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重难点培优04 解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 含中线（向量法）（★★★★★） 3
题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）（★★★★★） 8
题型三 含中线（同理变形）（★★★★） 14
题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）（★★★★） 19
题型五 含角平分线（等积法）（★★★★★） 25
题型六 含垂线（★★★） 32
03 实战检测 分层突破验成效 37
检测Ⅰ组 重难知识巩固 37
检测Ⅱ组 创新能力提升 58
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
①向量法：,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
题型一 含中线（向量法）
【技巧通法·提分快招】
1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A). 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
1．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可.
【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去），
因为是边上的中点即，
所以，
所以.
故选：D
2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案.
【详解】由，得，
所以，
即，
则由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以，因为，
所以由余弦定理得，即.
由题可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
故选：C.
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围．
【详解】由是边上的中线，得，
则，
由正弦定理得，得，，
则，
而，
，
于是
，
由为锐角三角形，，得，即，
则，，因此，即，
所以的取值范围为.
故选：C
4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得.
【详解】（1）在中，，则，
因为，
则，
由正弦定理得：，
所以，
所以，
又，得，所以，即，
由，解得.
（2）因为的面积为，
所以，
由（1）知，故，
因为为中线，即为中点，
则，又，
则，所以，
解得，
由余弦定理得，
所以.
5．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）化切为弦，利用正弦定理及两角和的正弦公式将条件化简得，即可得解.
（2）根据同角函数基本关系求得，对两边平方得，进而利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，即.
（2）因为，，
所以，．
因为BD为AC边上的中线，所以，
又因为，所以，即，
所以，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时等号成立．
故，
所以面积的最大值为．
6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：.
(2)已知C为钝角，记.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明.
（2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可.
【详解】（1）由，可得，
由余弦定理可知，所以.
（2）（ⅰ）由，可得，．
根据三角形三边关系，知即
则解得，
所以的取值范围为．
（ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以，
则，
所以．
令，则，因为在上单调递增，
所以，故的取值范围为．
题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）
【技巧通法·提分快招】
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
1．在中，若，，边上的中线长为，则 .
【答案】18
【分析】根据余弦定理结合题意可得，代入数据计算可得的值.
【详解】中，，
在中，，
即
故，
∵，所以
设，又，，边上的中线长为，
代入数值，得，解得.
∴.
故答案为：18.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可.
【详解】由题意得，
所以，
又，且D是的中点，所以，
在中，，
在中，，
所以，
即，得，当且仅当取等号，
故选：A
3．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）记三个内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)设是的中线，若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角转化，结合三角形角度关系与三角恒等变换转化即可得角的大小；
（2）在中由余弦定理得边的长，再根据余弦定理求边即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，即，整理得，
又因为，所以，所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
可得，解得或（舍），即.
在中，由余弦定理可知，解得.
4．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案；
（2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）方法一：为边上中线，，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：为边上中线，
在中，，
在和中，由余弦定理得：
，
即，
，
即；
（2），，由余弦定理可得，
故，即，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，
所以取得最大值为.
5．（24-25高三上·河北石家庄·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，边上的中线，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由两角和正弦公式和正弦定理结合题意得，再由辅助角公式即可求角A；
（2）先由结合余弦定理求出，接着由余弦定理求出，再由正弦定理面积公式即可计算求解.
【详解】（1）因为，，
所以由正弦定理得，
又因为，所以，所以，
所以即，
又因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，
所以即，
所以，
所以由余弦定理得，解得，
所以.
6．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，，且边上的中线长为1．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由题意，根据余弦定理建立方程，可得答案.
（2）由题意，利用正弦定理表示出边与角之间的等量关系，结合余弦定理建立方程，可得答案.
【详解】（1）设，则，
在中，，
在中，，
在中，为中线，则，，
则，化简可得，
由，则，解得，
所以.
（2）由题可知，
设，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，则，①
在和中，出余弦定理得
，
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③
将代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因为，所以，则，所以．
故的长为2．
题型三 含中线（同理变形）
【技巧通法·提分快招】
线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量
1．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】设，可得出，可得出关于的方程组，即可解得实数的值；利用三角形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，则
，
所以，解得，所以，
，
所以，
，当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故选：B.
