的图象易知C错误；
对于D，由，可得，所以，
若函数要有零点，则，得，因为要为0，
必须也为整数，在这个范围内，只有，两个点，所以D正确.
故选：ABD．
6．（23-24高三下·江西南昌·月考）（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 不是周期函数；
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于 对称：
D．方程 只有一个实数根；
【答案】ABD
【分析】利用偶函数性质，只需要研究部分，再利用数形结合，就可以对各选项判断.
【详解】函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 为偶函数，
当 时，，
则
当时，，
当时，，
所以函数 的图象如图所示
由 可知，在 内，，
当 时，，
当 ，且 时，，
当或，时，，
因为 ，所以 为偶函数，
则函数 的图象如图所示：
由函数 的图象得到 不是周期函数，故选项 正确；
所以函数 的值域是 ，故选项 正确；
由 ，
所以函数 的图象不关于 对称，故选项 不正确；
对于方程 ，当 时，方程有一个实数根，
当 时，，此时 ，方程没有实数根，
当 时，，此时 ，方程没有实数根，
所以方程 只有一个实数根，故 正确.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：就是利用对函数的的图象研究，可得到的图象，然后通过数形结合来对各选项判断.
题型四 狄利克雷函数
【技巧通法·提分快招】
狄利克雷函数的性质 （1）定义域R；值域{0，1}. （2）奇偶性：偶函数. （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
1．19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数和无理数的概念以及函数解析式先求出，再求，最后求.
【详解】因为，所以，则，
故选B.
2．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数
C．是奇函数 D．是周期函数
【答案】D
【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D.
【分析】对于A，因为或均为有理数，
所以，故没有零点，A错误，
对于B，因为，所以，
故不是单调函数，B错误，
对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以，
故是偶函数，C错误，
对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，
所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，
故选：D.
3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解.
【详解】由题意可知：若，则，
但当时，有可能等于，
如，，满足，但，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．（24-25高三上·上海·月考）在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点.下面给出下列四个结论：①函数是偶函数；②存在常数使得函数是奇函数；③函数有无数个零点；④对任意恒成立.其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合奇偶函数以及周期函数的定义判断①②④，应用零点的定义判断③，可得出结果.
【详解】因为当，则，所以，
当，则，所以，
所以对，，
所以函数是偶函数，故①正确；
因为，
所以，
所以，
所以不存在常数使得函数是奇函数，故②错误；
由，即解得，即，
所以函数有无数个零点，故③正确；
当时，，所以；
当时，，所以，
所以对任意恒成立，故④正确.
故选：C
5．（23-24高三上·湖北·月考）（多选题）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．存在无理数，使 D．对任意有理数，有
【答案】ABD
【分析】由分段函数的解析式求得函数的值域，可判定选项;由偶函数的定义，可判定选项;由函数的解析式可验证选项
【详解】由题意，函数，可得函数的值域为，故正确；
若为有理数,则为有理数，可得
；
若为无理数,则为无理数，可得
，
所以函数为定义域上的偶函数，故正确；
当为无理数，若为有理数，则为无理数，
若为无理数，则可能为有理数，也有可能是无理数，
不满足，所以错误；
对任意有理数，若为有理数，则为有理数，
若为无理数，则为无理数，所以，则正确.
故选：
6．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）（多选题）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，恒有成立
C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立
D．存在三个点，，，使得为等边三角形
【答案】BD
【分析】分别讨论为有理数与为无理数时的情况逐一分析判断ABC；取，得，判断D作答.
【详解】依题意，当为有理数时，，当为无理数时，，因此恒成立，A错误；
当是有理数时，，当是无理数时，
所以对任意，恒有成立，B正确；
若是无理数，当是有理数时，则是无理数，有，而，此时，C错误；
取，得，，
此时，即为等边三角形，D正确.
故选：BD
题型五 最值函数
1．（23-24高三上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
2．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.
【详解】令，定义域为，令，得，
且在上单调递增，
画出函数图象如下：
则的图象如下：
若，则，画出的图象如下，
显然最小值为2，不合题意，
若，则画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，
令，解得，正值舍去，
令，解得，
若，则画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，
令，解得，负值舍去，
令，解得，
综上，.
故选：B
3．（24-25高三下·湖北·月考）（多选题）已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】当，可得，
所以，所以在上单调递增，
当，可得，
所以，所以在上单调递增，
所以的单调递增区间的是和.
故选：ACD.
4．（多选题）定义，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若直线与的图象有个交点，则
D．在区间上的值域为，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】化简函数解析式，代值计算可判断AB选项；作出函数的图象，数形结合可判断CD选项.
【详解】当时，，
由于，由可得，由可得，
当时，，
由于时，由可得，由可得，
所以，，
作出函数的图象如下图所示：
对于A选项，，A正确；
对于B选项，因为，则，B正确；
对于C选项，若直线与的图象有个交点，则或，C错误；
对于D选项，当时，由得，解得，
当时，由可得，解得，
当时，由得，解得.
如图所示，当在区间上的值域为，
且当取最大值时，，故的最大值为，D正确.
故选：ABD.
5．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数，用表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，则 ．
【答案】
【分析】将函数看作y的函数，分类讨论在不同范围内取值时，它关于y的不同的单调性，得出在给定y的范围内取值时的最大值（是关于x的函数），进而求得x的各个范围或取值的函数的最小值或范围，最后综合各种情况，得到所求.
【详解】，
当且固定时，，为的单调递增函数，
∴，
当且固定时，，为的单调递减函数，
∴，
当时，，
综上所述，
故答案为：
6．（24-25高三上·浙江·月考）已知函数，．
(1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分和两种情况，结合函数对称轴，得到不等式，求出实数a的取值范围；
（2）分和，再细分，，，得到两函数交点情况，从而得到的零点个数.
【详解】（1）①当时，则是单调函数，不成立；
②当时，为二次函数，对称轴为，
则；解得；
综上，．
（2）当时，则，，
显然，的图象在的图象上方，
故，无零点；
当时，，即，所以或；
（ⅰ）当时，，当时，在上单调递增，
且，故，无零点；
（ⅱ）当时，当时，即，
此时与只有1个交点，且交点在轴下方，
故有2个零点，分别为和1；
当时，即，此时与只有1个交点，交点横坐标为1，
故有1个零点1；
当时，即，此时与只有1个交点，交点在轴上方，
故无零点．
综上，当时，无零点，当时，有1个零点，
当时，有2个零点．
题型六 黎曼函数
1．（23-24高三上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合奇函数性质分析求解.
【详解】因为，即，
且函数是定义在上的奇函数，则，即，
由题意可得：，，
所以.
故选：A.
