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重难点培优05 解三角形中的几何图形及证明类问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 几何图形：运用两次正弦定理（★★★★★） 2
题型二 几何图形：运用两次余弦定理（★★★★★） 4
题型三 几何图形：运用正、余弦定理综合（★★★★★） 6
题型四 几何图形结合中线（★★★★★） 8
题型五 几何图形结合角平分线（★★★★★） 11
题型六 几何图形结合垂线（★★★★） 13
题型七 解三角形结合“四心”（★★★） 15
题型八 证明等式（不等式）（★★★） 17
03 实战检测 分层突破验成效 19
检测Ⅰ组 重难知识巩固 19
检测Ⅱ组 创新能力提升 25
1、解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一 几何图形：运用两次正弦定理
1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求线段AC的长度；
(2)求的值.
2．在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，．
(1)求角的值；
(2)求的取值范围．
3．（2025·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)记，若，求的值．
4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形中，平分.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
5．如图，在平面四边形中，，，，
(1)求四边形的周长；
(2)若点在的外接圆的优弧上，求的最大值．
6．如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．
(1)若，求的大小；
(2)若，求的正切值；
(3)若，求的值．
题型二 几何图形：运用两次余弦定理
1．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 .
4．（2024·四川雅安·三模）已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为 .
5．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
6．如图，在平面四边形中，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求四边形面积S的最大值．
7．（24-25高三上·重庆·月考）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．
(1)证明：；
(2)若．
①求的值；
②求的最大值．
8．数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补．
②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度；
(2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小．
题型三 几何图形：运用正、余弦定理综合
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
4．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）如图，在平面凸四边形中，.
(1)求；
(2)若，，求.
6．（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，平面四边形中，，，为正三角形．
(1)当时，求的面积；
(2)设，求的面积的最大值．
7．如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，.
(1)求四边形ABCD周长的最大值;
(2)若，求AC的长.
题型四 几何图形结合中线
【技巧通法·提分快招】
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
1．如图，在中，已知，，边上的中线，则 ．
2．（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边BC上的中线记为.
(1)利用余弦定理证明：；
(2)如图，在平面a上的正投影为，O为BC的中点，已知直线AB，AO，AC和平面a所成的角分别为，，，，求.
4．如图，已知的内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长.
5．已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线.
(1)若的面积为，且，，求的长；
(2)若，求的最小值.
6．已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；
(1)若满足，求证：．
(2)若在中，；
①BC边上的中线，求的面积的最大值．
②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值．
7．（24-25高一下·福建三明·期中）.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：.
(1)求角；
(2)，求边上的中线的最小值；
(3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围.
题型五 几何图形结合角平分线
【技巧通法·提分快招】
△ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法
1．在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
2．如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
3．在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
4．在中，与的角平分线交于点D，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
5．如图，在中，，的角平分线交于，．
(1)求的取值范围；
(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数．
6．如图，在中，是上一点，是上一点，且．
(1)已知，在的垂直平分线上，且．
①求；
②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
(2)若是的角平分线，，求的最大值．
题型六 几何图形结合垂线
【技巧通法·提分快招】
①等面积法： ② ③
1．如图，在中，为BC边上一点，且.
(1)求AB的长；
(2)求的值；
(3)若的面积为，求中AD边上的高.
2．（23-24高三上·江西·月考）如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D.
(1)若，求；
(2)若，求CD.
3．如图，在中，内角所对的边分别为为边上的高，且，求的取值范围．
4．设三个内角所对的边分别为．已知，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值．
5．（2025·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若.
（i）求；
（ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
题型七 解三角形结合“四心”
【技巧通法·提分快招】
一、三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 二、三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 三、三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 四、三角形的垂心 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
1．（2025·安徽·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)设的垂心为，若.
①求的值；
②求的值.
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC上一点，AD平分，．
(1)求；
(2)若，求的外心O到BC的距离．
3．（2025·海南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．
(1)求A的大小；
(2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求．
4．（24-25高三下·重庆北碚·月考）中，角、、分别对应的边为、、，且，.
