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重难点培优07 导数中的零点问题（含隐零点）
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 判断函数零点的个数（★★★★） 2
题型二 讨论函数零点的个数（★★★★） 11
题型三 证明函数零点的个数（★★★★★） 19
题型四 根据零点个数求参数范围（★★★★★） 24
题型五 利用隐零点解决最值（★★★★★） 32
题型六 利用隐零点判断零点个数（★★★★★） 41
题型七 利用隐零点证明不等式（★★★★★） 48
03 实战检测 分层突破验成效 57
检测Ⅰ组 重难知识巩固 57
检测Ⅱ组 创新能力提升 89
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注：函数单调+存在零点=唯一零点
3、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
4、针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间.
题型一 判断函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】先发现其关于原点对称，再利用奇函数的定义判断为奇函数，利用奇函数的性质得到，再利用二倍角公式将化简为，合理构造函数，利用导数得到当时，，进而解出在的两个零点，再利用奇函数的性质得到在上也有两个零点，最后汇总零点个数求解即可.
【详解】由题意得，其关于原点对称，
因为，所以为奇函数，则，
因为，所以由二倍角公式得，
化简得，
令，则，易得，
当时，得到在上单调递减，
则，故，
则令，可得，得到，
解得，或，故在上有两个零点，
由奇函数的性质可得在上也有两个零点，
综上，共有5个零点，故C正确.
故选：C
2．（24-25高三上·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用导数研究函数的单调性且，再利用指数函数、一次函数的性质确定参数的范围，结合零点存在性定理判断零点个数.
【详解】由题设，则或时，时，，
所以在上递增，在上递减，且，
由，即，而在R上递增，在R上递减，
显然，故，
所以，又趋向时趋向趋向时趋向，
综上，共有3个零点．
故选：D
3．（24-25高三下·河南·月考）函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出函数的导数并求出单调区间，确定极值情况，再结合零点存在性定理求解.
【详解】函数的定义域为R，
求导得，
由，得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值，极小值，而，
因此函数在上有唯一零点0；在与分别有唯一零点，
所以所求零点个数为3.
故选：C
4．（2025·广西河池·二模）关于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数没有零点 B．函数只有1个零点
C．函数至少有1个零点 D．函数有2个零点
【答案】B
【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断零点个数.
【详解】因为，
且，
所以当时，
故函数在定义域上单调递减，所以至多有一个零点，故C D错误
令则
知时
且知时
时且
所以函数只有1个零点.
故选：
5．函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】对分类讨论，结合导数研究函数的性态，进一步准确画出函数图象，观察图象即可得解.
【详解】设，的定义域为，
当时，，此时的图象与的图象没有交点，
当时，，此时的图象与的图象没有交点，
当时，，此时的图象与的图象有一个交点，
当时，，此时的图象与的图象没有交点，
当时，，此时的图象与的图象没有交点，
当时，，此时的图象与的图象有一个交点，
当时，，，
注意到，
所以在上均单调递增，
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而的图象在上“向上凸起”， 的图象在上“向下凸起”，
且注意到，且趋于时，趋于负无穷，
结合以上分析，画出在上的函数图象可知，的图象在上有一个交点，
当时，，，
注意到，
所以在上均单调递减，
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而的图象在上“向上凸起”， 的图象在上“向下凸起”，
且注意到，且趋于时，趋于负无穷，
结合以上分析，画出在上的函数图象可知，的图象在上有一个交点，
当时，，此时的图象与的图象有一个交点，
当时，，，
注意到，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
设，
则，
所以在上均单调递减，
从而的图象在上均“向上凸起”，
且注意到，
结合以上分析，画出在上的函数图象可知，的图象在上有一个交点，
当时，，此时的图象与的图象没有交点；
综上所述，函数与函数的图象交点个数为6.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用准确作出函数图象，从而即可顺利得解.
6．（23-24高三上·山东·月考）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或3 B．0或1 C．1或2 D．2或3﹒
【答案】A
【分析】通过讨论的取值范围，利用数形结合的思想即可解答.
【详解】当时，，所以,
所以当时，，即函数单调递增；
当时，，即函数单调递减；
所以，并且当时，，
当时，图象如下所示：
令，则，
则可得，,
，均无零点，故零点个数为0；
当时，如下图所示：
参照的解析可知，此时也无零点；
当时，如下图所示：
令可解得
结合上图可知：均有1个零点，
所以此时有3个零点，
综上：有0个或3个零点，
故选：A.
7．（多选题）函数的零点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解.
【详解】由，，得，
求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数.
函数的导函数，当时；当时.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
时有最大值，时，
时，，.
过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示.
所以函数的零点个数为1个或2个.
故选：BC.
8．（多选题）（24-25高三下·山东青岛·开学考试）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．有三个零点
B．零点均分布在内
C．零点为，，
D．零点为，，
【答案】ACD
【分析】利用求导思想，来研究三次函数的单调性，通过数形结合可判断选项AB，再通过三倍角正弦函数公式，可检验三个零点是否满足，并判断CD，即可.
【详解】对于函数，求导可得：，
令，解得，可得下表：
极大值 极小值
则，，即可作图，
通过图象可知，有三个零点，故A正确；
又因为结合图象可知，函数的三个零点均分布在内，故B正确；
因为
，
即.
将代入解析式可得，
，故是的一个零点；
再将代入解析式可得，
，故是的一个零点；
再将代入解析式可得，
，故是的一个零点；
故C正确，D错误；
故选：ABC.
题型二 讨论函数零点的个数
1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论方程的根的个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．
（2）求出函数的导函数正负进而得出单调性，分，，，数形结合得出交点个数即是方程个数.
【详解】（1）函数的定义域为，
又
当时，在上，，是减函数；
当时，由得：或（舍），
所以在上，，是减函数，
在上，，是增函数，
当时，在上，是减函数；当时，在上，是减函数，在上，是增函数.
（2）的根即是的根，即得的根，
设，与的交点个数即是方程的根的个数，
，令，，
所以单调递增；单调递减；
所以，，
当或，与的交点个数是1个，方程有一个根；
当，与的交点个数是2个，方程有两个根；
当，与的交点个数是0个，方程没有根；
综上，当或，方程有一个根；
当，方程有两个根；
当，方程没有根；
2．（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论的零点个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分和导函数的正负来求原函数的单调性即可；
（2）零点问题即方程根个数问题，首先讨论特殊情况即当时根的情况；再讨论当时，构造函数，求导后分、、时讨论的单调性和极值情况，然后函数与函数图像交点的情况即可得到结果.