2．（23-24高三上·北京·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（ ）
（注：p、q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（ ）
A．当时，
B．若，则
C．当时，的图象关于直线对称
D．存在大于1的实数m，使方程（）有实根
【答案】D
【分析】A选项，或或x为内的无理数时，，当为内的有理数时，也满足；B选项，分别考虑分别为0，1，内的有理数或无理数时，讨论得到；C选项，考虑，1或内的无理数，，为内的有理数，也满足，故C正确；D选项，求出的值域，从而得到方程无根.
【详解】A选项，当或或x为内的无理数时，，
故，此时；
当（且p、q为互质的正整数）时，（且p为正整数），
则，此时，
当时，，A正确；
B选项，若或，此时，，
又，故满足；
若或，不妨设，此时，，
又，故满足；
若为内的无理数时，为内的无理数或（且p、q为互质的正整数），
此时，又，故；
若中一个为内的无理数，另一个为（且p、q为互质的正整数），
此时为内的无理数，故，又，
故；
若均为（且p、q为互质的正整数），设，
，故，B正确；
C选项，，1或内的无理数，则，，，
若为内的有理数，设（且p、q为互质的正整数），
则，
综上，当时，的图象关于直线对称，C正确；
D选项，的值域为，其中为大于等于2的正整数，
若，因为，所以，
此时方程（）无实根，D错误.
故选：D
3．（多选题）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．关于的不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】解:对于选项A，当时，，当时，，
而，当时，，
若是无理数，则是无理数，有，
若是有理数，则是有理数，当,(正整数数，为最简真分数），
则,（为正整数数,为最简真分数）,
此时，综上:时，，所以选项A正确，
对于选项B，取，则,
所以,所 以选项B错误，
对于选项C，当和无理数时，，显然有，
当（是正整数， 是最简真分数）时，
,，故，
当时，，有，
当时，，，有，
当a为无理数， 时，，有，
综上: ，所以选项C正确；
对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立，
当 (正整数数，互质)，由，得到 ，
整理得到.又正整数，互质，所以，所以，所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据黎曼函数的定义，对每个选项的情况分别分成或或内的无理数以及有理数讨论.
4．（多选题）德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A．存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B．对任意的x∈R，有
C．存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D．给定正整数t，记S =，则S有个元素
【答案】ABC
【分析】本题中的，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素）即取值为非零有理数，要考查新定义函数的周期性，对称性，根据函数解析式，分三段分别讨论，C选项可以取满足条件的来验证.D选项主要考查对定义的理解，取进行验证即可判断.
【详解】对选项A，考查函数的周期性，取，
若，则，
，所以满足，
若为无理数，则也是无理数，满足.
若为非零有理数，即，，互质，则与也互质，，满足，故A选项正确.
对选项B，若为无理数，则也是无理数，所以.
若，满足.
若为非零有理数，，，互质，则与互质，也与互质，满足.B选项正确
对于选项C，因为存在a，b，a + b∈[0，1]，取，因为为无理数，，又，故，故 有.故选项C正确.
对于选项D，取，即，则或1，当时，，当时，，当时，，当时，，则，有7个元素，不满足=8个元素，故D错误.
故选：ABC
5．（23-24高三上·河北沧州·期中）（多选题）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上.当（p，q都是正整数，为最简真分数）时，，当或1或x为（0，1）内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当时，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据黎曼函数R（x）的性质求解判断.
【详解】.
因为为偶函数，所以g（x）的图象关于直线对称.
因为为奇函数，所以g（x）的图象关于点（2，0）对称.
所以，所以，所以.
所以.
若a，b中至少有一个为0或1或（0，1）内的无理数，
而，则.
若a，b均为（0，1）内的有理数，设，（，，，，m，p为正整数，，为最简直分数），则.
当能约分时，则约为最简真分数后的分数的分母，；
当不能约分时，此时.
综上，当时，而，.所以.
故选：BC
题型七 倍值函数
1．（2024·四川内江·模拟预测）对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围．
【详解】解：在定义域内单调递增，
，
即，
即是方程的两个不同根，
∴，
设，
∴当时,函数单调递减, 不存在两个根的问题,
时，；时，，
∴是的极小值点，
的极小值为：，
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
∴实数的取值范围是．
故选:C．
【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
2．（2024·北京通州·三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据所给定义得到方程组，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解.
【详解】①为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以恒成立，
即无零点，所以不存在“倍值区间”，故①错误；
对于②在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
所以，解得.
所以函数存在“倍值区间”，故②正确；
对于③函数在定义域上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
，
所以在上存在一个零点，
所以在定义域上存在两个零点，
方程有解，其中，，
所以函数存在“倍值区间”，故③正确；
对于④，函数在上单调递增，
若函数存在“倍值区间”，则，
令，，则，
所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点，
所以函数不存在“倍值区间”，故④错误；
故选：B
3．（多选题）已知函数的定义域为D，若存在区间[m，n] D使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据定义分别讨论是否满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.
【详解】解：根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足f（x）在内是单调函数，其次有或，依次分析选项：
对于A，，在区间上，是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”，
对于B，f（x）＝，在区间上，是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”，
对于C，f（x）＝x+，当x＞0时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若函数存在倍值区间，则有或，
对于，有，解可得m＝n＝1，不符合题意，
对于，，变形可得且，必有，不符合题意，故不存在倍值区间，C错误.
对于D，f（x）＝，在区间上，有，
则是增函数，且其值域为，
则区间是函数的“倍值区间”，
故选：ABD．
4．（多选题）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为 .
【答案】②③
【分析】根据新定义，先确定函数的单调性，然后判断方程组（增函数）或（减函数）是否有解．
【详解】对于①，函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，由图象可得方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
对于②，函数 为减函数，若存在“倍值区间”，则有得：，，,例如：，.所以函数存在“倍值区间”；
对于③，若函数存在“倍值区间”，则有，解得.所以函数函数存在“倍值区间”；
对于④，当时，.当时，，从而可得函数在区间上单调递增.若函数存在“倍值区间”，且，则有，无解.所以函数不存在“倍值区间”.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解，把问题转化为方程组或是否有解问题，考查了转化与化归思想．
5．（24-25高三上·云南·月考）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.
【答案】(1)2
(2)
(3)1
【分析】（1）求出在上的值域，再根据“倍值函数”的定义即可列方程求解；
（2）易知对称轴为，分、、三种情况讨论即可；
（3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可.
【详解】（1）因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”.
所以，，其值域为.
则，又，解得.
（2）函数，对称轴为.
设的 “倍值区间” 为.
若，在上单调递减，
则，两式相减得：
，，.
因为，所以，，即.
若，在上单调递增，
则，
即有两个不同的大于的根.
令，则，
解得或，
解得，解得，此时无解.
若，，，与矛盾.
综上，的取值范围是.
