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重难点培优05 导数中原函数与导函数的混合构造
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 含一次函数结合（★★★★） 3
题型二 含二次函数结合（★★★★） 3
题型三 含幂函数结合（★★★★★） 4
题型四 含指数（型）函数结合（★★★★★） 5
题型五 含对数（型）函数结合（★★★★） 6
题型六 含三角函数结合（★★★★★） 6
题型七 其他类型构造（★★★★） 7
03 实战检测 分层突破验成效 8
检测Ⅰ组 重难知识巩固 8
检测Ⅱ组 创新能力提升 10
1、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
2、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
（2）对于，构造．
模型11.（1）
（2）
题型一 含一次函数结合
1．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二 含二次函数结合
1．设函数在R上存在导数，对任意的，有，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三 含幂函数结合
1．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江西·月考）若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·湖南衡阳·月考）设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
题型四 含指数（型）函数结合
1．（24-25高三下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·重庆南岸·月考）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型五 含对数（型）函数结合
1．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江·二模）已知函数的定义域为，为的导函数，满足，且.已知均为正数，若，则的最小值（ ）
A． B． C．1 D．
4．（23-24高三下·辽宁·月考）已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型六 含三角函数结合
1．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·广东·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 .
题型七 其他类型构造
1．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·陕西安康·月考）定义在R上的连续函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·重庆渝中·月考）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（23-24高三上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
10．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三上·四川成都·月考）已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
13．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为
14．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
15．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
16．（24-25高三下·广东梅州·月考）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为 ．
17．（24-25高三上·广东潮州·月考）定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ．
18．（24-25高三上·上海·期中）定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ．
19．（24-25高三上·山东日照·月考）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且则不等式的解集为 .
20．（23-24高三下·北京·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ．
21．（2024·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·四川成都·月考）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三下·河南南阳·月考）已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是 ．
6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ．
7．（24-25高三上·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 .中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优05 导数中原函数与导函数的混合构造
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 含一次函数结合（★★★★） 3
题型二 含二次函数结合（★★★★） 6
题型三 含幂函数结合（★★★★★） 8
题型四 含指数（型）函数结合（★★★★★） 12
题型五 含对数（型）函数结合（★★★★） 15
题型六 含三角函数结合（★★★★★） 18
题型七 其他类型构造（★★★★） 21
03 实战检测 分层突破验成效 25
检测Ⅰ组 重难知识巩固 25
检测Ⅱ组 创新能力提升 37
1、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
2、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
（2）对于，构造．
模型11.（1）
（2）
题型一 含一次函数结合
1．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案.
【详解】设，因为，所以，
对函数求导，得，因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
因此由.
故选：D.
2．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故选：B.
3．（24-25高三下·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式.
【详解】构造函数，则，
因为当时，有，
故当时，，单调递增；
又因为是定义在上的奇函数，，
故是偶函数，
则当时，是单调递减函数.
又因为，则，
不等式 等价于，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以不等式的解集是.
故选：A.
4．（24-25高三下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集．
【详解】根据题意，构造函数，求导得，
当时，，所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减.
因为，所以，故.
当时，不等式可化为，
因为在上单调递增，所以.
当时，因为在上为奇函数，所以，满足.
当时，不等式可化为，
因为在上单调递减，所以.
综上，的解集为.
故选：C.
5．（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围.
【详解】令，则，
因为时，，故当时，，
故在上单调递增，且．
因为，故，
即，所以，
故关于直线对称，故在上单调递减，且，
当时，，则；
当时，，则；
所以使得成立的的取值范围是.
故选：C．
题型二 含二次函数结合
1．设函数在R上存在导数，对任意的，有，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造，利用导数及已知求其单调性，且不等式化为，再应用单调性求解不等式即可.
【详解】由题意，构造函数，则，
所以在R上单调递增，
由，得，即．
根据函数在R上单调递增，可得，解得．
所以k的取值范围是．
故选：B
2．（23-24高三下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，又，所以，
不等式，即，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：B
3．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解.