【详解】（1），
分当时，恒成立，在上单调递减．
当时，令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）令，
当时，方程不成立，0不是的零点，
当时，，令，则
当时，，在上单调递减，且．
当时，，在上单调递减，，
，，
当时，，在上单调递增，
即，
当时，直线与函数有两个交点，函数有两个零点，
当时，直线与函数有一个交点，函数有一个零点，
当时，直线与函数没有交点，函数没有零点，
当时，直线与函数有一个交点，函数有一个零点
综上所述，当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点；
当时，函数没有零点.
3．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点到直线的距离，根据导数即可求解；
（2）若，证明函数的零点的个数与的零点个数相同，求出，令，证明在单调递增，在上单调递减，据此即可求解.
【详解】（1）点到直线的距离为，
令，令，
令得，
当时为极大值，
当时，，
当时，，
，所以，
所以对应最小距离为；
（2）若，
定义域为，令可得，
则函数的零点的个数与的零点个数相同，
， 再令，
则，所以在单调递减，
又因为，在单调递增，在上单调递减，
则，，
当，所以当时恒成立，无零点，
当时，有1个零点，
当时，在和分别有1个零点，
即有2个零点，当时，
在有1个零点，在上，
恒成立，即只有1个零点；
综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点.
4．已知函数.
(1)当时，求证；
(2)讨论的单调性；
(3)讨论零点个数.
【答案】(1)证明见详解
(2)答案见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果；
（2）求导可得，分和两种情况，利用导数判断函数单调性；
（3）根据（2）的单调区间，对a进行分类讨论，结合单调性和极值，即可得零点个数.
【详解】（1）若，则，，
令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以.
（2）因为，
若，则，可知在上单调递减；
若，令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在上单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
（3）若，可知在上单调递减，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可知有且仅有1个零点；
若，可知在内单调递增，在内单调递减，
当趋近于，时，趋近于
则，
可知在内单调递增，且，
当时，则，即，可知无零点；
当时，则，可知有且仅有1个零点；
当时，则，可知有且仅有2个零点；
综上所述：当时，无零点；
当或时，有且仅有1个零点；
当时，有且仅有2个零点.
5．已知．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若恰有1个极大值点和1个极小值点．
①求极大值与极小值的和；
②判断零点的个数．
【答案】(1)
(2)①0；②3
【分析】（1）根据导函数求出切线的斜率再点斜式得出切线方程；
（2）先求出导函数，再分和两种情况得出零点结合计算得出极大值与极小值的和为0，再应用零点存在定理可判断零点个数.
【详解】（1）由题可得，函数的定义域为，，
当时，，，
故切点为，切线在该点处的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由（1）得，
因为分母在定义域内恒成立，所以导函数的符号取决于分子的符号，
令，其对应一元二次方程的判别式．
若，此时，则且不恒为0，所以且不恒为0，所以在上单调递增，故没有极值点，
若，此时或，则有两个不等实根，不妨设，
由一元二次方程根与系数的关系可得，则同号．
当时，，两根均为负数，则在上恒成立，所以，所以在上单调递增，则没有极值点；
当时，，两根均为正数，故当或时，，所以，所以的单调递增区间为，，
当时，，所以，所以的单调递减区间为，故有极大值点，极小值点．
故时，恰有1个极大值点和1个极小值点．
①，故极大值与极小值的和为0．
②由①知，，，则，
又由①知，在，上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，当时，；当时，，
故在，上各有一个零点，又，所以有3个零点．
【点睛】关键点点睛：第（2）问①的解题关键：（1）令，讨论和的情况；（2）当时需要讨论两根的正负，注意根与系数关系的应用．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2).
(3)答案见解析
【分析】 （1）对求导，即可判断函数的增减性；（2）先对求导，令，再对求导，即可得到在上单调递增，从而求解；
（3）令，得. 再换元令，则，根据零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，.
（3）令，得，即，
所以.
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，.
因为，所以.
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0.
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
题型三 证明函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
1．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）构造函数，利用导数证明恒成立，再探讨在无零点，结合即可得证明.
【详解】（1）函数，求导得，则，又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）当时，，，则恒成立，
在上无零点；
当时，；
当时，令，则，
令，则，即在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
因此，则当，恒成立，在上无零点，
所以函数只有一个零点.
2．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，
(1)当时，求的对称中心；
(2)证明：有唯一零点
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设对称中心为，利用中心对称则公式即可求对称中心；
（2）由得到，设，求出的单调性，结合零点存在定理即可判断.
【详解】（1）当时，，
设的对称中心为，
则，
所以，
整理得，
所以，解得，
所以的对称中心为
（2）由于，所以等价于，
设，则，
仅当时，因此在单调递增，
即至多有一个零点，从而至多有一个零点
又因为，，
故在内存在零点，
综上所述，可知有唯一零点
3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得.
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
又，且当时，，所以函数在上单调递增，
又函数为偶函数，所以在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明:由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点，
当时，令
则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得,
且当时，，即，则在上单调递增，
，故在上没有零点,
当时，有，即，则在上单调递减，
又，所以在上有且只有一个零点，
综上，函数在上有2个零点．
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将，，，按由小到大排列，并证明；
(2)令 求证: 在内无零点.
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，结合导数研究单调性，即可比较；
（2）将问题转化为，结合(1)可转化为证明，令，利用导数证明即可.
【详解】（1）令，
则，令，
则，
因为，所以，
则在上单调递增，
则，
所以当时，，则，
所以在上单调递增，
则，
即当时，，
又，当时，，
即当时，
综上：
（2）要证在内无零点，
只需证
由（1）知
只需证；
即证：，
即证：，
令，
则。
令，则，
当时，，则在上单调递增；
所以当时，，
则在单调递增，
所以
即在内无零点.
5．（2024·广西钦州·三模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：在上有3个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时求出、，再由直线的点斜式方程可得答案；
（2）得0是的一个零点，再判断出为奇函数，只需要证明在上有1个零点即可，利用导数判断出在上的单调性，结合可得答案.
【详解】（1）当时，，
，
故曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，所以0是的一个零点，时，
，所以为奇函数，图象关于原点对称，
要证在上有3个零点，只需要证明在上有1个零点，
，
令函数，
当时，，
当时，，所以函数在上单调递减.
因为，所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在上有1个零点，
故在上有3个零点.
题型四 零点个数求参数范围
【技巧通法·提分快招】
求函数的零点个数时，常用的方法有： （1）直接根据零点存在定理判断； （2）将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数； （3）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
1．（24-25高三上·山东日照·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出曲线上的切点，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程，再把点代入，分离参数构造函数，利用导数探讨函数的性质即可求解得答案.