（3）因为函数是 “倍值函数”， “倍值区间”为开口向下，对称轴为.
若，在上单调递减，
则，两式相减得:
，，，
代入得，
，，无解.
若，在上单调递增，
则，
即有两个不同的小于的根.
令，则，解得.
因为存在唯一的 “倍值区间”，
由，根据韦达定理，.
两根为，
要使区间唯一，则，此方程无解.
再考虑在上不单调的情况，因为对称轴，
所以，且，则，得且.
又，，
消去得（无解），
或者，解得或（舍去）.
所以.
题型八 给出其他新性质定义
【技巧通法·提分快招】
（1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志 （2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律
1．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ）
A．若的周期为1，则满足性质
B．若，则不满足性质
C．若（且）满足性质，则
D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证．
【详解】选项A，的周期为1，则，从而有，因此具有性质，但不一定成立，A错；
选项B，，，所以，所以具有性质，B错；
选项C，若（且）满足性质，则，所以，从而，C错；
选项D，偶函数满足性质，即，又是偶函数，
所以，所以图象关于直线对称，D正确，
故选：D．
2．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据性质的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.
【详解】根据题意，要满足性质，则的图象不能在过点的直线的上方，且这样的直线只有一条；
对A：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，过点的直线有无数条都满足题意，故A错误；
对B：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故B错误；
对C：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故C错误；
对D：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线，即，满足题意，故D正确.
故选：D.
3．（24-25高三上·北京房山·期末）若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式判断A，举反例判断B，利用作差法判断C，D即可.
【详解】对于A，任取定义域内任意的，且使，
故，，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，而，达不到取等条件，
得到成立，
即具有性质，故A错误，
对于B，令，则，，
故，，
由对数函数性质得，故，
即不具有性质，故B正确，
对于C，任取定义域内任意的，且使，
，，
故，
，
，
，
，
故成立，
即具有性质，故C错误，
对于D，任取定义域内任意的，且使，
，，
故，
，
，故成立，
即具有性质，故D错误.
故选：B
4．将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性．
(1)判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①；
②（其中表示不超过x的最大整数）；
③．
(2)已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，．
（ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标；
（ⅱ）证明在方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求．
【答案】(1)在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性．
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；（ⅲ）
【分析】（1）由平移不变性定义结合函数周期性可得答案；
（2）（ⅰ）由题中所提及信息可得答案；（ⅱ）设点在函数的图象上，由题中信息可得在函数的图象上，即可完成证明；（ⅲ）由（ⅱ）可得，然后令，结合，在上可得答案.
【详解】（1）注意到；
；
．
所以函数在方向上具有平移不变性；
函数在方向上具有平移不变性；
函数在方向上具有平移不变性，其中；
（2）（ⅰ）由题目中所给信息可得：点关于直线对称的点是
，点关于点对称的点是．
（ⅱ）设点在函数的图象上，则由题 点关于直线对称后的点在函数的图象上，则点关于点对称后的点在函数的图象上，则关于直线对称后的点在函数
的图象上，则关于点对称的点在函数的图象上．所以在方向上具有平移不变性．
（ⅲ）由（2），
，注意到.
设点在函数的图象上，其中，
则在函数的图象上，其中，
令，则，
所以．
【点睛】关键点睛：对于函数新定义问题，关键为读懂定义；将新问题转化为与已解决问题有关的问题，是我们常见处理问题的手段.
5．设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质．
(1)判断函数，是否具有性质，并说明理由．
(2)是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由．
(3)若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有．
【答案】(1)函数，具有性质，理由见解析
(2)当时，函数具有性质，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据函数具有性质的定义判断即可；
（2）根据余弦函数的周期性，即可求出的取值集合.
（3）采用数形结合的思想，进行分类讨论分析即可得出结论.
【详解】（1）当时，；
当时，，即，所以，即；
所以函数，具有性质；
（2）当时，函数具有性质，理由如下：
由函数周期性可知，当时，，
即恒成立，所以函数具有性质.
（3）当时，与的草图如下图所示：
当时
当时
当时
由图易知，当时，均不满足恒成立，即不有性质；
当时，与的草图如下图所示：
当时
由图易知，当时，不满足恒成立，即不有性质；
当时
由图易知，当时，，使得，不符合题意；
由图易知，当时，即，函数同时满足条件①与②.
综上所述，
【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点在于新定义的理解，然后根据定义判断即可；第（2）问的关键点，借助余弦函数的周期性；第（3）问的关键点，利用数形结合，通过分类讨论画出与的草图，然后即可得解.
6．（24-25高三上·山东青岛·期末）若函数满足：对于任意，，都有，则称具有性质．
(1)设，，分别判断函数，是否具有性质？并说明理由；
(2)（ⅰ）已知奇函数是上的增函数，证明：具有性质；
（ⅱ）设函数具有性质，求的范围．
【答案】(1)不具有，具有，理由见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用举反例即可判断不具有性质．利用题干中的定义列出式子即可判断具有性质.
（2）（ⅰ）利用奇函数的性质以及题干的定义即可证明结论.
（ⅱ）根据定义列出式子，得出为上的增函数，再利用导数的性质以及分情况讨论即可得到结果.
【详解】（1）不具有性质，理由如下：取，则
；
具有性质，理由如下：对于任意，
，
所以具有性质.
（2）（ⅰ）是上的增函数，
当时，，即，
为奇函数， ，
，具有性质；
（ⅱ）因为函数具有性质，
，
因为，
又定义域为，所以为奇函数，
，
即为上的增函数，
在上恒成立，
在上恒成立，
当时，显然成立，
当时，，
令，，
令，，
因为为的增函数，
，
当时，，
令，
， .
综上：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质P的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题.
题型九 给出其他新概念定义
【技巧通法·提分快招】
（1）学会通过具体例子来体现抽象概念，将复杂理论以简单应用的形式展现出来，以此促进对概念的深刻理解 （2）若新信息是对传统概念的扩展，应细致比较其与传统概念的异同，并明确在何种情境下适宜运用书中的理论。
1．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】理解函数的性质，举反例说明充分性不成立，再利用指数函数与一次函数的性质说明必要性成立，从而得解.
【详解】因为，
当时，取，则，，
此时，则不成立，即充分性不成立；
当时，，，所以，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件：
①“”的充要条件为“”；
②；
③，都有.
则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（ ）
（1）为；
（2）为；
（3）若，则为；
（4）若为，则也为（为自然对数的底数）.
A．（1）（4） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）
【答案】C
【分析】根据题目新定义，以及对数运算和三角函数性质，分别判断各命题是否符合三个条件，判断命题的真假.
【详解】对于（1），，即，
①，即，即，
若，则，
所以“”的充要条件为“”.