【详解】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题意，设，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不式.
4．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解.
【详解】令，则，
由题意可得，当时，，即在上单调递增，
由，则，
即，故为偶函数，故在上单调递减，
则不等式可化为：，
即，则有，即，
即，即，
解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性.
题型三 含幂函数结合
1．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令，
∵函数在上是可导的偶函数，
∴在上也是偶函数
又当时，，∴，
∴，
∴在上是增函数
∵，
由得
即不等式转化为，
∴x不为0时有，
而x为0时，不等式显然成立，
∴不等式的解集为.
故选：C.
2．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题干条件联想到构造，将待求不等式转化成，再由单调性解不等式即可.
【详解】设，则，
结合题干可知，即在上单调递减，
由，根据定义域限制，，
则，同除可得，
即，
结合在上单调递减和定义域可得：，
即，
则不等式的解集为.
故选：D
3．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式.
【详解】根据题意可构造函数，则，
由题可知，所以在区间上为增函数，
又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，
又，即，
所以，解得.
故选：D.
4．（23-24高三上·江西·月考）若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导得到单调性，进而得到为偶函数，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增．
因为为奇函数，所以，
即为偶函数，所以原不等式变为，所以，
所以，解得或，
故原不等式的解集为.
故选：D．
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造，求导得到其单调性，得到定义域，判断出是偶函数，结合，得到，分和两种情况，求出不等式解集.
【详解】令，则，
故当时，恒成立，
故在上单调递减，
又为奇函数，，故
且定义域为，
，
故为偶函数，则在单调递增，
且，
当时，要想使得，则要，故，
当时，要想使得，则要，故，
故使得成立的x的取值范围为.
故选：A
6．（23-24高三上·湖南衡阳·月考）设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性和奇偶性可得到，解得即可．
【详解】令，
可知的定义域为，且，
因为，则，
可得，故为偶函数，
当时，，即，
可知在上为增函数，
对于不等式，
可得，即，
由函数单调性和奇偶性可知：，解得，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于构建，分析其奇偶性和单调性，根据函数性质解不等式.
题型四 含指数（型）函数结合
1．（24-25高三下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式.
【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数，
则，故在上单调递减，
又，所以不等式即的解集为.
故选：B.
2．（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得.
【详解】设，则，故函数在上为增函数，
因，且为偶函数，故，故，则，
于是等价于，即，由函数的单调性可得，
即不等式的解集为.
故选：B.
3．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，则原不等式可转化为，由奇偶性和导数可得在上单调递增，由此列不等式组求解即可.
【详解】令则由得，
所以为奇函数，
又，所以当时，单调递增，
所以在上单调递增，
又，所以，
所以，解得，
故选：A
4．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式.
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选：A
5．（24-25高三下·重庆南岸·月考）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集.
【详解】设.
对求导，则.
已知，即，而恒成立，所以恒成立.
这说明函数在上单调递增.
已知，则.
不等式可变形为，即，也就是.
因为在上单调递增，所以.
不等式的解集为，.
故选：B
6．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合四则运算的求导法则，构造单调函数，再利用所给的奇函数得到，最后由不等式得到的两个函数值的大小，最后结合单调性解函数不等式即可.
【详解】因为对任意都有，即，
令，则，
即在上单调递增，
又因为为奇函数，
所以，则，
而不等式等价于，
即，又因为在上单调递增，所以.
故选：
7．已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式和的结构特征构造函数，研究其单调性即可求解.
【详解】令，
因为即，
则，
所以在上单调递增，
故若，即，即，
由定义域及单调性可得，，
所以不等式的解集为.
故选：A.
题型五 含对数（型）函数结合
1．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上的奇函数得到与0的大小，从而解不等式.
