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重难点培优07 三角函数与解三角形中的新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 与倍角有关的新定义（★★★★） 2
题型二 双曲正余弦函数（★★★★） 6
题型三 费马点（★★★★★） 11
题型四 布洛卡点（★★★★） 18
题型五 其他新定义问题（★★★★★） 27
题型六 其他新运算问题（★★★★） 38
题型七 其他新性质问题（★★★） 44
03 实战检测 分层突破验成效 49
检测Ⅰ组 重难知识巩固 49
检测Ⅱ组 创新能力提升 74
在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的深入理解以及灵活应用.以下是一些常用的解题方法：
1、理解新定义：
首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念.
将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点.
2、利用三角函数性质：
应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题.
利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题.
3、应用解三角形的方法：
使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来.
通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题.
4、结合图形分析：
在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题.
利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程.
5、注意特殊值和极端情况：
在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等.
这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性.
6、综合应用多种方法：
在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等.
灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境.
可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性.
解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题策略.通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力.
题型一 与倍角有关的新定义
1．如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角．
(1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和；
(2)记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式，利用正弦定理与余弦定理化角为边，化简可证；
（2）利用倍角定理及正弦定理化角为边，利用边的关系代入余弦定理消元求解方程可得.
【详解】（1）设的内角的对边分别为，已知，求证：.
证明：由，得，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
则，
整理，得，
当时，，由，得，所以，则，
所以.
当时，.
由上可知，当时，.
同理可证，当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
综上可知，倍角定理成立.
（2）已知，由正弦定理得，则①，
又，由倍角定理得②，
将①式代入②式得，所以，即③
由余弦定理，将①③代入得，
由，则，
又的面积为，则，
解得，则，，
故的周长为15.
2．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知，试证明此三倍角公式；
(2)若角满足 ，求的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论；
（3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论.
【详解】（1）由
，得证；
（2）由（1）知，可得，
又
，
故
（3）由，则，
所以，则，
所以，可得（负值舍），
所以.
3．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；
（2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.
【详解】（1）因为，
又,所以，
则，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，,
又,
代入上式可得,
即，
，
则有,
故是倍角三角形.
（2）因为，所以,
故，则，又，
又，则,
则
,
设，，
则
令得或者（舍），
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
在上单调递减，
故当时，取最大值，
此时也取最大值，
故为所求.
题型二 双曲正余弦函数
1．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数．
(1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明；
(2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域；
(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)奇函数，
(3)．
【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ；
（2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域；
（3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围.
【详解】（1）由题意，；
.
（2）因，，
则对于，，是奇函数；
又，
因在上单调递增且为正，故在上单调递减，
则在是增函数，
由，得故得，
即的值域为.
（3）由题意可知在上恒成立，
整理得在上恒成立
令，
则，
令，由，可得，，即得，
则，，
因函数在上递增，在上递减，故，
依题意，，即m的取值范围为．
2．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据新定义函数直接计算即可；
（2）类比可得，根据新函数定义计算即可证明；
（3）由可得，分离参数，求出，即可得解.
【详解】（1）由已知可得，，，
所以，
所以.
（2），证明如下：
左边，
右边
.
所以，左边=右边，
所以.
（3）原题可转化为方程有解，即有解.
令，，，
因为在上单调递增，，，
所以.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，即，
所以，即.
3．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数 ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似性质.
(1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）；
(2)（i） 证明 ；
（ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；
(3)是否存在实数，使得函数 在上的最大值为 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)偶函数，在上单调递减，在上单调递增.
(2)（i） 证明见解析；（ii）答案见解析.
(3)存在，.
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性，利用单调性的定义判断单调区间；
（2）（i）根据所给条件，结合指数幂的运算性质化简即可求出结果；
（ii）写出一个结论，结合指数幂的运算性质化简即可证明；
（3）利用换元法，讨论的范围，结合二次函数和复合函数单调性可求出.
【详解】（1）双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增.
（2）（i）由题意得，
.
（ii） 结论： .
证明：由题意得，
.
所以 成立.
（注：以下三个结论也成立）：
，
.
（3）令，
因为 当且仅当 即时取等号，
所以.
因为，，
所以，
所以函数
因为对数函数在上单调递减，
所以要使 在上的最大值为，则需 在上有最小值.
二次函数 的对称轴为直线
当，即时，函数在上单调递增，
则
由得，符合题意.
当 ，即时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
则
由 得 ，此方程无实数解.
综上，实数的值为.
题型三 费马点
1．（24-25高三上·河南驻马店·月考）平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】中，由正弦定理求出，中，由外接圆半径长结合正弦定理求.
【详解】，，则，
中，由正弦定理得，，
的外接圆半径长为，由正弦定理，，
.
故选：C.
2．（2025·四川泸州·模拟预测）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马（1601-1665）于1643年提出了三角形中的“费马点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点”.在中，是的费马点，则的长度为 .
【答案】
【分析】根据，费马点在内，作出辅助线，推出在线段上，利用半角公式得到，故，由正弦定理得到.
【详解】由，得.故费马点在内，
且.
取的中点，由，得是线段的中垂线.
在和中，，，
两式相减，得，
即0，可见，
所以在的中垂线上.
又在内，所以在线段上.
.
在中，，
所以.