2．已知中，角、、所对的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先根据正弦定理、余弦定理求角，再利用向量，结合条件探索的关系，最后利用基本不等式求的最大值.
【详解】如图：
由，
结合正弦定理，可得：.
由余弦定理可得：，又为三角形内角，所以.
因为是上的三等分点（靠近点），
所以.
又，所以.
所以.
又因为，所以.
所以（当且仅当即，时取“”）
故选：C
3．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可.
【详解】因为，故，
而，则，；
因为角， 设，，
代入正弦定理化简得：，
则
由， 两边平方得展开计算得：
，
；
由，则有，，则
，
则，
因为，，
，故，
所以，即
当且仅当，等号成立.
故选：C.
4．（2025年第四届典韦杯线上联考高考模拟数学试题）在中，分别是角的对边
(1)求；
(2)若点是上靠近的三等分点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将条件化为，然后由余弦定理得，即可得解；
（2）在和中，利用正弦定理分别求得，，即可得解.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，即，
又，
故，
点是上靠近的三等分点，所以，
又因为，所以，
故，
所以.
5．在锐角中，角的对边分别是，向量，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得即可求得角；
（2）由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解；
（3）有正弦定理可得，再利用和差及辅助角公式化解，结合锐角三角形确定范围即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
由正弦定理得，
所以.
因为，所以，
所以，，所以.
因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
因为，且，
所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积，即面积的最大值为.
（3）由正弦定理可得，
则，
故，
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
则，即的取值范围为.
题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）
【技巧通法·提分快招】
三角形中与角平分线有关的解题策略 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1、利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2、内角平分线定理：＝.
1．在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.
【详解】因为是的角平分线，所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，所以
，即.
故选：D
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度.
【详解】在中，根据余弦定理，
已知，，，设，则有：
解得或（边长不能为负舍去），所以.
因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得.
又因为，所以.
在中，再根据余弦定理，
将，，代入可得：
所以.的长度为
故选：D.
3．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解.
【详解】，则，设，则，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
因，两式相比，可得，
所以，所以，
由正弦定理得，所以，
所以，化简得，
所以或（舍去），又，所以，
所以.
故选：C
4．在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值．
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
即，
在中，，
所以，
所以，即，
因为，，
所以，因为，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
在中，，①
在中，，②
因为，所以，
由①②可得，，
解得，，
所以，由余弦定理可得，.
故选：A
5．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合已知变形，再利用正弦定理边化角及和差角的正弦推理即得.
（2）利用正弦定理结合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，则，
因此，即，则，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
则，解得，从而，又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的长为.
6．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上.
(1)求证：；
(2)求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理得到，，两式相比，即可证明结果；
（2）法一：在中，利用余弦定理得到，利用（1）中结果，有，，在中，利用余弦定理得，从而得到或，在中，利用余弦定理得，从而得到或，即可求解；法二：利用余弦定理得，，两式相加，即可求解.
【详解】（1）因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以.
（2）法一：在中，，
得到，即，
由（1）知，所以，，
在中，，得到，
解得或，
在中，，得到
解得或，所以.
法二：在中，可算，
又，，
又，两式相加可解得.
题型五 含角平分线（等积法）
【技巧通法·提分快招】
等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式).
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.
(1)求的面积；
(2)求中的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式运算求解即可；
（2）设角平分线为，根据面积关系运算求解即可.
【详解】（1）因为，，，
所以的面积为.
（2）设角平分线为，
因为
则，
即，解得，
所以的角平分线的长为.
2．（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用降幂公式求出，再结合余弦定理求解即可；
（2）先求出，，利用等面积法求出，进而求解即可.
【详解】（1）由，则，
因为，所以，
所以，则，
又是角的角平分线，
则在中，由余弦定理得
，即.
（2）由（1）知，则，
由，则，
又是角的角平分线，由，
则，
则，解得，
所以.