【详解】令，，
则，
当时，，
故在上单调递减，
则当时，，；
当时，，；
又函数可导，则该函数必连续，所以当时，；
因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，
当时，
所以，解得，
又，故不等式的解集为.
故选：B
2．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设函数，分析函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式.
【详解】设，，
则，.
因为，所以，即在上恒成立.
所以函数在上单调递增.
且，所以不等式的解为：.
又，
所以.
故选：B
3．（2025·浙江·二模）已知函数的定义域为，为的导函数，满足，且.已知均为正数，若，则的最小值（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据函数的导函数得出原函数，再根据函数的导函数得出函数的单调性，进而得出不等关系结合单调性计算即可.
【详解】因为，所以，即，所以.
又因为，即.所以.
所以在上恒成立，所以在上单调递增.
又因为，所以，
即，
令，则，由对勾函数知单调递增，
所以，所以，当且仅当时等号成立.
故选：B.
4．（23-24高三下·辽宁·月考）已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的取值情况，从而得到的取值情况，即可得解.
【详解】令，
则，
所以在上单调递减．
因为当时，，
所以当时，；当时，．
由于当时，且，所以；
当时，且，所以；
当时，因为，令，得，所以在上恒成立．
故选：C．
题型六 含三角函数结合
1．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得.
【详解】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
2．已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，得出为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，再把不等式转化为，利用单调性求解.
【详解】设，则．
由，得，所以为偶函数．
因为当时，有任意时，有成立，
所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
因为，即，
所以，解得．
故选：D．
3．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造，结合导数探讨函数的性质，将所解不等式转化为，由单调性即可得解．
【详解】由且，得是奇函数，
令，当时，，则在是减函数，
显然函数是奇函数，则在是递减，从而在上是减函数，
不等式化为，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
4．（23-24高三上·广东·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.
【详解】令，则，
因为，则，且，
可知，且仅当时，则在上单调递增，
又因为为偶函数，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等价于，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果.
5．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】求出函数在的单调性，且是偶函数，将问题转化为即可依据函数的单调性和奇偶性求解.
【详解】因为时，，
所以，即，
因此，从而在上单调递增，
又是上的偶函数，且是偶函数，
所以，
即是上的偶函数，故在上单调递减，
由于，因此，又即，即，
所以，故由的单调性和偶函数特点可知，
因此的取值范围为.
故答案为：.
题型七 其他类型构造
1．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解.
【详解】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.
故选：D.
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【详解】因为为偶函数，
所以，所以，
令，
因为为偶函数，
则，即，
即，
所以，
当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，
由，即，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围是．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性.
3．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用构造的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为，从而可利用单调性解不等式.
【详解】由已知得：因为，所以，
两边同乘以又可得：，
因为，所以有，
再构造，则，
所以在上单调递增，
因为的定义域可知，，所以，
又因为，所以，
即上面不等式可转化为，根据在上单调递增，
可得，解得，
故选：．
4．（23-24高三上·陕西安康·月考）定义在R上的连续函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，根据已知判断其单调性，利用函数的单调性，把条件转化为对任意恒成立，利用导数通过求的最大值可得结果.
【详解】记，则,
由题意，知当时，，即，
则在上单调递增，所以,
因为是偶函数，所以是奇函数，所以在R上单调递增,
又，即，
所以，即对任意恒成立.令，
则，由，得；当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，所以，即实数a的取值范围为，
故选：D.
5．（23-24高三上·重庆渝中·月考）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知有，构造则，构造则，即在上是单调递增，把目标不等式化为，即可求解集.
【详解】由，得，
令，则，，
所以，则，
令，则，
所以在上是单调递增．
不等式等价于，即，
而，所求不等式即．
由于在上是单调递增函数，所以，故不等式的解集为.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：根据已知结合复合函数的求导法则，构造得，进而构造判断单调性为关键.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（23-24高三上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求解.
【详解】设，则，
对任意，，
对任意，，在上单调递减，
，，
由，得，
的解集为.
故选：D.