【详解】设曲线与其切线相切于点，由，求导得，
则曲线在点处的切线方程为，
由切线过点，得，整理得，
由过点可以作曲线的两条切线，得方程有两个解，
令，则直线与函数的图象有两个交点，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
而当从大于0的方向趋近于0时，的值趋近于0，，
因此当时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
故选：A
2．（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用参变分类可得和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得参数的取值范围.
【详解】由得，
则问题转化为和的图象有两个交点，
而，
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，
在单调递减，则，
当时， 的图象有两个交点；
当时， 的图象有两个交点；
大致图象如右所示：
结合图象可知，的取值范围是，
故选：D
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义将问题转化为直线与函数的图象有3个公共点求解。再借助导数探讨单调性并作出图象，数形结合求出范围.
【详解】由，得，令函数，其定义域为，
，函数为奇函数，
依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点，
求导得，函数在上单调递减，
曲线在点处的切线方程为，令，
求导得，函数在上单调递减，
当时，；当时，，
即当时，；当时，；当时，，
作出的图象，如图：
观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点，
所以m的取值范围是.
故选：B.
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义域上的零点，进而得出结果．
【详解】因为，所以
当时，由，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
又，则需，所以；
当时，令，解得或，且有，，
当，，在区间上单调递减；
当，，在区间上单调递增；
当，，在区间上单调递减；
又,
所以仅有一个负数零点， 所以满足题意；
综上，的取值范围是或．
故选：D.
5．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得到，设，，作出与的大致图象求解.
【详解】令，得，
设，，
则，易知当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当时，，当时，．
当时，，
易得的图象在处的切线方程为，
作出与的大致图象如图1所示，
可知与的图象有且仅有一个交点，即只有一个零点，不符合题意；
当时，作出与的大致图象如图2所示，
可知与的图象没有交点，即没有零点，不符合题意；
当时，作出与的大致图象如图3所示，
可知与的图象有两个交点，即有两个零点，符合题意．
综上，实数的取值范围为，
故选：B．
（另解：令，得．令，，通过研究，的图象的交点情况求解）
6．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意.
【详解】由函数，可得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以至多一个零点，不符合题意，
当时，，可得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，
又函数有两个零点，所以，
即，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
设，则，
所以单调递增，则，
所以，所以在上有且只有一个零点，
在上有且只有一个零点，
所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是.
故选：D.
7．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解
【详解】，
令，显然该函数单调递增，，则有两个根，
当时，等式为，不符合题意；
故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，
设，求导得，
故当时，，故在上单调递减；
时，，单调递增；
且当时，，，
故如图所示
由图可得，的取值范围是
故选：A.
【点睛】思路点睛：含指对数的函数的零点问题，注意利用同构转化为简单函数的零点问题.
8．（2025·四川成都·二模）已知函数且与函数且有两个不同交点，则的取值范围是 .（其中为自然对数的底数）
【答案】
【分析】分析函数与的交点情况，转化为方程根的问题，再利用函数的单调性和反函数图象的对称性进一步转化，最后通过研究新函数的单调性来确定参数的取值范围.
【详解】因为函数且与函数且，
所以，所以当时，定义域为，当时，定义域为.
又因为与有两个不同交点，所以方程有两个根.
令，所以在上是增函数.
由，得有两个根.
因与互为反函数，图象关于对称，所以与有两个交点，
故有两个根，整理得，即与有两个交点，求导得到.
①当时，定义域为，可得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故的取值范围是；
②当时，定义域为，同理可得在上单调递增，
所以与只有一个交点，不满足题意.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据函数有两个零点这一条件，可知极大值必大于0，然后联立零点方程，通过变量替换，将问题转化为关于的方程，然后通过两次构建新函数求得范围.
【详解】函数，有两个零点，求导得：.
当时，，此时在上单调递增，不合题意.
所以.令，则.
为了使得函数有两个零点，则极大值，所以.
因为函数，有两个零点，
所以，即
两式相减得.
因为，令，则，那么
，两式相减得，所以①.
两式相除可得：，即，所以.
两边同时取对数得到：，化简得：②.
①②联立可得：，所以令，则.
因为，因为，
设，则，故在为减函数，
故，故为函数，故.
令，所以，所以在上单调递减，
又，所以，所以.
所以的取值范围为.
令，则，所以在上单调递增，
所以.
所以综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
题型五 利用隐零点解决最值
【技巧通法·提分快招】
1、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计.
1．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题化为与在上有两个交点，利用导数研究的区间单调性及其值域，即可求参数范围.
【详解】由题设在上有两个实根，
即在上有两个实根，
所以与在上有两个交点，
由，令，则，
所以在上单调递减，，，
所以使，即，，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
根据解析式易知趋向0或时，均趋向于，
且，
综上，只需.
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题化为与在上有两个交点是关键.
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，，当时，，利用导数求得时，有最小值， 由，求a的取值范围.
【详解】由题意，令，得，
已知，当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
故当时，有最小值，而，
由此可知当时，，当时，，
若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知，
的最小值，
又，所以，，所以，所以，
即a的取值范围是．
故选：B.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导得，分、、，讨论函数的单调性及最值，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
所以当时，，在上单调递减，
所以，不满足题意；
所以，
令，
则，
令，得，
当，即时，在上恒成立，
所以，即在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
则，满足题意；
当，即时，
当时，，则，即单调递减，
当时，，则，即单调递增，
又因为，
假设存在唯一，使成立，则必有，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，
所以当时，必有，不满足题意；
综上，.
故选：D.
【点睛】难点点睛：本题的难点是在对时，正负的确定，其关键是结合题意得出、.
4．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得.
【详解】令，
设，则对任意的恒成立，
所以在上单调递增，从而.
①若，则当时，恒成立，符合题意.
②若，，易知在上单调递增，
因为，所以，所以，即，
所以.
因为，，所以，，所以.
因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线，
且，所以存在唯一的，使得，
当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：.
5．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解.
解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解.
解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答.
【详解】解法一：.
，
的零点等价于函数的零点.
又函数定义域为，且
是上的奇函数，
只需要考虑在上有一个零点即可.
又函数在上单调递增，函数在上单调递增，
当时，，
函数在上单调递增，
在上单调递减，的值域是.
当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意；
当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意；
当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使.
当时，，此时在上单调递增，，；
当时，，此时在上单调递减；
又，，，
，在上存在唯一零点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
6．（2024·四川自贡·一模）函数的最小值为.