3．已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，可得，，则，中，由余弦定理求AD；
（2）， BD为的角平分线，则有，由，得，利用基本不等式求出的最小值，代入面积公式求面积的最小值．
【详解】（1），由正弦定理得，
由，，
则，即，
解得，由，即得，如图所示.
由，则，
中，由余弦定理，
，解得.
（2）， BD为的角平分线，且，如图所示，
则有，，
则，
即，且，
则，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
故面积的最小值为．
4．的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，
(1)若，，求c；
(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用三角形外角性质及正弦定理即可求得结果.
（2）由等面积法可得，再由余弦定理可得，再结合基本不等式即可求得结果.
【详解】（1）如图所示，
，
，，
，
，
在中，由正弦定理得，即，
（2），是的角平分线，如图所示，
则，
由得，
又，所以，
在中，由余弦定理得，则，
设的周长为l，则，
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，
即：，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的周长最小值为
5．在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.
6．已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理，因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由为的中点，所以，
所以
，当且仅当时，等号取得到，
所以，则，故的最小值为；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
所以，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，故的最大值为
题型六 含垂线
【技巧通法·提分快招】
垂线问题的处理策略 1、等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. 2、AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
1．（2024·江苏·模拟预测）锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，，进而可求得，设边上的高长为，进而可得，可求解.
【详解】因为且为锐角三角形，可得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，又，
所以，解得，
由正弦定理可得，所认，
设边上的高长为，所以，
.
故选：D.
2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
【答案】D
【分析】由两角和差的正弦展开可得，再由三角形面积公式可得，再通过余弦定理求得的范围，即可求解.
【详解】因为
所以
所以，又为三角形内角，
所以，所以
设角的对边分别为，边的高为，
由三角形面积公式可得：，又，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以
所以
故选:D
3．在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式得到，然后由余弦定理结合基本不等式得到，最后由正弦公式结合正弦函数的单调性求出即可；
速解中先由射影定理得到，下同上述解法.
【详解】，由余弦定理可得，
整理可得．
又边上的高为，
即，
当且仅当时取等号，，即，
即，
则，故的最大值为．
故选：B．
速解
由射影定理得，下同上述解法．
故选：B．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为 .
【答案】4
【分析】利用三角形面积公式建立关系，将转化为与角相关的三角函数表达式，结合余弦定理即可得出.
【详解】利用面积公式和余弦定理：
面积：，同时，联立得：，结合余弦定理，
化简得：,将表达式,
转化为单一三角函数形式：，其中振幅,
故最大值为4.
故答案为：4.
5．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求边上的高的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角；
（2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高.
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得：.
6．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由正弦定理，化简得，由此即可得解；
（2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后根据三角形面积公式得，由此即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，
又因为，所以，
所以，即，
因为，，所以，
故，于是；
（2）由（1）得，根据余弦定理以及基本不等式，
得，
当且仅当时等号成立，
又因为，且，
所以，所以，即，
故的最小值为2.
7．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为.
(1)求；
(2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小；
（2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，，所以，，
又，解得；
（2）∵，，即，
所以，即，
又，所以，
因为，所以，故，
所以，所以，
所以周长的范围为．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC= ．
【答案】9
【分析】利用()，得，即可求，利用余弦定理即可求解.
【详解】由()，得，
所以，
即，
即．
由余弦定理，得，
所以．
故答案为：9.
2．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ．
【答案】2
【分析】作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，
由题意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，则，
在中，由余弦定理得.
故答案为：.
3．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为 .
【答案】
【分析】由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值.
【详解】因为，为的角平分线，
所以，又，
故由三角形面积公式可得，
，
，
又，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：.
【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.
4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 .
【答案】 6 4
【分析】若，根据三角形面积公式可得，利用，得解；若，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，代入运算得解.
【详解】若，由，
所以，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为6.
若，，解得,
由余弦定理得，
整理得，
，当时，取得最大值4.
故答案为：6，4.
5．（24-25高三上·天津·开学考试）如图，在中，为中点，为上一点，且满足的面积为，则 ；的最小值为 .