2．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解.
【详解】令，则，
因为，则，所以，
则在区间上单调递减，
又，由，得到，所以，
解得，
故选：D.
3．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意构造新函数，求导得到单调性，再解不等式即可.
【详解】由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
所以，解得，所以不等式的解集为．
故选：A.
4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，
由，得，解得或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
5．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解.
【详解】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选：B.
6．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数得到的单调性，再将问题转化为，从而得解
【详解】由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故选：B.
7．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.
【详解】由，有，
令，则，所以在区间上单调递增．
又，得，所以，
所以，解得．
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令，由导数证明单调递增，不等式变形为，利用单调性解即可.
8．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单调性及一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】令，
则，且不恒为，
所以在上单调递增.
又因为偶函数，所以，
所以.
又，
所以不等式等价于，
根据函数的单调性可知，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
9．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造，求导得到其单调性，并结合，得到时，，从而求出解集.
【详解】设，
因为，
所以，
故在上单调递减，
又，故，
故当时，，当时，，
，
故的解集为.
故选：A
10．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，可知为奇函数，利用导数可判断出函数在区间上为减函数，进而得出在定义域内的单调性，将所求不等式变形为
，利用函数的单调性可解出所求不等式.
【详解】令，定义域为，
因为函数为奇函数，所以，
则函数是定义在上的奇函数，
，
因为任意的，有，
所以当时，，则在上单调递增，
则函数是上的奇函数并且单调递增，
由，
因为，所以
，即，
所以，
又因为，因此.
故选：C.
11．（23-24高三上·四川成都·月考）已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，易得函数是上的奇函数，根据已知可得函数在上的单调性，进而的得出函数在的单调性，从而可得出答案.
【详解】令，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数是上的奇函数，
当时，，即，
则，
所以函数在上单调递增，
又因为函数是上的奇函数，
所以函数在上是增函数，
则不等式，
等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
12．（23-24高三下·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由已知得出为偶函数，且在上是增函数，在上为减函数，将转化为求解即可．
【详解】令，则，
当时，，
所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，
所以，又，
所以是偶函数，所以在上递减，
所以，
即不等式等价为，
所以，所以．
故答案为：．
13．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为
【答案】
【分析】令，结合导数可得函数在R上单调递增，进而由将原不等式等价于，进而结合单调性求解即可.
【详解】令，则，
所以函数在R上单调递增，
因为，
故原不等式等价于，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
14．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】设则，
故在R上单调递减，
且，即，
即，
故.
故不等式的解集为.
故答案为：
15．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集.
【详解】设，，
所以函数在上单调递减，
，
即，得，
所以，所以不等式的解集为．
故答案为：．
16．（24-25高三下·广东梅州·月考）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由已知等式确定奇偶性，利用导数求出单调区间，再求出给定不等式.
【详解】令，由，
得，函数是偶函数，
当时，，则，函数在上单调递增，
由，得，
整理得，即，因此，即，解得，
所以实数t的取值范围为.
故答案为：
17．（24-25高三上·广东潮州·月考）定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可．
【详解】解：令
则，，
当时，，
所以当时，，
，故在上为减函数，
令，
则，
所以，
故不等式的解集为
故答案为：
18．（24-25高三上·上海·期中）定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】首先利用奇函数性质将不等式进行转化，再构造函数，通过求导判断函数单调性，最后根据单调性求解不等式.
【详解】因为是定义在上的奇函数，则.
两边求导，得到.已知，可得.
令，.
由于，又，所以，这表明在上单调递增.
不等式可化为.
不等式即，即.
因为单调递增，所以，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：.
19．（24-25高三上·山东日照·月考）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把函数不等式转化为代数不等式求解.
【详解】因为，
所以.
又因为，用代替得：.
所以，当时，，所以.
所以在上单调递增.
又为偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减.
设，则，则，又，
所以，根据函数为偶函数，且图象不间断，在上单调递减，在上单调递增，所以.