故答案为：
3．“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若，求的值；
(3)若，，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角，用正弦的和差公式和辅助角公式化简计算即可；
（2）由余弦定理解得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可；
（3）设，，，通过代入余弦定理化简，通过题意代入化简，用重要不等式进行求解最小值即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，所以，
即，又所以，得；
（2）由即①，
由余弦定理得②，
由①②得，由且点为的费马点，
则，
故，
化简得：，
即；
（3）设，，，
在，，中，由余弦定理得，
，
，
又则得，，
即，
由，则，
故，
即有，解得或（舍去），
当且仅当且且，解得时，等号成立，
故实数的最小值为.
4．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点．
(1)若，且面积为．
（i）求角B；
（ii）求；
(2)若，，，的面积为，，，求的最小值．
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)．
【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解；
（ii）由（i）得P为内的费马点，即，利用面积为得，即可求解；
（2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）（i）∵，，
∴，
∴，
在中，，∴，∴，
又，∴．
（ii）∵，∴不存在大于等于120°的角，∴P为内的费马点．
所以，
∵，
∴，
∴
．
（2）∵，∴，即，
在中有正弦定理得，，
∴，∴，
在中，，∴，
又，∴．
∴，
设，，则在由正弦定理得，，
在由正弦定理得，，
∴，
当且仅当，，时等号成立．
∴的最小值为．
5．“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，设点为的费马点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理和和差的正弦公式将原等式化简，求出的值，即可求得.
（2）先由正弦定理求得，然后利用余弦定理和正弦定理求出，最后可求得的值.
（3）首先由三角形面积公式求出，然后利用正弦定理将向量表示出来，然后利用向量数量积的定义列出的表达式并化简，最后根据角度范围确定其最小值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，
又，
整理得，
因为，所以，可得，即，
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得.
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
所以，
因为为三角形的内角，则，则.
（3）因为，所以的内角均小于，所以点在的内部，
且，由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
所以的最小值为.
题型四 布洛卡点
1．若三角形内一点P满足，则称为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.已知分别为三角形三个内角所对的边，点为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.
(1)若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值;
(2)若三角形的面积为.证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，由题，余弦定理及，可得，然后再由余弦定理可得答案.
（2）注意到，则可得需证等式右边为，然后利用余弦定理可完成证明；
【详解】（1）如图设，因，
则，由题可得，
则，由余弦定理，可得：
，注意到.
则.
则；
（2）由图可得，
则要证等式右边等于，
由余弦定理，，
同理可得：，.
相加可得得证.
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，D为BC中点，，求的面积；
(3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，再结合余弦定理即可得到结果；
（2）由题意可得，结合向量的数量积运算化简，再由余弦定理代入计算，即可得到结果；
（3）分别在与中，结合正弦定理表示出，列出方程，在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，
得．
由正弦定理，得，整理得．
由余弦定理，得．
又，所以．
（2）由题知，所以．
则，所以．
由（1）得，，又，所以，联立，得，
故的面积为．
（3）如图，设，因为，所以，
由（1）知，，所以，
在中，设，
由正弦定理得，所以，
在中，由上可知，，
由正弦定理，得所以，
所以，则，整理，得，
所以，，解得，．
又，所以，
则，因此为等边三角形．
在中，
由余弦定理得，，
所以，故的周长为．
3．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
(1)若．求证：
①；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）①先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；
②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证；
（2）根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证.
【详解】（1）①若，
则
,
所以，
在中，
分别由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，因为，
所以；
②由余弦定理可得，
则
，
当且仅当且时取等号，
又，所以，所以，所以，
即当且仅当且时取等号，
即当且仅当为等边三角形时取等号，
所以，当且仅当为等边三角形时取等号，
又由①知，
所以为等边三角形.
（2）由（1）得，
所以,
由，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，所以，
由正弦定理可得
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．
(1)若，且满足，求的大小．
(2)若为锐角三角形．证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可;
（2）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式后，再针对分别在和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且，表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得，即可得证.
【详解】（1）若，即，得，
点满足，则，
在和中，，，
所以与相似，且，所以，
即，由余弦定理得，且，
所以.
（2）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得
，
，
，
三式相加可得：
①；
在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在和内，同理，
于是，
因为，
由等比性质得②，
由①②得
即，
因为，
所以.
【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键.
5．（2024·河北·二模）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，且满足，求的大小．
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）若平分，证明：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可；
（2）（ⅰ）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，针对分别在、和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得：，即可得证；（ⅱ）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，平分，将代入，化简整理即可得证.
【详解】（1）若，即，得，
点满足，则，
在和中，，，
所以与相似，且，
所以，即，
由余弦定理得：，且，，
得，且，
所以；
（2）（ⅰ）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得：①
在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在和内，同理：，，
三式相等：，
因为，由等比性质得：②
由①②式可证得：；
（ⅱ）因为，
即，
所以，
在中，
分别由余弦定理得：，，，
三式相加整理得，
，
将代入得：
若平分，则，，
所以③
又由余弦定理可得：④
由③-④得：
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键.
题型五 其他新定义问题
1．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．图象的对称中心为
C．的单调递减区间为
D．与的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】先证明，由此可得，再结合正切函数的定义域求函数的定义域，判断A，根据正切函数的对称性求函数的对称中心判断B，根据正切函数的单调性求函数的单调递减区间判断C，求函数的图象关于直线对称的图象的函数解析式，判断D.