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算得到的方程组，解之可得的值；再利用三角形面积公式与向量数量积的运算法则、结合基本不等式即可得解.
【详解】依题意，设，因为为中点，
所以
，
又，
所以有，解得，即；
因为的面积为，，
所以，则，
故，而，
所以
，
当有仅当时取等号，所以的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，熟练掌握向量的线性运算，求得，从而利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解.
6．（2024·安徽池州·模拟预测）在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时， ．
【答案】/
【分析】记，，然后计算得到，再使用余弦定理说明，并通过基本不等式的取等条件得知当取到最小值时，，最后通过即得结果.
【详解】记，，则，从而.
因为，
且，
所以，且，
从而.
在中，由余弦定理可得：
，
当且仅当即时取等号.
所以当取到最小值时，，此时，
所以．
故答案为：.
7．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，进而得到，在中，由正弦定理得到答案.
【详解】在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
其中，，
所以，，
故，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
故，
在中，由正弦定理得，
即，解得.
故选：A
8．在中，，，，是中点，是上靠近的三等分点，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的运算法则结合余弦定理求解即可
【详解】
为的中点，
，
，
，
由余弦定理得
所以，
，
为上靠近的三等分点，
即，
故选：
9．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由是边上的中线，得
.
所以，中线长.
故选：A
10．（2025·北京丰台·二模）在中，．
(1)求；
(2)若,，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角；
（2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出边上的高.
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理及，得，
因为，
所以，
所以．
所以．
（2）因为，
由余弦定理，得，
所以．设边上的高为，
又的面积，
所以，
所以AB边上的高为．
11．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解；
（2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度.
【详解】（1）由已知，
又由正弦定理可得，
又，所以，
则，又，即，
又，，即，
则，所以，；
（2）由已知，所以，
因为为角的角分线，
故，
所以，
即，
解得.
12．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的高为3，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解；
（2）由面积公式得到，再由得到，求得的范围即可求解；
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，
又，所以
（2）因为BC边上的高为3，所以，
又因为，所以.
由（1）知，所以，得
所以.
13．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若的角平分线交于，，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，所以，
即，又，所以；
（2），即，
化简得，
所以，
所以所以，
当且仅当时取“=”，
所以，所以面积的最小值为.
14．（24-25高三上·云南·月考）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求A；
(2)若边上的高为2，且的平分线交边于，，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由题意结合正弦定理得，再转化即可求得，进而可得解.
（2）先由高表示面积和正弦定理形式表示的面积得①，接着在和中由正弦定理结合得②，再接着由余弦定理即可计算求出，再由和正弦定理形式面积公式即可计算求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
又，所以，所以，
又
所以，故,
所以，又，所以.
（2）由题可得①，
又因为，是的平分线，所以，
因为，所以，所以由正弦定理得②，
又由余弦定理得③，
所以由①②③计算可得，
所以由即得
.
15．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)若，求；
(2)当BC边上的中线最小时，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由题设结合倍角公式和正弦定理得，接着由即可结合同角三角函数关系和两角和正弦公式即可依次求出和，从而由正弦定理即可求解c；
（2）先由（1）求出a，接着由结合余弦定理和基本不等式即可依次求出和，再由正弦定理形式面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，故，
又，即，
所以由正弦定理，
若，则，
则，
所以；
（2）由（1）得，取中点，
则为BC边上的中线，
则，
又由余弦定理得，故，
即，当且仅当时等号成立，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以BC边上的中线最小值为，此时.
16．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式、和角的正弦公式化简即得.
（2）设，利用正弦定理用表示，换元结合余弦定理求出范围，进而构造函数并利用导数求出最小值.
【详解】（1）在中，由，得，
由正弦定理得，即，
则，而，解得，又，
所以.
（2）由（1）知，设，
在中，由正弦定理得，，
则，令，，
在中，由余弦定理得，
解得，因此，，
令，求导得，函数在上单调递减，
则，所以的最小值为.
17．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可：
（2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可；
（3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可.
【详解】（1）由题意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因为，所以；
（2）因为，，，
由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因为，则，则，
可得，
且，
所以
；
（3）因为，是角平分线，即，
因为，
所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，即，
又因为，且，
即，解得.
