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重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 复数加减运算的几何意义（★★★） 3
题型二 复数的乘方运算（★★★★★） 4
题型三 复数范围内方程的根（★★★★） 5
题型四 复数中的新定义问题（★★★★★） 6
03 实战检测 分层突破验成效 7
检测Ⅰ组 重难知识巩固 7
检测Ⅱ组 创新能力提升 8
一、复数代数形式的加减法运算的几何意义
1、复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
2、复数减法的几何意义
复数 向量
3、()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
二、实系数一元二次方程
1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
求解复数集上的方程的方法：
①设化归为实数方程来解决．
②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当时，方程的两个实根满足韦达定理
，。
（2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则
，
题型一 复数加减运算的几何意义
【技巧通法·提分快招】
复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
1．（23-24高三下·河南郑州·月考）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则对应的点，满足方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．5
4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆
5．（24-25高三下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 .
6．（23-24高三下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ．
7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
题型二 复数的乘方运算
【技巧通法·提分快招】
虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
1．（24-25高三上·河南周口·期中）在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·江苏常州·月考）设复数，则的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江西·期末）若复数，则=
4．关于复数有以下四个说法：
① ②
③ ④
其中正确的序号为 .
5．（2024·吉林长春·一模）若，则 .
题型三 复数范围内方程的根
【技巧通法·提分快招】
求解复数集上的方程的方法 ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
1．（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．也为该方程的根 D．与也为方程的根
4．已知复数是方程的一个根，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
5．在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（ ）
A． B． C．3 D．4
题型四 复数中的新定义问题
1．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·青海海南·模拟预测）（多选题）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
5．（2025·山东·模拟预测）（多选题）定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（ ）
A．对任意，都有
B．若是复数的共轭复数，则恒成立
C．若，则
D．对任意，结论恒成立
6．一般地，（多选题）对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．
D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．5 C． D．1
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知集合，则的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选题）已知为方程的根，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·重庆·三模）（多选题）已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．的最小值为2
C． D．的最大值为
6．（2024·河北沧州·一模）（多选题）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内表示一个圆
B．若，则方程无解
C．若为虚数，且，则
D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为
7．（2024·云南曲靖·二模）已知，若，则 .
8．（2024·广东广州·模拟预测）复数的虚部为 .
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为．
(1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由；
(2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线．
（i）求曲线在平面直角坐标系下的方程；
（ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
2．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；
②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题
3．（2024·湖北襄阳·二模）（多选题）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
4．（23-24高三上·辽宁·开学考试）（多选题）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是实数
B．若，则存在唯一实数对使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若，则
5．（24-25高三下·吉林四平·模拟预测）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)①求证：对任意的实向量与，都有；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 复数加减运算的几何意义（★★★） 3
题型二 复数的乘方运算（★★★★★） 6
题型三 复数范围内方程的根（★★★★） 9
题型四 复数中的新定义问题（★★★★★） 11
03 实战检测 分层突破验成效 16
检测Ⅰ组 重难知识巩固 16
检测Ⅱ组 创新能力提升 21
一、复数代数形式的加减法运算的几何意义
1、复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
2、复数减法的几何意义
复数 向量
3、()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
二、实系数一元二次方程
1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
求解复数集上的方程的方法：
①设化归为实数方程来解决．
②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当时，方程的两个实根满足韦达定理
，。
（2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则
，
题型一 复数加减运算的几何意义
【技巧通法·提分快招】
复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
1．（23-24高三下·河南郑州·月考）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为.
故选：D.
2．若复数满足，则对应的点，满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的模长公式化简可得答案.
【详解】由题意可得，则，
由可得，即.
故选：B.
3．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果.
【详解】因为，所以点
因为点与点关于直线对称，所以.
所以
故选:A.
4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）设复数z在复平面内对应的点为（a，），则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C．若，则点Z的轨迹的长度为 D．若，则点Z的轨迹为椭圆
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出复数，再结合复数运算及几何意义逐项判断.
【详解】依题意，，
对于A，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，表示点与点的距离为1，其轨迹是以点为圆心1为半径的圆，
则点Z的轨迹的长度为，C错误；
对于D，表示点与定点的距离和为4（大于两定点间距离）
则点Z的轨迹为椭圆，D正确.
故选：ABD
5．（24-25高三下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 .
【答案】
【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得.
【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为，
由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，
则解得
.
故答案为：
6．（23-24高三下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围.
【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点,
的几何意义表示圆上的点和之间的距离，
于是，的最大值为，
最小值为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可.