(1)求证：为钝角三角形；
(2)若，，为的外心，求.
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
6．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.
8．（24-25高三下·山东德州·月考）在中，角所对的边分别为，已知，且满足
(1)求角的大小
(2)的内心为，求周长的取值范围.
9．（24-25高三上·湖南益阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中．
(1)求的最大值；
(2)若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值．
（从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答）
题型八 证明等式（不等式）
【技巧通法·提分快招】
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路 1、利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式. 2、充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B sin A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
1．（2025·北京东城·一模）在中.
(1)求的值及的面积；
(2)求证：.
2．（24-25高三上·山西大同·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)如图，为内一点，且，证明：．
3．（2024·广东汕头·二模）中，内角、、的对边分别为、、.
(1)若，，求的值；
(2)求证：.
4．（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c．
(1)请用正弦定理证明：若，则；
(2)请用余弦定理证明：若，则．
5．（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
6．（24-25高三上·辽宁·期中）在锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)证明：.
（参考数据：）
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，
(1)已知，
（i）求；
（ii）若，为边上的中点，求的长.
(2)若为锐角三角形，求证：
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）
A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
2．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，在平面四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）中,,点在线段上,下列结论正确的是（）
A．若是中线,则 B．若是高,则
C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点
6．（24-25高三上·上海·月考）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.
7．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 .
8．（23-24高三上·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
9．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知的内角所对的边分别为．
(1)求；
(2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积．
10．（23-24高三上·河北邢台·期末）的内角A，，C所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，，，求．
11．（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，点为的重心，且，求的面积．
12．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.
(1)若，求和；
(2)若，证明：.
13．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求；
(3)若为上一点，且的面积为，求．
14．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．
(1)证明：；
(2)若，边上的高为，求．
15．（23-24高三上·河北·期末）在中，角的平分线与边交于点，且满足.
(1)若，求角；
(2)若，求证：.
16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且
(1)求BO的长；
(2)若，求的值．
17．（23-24高三下·广西桂林·月考）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
18．（2024·广东广州·模拟预测）三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积.
(1)求的大小；
(2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值.
19．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
20．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.
(1)的内角的对边分别为若的面积为，，求的大小和；
(2)设，已知，且，求对角线的最大值和此时的值.
21．记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
22．（23-24高三上·广东佛山·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，求角；
(2)证明：
①；
②．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时.
（参考数据：，，，）
2．（24-25高三上·山东临沂·月考）如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．
(1)求的面积；
(2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
4．如图，已知在平面四边形中，，，．
(1)若平分，求的长；
(2)设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知的角所对应的边为，，.
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，求证：.
6．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.
(1)求的大小；
(2)若外接圆半径为1，求的周长最大值.
(3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
7．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等．
(1)若，求OA的长；
(2)若，求．中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优05 解三角形中的几何图形及证明类问题
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 几何图形：运用两次正弦定理（★★★★★） 2
题型二 几何图形：运用两次余弦定理（★★★★★） 10
题型三 几何图形：运用正、余弦定理综合（★★★★★） 18
题型四 几何图形结合中线（★★★★★） 25
题型五 几何图形结合角平分线（★★★★★） 36
题型六 几何图形结合垂线（★★★★） 43
题型七 解三角形结合“四心”（★★★） 50
题型八 证明等式（不等式）（★★★） 61
03 实战检测 分层突破验成效 68
检测Ⅰ组 重难知识巩固 68
检测Ⅱ组 创新能力提升 93
1、解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一 几何图形：运用两次正弦定理
1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求线段AC的长度；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解；
（2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得.
【详解】（1），，
，，
在中，由余弦定理得：
，；
（2）在中，由正弦定理得：，
，，
，，
在中，由正弦定理得：，
，.
2．在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，．
(1)求角的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理边角互化，结合恒等变换得到，则求解；
（2）设，，，则，，在中，由正弦定理得到，在中，利用正弦定理并化简得到，利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）由，得
整理得，
因为，所以，
由为三角形内角得；
（2）设，，，则，，
中，由正弦定理得，
故，
中，由正弦定理得，
故
因为，所以时，
当，即时，*式；当，即时，*式，
故的取值范围为
3．（2025·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)记，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证.