(1)判断与2的大小，并说明理由：
(2)求函数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用导数研究函数的单调性求出最小值，其中满足；再由得；，求出；最后利用对勾函数的单调性即可求解.
（2）先利用导数研究函数的单调性求出最大值，其中满足；再由及（1）中，，得；最后由函数在上单调递增，得，代入，即可求出结果.
【详解】（1）.
理由如下：
由可得：函数定义域为；.
在上单调递增.
，
存在唯一的，使得，即.
当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
故.
；
，即.
因为函数在上单调递减，
，即
故.
（2）由，得：函数定义域为，，.
在上单调递减.
当时，；当时，.
存在唯一的，使得，即.
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
故.
，即.
由（1）知：，
则.
令
函数在上单调递增，在上单调递增.
函数在上单调递增，
.
.
故函数的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于难题.解题关键在于：第
（1）问利用导数研究函数的单调性求出最小值，难点在于对变形得及，进而得出，之后利用对勾函数的单调性即可求解；第（2）问利用导数研究函数的单调性求出最大值，难点在于对变形得及结合（1）中，，得；最后构造函数并判断单调性，得，代入，即可求出结果.
7．（23-24高三上·黑龙江绥化·月考）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.
(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.
【详解】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.
要证，即证，即证.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（2）若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令.
若，则.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合题意；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减.
当时，，所以，
当时，在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，解得.
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，a的取值范围为.
【点睛】不等式的恒成立问题通常都转化为函数最值问题，通过求导，判断单调性，即可求得函数的最值.当参数范围不确定时，需要进行分类讨论，求导求函数的最值.
题型六 利用隐零点判断零点个数
【技巧通法·提分快招】
1、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
1．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数．
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)记，若，试讨论在上的零点个数．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）令，二次求导可得，可得在上单调递增，在上单调递减，结合已知可得，使得，即可得的单调性，进而可得结论.
【详解】（1），所以，又，
所以的图象在处的切线方程为．
（2）由已知得，所以，
令，则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减．
当时，，
所以存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，故函数在上无零点，
又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点．
综上所述，当时，函数在上的零点个数为1．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)3个零点
【分析】（1）先根据导数几何意义求出，结合导数符号证明单调性；
（2）通过多次求导判断出的单调性，结合零点存在定理可判断在上有唯一零点，从而可得在上的零点个数.
【详解】（1）依题意，，
因为曲线在处的切线斜率为0，
所以，即．
所以，
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得，所以
故，设，
则，设，则，
当时，，所以单调递减，
因为，所以当时，从而函数即单调递减，
又，
从而存在唯一，使得，
且当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
而，
故存在唯一，使得．
因为是奇函数，且，
所以函数有3个零点．
3．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b.
（2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为.
【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.
把代入得，
因为，所以，即.
，算出.
（2）由第（1）问知，.
令，求导得.
当，，在递减；
当，，在递增.
，，所以存在唯一使，即.
当，，在递减；
当，，在递增，所以.
，又，，
根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点.
设是零点，，
经计算，
所以也是零点，零点和为.
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围；
(2)若，判断的零点个数.
【答案】(1)
(2)两个零点.
【分析】（1）利用导数的几何意义得到，再构造，利用导数求解其值域，最后得到取值范围即可.
（2）利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解零点个数即可.
【详解】（1）由题意得定义域为，
因为，所以，
若存在，使得的图象在处的切线过原点，
则切线斜率，得到，
整理得，设，则，
所以在区间上单调递增，，
又，时，，故的取值范围是.
（2）当时，，
则，
设，则在区间上单调递减，
且，，得到，
所以由零点存在性定理得存在，使得，即，
则，得到，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
得到，
又时，，时，，故有两个零点.
5．已知函数，.函数，求的零点个数；
【答案】共有三个零点
【分析】根据对数型函数确定函数的定义域，令，确定函数的一个零点；再将代入，可得，∴关于点对称.二次求导判断函数的单调性及特殊点的函数值，即可确定函数零点的个数.
【详解】的定义域为，，1为的一个零点，，则，∴关于点对称.
当时，，
∵，∴在为减函数，
，，∴，，，，
∴在为增函数，在为减函数，∴，
∵∴，∴为的一个零点，
由对称性：也为的一个零点，共有，，三个零点.
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）令函数，利用导数可得该函数的单调性，从而可证不等式；
（2）利用导数可证的单调性，结合零点存在定理可证函数零点个数为1；
（3）利用指对数转化可将原函数的零点个数转化为，的零点个数，后者可利用导数得其在上的单调性后结合零点存在定理判断零点个数.
【详解】（1）证明：令函数，，则，
所以在上单调递增，
则，即在上恒成立.
（2）证明：因为，所以在上单调递增.
由（1）得在上恒成立，故在上恒成立，
所以，
因为，故取，取，
则，
而，所以在上有1个零点，
即在上恰有1个零点.
（3）令，即，等价于.
记，.
在上的零点个数即在上的零点个数.
是的1个零点.
因为，
所以是奇函数，则在和上的零点个数相同.
，因为在上为减函数，
故在上单调递增.
当时，，故在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上没有零点，
所以在上只有1个零点.
当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
而，故，取，则，
，
结合在上的单调性可得在上有1个零点，
即在上有1个零点，所以在上有3个零点.
综上，当时，在上只有1个零点；
当时，在上有3个零点.
题型七 利用隐零点证明不等式
1．设，，证明：；
【答案】证明见解析
【分析】先令，求导得，利用导数研究单调性，进而得到函数的单调性，根据最值即可得证.
【详解】证明：令，
则，
则恒成立，所以在上单调递增，
又，
所以存在使得，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以即.
2．（2025·四川雅安·二模）已知函数.
(1)若，，求的单调区间和极值；
(2)若，证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可；
（2）利用导数求出函数的最小值即可得证.
【详解】（1）若，，则，
则，
令，得，令，得，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）若，则，
则，
当时，函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又当时，，当时，，
所以存在唯一实数，使得，即，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：对，使得.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；
（2）分析可知，构建函数，利用导数结合零点代换分析可得，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以.
令，则，
令，则，
可知单调递减，即单调递减.
且，
可知，使得，即，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
且，所以.
所以对，使得.
4．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导函数结合，求出原函数即可；
（2）根据题设函数的单调性，得出导函数在内恒成立，分离参数，利用新设函数的导函数分析其单调性，即可求得的取值范围；
（3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数的单调性，从而求出函数的最值证得，再利用放缩法可证得不等式.
【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以，则．
（2）由题意，在内恒成立．
，，．
令，则，
在区间上单调递增，
，即.