【详解】设，，
则，
由，得，
即，
则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，
设，，则，
由，得，
整理得，，
则复数对应的点是直线上一点，
又，
所以表示点与点之间的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型二 复数的乘方运算
【技巧通法·提分快招】
虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
1．（24-25高三上·河南周口·期中）在（其中是虚数单位）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项展开式中通项的特征即可求解.
【详解】由二项式定理得，的通项公式为，
由得，，由得，
∴，，
∵，，
∴的系数为.
故选：C.
2．（24-25高三下·江苏常州·月考）设复数，则的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，得，再利用的个位数以为周期，即可求解.
【详解】因为，则，又，
因为，
，
则的个位数以为周期，所以的个位数字是，
故选：C.
3．（24-25高三上·江西·期末）若复数，则=
【答案】
【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果.
【详解】由，
所以，故.
故答案为：
4．关于复数有以下四个说法：
① ②
③ ④
其中正确的序号为 .
【答案】②④
【分析】举特殊值代入可判断A、C，设，代入化简可判断B，设代入化简可判断D.
【详解】对于①，取，，则，，
故，①错误．
对于②，设，，则，，，，则，所以，故②正确．
对于③，不妨取，，则，，，
所以，故不恒成立，③错误．
对于④，设，则，所以，
所以，④正确．
故答案为：②④．
5．（2024·吉林长春·一模）若，则 .
【答案】
【分析】利用复数的运算法则求解.
【详解】由于，
则
所以，，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则；
若，则，，.
题型三 复数范围内方程的根
【技巧通法·提分快招】
求解复数集上的方程的方法 ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
1．（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据虚根成对原理也是方程的一个根，利用韦达定理计算可得.
【详解】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，
所以也是方程的一个根，
则，所以，.
故选：C
2．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.
【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根，
所以，即，所以.
故选：B.
3．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．也为该方程的根 D．与也为方程的根
【答案】D
【分析】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出，再利用韦达定理求出，可判断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用判断D选项.
【详解】由题可得，复数，
又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则，
则，，
则由韦达定理可知，，
所以，故A,B错误；
又，则且，故C错误；
由于，则与为方程的两根，
因为，则与也为方程的根，故D正确.
故选：D．
4．已知复数是方程的一个根，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可得，，代入可得结果.
【详解】∵复数是方程的一个根，
∴，故，，
∴.
故选：A．
5．在复数范围内，方程的解的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解.
【详解】设，那么原方程即为，
得故或或
所以，故方程的解的个数为6.
故选：C
6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，列式代入计算即得.
【详解】由是方程的3个根，得，
所以
.
故选：B
题型四 复数中的新定义问题
1．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由已知运算和复数的运算化简即可.
【详解】由题意可得，
即，
所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，
故选：B.
2．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】A选项，利用复数模长公式计算出；
B选项，利用复数加法法则计算得到；
C选项，利用复数乘法法则计算得到；
D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数.
【详解】，，，
则，，，
故，正确；
，正确；
，
，
则，错误；
，
若，且，此时为实数，
故错误；
故选：B
3．定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可.
【详解】设复数，若，则，则无解，
所以，将代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因为，
设，所以，
所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，
所以，从而最大，故B错误；
若，，则，
所以当，或，
时，则，C正确；
若，此时，则，A正确；
若，此时，则，D正确；
故选：B.
4．（2025·青海海南·模拟预测）（多选题）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BCD
【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】设，由题意知，
即，则，解得，所以，
对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误；
对于选项B，因为，所以B正确；
对于选项C，因为，故C正确，
对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确，
故选：BCD.
5．（2025·山东·模拟预测）（多选题）定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（ ）
A．对任意，都有
B．若是复数的共轭复数，则恒成立
C．若，则
D．对任意，结论恒成立
【答案】BD
【分析】根据题中所给定义，结合复数的运算法则，逐一分析判断，即可得答案.
【详解】对于A，根据定义，当时，，故A错误；
对于B，由题意得，所以，故B正确；
对于C，若，则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到，故C错误；
对于D，设，，，则，
，
，
又，，
所以，
即，故D正确.
故选：BD.
6．（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据复数的几何意义确定点的轨迹，结合的几何意义确定其最大值，判断A，求的最小值判断B，由图象确定的范围，结合余弦函数性质证明，判断C，结合复数运算及，判断D.
【详解】因为，， 复数在复平面的对应的点为,
所以点Z在以为圆心、以r为半径的圆上或圆内.
对于选项A，B，由复数的几何意义可得表示点Z与的距离，
又点到点的距离为，
所以的最大值为，A正确，
的最小值为，B正确，
对于C，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，设切点为，
设，则或，
所以，所以，所以C错误.
对于D，设，有（其中是z的辐角的主值），
由于，所以，所以D正确.