【详解】A选项，因为，
所以，
由有意义可得，，
所以，，
所以函数的定义域为，A错误；
B选项，因为，
令，，可得，，
所以图象的对称中心为，B正确；
C选项，令，，
可得，，
所以的单调递减区间为，C正确；
D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点，
则点关于直线的对称点在函数的图象上，
所以，所以，
所以与的图象关于直线对称，D正确；
故选：BCD.
2．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
【答案】12
【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的.
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，,
，两式相加得：，，
又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解；
经检验：的值为和；
所以正整数的所有可能取值之和为.
故答案为：.
3．（2024·四川成都·模拟预测）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出；
（2）利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.
【详解】如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，
设P，Q分别为、上任意一点，，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，
由正弦定理得：，，，
则
.
由为锐角三角形，得，即，
则，，于是，
所以平面区域D的“直径”的取值范围是.
故答案为:.
4．如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角.
(1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）；
(2)证明：角是可解角；
【答案】(1)，是可解数；不是可解数.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据可解数的定义直接判断即可；
（2）设，化简，可得，从而证明角是可解角.
【详解】（1），是可解数；不是可解数.
（2）设，则，所以，
又
因为，所以， ，
得，所以是可解数，
又也是可解数，
所以角是可解角，证毕.
【点睛】方法点睛：
新定义问题解题策略：首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算或转化，把未知问题转化为已知问题，即可得解.
5．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，试求函数的相伴向量；
(2)记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
(3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意，由两角和与差的余弦公式和辅助角公式可化为，再结合相伴向量的定义即可得出答案；
（2）由“相伴函数”的定义可得，由此可得，再由同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式求解即可；
（3）由可求得时取得最大值，其中，又，换元求得的范围，即可求得的范围．
【详解】（1）因为
，
所以，函数的相伴向量.
（2）向量的相伴函数，
令，即，
，，
，
．
（3）的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以当，即时，有最大值，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以的取值范围为．
6．（2025·河北·模拟预测）设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”.
(1)若为等腰直角三角形，求的分离比；
(2)证明：；
(3)探究的最值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最小值2，没有最大值
【分析】（1）设等腰直接三角形边长，求出外接圆和内切圆半径，再计算比值即可；
（2）由正弦定理可得外加圆半径，利用等面积法求得内切圆半径，代入计算，再利用正弦定理边角互化即可证明；
（3）法一、根据，令，又，所以，得到，即，然后可直接分析没有最大值；法二、根据相交弦定理得，然后，同法一可直线分析没有最大值.
【详解】（1）设的两条直角边为，斜边为2，所以外接圆半径为1.
内切圆半径满足，所以.
所以.
（2）证明：的面积
则
所以.
由正弦定理，
所以.
因此，.
（3）先探究的最小值：注意到，
先证明对于任意的正数，，，均有.
因为，
所以得证，当且仅当时取等.
所以，
下考虑的取值范围.
因为，
所以.
当且仅当取等.
对于，
又（i）
（ii），
当且仅当取等.
由（i）式与（ii）的平方相乘，有，
所以，所以，
故，当且仅当取等.
再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小，
而，所以的取值将足够大，也即没有最大值.
综上，有最小值2，没有最大值.
【法二】设的外接圆圆心为，内切圆圆心为，过点作垂直于点.
连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，
因为为的内心，所以为的平分线，
得，则.
所以和相似，得
又，，得.
连接，则，又，
所以，
即，所以.得.
作直线与圆交于，两点，由相交弦定理得
得.即【上面过程为欧拉公式证明】所以.
再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小，
而取值可取到足够大，即没有最大值.
综上，有最小值2，没有最大值.
7．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”.
(1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
(2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
(3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出.
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据题意得到；
（2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值；
（3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案.
【详解】（1）因为集合，，
所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：
.
所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称，
又，所以与的终边只能关于轴对称，
所以，
因为，，所以，
当时，，当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值
题型六 其他新运算问题
1．若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题设信息，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式，准确计算，即可求解.
【详解】设，
因为，所以，即，
因为，所以，所以，即，
所以，
所以，所以，
则.
故选：B.
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．在区间上单调递增
D．对任意的
【答案】D
【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D.
【详解】对于AB，当时，，，AB错误；
对于C，，C错误；
对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称，
则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确.
故选：D
3．（2025·河南许昌·三模）（多选题）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为
【答案】BCD
【分析】由题意可得到，从而可得的表达式，直接代入化简求值，可判断AB；根据函数的对称性可判断C，判断函数的对称性，由此可求上图象与x轴围成的图形面积，即可判断D.
【详解】由题意得
，
化简得，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于，，
而，
故，
故的图象关于点对称，故C正确，
对于D，，
而
，
故的图象关于点对称，
而，
即关于对称，且设在内与轴围成封闭图形的面积为，
故所求在内与轴围成封闭图形的面积为4A，
当时，，
且，
在上的图象关于点对称，
在的图象与轴围成图形面积等于以为直角边的直角三角形面积，
故，则，故D正确．
故选：BCD．
4．人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中.
(1)若，，求之间的余弦距离；
(2)已知，，，，若，，
①求之间的余弦距离；
②求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离；
②由，，展开化简可得解.