所以实数a的取值范围是．
（3）设，
又，则，所以在区间上单调递增．
，，即，
，使，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
，此时且，
∴，
又，，则，
综上，．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)求在上的最大值；
(3)若存在，使得，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，再令解得，从而由导数的正负确定函数的单调区间，根据单调区间建立不等式求参数取值范围；
（2）讨论与的关系，从而确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值即可；
（3）可判断出，，，，从而可得，，即可证明．
【详解】（1）函数，
，令，解得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
由在上单调递减，可得，即，解得，
即a的取值范围为.
（2）结合（Ⅰ）可知，需讨论与的关系：
①当，即时，
在上的最大值为；
②当，即时，由的单调性可知，
在上的最大值为；
③当，即时，由的单调性可知，
在上的最大值为；
综上所述，当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为.
（3）由（1）可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
且存在，使得，
所以函数的极大值也是最大值为，
解得，由，所以；
又，，
由零点存在性定理可知，，且，
所以．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数．
(1)当时，求在区间上的零点个数；
(2)当，时，求证：．
【答案】(1)1
(2)证明过程见解析
【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解；
（2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解.
【详解】（1）当时，，求导得，
当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立，
从而在上严格单调递增，
注意到，
从而在区间上的零点个数为1；
（2）当，时，，求导得，
令，则，
由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减，
又在上单调递减，
所以在上单调递减，
注意到，
从而存在唯一的，使得，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
而，
所以当时，，
从而存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，
，
所以当，时，.
7．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用分类讨论思想，来确定导数的正负区间，从而可判断函数的单调区间；
（2）利用给定条件下的单调性，易得，然后只需要证明不等式，再构造函数求导，并结合隐零点来进行证明即可.
【详解】（1）因为，
所以，
当时，令，得，
①若，即时，
则当或时，，在区间上单调递增，
当时，在区间单调递减；
②若，即时，
则当或时，在区间单调递增，
当时，在区间单调递减；
③若，即时，
此时，则在上单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由（1）知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以
，
则要证明，
只需要证明．
构造函数，，
则，
又令，则，
所以在单调递增，
而，
故存在唯一的，使得，即．
当时，在单调递减；
当时，在单调递增．
所以当时，取得极小值，也是最小值，
，
所以，
故原不等式成立，结论得证．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】求出导函数，对分类讨论，判断函数的单调性极值最值，求解的取值范围即可.
【详解】由题意得，，.
①当时，函数，存在两个零点，不符合题意.
②当时，单调递增区间为，，
单调递减区间为.所以在处取得极大值.
，因此函数存在唯一的零点，且，
只需即可，解得.
③当时，，单调递减区间为，，
单调递增区间为，当，，
因此函数在必有零点，不符合题意；
故的取值范围是.
故选：A.
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，求导并画出函数的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得的取值范围.
【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点；
设，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；
令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；
函数与函数的图象如图所示：
切线与在轴上的截距分别为,
当时，与函数的图象有一个交点，
故实数的取值范围为.
故选：A
3．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围.
【详解】当时，由得：，
显然，是的一个零点，
再当时，有，
作出图象可得：当时，，
所以当时，在有两个零点；
再当时，由得：，
整理得，令，求导得，
令，得
当时，，所以在区间上递增，
当时，，所以在区间上递减，
作出图象：
所以由图可得：当时，在有两个零点；
又由于，
所以要使得有五个零点的参数，
故选： D.
4．若，函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，构造函数，由导数求出最小值并得，再利用导数求解有两个正数解的a的范围即可.
【详解】由，得，
令，求导得，显然时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则，即，
于是函数有两个零点，等价于方程有两个正数解，
令，求导得，显然在上单调递减，在上单调递增，
则，当时，，而函数在上的值域为，
因此函数在上无最大值，函数值集合为；
当时，令函数，求导得，
令，求导得，则函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，于是，，
而函数在上的值域为，则函数在上无最大值，函数值集合为，
从而方程有两个正数解，当且仅当，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
5．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案．
【详解】由题意知函数有且只有1个零点，
而，故0即为的唯一零点，
因为，且，
故 ，所以 有唯一解，
令，则，
对于任意 ，都有，
故在R上单调递增，
则时，，时，，
故函数在时单调递减，在时单调递增，
故 ；
若，当时，， ，
则 ，因此当 且 时，，
此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符；
故，则的最小值为，
因为由题意知0为的唯一零点，故 ，
即，则，
即值为1.
故选：A
6．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知函数，，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先考虑时，构造，求导后得到，再考虑时，构造，求导得到在为增函数，利用同构得到，从而得到，参变分离得到，构造，，求导后得到在处取得最大值，求出实数的最小值.
【详解】当时，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
，显然成立，
下面讨论时，
即，
考察函数，
则在上恒成立，
故在为增函数.
.
即，
∵，，∴，故，
∵，∴，∴.
考察，，
，
当时，，当时，，
故在区间是增函数，在区间上是减函数，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
∴，
∴的最小值为.
故选：A
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题中，从而构造，则，从而得到，再利用的单调性进行求解.
7．（23-24高三上·广东广州·月考）（多选题）已知，则函数的零点的个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【分析】根据求出的单调性与极值，确定的图象；令，解得或，结合的图象进行判断即可.
【详解】令，则或.
当或时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
故时，取到极大值；时，取到极小值.
作图象，
令，则，解得或.
结合图象可知，
当时，有2个零点；当或时，有3个零点；
当时，有4个零点；当时，有5个零点.
故选：BCD
8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．有唯一零点
B．
C．，使得有三个不等实根
D．，使得有六个不等实根
【答案】AD
【分析】求出函数零点判断A，取特殊值判断B，利用导数研究函数的单调性及极值，作图象数形结合判断CD.
【详解】令 ，解得，故A正确；
当时，，故B错误；
因为，所以当时，，
当时，，所以函数在和上单调递增，
在和上单调递减，且当，
当且时，，当且时，，
当时，，且，
根据单调性及极值，作大致图象，
由图象可知，不存在，使得有三个不等实根，故C错误；
由可知，，，所以函数为偶函数，
只需研究当时，的根的个数即可，由C选项可知当时，
的图象大致如图，
由图象可知，当时，的根的个数为3个，
所以，使得有六个不等实根，故D正确.
故选：AD
9．（2024·江西新余·模拟预测）（多选题）关于的方程的实根个数可能为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用函数得导函数判断函数的单调性，从而可确定函数图象与轴交点的个数，即方程的实根个数.