故选：ABD.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可．
【详解】因为，所以其对应点为，
关于直线对称的点为，则，
所以，
故选：C．
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.
【详解】根据题意可得，
，即，
当，时，，
，
当，时，，
，
综上，.
故选：D.
3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知集合，则的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.
【详解】当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.
故选：C
4．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选题）已知为方程的根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】设，根据复数与一元二次方程根的关系，可得的关系，即可求得对应的值，逐项分析即可得结论.
【详解】设，
因为为方程的根，且，则，
所以，即，
解得或，
所以，则；
，所以，故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
5．（2024·重庆·三模）（多选题）已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．的最小值为2
C． D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的模的计算公式结合二次函数的性质即可判断B；根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断C；根据复数的几何意义得出复数的轨迹即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，
当时，取得最小值，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由，得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
故是圆上的点到原点距离，其最大值为，故D正确.
故选：ABD
6．（2024·河北沧州·一模）（多选题）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内表示一个圆
B．若，则方程无解
C．若为虚数，且，则
D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，点到直线距离公式对选项逐一判断即可.
【详解】根据已知条件表示模长为，在复平面位于轴上方的复数，
所以并不是一个圆，A错误；
若，则方程为一个实数，所以无解，B正确；
若为虚数，且，设，则，，，
所以，C正确；
复数对应的点在直线上，则最小值为：
点到直线的距离，所以最小值为：，D 正确.
故选：BCD
7．（2024·云南曲靖·二模）已知，若，则 .
【答案】
【分析】配方求出一元二次方程的根，得出共轭复数，由模的定义求解即可.
【详解】，
，
故答案为：
8．（2024·广东广州·模拟预测）复数的虚部为 .
【答案】1012
【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012.
故答案为：1012
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为．
(1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由；
(2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线．
（i）求曲线在平面直角坐标系下的方程；
（ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
【答案】(1)表示焦点为，长轴为的椭圆 .
(2)（i）；（ii) .
【分析】（1）根据复数的模的几何意义和椭圆的定义得解；
（2）（i）由（1）的结论，利用三角代换可得点轨迹方程，进而得解；
（ii）设直线方程为：，与方程联立，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）设，则，
表示点到距离之和为.
所以点的轨迹为，长轴为的椭圆.
（2）（i）由（1），，则：.
因为是上任意一点，所以设,
由题
，
设点在实平面内的坐标为，,
则.
所以,
又沿向量平移得到曲线，
在平面直角坐标系下的方程为：.
（ii）由题，设，
由已知直线的斜率存在，且显然不为零，
可设直线方程为：,由，
消去并化简可得：.
判别式，，
设过三点的圆方程为：.
又,所以，
所以，
因为在椭圆上，所以
所以，
所以
因为,所以，所以,化简得.
由圆的一般方程可知三角形的外接圆的圆心为，
则，又，所以.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果.
【详解】设，
则，
由题意可得：
可得关于的方程的根为，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022为偶数，所以.
故选：B.
2．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；
②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题
【答案】A
【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②.
【详解】因为是的根，所以，
所以，
于是，
即，
所以是的根，，故①正确;
由①可知，若虚数满足，则也满足，
所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数，
所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键.
3．（2024·湖北襄阳·二模）（多选题）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
【答案】ACD
【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项.
【详解】设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上.
由得，所以在圆上.
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C正确；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：
（1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题.
（2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值.
4．（23-24高三上·辽宁·开学考试）（多选题）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是实数
B．若，则存在唯一实数对使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，若，因为，则，可得，
设，则，所以A正确；
对于B中，由A得，设，若，
则，
只要或，选项B就不正确；
例如：，此时，
可表示为或，
所以表示方法不唯一，所以B错误.
对于C中，若，则，可得，
则，所以且，
设，则，其中，
则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍，
故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确.
对于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因为，所以成立，
所以成立，所以D正确.
故选：ACD.
5．（24-25高三下·吉林四平·模拟预测）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)①求证：对任意的实向量与，都有；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立.
【答案】(1)，
(2)①证明见解析；②证明见解析，当且仅当与共线；③证明见解析
【分析】（1）利用定义的复向量的数量积，即可求复向量的模；
（2）利用实向量就等价于平面向量的坐标运算，所以可用平面向量的数量积来证明；
复向量的数量积则借助复数的运算，及模的运算来证明即可.
【详解】（1）令．
由已知得，所以
由，可得，
由，可得．
（2）①设实向量与的夹角为，则，
因为，所以，
即，当且仅当与共线时等号成立．
②设，（为实数）．
，，．
由①得成立，
当且仅当与共线，即时等号成立．
③设复向量，，，
，
由得．
又因为，，
所以仍然成立．