②，成立，
③，，故（1）正确；
对于（2），，
①，即，即，
此时若，，则，故（2）错误；
对于（3），，
①即，即，得，
若，则，
所以“”的充要条件为“”.
②，成立；
③
，故成立，故（3）正确；
对于（4），设，，则，
①若，则，即，故（4）错误.
故选：C.
3．（2025·浙江·二模）给定非空数集，若函数满足：对任意、，存在实数使得成立，则称为“半压缩函数”.已知，则下列四个函数中为“半压缩函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用题中“半压缩函数”的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，因为、，，
所以当、时，，故函数不是“半压缩函数”，A错误.
对于B，，
当、时，、，，，
故函数不是“半压缩函数”，B错误.
对于C，取，构造函数，，则，
所以函数在上为增函数，则，故，
构造函数，，
则对任意的恒成立，
所以函数在上为增函数，
任取、且，则，即，
所以，
因为函数在上为减函数，所以，
由可得，
故函数为“半压缩函数”，C正确.
对于D，不妨设、且，
则，
构造函数，，
则，故函数在上为增函数，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
所以函数不是“半压缩函数”，D错误.
故选：C.
4．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可；
（2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可；
（3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根．
【详解】（1）因为函数单调递增，
若在定义域区间上存在，使得的值域，
则，，即为方程的两根，又，得，，
又在区间上的值域为，故，符合题意.
（2）因为函数为递增函数，
要使在定义域区间上存在，使得的值域，
则只需有两个不等的非负实根，
令，，则在有两个不等的实根，
故，即，得，
即t的取值范围是.
（3）函数在定义域内单调递减，
依题意得，两式相减，得，
则，
得①
将①式代入方程组得，则是方程的两根，
令，则在上有两个不同的实根，
则，解得，
故实数m的取值范围为
5．（24-25高三下·江苏苏州·月考）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)和
(3)是，，，.
【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可；
（2）根据函数新定义结合正弦函数、余弦函数值域计算求解；
（3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参.
【详解】（1）当，则，
显然时，恒成立，
取，满足题意，所以是“函数”；
（2）因为函数是“函数”，所以，
则，所以，
即的一个周期为4，
由于当，，
当，则，
所以，
所以当时，，结合正弦函数单调性可得；
当时，，则，
结合余弦函数单调性可得；
所以当时，满足的有和，
故在上的解为和.
（3）由题可得：，
则，其中，且，
由于，可化为，
由正弦的差角公式化简得：
，
由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有：
解得：，
由，解得：
所以函数为“函数，
其中，，.
6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e有关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为R，且在R上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数e是自然对数的底数，…）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知函数在上的最大值为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用双曲函数满足的等式和奇偶性构造方程组，求解即得；
（2）利用（1）的结论和题设范围将不等式转化为，继而把不等式恒成立转化为求函数的最小值，接着利用基本不等式即可求得最值；
（3）通过令，将函数化成，从而把双曲函数问题转化成二次函数在给定区间上的最值问题，经过分析计算，利用绝对值不等式性质即可求得其最小值.
【详解】（1）因为函数分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且满足①，
所以，即②，
联立①，②，解得
（2）因为，所以，得，
所以，
即在上恒成立，等价于使
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
故，即实数m的取值范围为.
（3）函数
设，由性质①在R上是增函数，
可知当时，，
由，可得
于是原函数可化为：，
设为二次函数，
由题意
所以，，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
【点睛】关键点点睛：在（3）题中通过换元，得到后，需要结合函数的最大值为这一条件，判断得到，从而通过拼凑消元，利用绝对值不等式性质可得到.
题型十 给出其他新运算定义
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假 B．，且为假
C．，且为真 D．，且为真
【答案】D
【分析】根据题意结合指对数函数性质分析可知，再根据命题的否定分析判断.
【详解】因为，且，
则，，
可得，即命题为假命题，
所以，且为真命题.
故选：D.
2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，推得，再由，推得，即可求得.
【详解】已知，
则，
，
以此类推，，则，
又，
则，
，
以此类推，，
所以.
故选：B.
3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
【答案】C
【分析】对于A：直接确定定义域判断；对于B：由经过有限次角谷运算均无法得到1，记来排除；对于C：通过和的关系计算判断；对于D：列举来判断.
【详解】对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
对于B：由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误；
对于C：对任意正整数，，而，
因此，C正确；
对于D：由，知不正确，D错误.
故选：C.
4．（24-25高三上·黑龙江·期末）定义三阶行列式运算：，其中.已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上的最大值为，求的值；
(3)若函数，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）根据三阶行列式运算的定义求函数解析式即可；
（2）根据对称轴与闭区间的位置关系分类讨论，结合二次函数的单调性确定最大值，解出的值即可；
（3）根据题意得，利用指数函数的单调性得，进而将问题转化为，再根据二次函数的对称轴与闭区间的位置关系分类讨论，结合二次函数的单调性确定最大值，解出的值即可.
【详解】（1）由三阶行列式运算的定义，得.
（2）由（1）可知，，
①当，即时，函数在上单调递增，
此时，解得（舍去），
②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，解得，
③当，即时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍）或，
综上所述，实数的值为或.
（3）因为，使得成立，所以，
因为函数在上单调递增，所以，从而.
①当，即时，函数在上单调递增，
此时恒成立，
②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时恒成立，
③当，即时，函数在上单调递减，
此时，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
5．（24-25高三上·广东东莞·期末）对于任意两正数u，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知
(1)求，，
(2)对正数k和任意两个正数u，v，猜想与的大小关系，并证明;
(3)（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有
（ii）若，试说明：当时，.
【答案】(1)，，
(2)，证明见解析
(3)（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【分析】（1）（2）由新定义可直接计算判断；
（3）（i）设， 由小于高为底为1的长方形面积、大于高为，底为1的长方形面积，可得答案；（ii）利用（i）可得答案.
【详解】（1）由题意得，
，
；
（2）对正数k和任意两个正数u，v，，
由题知，
，
故；
（3）（i）设，由题意得，
由小于高为，底为1的长方形面积，得，
由大于高为，底为1的长方形面积，得，
所以对任意正数x，恒有
（ii）由（i）得
，
显然，当时，，所以.
【点睛】关键点点睛：第三额解题关键点是利用阴影部分的面积与相应梯形矩形的面积大小，可推出不等式.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（ ）
A．1 B． C．2 D．11
【答案】D
【分析】根据新定义列出关于的等式，计算即可.
【详解】由题意可知，的定义域为，
由，得，
即，解得：.
故选：D.