即.
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：关于函数不等式的解法，一般要构造函数，利用函数的单调性等性质，把函数不等式转化为代数不等式求解.
20．（23-24高三下·北京·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】依据题意判断函数关于直线对称，结合，构造函数，易得其关于对称，最后分类讨论即可.
【详解】因为定义在上的函数满足
所以函数关于直线对称，即
因为当时,有即
故令则，在上单调递增,
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，因为，
所以所以当时, ,
所以，当时,，
所以且,即无解.所以不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数，解题关键是合理构造合适的原函数，得到，然后构造，再进行分类讨论，得到所要求的解集即可．
21．（2024·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，由于在上时，与同解，即可根据求解.
【详解】令，则
，
所以在上单调递增．
由于当，当，
而，
故在上，不等式与同解，
即，又，得，即，
所以原不等式的解集为．
故答案为：
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得.
【详解】由可得，即，
设，，则由可得，在上单调递增.
又，
由可得，，即，解得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题.
解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式.
2．（22-23高二下·四川成都·月考）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意构造函数，求导后可判断在区间上为增函数，然后化简不等式可得，即，再利用函数的单调性可求得结果.
【详解】根据题意，，则导函数，
函数在区间上，满足，则有，
所以，即函数在区间上为增函数，
，
所以，
则有，
解得，
即此不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件构造函数，求导后根据已知条件可判断其单调性，从而可求解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可构造函数，求得的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结果.
【详解】构造函数，则；
因为，
所以当时，，即，此时在上单调递增；
当时，，即，此时在上单调递减；
又，所以，即；
所以函数图象上的点关于的对称点也在函数图象上，
即函数图象关于直线对称，
不等式变形为，即；
可得，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据的结构特征构造函数，判断出其单调性，再由得出其对称性解不等式即可.
4．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题目特征构造函数，先根据的对称性得到的图象关于对称且，根据的单调性解不等式得到解集，再根据
【详解】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
【点睛】构造函数，利用函数单调性和奇偶性进行解不等式，是经常考察的一类题目，需要对已知条件进行分析，还要熟悉掌握一般的构造技巧，比如当出现导函数与函数相减的情况，一般是构造函数除法形式，而出现了导函数与函数相加的情况，此时要构造的通常是函数乘法形式
5．（23-24高三下·河南南阳·月考）已知函数在R上连续，且存在导函数，对任意实数x，满足，当时，．若，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，分析可知为奇函数，且在R上单调递增，根据题意利用单调性解不等式即可.
【详解】令，可知的定义域为，且在R上连续，
因为，则，
即，可知为奇函数，
又因为当时，，则在内单调递增，
结合为奇函数可知在内单调递增，
且在R上连续，则在R上单调递增，
若，则，
整理得，
即，可得，解得，
所以x的取值范围是.
故答案为：.
6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即为，结合函数的单调性可求得的取值范围，然后验证恒成立，即可得解.
【详解】构造函数，其中，
则，
故函数在上为减函数，
由可得，即，
因为，则，所以，，解得.
对于、，当时都有，
不妨设，则，所以，函数在上为增函数，
则对任意的，，则，可得恒成立，
因此，所求不等式的解集为.
故答案为：.
7．（24-25高三上·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 .
【答案】
【分析】首先通过对给定不等式进行变形构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，再结合函数的奇偶性，将所求不等式进行转化，最后求解不等式得到解集.
【详解】已知当时，，
将其变形为，
进一步整理得.
令，对求导， .
当时，，，
可得，所以在上单调递减.
因为是定义在上的偶函数，即.
那么，所以是奇函数.
所以在上也是单调递减.
已知，则.
当时，，则，
∴不等式可化为，即.
因为在上单调递减，则.
当时，；，得，则，
∴不等式可化为，即，则.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键是对已知式子变形，构造新函数，再转化为用函数单调性和奇偶性解题.