【详解】（曲线与方程）法一：构造函数：令，下探究的零点：
，设，
则，，所以单调递增，
，，故使，
即：，
当时，单调递减；
当时，单调递增，，
，所以，
因为，，比较与的大小，
可转化为与，即比较与的大小.
其中，所以总使：当时，，没有实数根；
当时，，有一实数根；
当时，，有两个实数根.
法二：根据题意知，
所以，对两边分别取对数，则可得，
设，则，
令，当，，所以单调递减，
当时，，单调递增，所以当时取得最小值，
，
当时，，没有实数根；
当时，，有一个实数根；
当时，，有两个实数根.
故选：ABC
10．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由函数零点的定义，结合单调性可得，构造函数，求出直线与函数的图象有两个公共点的范围.
【详解】函数，令，
则，显然函数在R上单调递增，而，
由，得，于是，即，令，
依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根，
亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
因此，且，当时，恒成立，
从而当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
11．（23-24高三下·安徽黄山·月考）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先设，则方程转化为，转化为分析函数和和 的交点个数问题.
【详解】，设，则，
，得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
当时，函数取得最大值1，
如图，画出函数的图象，
由，即，则，恒过点，
如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，
则，得，即切点，所以切线方程为，如图，
则与有2个交点，，则，
如图可知，若函数恰有三个零点，则，，
则，所以，
综上可知，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查嵌套零点问题，解题的关键是需通过换元，转化为内外层函数的零点个数问题.
12．（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，把不等式转化为，令，求得，令，得到，结合，得到存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合的值和题设条件，得出，即可求解.
【详解】由函数，若不等式，即，
因为，可化为，令，可得，
令，可得，所以在R上单调递增，
又由，所以存在唯一的使得，
当时，，可得，所以单调递减，
当时，，可得，所以单调递增，且，
又因为，，
所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到在上单调递增，再由，即可证明；
（2）根据题意，构造函数，求导可得，即在上单调递增，再结合，即可证明.
【详解】（1）证明：因为，所以，．
当时，，则在上单调递增，
所以当时，．
（2）．
令，则．
令，则．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，所以，
则在上单调递增．
因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点．
14．（23-24高三下·浙江·开学考试）设函数.
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：至多只有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，，得到，进而可求出，，再根据导数的几何意义，即可求出结果；
（2）将的零点个数转化成与交点个数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可证明结果.
【详解】（1）当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由，得到，整理得到，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
故在区间上单调递减，则与最多有一个交点，
即至多只有一个零点
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
(3)求证：若，有且仅有一个零点.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间.
（3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
①当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减；
②当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在，上单调递减；
③当时，，函数在上单调递减；
④当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为，；
当时，函数的递减区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为，.
（3）①当时，函数在上单调递减，而，，
因此存在唯一使，则有且仅有一个零点；
②当时，函数在处取得极小值，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
，当时，，则，
因此存在唯一使，则有且仅有一个零点；
③当时，函数在处取得极小值，，
同理存在唯一使，则有且仅有一个零点，
所以有且仅有一个零点.
16．（23-24高三下·北京延庆·期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上存在极值，求实数的取值范围；
(3)求的零点个数．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）将问题转化为在有解，则在有解，即可求解；
（3）令，将问题转化为与交点的个数，利用导数研究的大致图象，即可求解.
【详解】（1）当时，，
则，
故，，
在点处的切线方程为，即
（2），
当时，在单调递增，此时无极值点，
当时，
令或，
要使得在上存在极值，
则需要，解得
（3）令，
令，则，
记，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，且，
当时，，
而当时，，
作出的大致图象如下：
故当时，无零点；
当或时，一个零点；
当时，两个零点.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是参变分离得到，令，，从而转化为与交点的个数
17．（2025·江西九江·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出单调区间.
（2）把代入，等价变形不等式，再构造函数并利用导数求出最小值情况即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
①若，即，函数在上单调递减；
②若，即，由，得；由，得或，
函数在上单调递增，在，上单调递减；
③若，即，由，得；由，得或，
函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，函数的定义域为，
不等式，
设，求导得，
函数在上单调递增，当时，，
当时，，
则存在唯一的实数，使，即，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
因此，
而函数在上单调递减，当时，，即，
所以.
18．（2025·辽宁锦州·二模）已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．
【答案】(1)
(2)，，证明见解析
【分析】（1）若在上单调递增，则对恒成立，通过构造函数转化为求最值问题可解；
（2）由已知，利用导数的几何意义求得a与b的值，得到，则，问题转化为证明 .设，利用导数证明当时，即可.
【详解】（1）若在上单调递增，
则对恒成立，
设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
所以只需，即，所以a的取值范围是.
（2）因为，，
所以在处切线方程为，
根据题意，该切线为，所以，解得，，
所以，因为，所以，
下面证明：，
设，则，
因为两个函数均在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
所以使，所以，即，
当时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，即，
所以在上成立.
19．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在，使得，求证：；
(3)当时，判断的零点个数，并作出证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)2，证明见解析
【分析】（1）先求出曲线的方程，然后求导得到切线斜率，进而求出切线方程.
（2）根据已知条件得到关于的等式，然后进行化简，根据不等式的性质即可证明答案.
（3）根据已知条件求出函数的表达式，然后对函数求导，判断函数的单调区间，然后求出函数的最小值是否小于0，从而判断出函数的零点个数.
【详解】（1）当时，，定义域为，
对函数求导得，则曲线在处的切线斜率为.
而，得到曲线在处的切线方程为，即.
（2）当时，，.
因为存在，使得.
所以，
化简得：，，可求得，.
将代入得：，化简得.
进一步化简得：，令，，
令，则，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即得证，
因为，所以令，故.
（3）因为，所以.
对函数求导得：.
令，解得，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减；
所以函数在处取极小值为.
令，，对求导：.
在上恒成立，在上单调递增，.
当时，；当时，.
所以有两个零点.
20．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ．
①若 ，求证： 当 时， ；
②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可；
（2）①，从而得到在下单调递增，则，则得到的单调性，即可证明；
②当时,分析得在上单调递增，再取点计算得，最后利用零点存在性定理即可得到答案.
【详解】（1），
①当，即时，恒成立，在上单调递增．
②当，即或时，令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）(i)，
，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
则在上单调递增，则，得证．
（ii）当时，，同理有在上单调递增，
而，
故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得．
当时，单调递减；
当时单调递增．
，
故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意．
当时，由（i）可知不合题意，故舍去．
综上所述，的取值范围为．
21．（24-25高三下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，判断函数的零点个数．
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可.
（2）利用上问结论分类讨论求出单调性，再求出不同情况下的最值即可.