2．已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数
【答案】B
【分析】首先代入点的坐标求出，即可求出的解析式，从而求出的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】因为函数，且的图象过点，所以，解得（负值已舍去），
所以，又是的反函数，所以，
则，令，解得，
所以的定义域为，令，
则，所以为奇函数，
又在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：B
3．（23-24高三上·江苏扬州·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
【分析】根据函数的定义域可判定A；由函数的奇偶性可判定B；由函数的值域可判定C；由函数的单调性可判定D．
【详解】对于A：因为（其中，且，
其中，所以的定义域为，故A正确；
对于B，根据函数的对应法则，是有理数时，当是无理数时，
所以的值域是，故B错误；
对于C：若，则，有，
若，则，有，
综合可得，所以函数为偶函数，故C正确；
对于D：由于实数的稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间都有有理数，
其函数值在和之间无间隙转换，所以无单调性，故D正确．
故选：B
4．（24-25高三上·上海黄浦·月考）已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ）
①存在，使得；
②对任意，都有.
A．①②都正确 B．①正确、②不正确 C．②正确、①不正确 D．①②都不正确
【答案】A
【分析】依题意可得，从而推出，即可得到，，即可判断①；再由，即可推导，从而判断②.
【详解】由（1）可知，令，则，
不妨令，则，即，所以，故②正确；
由（2）若，则，所以，
同理可得，，，，，均属于，
故存在，使得，，所以，
所以存在，使得，故①正确.
故选：A
5．（2025·山东·模拟预测）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A．只有是 B．只有是
C．和都是 D．和都不是
【答案】C
【分析】根据单调函数的性质结合函数具有性质的定义对两个命题判断后可得正确的选项.
【详解】对于，当时，，
因为单调递减且，所以，
故存在且，对任意的，
均有即成立，
所以是函数具有性质的充分条件；
对于，当时，，
因为单调递增，所以恒成立，
故存在，且，
对任意的，均有成立，
所以也是函数具有性质的充分条件.
故选：C.
6．对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)
【答案】D
【解析】根据f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，易得，即是方程的两个根，转化为有两个根，令，用导数法求解.
【详解】因为f(x)=ex+3x是定义域R上的增函数，
所以，即，
所以是方程的两个根，
显然不是方程的根，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
当时，，当时，，
画出函数图象，如下图所示：
所以
所以实数k的取值范围是(e+3，+∞)，
故选：D
【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
7．（24-25高三下·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性列方程，进而可得是方程的两个根，利用换元法以及二次方程根的分布即可求解.
【详解】由于为单调递增函数，故为增函数，
则，即，
所以是方程的两个根．
设，则，关于的方程为有两个不等的正实根，
所以，解得，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：根据函数单调性求解最值得到是方程的两个根，换元得有两个不等的正实根求解.
8．（24-25高三上·辽宁·期末）在数学上，常用表示不大于的最大整数，已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数在定义域上是增函数
B．函数的零点有无数个
C．函数在定义域上的值域是
D．不等式解集是；
【答案】B
【分析】利用给定定义判断B，举反例判断A，C，D即可.
【详解】对于A，当时，，
此时，当时，而，
故，则，此时，
得到函数在定义域上不是增函数，故A错误，
对于B，令，解得，即，
此区间内有无数个，故函数的零点有无数个，故B正确，
对于C，当时，，
此时，即函数在定义域上的值域不是，故C错误，
对于D，当时，，
此时，而不在内，
故不等式解集不是，故D错误.
故选：B
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可．
【详解】由得在上单调递减，
当时，，
当时，要递减，且，
对于A，当时，，不合题意，故A错误；
对于B，当时，，不合题意，故B错误；
对于C，当时，，符合题意，故C正确；
对于D，当时，，不合题意，故D错误；
故选：C．
【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题．
10．“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
【答案】A
【分析】根据给定信息，利用函数的相关概念逐项判断即得.
【详解】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角股运算均无法得到1，记，得无最大值，B正确；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
对任意正整数，每次除以2，最后得到1的次数为，因此，
由，知是假命题，D正确.
故选：A
11．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．4048 D．8096
【答案】B
【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【详解】由得，由得，
设点的坐标为，点的坐标为，
又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，
则点，关于直线对称，即，得，
故选：B．
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论，即可得到的取值范围.
【详解】由于，故，从而对和均有.
这表明在和上均单调递增，从而在上递增.
由于，故.
①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减.
这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件；
②若，取，使得，则对有，从而在上递增.
这就意味着有，，所以，不满足条件.
综合①②两个方面可知，实数的取值范围为.
故选：D.
13．记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
①所有偶函数都具有性质；
②具有性质；
③若，则一定存在正实数，使得具有性质；
④已知，若函数具有性质，则．
其中错误结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④.
【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数，
对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对；
对于②，对任意的，，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故对任意的，，
所以，具有性质，故②对；
对于③，因为，
又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错；
对于④，，
因为，易知，因为，则，则，
所以，，即，所以，，
要使得恒成立，则，
又因为，则，
所以，若函数具有性质，则，故④对，
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
14．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数 B．是奇函数
C．的值域是 D．的值域是
【答案】BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
15．（23-24高三上·江苏·月考）（多选题）19世纪，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（ ）
A．
B．
C．若为有理数，，则
D．存在三个点，，，使得为正三角形
【答案】BCD
【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.
【详解】对于A，是无理数，若为有理数，是无理数，则；若为无理数，有可能为有理数，如，此时，故A错误；
对于B，当为有理数，为有理数，则；当为无理数，为无理数，则，故B正确；
对于C，为有理数，若为有理数，则是有理数，则；若为无理数，是无理数，则，故C正确；
对于D，存在三个点且为有理数，则，，是边长为的等边三角形，故D正确；
故选：BCD
16．（23-24高三上·河南·月考（多选题））黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若是奇函数，且，当时，，则
【答案】BC
【分析】根据函数的定义计算特殊值判断A选项，根据定义域判断B选项，根据值域判断C选项，结合对称性及周期性判断D选项.
【详解】，错误.
因为是既约真分数，或上的无理数，所以黎曼函数的定义域为正确.
又为既约真分数，所以的最大值为正确.
因为，所以.所以.
因为是奇函数，所以，所以，
即是以2为周期的周期函数，
，
所以错误.
故选:.
17．（23-24高三上·陕西西安·期中）（多选题）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】BC
【分析】根据“k倍值区间”的定义，结合指数函数、幂函数及分式型函数性质判断是否在给定区间内单调且在上的值域为，判断正误.
【详解】A：在上递增，令，由于在上无交点，
所以不存在上的值域为，不符合；
B：在上递减，令且，即，
故时，存在上的值域为，符合；
C：在上递增，令且，可得，
故时，存在上的值域为，符合；
D：在，，而在上递减，则在上递增，
又，所以在上的值域为，
令且，可得，不合题设；
故选：BC
18．（2025·湖南永州·模拟预测）已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①；
②；
③当时，，其中
下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．恰有两个整数解
C．若，，则，，中至少有两个相等
D．若，则
【答案】AC
【分析】应用特殊值法及奇偶性定义判断奇偶性，进而有，即可判断A；应用反证法，对于任意除1和以外的整数有，根据已知推出矛盾判断B；根据已知得，讨论、判断上述结论是否成立判断C；由函数性质得、求值判断D.
