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重难点培优06 解三角形中几个秒杀公式（射影定理、张角定理、正弦平方差、正切恒等式、托勒密定理）
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 射影定理（★★★★） 4
题型二 张角定理（★★★） 4
题型三 正弦平方差公式（★★★★） 5
题型四 正切恒等式（★★★★） 5
题型五 托勒密定理（★★） 5
03 实战检测 分层突破验成效 6
检测Ⅰ组 重难知识巩固 6
检测Ⅱ组 创新能力提升 9
1、射影定理
，，
将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.
2、张角定理
在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有．
证明：因为，所以，于是等式两边同除以得．
3、张角定理与角平分线的长
特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，则
化简得到，即 注：张角定理在在解答题中使用之前需要推导．
4、正弦平方差公式
证明：
5、正切恒等式
当时，.
证明：，且
则
6、托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如下图 ,若四边形 内接于圆 ,则有 证明: 利用余弦定理即可
四边形 内接于圆
在 中,由余弦定理得
（1）
在 中,由余弦定理得
（2）
得
由于
所以
同理
即
广义托勒密定理: 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。
题型一 射影定理
1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（ ）
A．30° B．90° C．45° D．60°
3．（24-25高三下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 .
题型二 张角定理
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD长度为_____________.
2．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____________.
3．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
题型三 正弦平方差公式
1．设分别为的内角的对边，已知，且，则的大小为_____________.
2．在中，角的对边分别为，已知，则的大小为_____________.
3．在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______.
题型四 正切恒等式
1．在中，若，则=（ ）
A. B. C. D.
2．在中，若，则=_______.
3．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
4．在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，
则的最小值是（ ）
A.4 B. C. D.8
题型五 托勒密定理
1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
2．平面四边形 中, ,则 的最大值为______.
3．如图 ,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为______.
4．已知平面四边形 是由与等腰直角拼接而成,其中 ,则当点到点D的距离最大时,角的大小______.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90 B．60 C．45 D．30
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．（多选题）已知为锐角三角形，且，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
5．函数的最大值为______________.
6．在中，角的对边分别为，若的大小成等比数列，且，则角B的弧度数等于 .
7．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
8．已知AD是的角平分线，，，，则 .
9．若，则的范围为 .
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ．
11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ．
12．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.
（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.
13．如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM， ，则cos∠BCM的值为多少？
14．如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问：
(1)当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求；
(3)求面积的最大值．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在中，若，求的取值范围.
2．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
(1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
(2)若，且为正三角形，求面积的最大值；
(3)已知，且，，求的最大值
3．古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优06 解三角形中几个秒杀公式（射影定理、张角定理、正弦平方差、正切恒等式、托勒密定理）
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 射影定理（★★★★） 4
题型二 张角定理（★★★） 5
题型三 正弦平方差公式（★★★★） 8
题型四 正切恒等式（★★★★） 9
题型五 托勒密定理（★★） 10
03 实战检测 分层突破验成效 12
检测Ⅰ组 重难知识巩固 12
检测Ⅱ组 创新能力提升 20
1、射影定理
，，
将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.
2、张角定理
在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有．
证明：因为，所以，于是等式两边同除以得．
3、张角定理与角平分线的长
特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，则
化简得到，即 注：张角定理在在解答题中使用之前需要推导．
4、正弦平方差公式
证明：
5、正切恒等式
当时，.
证明：，且
则
6、托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如下图 ,若四边形 内接于圆 ,则有 证明: 利用余弦定理即可
四边形 内接于圆
在 中,由余弦定理得
（1）
在 中,由余弦定理得
（2）
得
由于
所以
同理
即
广义托勒密定理: 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。
题型一 射影定理
1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据三角形中的射影公式，即可容易求得结果.
【详解】因为，即，
解得，又因为，故可得.
故选：B.
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（ ）
A．30° B．90° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可.
【详解】在中，由三角形面积公式及，得，
则，而，解得，，
由三角形射影定理得，而，
则，又，解得，解得，
所以.
故选：B
3．（24-25高三下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解.
【详解】由，得，整理得，
在中，由射影定义得，则，
而，因此，又，则，
所以是直角三角形.
故选：B
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 .
【答案】/0.75
【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故答案为：
题型二 张角定理
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD长度为_____________.
【答案】
【分析】先利用同角三角函数基本关系求出cos∠BAC，再利用张角定理进行求解.
【解析】如图：
∵sin∠BAC
∴cos∠BAC
由张角定理得：
即
即
即
解得
∴
2．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____________.
【答案】
【分析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】如图：
∵是的角平分线，，
∴，
由张角定理得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
3．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
题型三 正弦平方差公式
1．设分别为的内角的对边，已知，且，则的大小为_____________.
【答案】
【解析】
2．在中，角的对边分别为，已知，则的大小为_____________.
【答案】
【解析】
3．在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______.
【答案】
解析：易得，结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得
，从而可求得其范围是.
题型四 正切恒等式
1．在中，若，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：因为在中，，
且
所以
则
答案：A
2．在中，若，则=_______.
【答案】
解：因为在中，，
且，即
所以，则，
答案：
3．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
【答案】8
【详解】
，又，因此
即最小值为8.