（3）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可.
【详解】（1）由题意得的定义域为，
则
当时，时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由已知得，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，列表如下：
x
- +
单调递减 单调递增
函数的最小值为．
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为．
（3）当时，，
①当时，由（1）知函数在上单调递减，
在上单调递增，
又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
②当时，，在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点．
③当时，令，解得，即在上只有一个零点，
④当时，令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷，
若，即时，在上无零点．
若，即时，在上只有一个零点，
若，即时，在上有两个零点，
综上：当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为1，
当时，函数的零点个数为2．
22．（24-25高三下·福建漳州·月考）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）求导，得到，分，和三种情况，结合函数单调性得到最大值；
（2）变形为，构造，求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，求出最大值为，故，证明出结论.
【详解】（1），，
故，
若时，，又，所以，
所以在上单调递减，
所以最大值为，
若，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，
若时，时，，
所以在上单调递增，故最大值为，
综上，当时，最大值为；
当时，最大值为；
当时，最大值为；
（2）当时，，定义域为，
，
即证，即，
令，则，
令，，
则，故在上单调递减，
其中，，
由零点存在性定理得，使得，即，
当时，，，当时，，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，
，故，
所以，所以，
故.
23．已知函数的导数分别为．
(1)若存在直线与的图像分别在处相切，求证：．
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意得，即，整理得，从而构造函数即可进一步得证；
（2）思路一：将原问题等价转换为恒成立，由必要性即由得，另一方面反过来证明此时充分性成立即可；思路二：先对分类讨论，再对分类讨论，当时，可以利用同构思想得到，进一步利用导数、最值以及恒成立的关系即可得解.
【详解】（1）因为，
所以．
因为直线与的图像分别在处相切，
所以直线的斜率，即，
所以．
整理，得，
所以．
设，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以．
若，由，得，
代入，得，
则，这与矛盾，所以．
所以，即．
（2）方法一 ：因为，且，
所以，即．
设，
则．
由，得．
设，则在单调递增，且，
所以．
当时，在单调递增．
又且，
所以存在，使得，即，得，得．
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以
．
所以的取值范围是．
方法二 因为，且，
所以，即．
当时，恒成立．
当时，，即．
设，则．
因为在单调递增，
所以，即．
设，则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以．
所以的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：第一问的关键是得到，进一步可同构构造函数证明不等式，由此即可顺利得解.
24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若在区间内存在极值点，求的取值范围；
(3)证明：当时，在区间内有且仅有3个零点．
参考数据：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义就可求出切线方程；
（2）利用含参求导，分段讨论分析，即可得到参数范围；
（3）利用含参求导，同样进行定义域分四段分析讨论，可对原函数的零点个数作出证明.
【详解】（1）由题意得，则，，
故的图象在处的切线方程为．
（2）由题意得在区间内有解，
当时，，所以，
又因为，所以，即在区间内没有零点．
当时，令，则，
可得，所以在区间内单调递减，
因为，，
为了满足在区间内有零点，
则必有，解得，
故的取值范围是．
（3）证明：由（2）知在区间上单调递增，当时，，
因为，所以在区间内有唯一零点．
因为，所以由（2）知在区间内有解，
可知在区间内先增后减，
又因为，，
所以在区间内不存在零点．
当时，令，则，
所以在区间内单调递增，
又因为，，
所以存在唯一，使得，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
因为，所以，
又，所以存在唯一，使得，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
因为，，
所以存在唯一，使得．
当时，，单调递增，
又因为，，
所以根据零点存在定理，在时仅有1个零点．
综上，当时，在区间内有且仅有3个零点．
25．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数.
(1)证明：，；
(2)求函数的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）构造函数，求导后结合余弦函数的值域分析单调性和最值可得；
（2）当、，时构造函数求导分析单调性和最值；当时，构造函数，求导分析单调性找到隐零点；当时结合函数单调性分析.
【详解】（1）欲证，，
即证，，
令，
则
，
因为，，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，成立.
（2）令，
所以，
①当时，，，
所以，
即在时无零点；
②当时，，，
所以，
所以在时单调递增，
所以，
即在时无零点；
③当时，令，
则，
显然在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增，又，，
所以在上有2个不同的零点；
④当时，单调递增，
所以，
即成立，
所以在上无零点，
综上，函数有2个不同的零点.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：时，；
(3)判断函数的零点个数.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)2.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）等价变形所证不等式，构造函数，利用导数结合基本不等式推理得证.
（3）利用函数零点的意义，把问题转化为求函数的零点个数，再借助导数分段讨论求解.
【详解】（1）函数，求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）不等式，
令函数，即，
而，求导得
，则函数在上单调递增，，
所以.
（3）函数的零点个数，即方程根的个数，
而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数，
令，原函数零点个数即为函数的零点个数，
当时，，而，则，
因此函数在时无零点；
当时，，函数在上单调递增，
，因此函数在时只有一个零点0；
当时，令，求导得，
显然函数在上单调递增，而，，
则存在使得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，又，
则存在，使得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，因此函数在上只有一个零点；
当时，，即，
因此函数在时无零点，
所以函数有2个零点，即函数的零点个数为2.
2．（2025·陕西·二模）已知函数.
(1)若，求的极值.
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根.
（i）证明：；
（ii）求的最大值.
【答案】(1)极小值，极大值.
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）求导，结合函数的单调性求得极值；
（2）（i）令，利用导数判断单调性求出最值，得证；（ii）由，结合，可得，得，构造函数令，利用导数判断单调性求出最值.
【详解】（1）若，则，
所以，
令，得，令，得或.
故在上单调递增，在上单调递减，
所以极小值，极大值.
（2）（i）令，
则，
令，显然在上单调递增，又，
所以存在唯一的，满足，即，
且当时，，即，当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，是在上的极小值，也是最小值，
又因为，要使在上仅有一个实根，必需，所以.
（ii）由（i）知，
将代入，得.
所以.
所以，
令，
则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故的最大值为.
3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数．
(1)若，求在的值域；
(2)证明：存在唯一的极值点，且；
(3)若恒成立，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后分析单调性可得；
（2）由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点，求导后分当时和讨论，当时，分别构造，求导分析单调性和极值，利用零点存在定理分析；
（3）由（2）可知的最小值，利用恒成立，得到，采用分析法证明令，构造函数，求导分析单调性和最值可证明.