【详解】A：令，有，即；
令，有，即；
令，有，即是偶函数；
因为
，，所以，A正确；
B：假设选项正确，对于任意除1和以外的整数，有，
即，，而，且，
所以，，矛盾，故B错误.
C：，所以，
若，结论显然成立；
若，则，即或，结论依然成立，C正确；
D：，
，
，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：根据已知函数性质，奇偶性定义、赋值法、反证思想的应用为关键.
19．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解.
【详解】若命题“任意，”为真命题，则，
设，，，当时，等号成立，
由对勾函数的性质可知，当时，函数单调递减，当单调递增，
，，所以，
即，
所以命题“任意，”为假命题，则的取值范围为.
故答案为：
20．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】当时，，在上单调递增，无最小值，舍去；
当时，由于，故，
令，则，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
要想在上存在最小值，则，解得，满足；
当时，在上单调递增，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
要想在上存在最小值，则，
解得，满足；
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
21．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 .
【答案】
【分析】根据，结合，和是定义在上的偶函数，可求得结果.
【详解】，，
，即；
，即；
，即；
……
，即；
，即；
所以由偶函数性质可得，是任意整数，
由偶函数性质知，
故对任意整数，与两者中至少有一个为“1”，
又，则.
故答案为：
22．（24-25高三下·湖南·月考）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得.
【详解】若函数的值域为，
记，
则，故，
由，得，且，
所以，又，
所以，
故.
则由且，
可得，
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值.
23．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.
(1)判断函数是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由.
【答案】(1)函数是倒函数，理由见解析
(2)
(3)有，
【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可；
（2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解；
（3）当时结合函数的单调性及函数值得到，从而得解.
【详解】（1）函数是倒函数，理由如下：
因为函数的定义域为，
对任意的，
函数是倒函数.
（2）当时，，
因为当时，，所以，
由倒函数的定义，可得，
综上，函数的解析式为.
（3）方程有正整数解，理由如下：
当时，，因为函数在上均单调递增，所以函数在上单调递增，
又因为，，，
所以是方程的一个正整数解，
由函数单调性的一一对应关系可知，是方程的唯一正整数解.
24．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布.伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰 伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下的性质:
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数，）利用上述性质，解决一下问题:
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)证明：有惟一的正零点，并比较和的大小.
【答案】(1)双曲正弦函数，双曲余弦函数；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；.
【分析】（1）根据函数奇偶性以及构造方程组可求出解析式；
（2）将解析式代入计算可证明；
（3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得.
【详解】（1）因为为奇函数，所以；
又为偶函数，所以，
由可得；
即，可得；
即可得双曲正弦函数，双曲余弦函数；
（2）证明：将和代入可得：
为定值；
因此可得对任意实数，为定值；
（3）证明：依题意可得，
当时，易知在上单调递增；
且，，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，即，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，所以；
因此，
可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据唯一实数满足，再利用作差法以及二次函数性质计算可得.
25．小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图.
例如，函数在上为下凸函数.
通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：
若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知在上为下凸函数，若，求的最大值；
(2)用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数.
(3)设，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案；
（2）结合下凸函数的定义，利用作差法证明即可；
（3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值.
【详解】（1）由在上为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号，
则，即,当且仅当时取等号，所以的最大值是.
（2）函数的定义域为R，设，
则
，当且仅当时取等号，
因此恒成立，所以二次函数是下凸函数.
（3）令，设，
则
，即，
于是函数在上为下凸函数，
依题意，，
因此
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值.
26．（24-25高三上·广东广州·期末）函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有
将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：
(1)若，试根据定义1证明为上的下凸函数；
(2)已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；
(3)设为大于或等于1的实数，证明：．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据下凸函数的定义分析证明即可；
（2）根据上凸函数的定义结合分析求解即可；
（3）首先利用分析法，将不等式进行变形，并转化为证明在上为下凸函数，
【详解】（1）因为的定义域为，
任取，
则
，
即，所以为上的下凸函数.
（2）因为为上的上凸函数，且，，
则，即，
例如时，，
所以的最大值为.
（3）设，因为，所以，
要证，只需证，
下证：在上为下凸函数.
设，则，
下证，即证，
即证，
化简得，
即证
又式显然成立，
所以成立，在上为下凸函数，
则得证.
【点睛】方法点睛：本题属于新概念题，根据题目下凸和上凸函数的概念，利用转化和化归的数学思想对复杂函数进行简单化，据函数的单调性解不等式以及对数恒等式的运用.
27．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．
(1)求；
(2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；
(3)由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)
(2)，答案见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）用模取余法可求结论；
（2）由，，可求；
从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论；
（3）取时，分别求得，，，；
可得当（）时，，进而利用数学归纳法证明即可．
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为，且，
所以，故．
当时，递推关系式的实际意义：
当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，
而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为．
如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，
当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，
也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的．
需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过．
如新环序号对应的是原环中的，…，新环序号对应的是原环中的．
也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号，
这就需要用模取余，即．
（3）由题设可知，由（2）知：
；
；
；
；
；
；
；
由此推测，当（）时，．
下面用数学归纳法证明：
1．当时，，推测成立；
2．假设当（，，且）时推测成立，
即．
由（2）知
．
（ⅰ）当时，；
（ⅱ）当时，，此时，
即．
故当时，推测成立．
综上所述，当（）时，．
推测成立.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
28．（24-25高三下·广东广州·月考）定义：，，已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由；
(3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得．
【答案】(1)，或
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推关系可得，利用条件和递推关系可求，再根据，结合递推关系求；
（2）由条件结合递推关系可得或 ， 分，，且，，且三种情况讨论求；
（3）结合定义证明，分讨论，确定数列的单调性，利用放缩法证明结论.
【详解】（1）依题意，，显然；
故；
，
即或，则或
（2），
对恒成立，
∴，，
又
，
此即表明或 ，
①若，则且， 的集合为
②若，且 时，
当 ， 且时，.
的集合为 且
③时，
，
，
，
当， 且 时， .
的集合为 且
（3），；
由，
①若，则，，
所以，
对任意，取（[x]表示不超过的最大整数），
当时，；
②若，设，，
所以当时，，
对任意，取（[x]表示不超过的最大整数），
当时，；
故不存在实数，使得．
【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键在于结合定义先证明，再分别在条件下，结合数列的单调性，化简数列的递推关系.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由于在R上单调递减，在单调递增，
当时，，故，
则在上单调递减，在单调递增，
故在上的最小值为，即；
由，
令，则，则或，
作出函数的图象如图：
由于，，使得成立，
即在上的值域为值域的子集，
故，解得，即，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集，从而求出二者的值域后，列出不等式组，即可求解.