【详解】（1）由题意得，
∴之间余弦距离为；
（2）①由题意得
∵，∴，∴，
∵，
∴，∵，∴
∴，之间的余弦距离为.
②由①可得，，
∴，∴
∴
5．（24-25高三上·山东枣庄·期中）设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数，，，的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：.
【答案】(1)
(2)成立
(3)证明见解析
【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得；
（2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；
（3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论.
【详解】（1）依题意，
，
因此，即，
则；
（2）成立.
只需考虑和差化积式，
首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得，，
将替换为，所以对于正整数时，；
（3）函数在区间上有3个不同的零点，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，由（1）知，
而，则或或，
于是，
则，
而，
所以.
【点睛】思路点睛：第三问由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解.
题型七 其他新性质问题
1．已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质．
(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；
①；②．
(2)若函数具有性质，求的最小值；
【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见详解；
(2)的最小值为
【分析】（1）①利用反证法结合给定的定义即可说明；②根据题意定义取进行验证即可；
（2）根据函数具有性质进一步推导，然后利用分类讨论的思想即可求出的最小值
【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下：
①假设具有性质，即存在正数，使得
恒成立，
则对恒成立，
则此时无解，故假设不成立，
所以不具有性质.
②取，则，
即对恒成立，
所以具有性质；
（2）因为函数具有性质，
所以存在正数，使得都有：
恒成立，
令，则对恒成立，
若，取，则，矛盾，
若，取，则，
即，矛盾，
所以，
则当且仅当时，对恒成立，
因为，所以，
所以当时，函数具有性质，
所以的最小值为.
2．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质和；
(2)若函数具有性质P.
（ⅰ）求出，的值；
（ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围.
【答案】(1)不具有性质，具有性质.
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断；
（2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ）
【详解】（1），
，
所以，所以不具有性质，
，
，
所以，所以具有性质.
（2）若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得，，，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，所以，
则，，则，
验证：当时，，
则对任意，，
，
所以等式成立，
故存在，使得具有性质.
（ⅱ），所以，
，，
由，得
即，
即，
即，
即，
因为对任意的，当时，恒成立，
所以对任意的，当时，，恒成立，
，，不妨设，
则问题转化为在区间上单调递减，
所以，解得：
3．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：
1.我们知道，正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为.
2.我们知道，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对，，可得：函数为偶函数.
3.我们知道，正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，对，，可知为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究在区间上的单调性，在区间上，余弦函数单调递减，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当时，设，因正弦函数在上单调递增，故，令，，可得，而在区间上，余弦函数单调递减，故：即：从而，时，函数单调递减.同理可证，时，函数单调递增.可得，函数在上单调递减，在上单调递增.结合.可以确定：的最小正周期为.这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而，故的值域为，定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域.
【答案】（1）；（2）偶函数；（3）单调递减区间为：，单调递增区间为：，最小正周期：，值域为：.
【解析】（1）由阅读材料中，即可求出的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义即可判断；
（3）根据阅读材料求出的一个周期，再类比先证函数在上的单调性，再证在上的单调性，同理可得在上的单调性，即可求出最小正周期以及值域.
【详解】解：（1）正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为；
（2）的定义域为，关于原点对称，
且，
故函数为偶函数；
（3），
，
即为函数的一个周期；
对函数，
①当，设，
由余弦函数在上单调递减，得：，
令，，可得：，
而在区间上，正弦函数单调递增，
故，
从而，时，函数单调递减；
②当时，设，
由余弦函数在上单调递减，得：，
令，，可得：，
而在区间上，正弦函数单调递增，
故，
从而，时，函数单调递减；
同理可证：时，函数单调递增；
时，函数单调递增；
综上所述：当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
可得：为函数的最小正周期；
故，
而，
故的值域为：.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（23-24高三上·辽宁朝阳·月考）数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用新定义得出，然后结合换元法求出结果即可.
【详解】由，
得
，
即，
整理得，
令，则，
解得，
因为，所以，
，所以.
故选：A
2．（24-25高三上·安徽·月考）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“费马点”的定义以及正余弦定理可求得结果.
【详解】设的内角所对的边分别为，
因为，
所以由正弦定所得，
又，所以，
由余弦定理得，
所以，所以顶点为费马点，
故点到各顶点的距离之和为，
故选：.
3．（多选题）双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】AB
【分析】根据奇偶性定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故A正确；
对于B，的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是奇函数，故B正确；
对于C，的定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数，故C错误；
对于D，的定义域为，关于原点对称，
，
所以是偶函数，故D错误.
故选：AB.
4．（2025·福建福州·模拟预测）（多选题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．在中，内角，的对边分别为是的角平分线，交于点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．为“倍长三角形”
B．若，则面积的最大值为
C．若，则为锐角
D．若，当时，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据题干利用已知的面积等式，结合正弦定理和余弦定理与面积公式联立，即可得到结果；
对于B：利用余弦定理求出，再用面积公式与不等式即可求得结果.
对于C：根据角平分线性质，余弦定理即可判断结果是否正确；
对于D：根据角平分线性质与向量关系得到面积与的关系，再利用面积值和已知的范围求得结果.