4．在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，
则的最小值是（ ）
A.4 B. C. D.8
【答案】D
解：因为，所以
令，因，则有，所以，即
答案：D
题型五 托勒密定理
1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.故选：C.
2．平面四边形 中, ,则 的最大值为______.
【答案】4
解析: 设 ,
则由托勒密不等式可得：
则 的最大值为4.
3．如图 ,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为______.
【答案】
解析:由托勒密不等式,
4．已知平面四边形 是由与等腰直角拼接而成,其中 ,则当点到点D的距离最大时,角的大小______.
【答案】
解析:由托勒密不等式,
因为为等腰直角三角形
当点到点的距离最大时,也即托勒密不等式取等号时,即四边形四点共圆时,所以
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解：因为在中，，
且，则，，
所以
答案：D
2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90 B．60 C．45 D．30
【答案】B
【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，解得，
而，则，由余弦定理及得：，
而，因此，，即，又，则，
所以.
故选：B
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由射影定理以及可得的值，根据可计算出的值，结合已知条件可求解出的值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，，所以是等边三角形，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：，，.
4．（多选题）已知为锐角三角形，且，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
【答案】ABC
【分析】B选项可以直接由正切恒等式得到.
【详解】解：因为，
两边同除得，故A正确；
由均值不等式解得当且仅当时取等号，
，所以，故B正确；
，由，所以，所以得，故C正确；
，
由且在上单调递增，所以的最小值为，故D错误．
5．函数的最大值为______________.
【答案】
【解析】由正弦平方差公式得
6．在中，角的对边分别为，若的大小成等比数列，且，则角B的弧度数等于 .
【答案】
【解析】由题设及正弦定理得
又
7．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
【答案】
【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.
【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得,
又∵，∴，由，可得，
解得(负值舍去)，∴三角形的面积为，
故答案为：.
8．已知AD是的角平分线，，，，则 .
【答案】
【分析】设，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解.
【详解】设，
则由张角定理可得：，
故，即有，
所以，则，
又因，，
所以.
9．若，则的范围为 .
【答案】
【解析】令
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，即．
∵，∴，∵，∴，对两边同时点乘得：
．
，即，
由正弦定理知，∴．
11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积.
【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图，
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在中，由余弦定理得：
，②
因为A、B、C、D四点共圆，所以，
从而，③
由①②③解得 ，因为，所以 ．
从而，
，
所以 ．
故答案为：；.
12．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.
（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；
（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.
【详解】（1）
等式两边同除，即得；
（2）∵，∴.
13．如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM， ，则cos∠BCM的值为多少？
【答案】
【分析】先利用正弦定理和解直角三角形得到，再利用角平分线张角定理进行求解.
【解析】∵
∴由正弦定理得：
即
即
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴在Rt△BCM中，
∵由角平分线张角定理得：
即
∴ 或 （舍）
14．如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问：
(1)当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求；
(3)求面积的最大值．
【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理求解长度，然后根据三角形面积公式，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解最值；
（2）根据定理可求解等号成立的条件，根据互补关系以及余弦定理可求解，即可代入余弦定理求解；
（3）由三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）在中由余弦定理得，
所以，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为．
（2）因为，且为等边三角形，，
所以，所以，
即的最大值为6，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
（3）设，（，所以为锐角），
在中，由正弦定理得到，，又，
∴
．
当，即时，的面积取得最大值为．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在中，若，求的取值范围.
【答案】
【解析】易得
其中：
2．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
(1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
(2)若，且为正三角形，求面积的最大值；
(3)已知，且，，求的最大值
【答案】(1)，.
(2).
(3).
【分析】（1）根据为外接圆的直径得，再由同弧所对的圆周角相等得，最后由已知条件及正弦定理即可求解；
（2）设的边长为a，由托勒密定理得，根据四点共圆得，然后由三角形面积公式及基本不等式求解即可；
（3）构造圆内接四边形，设，，，，构造，在中由余弦定理得，再由托勒密定理得，然后利用三角形的面积公式，由列式求解即可.
【详解】（1）如图①，因为为外接圆的直径，
所以，
因为，
所以.
因为，
所以（同弧所对的圆周角相等）.
在中，，，
所以，，.
在中，，，
由正弦定理，解得.
（2）如图②，设的边长为a，
由托勒密定理，
得，即.
因为四点共圆，
所以，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以.
（3）如图③，构造圆内接四边形，
设，，，，
由，构造，
由共圆得，
由余弦定理得，
由托勒密定理得，
即.
由三角形面积公式得
，
所以.
因为.
所以，
当且仅当时，等号成立，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数学文化，数学定理的应用，以及由正弦定理、余弦定理解三角形，第三问的关键是构造圆内接四边形，设，，，，构造，在中由余弦定理得，再由托勒密定理得，然后利用三角形的面积公式，由列式求解，计算比较繁杂.
3．古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)；，（其中）
【分析】根据“任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立”表示出边长的关系即可求出；
连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积．
【详解】（1）设，则，
由材料可知，，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即,且此时,
所以线段长度的最大值为，
（2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
【点睛】思路点睛：多边形问题可分割为若干三角形，利用余弦定理及角的关系消元化简即可.