18．（24-25高三上·江苏·月考）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互换，代入已知条件，可以求得，再结合余弦定理和基本不等式即可求得最值；
（2）通过等面积法，用两种方法表示三角形的面积即可求得三边之间的关系，用正弦定理将边化为角，用辅助角公式化简，借助角的范围来求得最值.
【详解】（1）由和正弦定理，三角形面积公式得，，因，故得，，
由余弦定理，，因，则；·
由余弦定理，，即，
整理得，，当且仅当时等号成立，即，
于是，，即当时，周长的最大值为；
（2）由可得，
由正弦定理，，即得，，，·
则
，
由为锐角三角形可得，，解得，
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．
(1)若，，求AD的长度；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：由关系，结合面积公式列方程求解；
方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明，再由向量线性运算可得，两边平方结合数量积的性质可求AD的长度；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.
【详解】（1）方法一：
因为为的角平分线，，
所以，
因为
所以，
所以.
法二：设三角形的边上的高为，
因为为的角平分线
所以，
所以， 所以，
所以.
因为，，
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，
所以，
又，则，
又
所以，又，则.
在中，由正弦定理得，，
所以
因为是锐角三角形，所以，于是，
所以，
所以，从而，
所以三角形周长的取值范围为.
20．的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长；
(3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求；
（2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求；
（3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论.
【详解】（1）设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，，，
因为，
所以，
又，
所以，
所以，又，故，
所以，因为，故，
所以，故，
所以；
（2）因为的面积为，又的面积，，
由（1），所以，
因为为角的角平分线，故，
又，
所以，即，
所以；
所以的长为；
（3）在中由正弦定理可得，
由（1），又，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，故，
所以，
在中由余弦定理可得，
又，，，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
21．在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且.
(1)求角；
(2)求证：；
(3)求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先利用余弦定理角化边，再运算得到，进而结合三角形内角的性质求解即可.
（2）结合题意得到是边上靠近的三等分点，再利用向量三等分线定理和向量数量积的定义证明目标命题即可.
（3）先构造，再利用余弦定理结合锐角三角形的性质求出的范围，再对合理变形，得到，最后利用三角形面积公式表示出，最后结合对勾函数性质求解范围即可.
【详解】（1）由余弦定理得，
因为，所以，
两侧同乘，可得，
则，可得，
故，而，故.
（2）因为，所以是边上靠近的三等分点，
由向量三等分线定理得，
两侧同时平方得，
则，
而，故，
可得，即原命题得证.
（3）由已知得，则，
且设，因为是锐角三角形，所以，，
由余弦定理得，，
则，，
我们先求解，此时代入，
得到，即，
解得，即，故，
我们再求解，此时代入，
得到，即，
解得，即，故，综上，，
因为，所以，，而，
故，则，
可得，故，
则，
由三角形面积公式得，
令，则，
由对勾函数性质得在上单调递增，
故在上单调递减，当时，，
当时，，故，
则，故面积的取值范围为.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·江西新余·月考）在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先在中由余弦定理可得，再由角平分线定理可得，即可得到的函数关系式，然后求导，即可得到其极小值，从而得到结果.
【详解】设，，则，
则在中由余弦定理可得，
即，所以，
由角平分线定理可得，所以.
又，
故，
化简得①，
而在△中由余弦定理，
代入①得.又因为，所以，所以，
故.
所以，
所以，
令或（舍去），
所以当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以时，取得最小值，即取得最小值.
所以取得最小值时，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是先设，，则，依据已知条件由余弦定理结合三角形角平分线性质求得得和，关键点2是构建函数，利用导数工具研究其最值，从而得解.
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解.
【详解】设，
易知为的重心，
又，由重心为中线三等分点可得：，
同时，
设，，
则，
则，
所以，
由余弦定理可得：，
令，求其最小值即可，
上式化简可得：，
也即当且仅当时取得等号，
所以，
故答案为：
3．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ．
【答案】/
【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可.