【详解】选项A，，则，故，
因此为“倍长三角形”，故正确；
选项B，由，可得，则，
则
，当且仅当时等号成立，故B错误；
选项C，由正弦定理，可得，
故，
又，故，又，故，
又，因此，则，即是锐角，故C正确；
选项，由，化简即有，
则，故，故，
故，又.故，
则，
设，则，
则在定义域上单调递减，故，
则，即的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
5．（多选题）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（ ）
A．函数在上单调递增
B．若，则
C．若，，，则的最小值为0
D．若，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用新函数的定义化简函数式为一般的三角函数式，然后三角函数关系式的变换判断各选项即可得到结论：利用两角差的正弦公式化简函数，然后由正弦函数性质判断A，利用齐次式求值法求值判断B，利用换元法结合二次函数性质求最小值判断C，利用二倍角公式变形结合二次函数性质判断D．
【详解】对于，因为，
当时，，，
由正弦函数的性质可知在，上不单调，故错误；
对于B，由，可得，
而，故正确；
对于C，，
令，因为，所以，则，
则有，
所以（1），
所以，故正确；
对于D，因为，
所以当时，，故正确．
故选：BCD．
6．若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，为的布洛卡角.在等腰中，，若布洛卡点P满足，记布洛卡角为，则 ， .
【答案】
【分析】根据布洛卡角和布洛卡点的定义，分别设出边长利用余弦定理即可求得，即可求得，再由两角和的正切公式及等腰三角形性质求解.
【详解】设，则，，令，
在中，由余弦定理得，，
同理，在中有，，
即，整理得，解得，
，
易知，所以，所以；
，，，
，
因为为三角形内角，所以，
故答案为：；
7．（24-25高三上·云南·月考）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知可得，再由余弦定理可得，可证是直角三角形，将绕点顺时针旋转到，则，
则，当且仅当，，，四点共线时等号成立，可证为费马点时，取最小值，
法一：几何法，由余弦定理可得长度；
法二：解析法，以点为原点建立平面直角坐标系，可得点同时在两圆上，联立圆的方程可得解；
法三：代数法，设，由正弦定理可表示各边长，可得，，代入可得解.
【详解】
如图
由题设有，而，，
由余弦定理可得，所以，
故是直角三角形，且，．
将绕点顺时针旋转到，则，
则，
当且仅当，，，四点共线时等号成立，
此时，，
即为费马点时，取最小值，
法一：几何法
因为，，
所以，，
故当且仅当为费马点时，取最小值且最小值为．
法二：解析法
如图，以点为原点建立平面直角坐标系，且，，
由费马点的定义知点满足，
故在以为弦且半径为的劣弧上，
设圆心为，而，故，故，故圆，
同理也在以为弦且半径为的劣弧上，其方程为，
由，
可得，
再代入其中一式解得，（，舍），
所以取最小值时，，，取最小值为．
法三：代数法
设，则，
由费马点的性质可得，（），由正弦定理可得且，
故，
整理得到，
解得，
即，，
此时，
而，同理，
故的最小值为．
故答案为：
8．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为.
【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性.
（3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域.
【详解】（1）的定义域为.
（2）对于函数，
，所以是偶函数.
（3），
在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减.
在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增.
所以的最小正周期为，
在上是严格减函数，在上是严格增函数.
结合的单调性可知，的值域为.
9．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
(2)若角满足，求的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据关系结合两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由条件结合（1）可求，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论；
（3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求，由此可得结论.
【详解】（1）
.
（2）由（1）及已知得：解得：，
又
.
由得：，
.
（3）即
两边除去得：即
化简得：，解得：（负舍）
由题意知黄金分割值为.
10．（24-25高三上·山东菏泽·期中）定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为.
(1)求的单调递增区间；
(2)若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值；
(3)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据条件及辅助角公式得，再利用的图象与性质，即可求解；
（2）利用的图象与性质，结合条件得到，代入，再分为奇偶，即可求解；
（3）根据利用正弦定理得，从而有，结合条件得，即可求解.
【详解】（1）由题知，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为.
（2）因为，故，
根据正弦函数图象，
且可知，，且，，
得到，且，
又，故，故，
则，所以，
当时，，解得，
当时，即，解得，
所以实数的值为或.
（3）由（1）知，，即，
在锐角中，，则，即，
由正弦定理，得，
因此，
由，得，则，于是，
所以面积的取值范围为.
11．若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”.
(1)判断函数，是否为“线性对称函数”.
(2)若是“线性对称函数”，证明：.
(3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，，使函数是“线性对称函数”.
【分析】（1）由线性对称函数的定义判断即可；
（2）由线性对称函数的定义赋值证明即可；
（3）由（2）可知，故，从而求得，若，不妨设，由，，，只要充分大时，将大于1，故，从而求得.
【详解】（1），所以，，
所以，故为“线性对称函数”，
，，，
所以，故不是“线性对称函数”.
（2）证明：若是“线性对称函数”，则，
令，则，所以.
（3）存在使是“线性对称函数”，理由如下：
由（2）可知，故，由于，
所以，故，
若，不妨设，
由，，，
只要充分大时，将大于1，
而的值域为，故等式不可能成立，
所以必有成立，即，
因为，所以，所以，
则，此时，
则，而，
即有成立，
所以存在，，使函数是“线性对称函数”.
12．定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”.