2．（2025·湖北宜昌·二模）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断的正负，再根据单调性和零点存在性定理可判断的范围，再分n为奇数和偶数讨论的取值即可.
【详解】，则函数在上为增函数，
因为，
，
由零点存在定理可得，则，
当为正奇数时，设，则，则，
当为正偶数时，设，则，则，
所以，
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛，本题的关键是求出零点的范围，将奇数设为，偶数设为求解.
3．（多选题）已知函数，则（ ）
A．，使得是偶函数
B．当时，函数有5个零点
C．当时，函数在上最大值大于，则
D．当时，设在上的最大值为，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】A选项，当时，为偶函数，A正确；B选项，令，解得或5，当时，或，无解，有1个解，即，当时，或，各求出两个解，B正确；C选项，考虑，和三种情况，求出或；D选项，对进行分类讨论，结合函数单调性，求出最大值，再得到的最小值为.
【详解】A选项，当时，定义域为，
且，故此时为偶函数，A正确；
B选项，时，，
令，解得或5，
当时，，即或，
由对勾函数性质得，
故无解，有1个解，即，
当时，，即或，
，解得，，解得，
综上，函数有5个零点，B正确；
C选项，当时，，
时，由对勾函数可得，
若，则，，故，
要使得函数在上最大值大于，则，解得，
若，则，
此时，不合要求，舍去；
当时，，故，
，令，解得，
综上，或，C错误；
D选项，时，，
令，
若，则在上单调递减且恒正，
故，最大值为，
若，则为对勾函数，均在轴上方，
故在上单调递增，
在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，
故，且，
当，即时，在上单调递减，
故，且，
若，即时，，
其中当时，，故，且，
当时，，故，且，
若，此时在上单调递减，
当时，，当时，，
当，即时，，
当，即时，，
若，解得，此时，
若，解得，此时，
当，即时，，
综上，的最小值为，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
4．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
【答案】2026
【分析】法一：变形得到，，构造，则，根据函数单调性得到，
故；
法二：设与的交点为，与的交点为，根据对称性得到与关于对称，求出.
【详解】法一：，
，
设，则，
由于在R上单调递增，故，
故；
法二：，
设与的交点为，
与的交点为，
由于和为反函数，
即和关于对称，
而和垂直，关于对称，
联立，解得，
所以与关于对称，
故，所以.
故答案为：2026
【点睛】关键点点睛：变形得到，，构造，由函数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解
5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有某性质P；反之，若不存在，则称函数不具有某性质．若函数具有性质，则的值为 ；已知函数不具有性质，则a的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】根据函数具有性质，可得方程，解方程即得的值；由函数不具有性质，可推得在定义域内无解，转化为无解，求出函数的值域即可求得参数的范围.
【详解】因具有性质，则有，即，解得.
又因函数不具有性质，即在定义域内无解，
即无解，即无解，
因，则得无解，
设，则，则.
① 当时，，，当且仅当时取等号，
此时，，又，由题意知，；
② 当时，依题意，只需；
③ 当时，，
若，函数在上先增后减，则，
此时，由题意知，；
若，函数在上单调递减，故，
此时，，由题意知，.
综上可得，a的取值范围是.
故答案为：1；.
6．（24-25高三上·湖南岳阳·期末）若函数满足：对于任意正数m,n，都有,，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围；
(3)若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．
【答案】(1)不是“速增函数”，不是“速增函数”
(2)．
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“速增函数”的定义易判断不是“速增函数”；通过举反例，结合“速增函数”的定义可判断不是“速增函数”；
（2）由是“速增函数”可得①与②两式恒成立，经等价转化，利用参变分离，即可求得参数范围；
（3）由函数为“速增函数”，取可推得，利用迭代法推出，则可利用该结论证得和，借助于不等式性质即可证明.
【详解】（1）对于函数，
当，时，有，；
因为，
所以，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．
对于函数，
当时，有，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．
（2）因为是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可得：当时，恒成立①；
当，时，恒成立②．
由①可得：对一切正数n恒成立
又因为当时，，所以对一切正数n恒成立，故得．
由②可得：，
即对一切正数n，m恒成立．
因为
，
所以，
又因为当，时，，所以，
由对一切正数n，m恒成立，可得，即．
综上可知，a的取值范围是．
（3）由函数为“速增函数”，可知对于任意正数m，n，
都有，，且，
令，可知，即，
故对于正整数k与正数m，都有．
对任意，可得，又，
所以，
同理，
故．中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优04 常见函数与函数中的新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 对勾函数（★★★★） 4
题型二 反函数（★★★） 5
题型三 高斯函数（★★★★） 6
题型四 狄利克雷函数（★★★） 7
题型五 最值函数（★★★★） 8
题型六 黎曼函数（★★★） 9
题型七 倍值函数（★★★） 11
题型八 给出其他新性质定义（★★★★★） 12
题型九 给出其他新概念定义★★★★★） 14
题型十 给出其他新运算定义（★★★★★） 16
03 实战检测 分层突破验成效 17
检测Ⅰ组 重难知识巩固 17
检测Ⅱ组 创新能力提升 24
1、反函数
（1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．
例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数
（2）性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；
③互为反函数的两个函数的单调性相同；
④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
⑤单调函数必有反函数．
2、对勾函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数
3、高斯函数
（1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
（2）性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
（3）图象
4、狄利克雷函数
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
5、最值函数
设min{a，b}＝max{a，b}＝
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.
6、倍值函数
对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
7、函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.
题型一 对勾函数
【技巧通法·提分快招】
基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
1．（23-24高三下·天津滨海新·月考）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（24-25高三上·贵州·期中）（多选题）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ）
A．2 B．14 C． D．
若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ．
6．已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 .
题型二 反函数
【技巧通法·提分快招】
互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
1．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象与函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．关于原点对称
4．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·陕西西安·期中）已知函数，，．则下列说法正确的是（ ）
A．函数与函数不互为反函数
B．函数在区间内没有零点
C．若均为正实数，且满足，则
D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
6．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 高斯函数
【技巧通法·提分快招】
高斯函数的性质 （1）定义域：R； （2）值域：Z. （3）不具有单调性、奇偶性、周期性.