【详解】（1）当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又，所以在的值域为．
（2）证明：当时，由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点，满足
下面讨论的情形：，
当时，，所以，所以在单调递增，无极值点．
当时，，设恒成立，所以在单调递增，
令得即，则有，即．
又设，易知在单调递增，，
令，设，，
当时，单调递减，所以，即，
而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，使得即，
当时，即，当时，即，
故是函数唯一的极值点且为极小值点．
综上所述，存在唯一的极小值点，且．
（3）证明：由（2）可知在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，
又因为即，所以，
从而有，
若恒成立，则，
令，则，要证，即证即．
设在单调递减，
所以，所以在单调递增，
所以，即．所以成立．
4．（24-25高三下·天津南开·月考）已知函数，.设为的导函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：有且仅有一个极值点；
(3)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)函数的所有零点之和大于，理由见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）要确定函数的极值点情况，则需要判断其导函数的单调性，设，对进行变形处理，即，即判断函数的取值情况，即可得的取值情况，从而确定函数的极值点取值个数；
（3）结合的单调性，确定其零点，从而得函数的极值点分布.根据函数的单调性，结合零点存在定理即可确定函数的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性即可判断的所有零点之和与的大小关系.
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，，所以，
设，，
则，其中恒成立，
设，，
则，
因为，所以，
所以当，即时，，函数单调递减；
当，即时，，函数单调递增；
当，即时，，函数单调递减，
又，，
，，，
所以，使得，即，
所以对于，有，
当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，无极小值点，
所以函数有且仅有一个极值点.
（3）函数的所有零点之和大于，理由如下：
由（2）知，
，使得当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，
又，所以，，
因为，所以，所以，
所以，使得；，使得，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
又，，所以，
又，，
所以，使得，所以，
又，所以，
所以，使得，
又，
所以函数在区间上无零点；
故函数在上有两个零点，且，
由可得：，
所以，，
又，所以，所以，所以，
所以，
又，所以，，
因为函数在上单调递减，所以，即，
所以函数的两个零点之和大于.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优07 导数中的零点问题（含隐零点）
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 判断函数零点的个数（★★★★） 2
题型二 讨论函数零点的个数（★★★★） 3
题型三 证明函数零点的个数（★★★★★） 4
题型四 根据零点个数求参数范围（★★★★★） 5
题型五 利用隐零点解决最值（★★★★★） 6
题型六 利用隐零点判断零点个数（★★★★★） 7
题型七 利用隐零点证明不等式（★★★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 10
检测Ⅰ组 重难知识巩固 10
检测Ⅱ组 创新能力提升 13
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注：函数单调+存在零点=唯一零点
3、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
4、针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间.
题型一 判断函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．（24-25高三上·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高三下·河南·月考）函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·广西河池·二模）关于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数没有零点 B．函数只有1个零点
C．函数至少有1个零点 D．函数有2个零点
5．函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（23-24高三上·山东·月考）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或3 B．0或1 C．1或2 D．2或3﹒
7．（多选题）函数的零点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（多选题）（24-25高三下·山东青岛·开学考试）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．有三个零点
B．零点均分布在内
C．零点为，，
D．零点为，，
题型二 讨论函数零点的个数
1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论方程的根的个数．
2．（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论的零点个数．
3．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
4．已知函数.
(1)当时，求证；
(2)讨论的单调性；
(3)讨论零点个数.
5．已知．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若恰有1个极大值点和1个极小值点．
①求极大值与极小值的和；
②判断零点的个数．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
题型三 证明函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
1．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
2．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，
(1)当时，求的对称中心；
(2)证明：有唯一零点
3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点．
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将，，，按由小到大排列，并证明；
(2)令 求证: 在内无零点.
5．（2024·广西钦州·三模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：在上有3个零点.
题型四 零点个数求参数范围
【技巧通法·提分快招】
求函数的零点个数时，常用的方法有： （1）直接根据零点存在定理判断； （2）将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数； （3）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
1．（24-25高三上·山东日照·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川成都·二模）已知函数且与函数且有两个不同交点，则的取值范围是 .（其中为自然对数的底数）
9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ．
题型五 利用隐零点解决最值
【技巧通法·提分快招】
1、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计.
1．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 .
5．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
6．（2024·四川自贡·一模）函数的最小值为.
(1)判断与2的大小，并说明理由：
(2)求函数的最大值.
7．（23-24高三上·黑龙江绥化·月考）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
题型六 利用隐零点判断零点个数
【技巧通法·提分快招】
1、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
1．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数．
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)记，若，试讨论在上的零点个数．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
3．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围；
(2)若，判断的零点个数.
5．已知函数，.函数，求的零点个数；
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.
题型七 利用隐零点证明不等式
1．设，，证明：；
2．（2025·四川雅安·二模）已知函数.
(1)若，，求的单调区间和极值；
(2)若，证明：当时，.
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：对，使得.
4．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)求在上的最大值；
(3)若存在，使得，证明：．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数．
(1)当时，求在区间上的零点个数；
(2)当，时，求证：．
7．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若，函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知函数，，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·广东广州·月考）（多选题）已知，则函数的零点的个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．有唯一零点
B．
C．，使得有三个不等实根
D．，使得有六个不等实根
9．（2024·江西新余·模拟预测）（多选题）关于的方程的实根个数可能为：（ ）.
A． B． C． D．
10．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
11．（23-24高三下·安徽黄山·月考）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 .
12．（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 .
13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
14．（23-24高三下·浙江·开学考试）设函数.
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：至多只有一个零点.
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
(3)求证：若，有且仅有一个零点.
16．（23-24高三下·北京延庆·期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上存在极值，求实数的取值范围；
(3)求的零点个数．
17．（2025·江西九江·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
18．（2025·辽宁锦州·二模）已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．
19．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在，使得，求证：；
(3)当时，判断的零点个数，并作出证明．
20．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ．
①若 ，求证： 当 时， ；
②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围．
21．（24-25高三下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，判断函数的零点个数．
22．（24-25高三下·福建漳州·月考）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)当时，证明：.
23．已知函数的导数分别为．
(1)若存在直线与的图像分别在处相切，求证：．
(2)若，求的取值范围．
24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若在区间内存在极值点，求的取值范围；
(3)证明：当时，在区间内有且仅有3个零点．
参考数据：．
25．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数.
(1)证明：，；
(2)求函数的零点个数.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：时，；
(3)判断函数的零点个数.
2．（2025·陕西·二模）已知函数.
(1)若，求的极值.
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根.
（i）证明：；
（ii）求的最大值.
3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数．
(1)若，求在的值域；
(2)证明：存在唯一的极值点，且；
(3)若恒成立，证明：．
4．（24-25高三下·天津南开·月考）已知函数，.设为的导函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：有且仅有一个极值点；
(3)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由.