(1)若，求的“特征向量”的坐标；
(2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解；
（2）将题意转化为关于x的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案；
（3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得（），再根据二次函数的性质分，和求出，使得，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：
，
则的“特征向量”.
（2）由题意可得，其中（）.
因为关于x的方程在上有两个不同的实根，
所以关于x的方程在上有两个不同的实根.
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，，
所以，即.
（3）由题意可得.
设，
则，所以（）.
当，即时，在上单调递增，
则，解得，
因为，所以；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
当，即时，在上单调递减，
则，解得，
因为，所以.
综上，a的取值范围是.
13．对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；
(2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．
【答案】(1)
(2)，常数为
(3)或，
【分析】（1）根据集合相对的“正弦方差”的定义及诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据集合相对的“正弦方差”的定义及二倍角余弦公式两角和差的余弦公式即可求解；
（3）根据集合相对的“正弦方差”的定义及三角恒等变换即可求解.
【详解】（1）当集合，时，集合相对的“正弦方差”.
（2）当时，集合，集合相对的“正弦方差”为
.
此时集合相对于任何常数的“正弦方差”为常数.
（3）当集合时，集合相对的“正弦方差”为
，
要使得上式对任何常数是一个常数，则，
故可得，整理得，则或，，又，，
所以或，，
即或，.此时这个常数为.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“正弦方差”的定义的理解和利用三角恒等变换的运算能力.
14．意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样 这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．
(1)求证：；
(2)求函数的最小值；
(3)求证：对，．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）代入双曲余弦和双曲正弦函数的解析式，化简即可.
（2）求函数解析式，利用换元法结合基本不等式可求函数的最小值.
（3）当时，研究的符号，判断它们的大小，当时，构造函数，利用函数的单调性进行判断.
【详解】（1）因为.
所以：.
（2）.
设，则，当且仅当时取“”.
则，在上单调递增.
所以.
所以函数的最小值为.
（3）当时，，.
对，
因为，所以为偶函数；
设，则，
因为，所以，，所以，
所以，即在上单调递增.
所以当时，.
对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增.
所以当时，.
所以；
当时，.
设.
所以，
所以.
即.
综上可得：对，.
【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键是要分析双曲余弦函数和双曲正弦函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小.
15．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T.
(1)已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；
(2)已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求.
(3)已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将变成已知条件的形式，再根据“和谐向量”及向量的模的坐标公式计算即可得解；
（2）设，再求出，再根据“和谐函数”的定义结合三角恒等变换化简函数，再根据三角函数的性质即可求出，即可得解；
（3）结合（1）求出“和谐向量”，进而可得，的解析式，设出点的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解.
【详解】（1）
，
所以函数的“和谐向量”向量，
，
因为，所以，
所以的取值范围为；
（2）设，
则，
所以
，
此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中，
所以，即，所以，
所以的最大值，
所以；
（3）由（1）知，当时，最小，此时，
所以，
设，令，
则，
因为，
所以，即，
所以，所以，即，
而，则，当且仅当时，等式成立，
所以在的图象上存在一点，使得.
【点睛】关键点点睛：理解“和谐向量”和“和谐函数”是解决本题的关键.
16．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
(1)若，求；
(2)已知，
①若，求的值；
②若，求S.
【答案】(1)
(2)①12；②
【分析】（1）由题，可得，在，中，分别由正弦定理可得，，运算得解；
（2）由，可得，①在，，中由余弦定理可得，运算得解；②由，结合①可得，平方展开运算得解.
【详解】（1）在中，，所以，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
17．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.
(1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
(2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，判断出三角形的三个内角均小于，根据费马点的定义、正弦定理、三角恒等变换、向量数量积运算等知识来求得的取值范围.
（2）根据三角形的面积公式列方程，结合余弦定理进行化简，从而求得的值.
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，，所以，
因为，所以；
因为，所以的内角均小于，
所以点在的内部，且，
由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为；
（2）因为，
即，所以，
在，，中，
分别由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，
，
将代入得：，
因为平分，所以，，
所以，③
又由余弦定理可得：，④
由③-④得：，所以，
即，所以常数，使得.
【点睛】方法点睛：在解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决.
18．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若，且，求A和；
(2)若求的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据题意可得，则，即，又，可得，，再在中，利用正弦定理求解；
（2）先根据，得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进一步化简即可.
【详解】（1）∵，∴，∵，，
∴，
∴，∴，即，又，
由勾股定理得，则．
在中，设，则，
由正弦定理可得，
所以，化简可得．
综上，，．
（2）
，所以．
在，，中，分别由余弦定理得：
，，，
三式相加整理得：，
由上面可得，
所以，
先求，
在中，由正弦定理可得，
所以，
同理可得，，
所以
再求．
在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，，
三式相加可得：，
由（2）可知，所以；
所以
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·四川自贡·二模）（多选题）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ）
A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时，
【答案】ABC
【分析】由两角相等得到三角形相似，再由边对应成比例可得A选项；设，由三角形相似表示出，在中由正弦定理表示出，在中由余弦定理得到与的关系，结合求出；C选项，由，在结合余弦定理即可证明；D选项，通过取特殊值举反例即可判断错误.