【详解】因为，且，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得，
又因为D为中点，所以，设的夹角为θ，
则
，
即，
且，
因为，则为锐角，可知，
可得，解得或（舍去）
所以，
整理得，解得或，
且，即，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可.
4．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出与的关系；通过几何图形作辅助线，构造可得，求出的范围，进而根据二倍角公式，求得的取值范围.
【详解】在中，，
，
即；
又，，即，又；
故，
如图，在中，过作的垂线，且使，则，
，即，可得，
，即，，
,
设，，在区间单调递减，
，即,
，当且仅当时，即三点共线时等号成立.
验证：如下图中，若时，满足，
此时，，
故存在这样的，使得成立.
因此的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围.
5．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为AD为角A的角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长至点E，使得，连接，
则，又，
所以，故，，
则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故.
所以长的最大值为.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优04 解三角形含中线、角平分线、垂线的条件破解
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 含中线（向量法）（★★★★★） 3
题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）（★★★★★） 4
题型三 含中线（同理变形）（★★★★） 5
题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）（★★★★） 6
题型五 含角平分线（等积法）（★★★★★） 7
题型六 含垂线（★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 10
检测Ⅰ组 重难知识巩固 10
检测Ⅱ组 创新能力提升 13
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
①向量法：,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
题型一 含中线（向量法）
【技巧通法·提分快招】
1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A). 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
1．在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，中线，求．
5．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值.
6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：.
(2)已知C为钝角，记.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围.
题型二 含中线（常规思路和余弦值相加为0）
【技巧通法·提分快招】
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
1．在中，若，，边上的中线长为，则 .
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）记三个内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)设是的中线，若，，求.
4．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
5．（24-25高三上·河北石家庄·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，边上的中线，求的面积．
6．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，，且边上的中线长为1．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
题型三 含中线（同理变形）
【技巧通法·提分快招】
线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量
1．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知中，角、、所对的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ）
A．4 B． C． D．2
3．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025年第四届典韦杯线上联考高考模拟数学试题）在中，分别是角的对边
(1)求；
(2)若点是上靠近的三等分点，且，求．
5．在锐角中，角的对边分别是，向量，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求的取值范围.
题型四 含角平分线（角平分线定理和直接正（余）弦定理）
【技巧通法·提分快招】
三角形中与角平分线有关的解题策略 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1、利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2、内角平分线定理：＝.
1．在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
6．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上.
(1)求证：；
(2)求的长.
题型五 含角平分线（等积法）
【技巧通法·提分快招】
等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式).
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.
(1)求的面积；
(2)求中的角平分线的长.
2．（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
3．已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．
(1)若，，求AD；
(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．
4．的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，
(1)若，，求c；
(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．
5．在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
6．已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
题型六 含垂线
【技巧通法·提分快招】
垂线问题的处理策略 1、等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. 2、AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
1．（2024·江苏·模拟预测）锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
3．在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为 .
5．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求边上的高的长.
6．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
7．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为.
(1)求；
(2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC= ．
2．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ．
3．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为 .
4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 .
5．（24-25高三上·天津·开学考试）如图，在中，为中点，为上一点，且满足的面积为，则 ；的最小值为 .
6．（2024·安徽池州·模拟预测）在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时， ．
7．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．在中，，，，是中点，是上靠近的三等分点，则的长为（）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·北京丰台·二模）在中，．
(1)求；
(2)若,，求边上的高．
11．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．
12．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的高为3，求面积的最小值.
13．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若的角平分线交于，，求面积的最小值.
14．（24-25高三上·云南·月考）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求A；
(2)若边上的高为2，且的平分线交边于，，求.
15．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)若，求；
(2)当BC边上的中线最小时，求的面积.
16．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值．
17．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
18．（24-25高三上·江苏·月考）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．
(1)若，，求AD的长度；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
20．的内角、、的对边分别为、、，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长；
(3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围.
21．在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且.
(1)求角；
(2)求证：；
(3)求面积的取值范围.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·江西新余·月考）在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（ ）.
A． B． C． D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
3．设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ．
4．（2025·山东青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 .
5．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