1．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南新乡·二模）函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川德阳·月考）（多选题）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ）
A． B．为偶函数
C． D．的值域为
5．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）（多选题）函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B．对任意整数，有
C．存在正实数，使得对所有成立
D．函数有2个零点
6．（23-24高三下·江西南昌·月考）（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 不是周期函数；
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于 对称：
D．方程 只有一个实数根；
题型四 狄利克雷函数
【技巧通法·提分快招】
狄利克雷函数的性质 （1）定义域R；值域{0，1}. （2）奇偶性：偶函数. （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
1．19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
2．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数
C．是奇函数 D．是周期函数
3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高三上·上海·月考）在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点.下面给出下列四个结论：①函数是偶函数；②存在常数使得函数是奇函数；③函数有无数个零点；④对任意恒成立.其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24高三上·湖北·月考）（多选题）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．存在无理数，使 D．对任意有理数，有
6．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）（多选题）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，恒有成立
C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立
D．存在三个点，，，使得为等边三角形
题型五 最值函数
1．（23-24高三上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．（24-25高三下·湖北·月考）（多选题）已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选题）定义，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若直线与的图象有个交点，则
D．在区间上的值域为，则的最大值为
5．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数，用表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，则 ．
6．（24-25高三上·浙江·月考）已知函数，．
(1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数．
题型六 黎曼函数
1．（23-24高三上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·北京·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（ ）
（注：p、q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（ ）
A．当时，
B．若，则
C．当时，的图象关于直线对称
D．存在大于1的实数m，使方程（）有实根
3．（多选题）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．关于的不等式的解集为
4．（多选题）德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A．存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B．对任意的x∈R，有
C．存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D．给定正整数t，记S =，则S有个元素
5．（23-24高三上·河北沧州·期中）（多选题）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上.当（p，q都是正整数，为最简真分数）时，，当或1或x为（0，1）内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当时，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七 倍值函数
1．（2024·四川内江·模拟预测）对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京通州·三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（多选题）已知函数的定义域为D，若存在区间[m，n] D使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选题）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为 .
5．（24-25高三上·云南·月考）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.
题型八 给出其他新性质定义
【技巧通法·提分快招】
（1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志 （2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律
1．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ）
A．若的周期为1，则满足性质
B．若，则不满足性质
C．若（且）满足性质，则
D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称
2．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·北京房山·期末）若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性．
(1)判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①；
②（其中表示不超过x的最大整数）；
③．
(2)已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，．
（ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标；
（ⅱ）证明在方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求．
5．设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质．
(1)判断函数，是否具有性质，并说明理由．
(2)是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由．
(3)若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有．
6．（24-25高三上·山东青岛·期末）若函数满足：对于任意，，都有，则称具有性质．
(1)设，，分别判断函数，是否具有性质？并说明理由；
(2)（ⅰ）已知奇函数是上的增函数，证明：具有性质；
（ⅱ）设函数具有性质，求的范围．
题型九 给出其他新概念定义
【技巧通法·提分快招】
（1）学会通过具体例子来体现抽象概念，将复杂理论以简单应用的形式展现出来，以此促进对概念的深刻理解 （2）若新信息是对传统概念的扩展，应细致比较其与传统概念的异同，并明确在何种情境下适宜运用书中的理论。
1．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件：
①“”的充要条件为“”；
②；
③，都有.
则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（ ）
（1）为；
（2）为；
（3）若，则为；
（4）若为，则也为（为自然对数的底数）.
A．（1）（4） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）
3．（2025·浙江·二模）给定非空数集，若函数满足：对任意、，存在实数使得成立，则称为“半压缩函数”.已知，则下列四个函数中为“半压缩函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
5．（24-25高三下·江苏苏州·月考）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e有关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为R，且在R上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数e是自然对数的底数，…）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知函数在上的最大值为，求的最小值．
题型十 给出其他新运算定义
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假 B．，且为假
C．，且为真 D．，且为真
2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
4．（24-25高三上·黑龙江·期末）定义三阶行列式运算：，其中.已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上的最大值为，求的值；
(3)若函数，使得成立，求实数的取值范围.
5．（24-25高三上·广东东莞·期末）对于任意两正数u，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知
(1)求，，
(2)对正数k和任意两个正数u，v，猜想与的大小关系，并证明;
(3)（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有
（ii）若，试说明：当时，.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（ ）
A．1 B． C．2 D．11
2．已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数
3．（23-24高三上·江苏扬州·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
4．（24-25高三上·上海黄浦·月考）已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ）
①存在，使得；
②对任意，都有.
A．①②都正确 B．①正确、②不正确 C．②正确、①不正确 D．①②都不正确
5．（2025·山东·模拟预测）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A．只有是 B．只有是
C．和都是 D．和都不是
6．对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞) B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)
7．（24-25高三下·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·辽宁·期末）在数学上，常用表示不大于的最大整数，已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数在定义域上是增函数
B．函数的零点有无数个
C．函数在定义域上的值域是
D．不等式解集是；
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C． D．
10．“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
11．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．4048 D．8096
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
①所有偶函数都具有性质；
②具有性质；
③若，则一定存在正实数，使得具有性质；
④已知，若函数具有性质，则．
其中错误结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
14．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数 B．是奇函数
C．的值域是 D．的值域是
15．（23-24高三上·江苏·月考）（多选题）19世纪，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（ ）
A．
B．
C．若为有理数，，则
D．存在三个点，，，使得为正三角形
16．（23-24高三上·河南·月考（多选题））黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若是奇函数，且，当时，，则
17．（23-24高三上·陕西西安·期中）（多选题）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
18．（2025·湖南永州·模拟预测）已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①；
②；
③当时，，其中
下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．恰有两个整数解
C．若，，则，，中至少有两个相等
D．若，则
19．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
20．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ．
21．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 .
22．（24-25高三下·湖南·月考）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ．
23．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.
(1)判断函数是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由.
24．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布.伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰 伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下的性质:
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数，）利用上述性质，解决一下问题:
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)证明：有惟一的正零点，并比较和的大小.
25．小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图.
例如，函数在上为下凸函数.
通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：
若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知在上为下凸函数，若，求的最大值；
(2)用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数.
(3)设，且，求的最小值.
26．（24-25高三上·广东广州·期末）函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有
将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：
(1)若，试根据定义1证明为上的下凸函数；
(2)已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；
(3)设为大于或等于1的实数，证明：．
27．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．
(1)求；
(2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；
(3)由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．
28．（24-25高三下·广东广州·月考）定义：，，已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由；
(3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北宜昌·二模）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）已知函数，则（ ）
A．，使得是偶函数
B．当时，函数有5个零点
C．当时，函数在上最大值大于，则
D．当时，设在上的最大值为，则的最小值为
4．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有某性质P；反之，若不存在，则称函数不具有某性质．若函数具有性质，则的值为 ；已知函数不具有性质，则a的取值范围是 ．
6．（24-25高三上·湖南岳阳·期末）若函数满足：对于任意正数m,n，都有,，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围；
(3)若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．