【详解】A选项，当时，是等腰三角形，，
因为，，
所以，
又因为，所以，
所以，即，故A正确；
B选项，当时，由A选项知，，
因为，所以，设，则，
因为，所以，所以
又因为，所以，，
在中，由正弦定理得，即，
即，所以，
在中，，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，联立，解得，
故B正确；
C选项，当时，
，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，
即，C正确；
D选项，当时，若，
此时，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，D错误.
故选：ABC.
2．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折 旋转 平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.
(1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
(2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值；
(3)已知点，求的费马点的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解；
（2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解；
（3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解.
【详解】（1），绕着点顺时针旋转，
即逆时针旋转，代入公式，
，
所以，
则点的坐标为；
（2）由费马点的求法知：
绕着点顺时针旋转，与重合，，
所以为等边三角形，
连接，的最小值为，由勾股定理得；
（3）通过材料可以知道，内部有一点，连接，
将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，
此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角，
即此时点满足，
又由题设，可知为等腰三角形，且，
根据费马点求法知：点在中垂线上，
且是顶角为的等腰三角形，所以，
故，则.
【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且.
3．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．
(1)证明：；
(2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)求证：函数存在唯一零点且．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
(3)证明见解析
【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证；
（2）假设存在正实数t满足题意，可得在上单调递增，令，进而得到即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，可得， 进而求解即可；
（3）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定有且只有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证.
【详解】（1）证明：右边
，
左边，
所以.
（2）假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增，
所以，
所以，为关于的方程的两个不等实数根，
令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，
所以，解得且
所以存在正实数满足题意，t的取值范围且.
（3），定义域为，
①当时，函数在上单调递增，
因为，
所以，根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点．
②当时，因为单调递增，单调递减，
，，所以，
所以在上不存在零点；
③当时， 因为单调递增，，因为
所以，所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且．
因为，所以，
所以，
在上单调递减， ，
所以．
4．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”.
(1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”；
(2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据定义证明即可；
（2）分、、三种情况讨论，当时利用反证法证明，当时，可得，，然后得到即可.
【详解】（1）因为，所以具有“性质”；
因为，所以具有“性质”；
（2）①若，此时取即可；
②若，采取反证法，若不存在，使得，则恒成立，
因为
，，
，
再由恒成立，
故，进而，与，，是不全为0矛盾；
故存在，使得．
③若，由②中可知，
因为
所以，命题成立．
综上：原命题得证.
5．（24-25高三上·山东青岛·月考）如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：角都是可解角.
(1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）；
(2)证明：角是可解角；
(3)已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数（）的零点，这些多项式中，x的最高次数n最小，且系数，，，…，的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为（）.例如：的最小多项式函数不是，而是.证明：角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角.
【答案】(1)是可解数，是可解数，不是可解数
(2)证明见解析
(3)证明见解析；是整数度数的锐角中的最小可解角
【分析】（1）根据可解数的定义直接判断即可；
（2）设，整理可得，分析可得，即可判断；
（3）分析可知是的零点，法1、法2：利用反证法，假设有整系数一次或二次因式，结合题意推出矛盾即可；根据三角恒等变换可知可解角的和、差、半角还是可解角，结合特殊角的三角函数分析判断即可.
【详解】（1）根据题意可知：是可解数，是可解数，不是可解数
（2）设，则
又
因为，所以，
解方程，得是可解数，
又显然是可解数，所以72°角是可解角.
（3）先证明角不是可解角.
因为
，
所以，
即是的零点
根据已知结论，若是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2，
即有整系数一次或二次因式，
法1：假设，整数a，b，c的最大公约数为1，整数p，q互质，不妨令，，（，完全同理）
则
若，，当时，，则且，无解；
若，，当时，，则且，无解；
若，，当时，，则且，无解；
若，，当时，，则且，无解；
同理，若，，也均无解
说明不可能是可解数，20°角不是可解角
法2：有整系数一次或二次因式，说明存在有理零点
设它的有理零点为，m，n是互质的整数.
于是，，
所以，得到m整除，
，，，，同理n整除，.
得到，，，，显然这些都不是的零点，
说明不可能是可解数，角不是可解角；
设，是可解角，则，，，都是可解数，
容易看到可解数的加、减、乘以及开二次方根的结果还是可解数，
于是，，
也是可解数，因此可解角的和、差、半角还是可解角，
因为角不是可解角，
若角是可解角，则多次相加后，角也是可解角，矛盾，
同理，角也不是可解角，
利用，是可解角，
因此是整数度数的锐角中的最小可解角.
【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略：首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算或转化，把未知问题转化为已知问题，即可得解.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优07 三角函数与解三角形中的新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 与倍角有关的新定义（★★★★） 2
题型二 双曲正余弦函数（★★★★） 3
题型三 费马点（★★★★★） 4
题型四 布洛卡点（★★★★） 5
题型五 其他新定义问题（★★★★★） 7
题型六 其他新运算问题（★★★★） 9
题型七 其他新性质问题（★★★） 11
03 实战检测 分层突破验成效 12
检测Ⅰ组 重难知识巩固 12
检测Ⅱ组 创新能力提升 17
在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的深入理解以及灵活应用.以下是一些常用的解题方法：
1、理解新定义：
首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念.
将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点.
2、利用三角函数性质：
应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题.
利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题.
3、应用解三角形的方法：
使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来.
通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题.
4、结合图形分析：
在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题.
利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程.
5、注意特殊值和极端情况：
在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等.
这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性.
6、综合应用多种方法：
在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等.
灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境.
可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性.
解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题策略.通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力.
题型一 与倍角有关的新定义
1．如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角．
(1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和；
(2)记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长．
2．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知，试证明此三倍角公式；
(2)若角满足 ，求的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
3．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.
题型二 双曲正余弦函数
1．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数．
(1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明；
(2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域；
(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
2．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
3．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数 ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似性质.
(1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）；
(2)（i） 证明 ；
（ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；
(3)是否存在实数，使得函数 在上的最大值为 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
题型三 费马点
1．（24-25高三上·河南驻马店·月考）平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川泸州·模拟预测）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马（1601-1665）于1643年提出了三角形中的“费马点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点”.在中，是的费马点，则的长度为 .
3．“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若，求的值；
(3)若，，求实数的最小值.
4．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点．
(1)若，且面积为．
（i）求角B；
（ii）求；
(2)若，，，的面积为，，，求的最小值．
5．“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，设点为的费马点，求的最小值.
题型四 布洛卡点
1．若三角形内一点P满足，则称为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.已知分别为三角形三个内角所对的边，点为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.
(1)若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值;
(2)若三角形的面积为.证明：
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，D为BC中点，，求的面积；
(3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长．
3．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
(1)若．求证：
①；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．
(1)若，且满足，求的大小．
(2)若为锐角三角形．证明：．
5．（2024·河北·二模）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，且满足，求的大小．
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）若平分，证明：．
题型五 其他新定义问题
1．出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．图象的对称中心为
C．的单调递减区间为
D．与的图象关于直线对称
2．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
3．（2024·四川成都·模拟预测）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是 ．
4．如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角.
(1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）；
(2)证明：角是可解角；
5．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，试求函数的相伴向量；
(2)记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
(3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
6．（2025·河北·模拟预测）设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”.
(1)若为等腰直角三角形，求的分离比；
(2)证明：；
(3)探究的最值.
7．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”.
(1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
(2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
(3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出.
题型六 其他新运算问题
1．若且，则可以记；若且，则可以记.实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．在区间上单调递增
D．对任意的
3．（2025·河南许昌·三模）（多选题）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为
4．人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中.
(1)若，，求之间的余弦距离；
(2)已知，，，，若，，
①求之间的余弦距离；
②求的值．
5．（24-25高三上·山东枣庄·期中）设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数，，，的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：.
题型七 其他新性质问题
1．已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质．
(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；
①；②．
(2)若函数具有性质，求的最小值；
2．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质和；
(2)若函数具有性质P.
（ⅰ）求出，的值；
（ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围.
3．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：
1.我们知道，正弦函数和余弦函数的定义域均为，故函数的定义域为.
2.我们知道，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，对，，可得：函数为偶函数.
3.我们知道，正弦函数和余弦函数的最小正周期均为，对，，可知为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究在区间上的单调性，在区间上，余弦函数单调递减，正弦函数在上单调递增，在上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当时，设，因正弦函数在上单调递增，故，令，，可得，而在区间上，余弦函数单调递减，故：即：从而，时，函数单调递减.同理可证，时，函数单调递增.可得，函数在上单调递减，在上单调递增.结合.可以确定：的最小正周期为.这样，我们可以求出该函数的值域了：显然：，而，故的值域为，定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（23-24高三上·辽宁朝阳·月考）数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·安徽·月考）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选题）双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
4．（2025·福建福州·模拟预测）（多选题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．在中，内角，的对边分别为是的角平分线，交于点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．为“倍长三角形”
B．若，则面积的最大值为
C．若，则为锐角
D．若，当时，则的最小值为
5．（多选题）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（ ）
A．函数在上单调递增
B．若，则
C．若，，，则的最小值为0
D．若，则的最小值为
6．若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，为的布洛卡角.在等腰中，，若布洛卡点P满足，记布洛卡角为，则 ， .
7．（24-25高三上·云南·月考）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为 ．
8．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
9．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
(2)若角满足，求的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
10．（24-25高三上·山东菏泽·期中）定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为.
(1)求的单调递增区间；
(2)若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值；
(3)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.
11．若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”.
(1)判断函数，是否为“线性对称函数”.
(2)若是“线性对称函数”，证明：.
(3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.
12．定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”.
(1)若，求的“特征向量”的坐标；
(2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围.
13．对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；
(2)若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．
14．意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样 这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．
(1)求证：；
(2)求函数的最小值；
(3)求证：对，．
15．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T.
(1)已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围；
(2)已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求.
(3)已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.
16．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
(1)若，求；
(2)已知，
①若，求的值；
②若，求S.
17．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.
(1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
(2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
18．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若，且，求A和；
(2)若求的值．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·四川自贡·二模）（多选题）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ）
A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时，
2．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折 旋转 平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.
(1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
(2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值；
(3)已知点，求的费马点的坐标.
3．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．
(1)证明：；
(2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)求证：函数存在唯一零点且．
4．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”.
(1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”；
(2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.
5．（24-25高三上·山东青岛·月考）如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：角都是可解角.
(1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）；
(2)证明：角是可解角；
(3)已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数（）的零点，这些多项式中，x的最高次数n最小，且系数，，，…，的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为（）.例如：的最小多项式函数不是，而是.证明：角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角.