（2）在和中，利用正弦定理结合即可证明.
（3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可.
【详解】（1）设，则．
由余弦定理得，
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由（1）知，又，所以．
（3）若，则，得，与已知矛盾．
若，则，
所以化为，即，
整理得，即，解得．
4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形中，平分.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合已知的边的关系，即可求角的余弦值，再用二倍角公式即可求解；
（2）利用两个三角形的正弦定理，组方程组求角的三角函数值，再用两角和公式求角，求面积.
【详解】（1）
在中，已知，，结合余弦定理得：
，
因为，所以，
又因为平分
所以.
（2）设.
在中，由正弦定理，得，
得，即.
在中，由正弦定理，得.
由得.
因为，所以，则，得.
易知，则，
得.
又因为，
所以的面积为.
5．如图，在平面四边形中，，，，
(1)求四边形的周长；
(2)若点在的外接圆的优弧上，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式求出，再在中用余弦定理求出，接着在中用余弦定理求出，从而得到四边形的周长；
（2）在中通过正弦定理将用角的三角函数表示，然后利用两角和的正弦公式化简的表达式并利用三角函数的性质求出其最大值.
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）
如上图，在中，
,,
,
在中，由正弦定理得：
，
于是，
其中,当时，等号成立．
所以的最大值为．
6．如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．
(1)若，求的大小；
(2)若，求的正切值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)100°
(2)
(3)
【分析】（1）在中，利用三角形的内角和定理，即可求解；
（2）在中，求得，在中，得到，得到方程，进而求得的值；
（3）分别求得和，结合，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
在中，可得.
（2）解：由题意，可得，则，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，
可得，
所以，整理得，所以．
（3）解：在内，由余弦定理及三角形面积公式，可得：
，
，
．
三式相加可得： ①，
在内，由余弦定理以及三角形的面积公式，可得：
，
在和中，同理可得：，
所以，
因为，
可得②，
由①②得．
题型二 几何图形：运用两次余弦定理
1．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解.
【详解】由题意可知，，，，
设，在中，，有；
在中，，有；
在中，，有，
又，
在中，根据余弦定理，，
在中，根据余弦定理，，
又，则，
即，解得，即米.
故选：B
2．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求.
【详解】因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
在中，已知，
由正弦定理得，
所以；
因为，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
因为，，故，
在中，由余弦定理得：，
故，所以，
故选：B.
3．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 .
【答案】
【分析】设，由余弦定理，结合条件得，根据正弦定理求得，在中利用余弦定理求得，再利用辅助角公式结合两角和的正弦公式求得的长取最大值时即的值.
【详解】设，
在中，由余弦定理，得.
因为，所以.
由正弦定理，得，所以.
因为，所以.
在中，由余弦定理，得
，
其中，，所以当时，，
所以.
综上，当的长最大时，的值为.
故答案为：.
4．（2024·四川雅安·三模）已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为 .
【答案】14
【分析】根据余弦定理可得，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可求解最值.
【详解】
四边形中，，，
则，．
在中，利用余弦定理：，
所以：．
在中，利用余弦定理：，
所以：．
所以：．
则
当时，最大值，最大值为14，
故答案为：14．
5．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长；
（2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果
【详解】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
6．如图，在平面四边形中，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求四边形面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出，在中，由余弦定理求解；
（2）在，中，分别由余弦定理结合求解；
（3）根据，结合（2），利用三角函数性质求最大值.
【详解】（1）因为，若，
则，
在中，由余弦定理可得.
（2）由，得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得.
（3）由题，，
，
由（2），
两式平方相加得，
所以，
当时，此时，取得最大值为，
所以四边形面积S的最大值为.
7．（24-25高三上·重庆·月考）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．
(1)证明：；
(2)若．
①求的值；
②求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②.
【分析】（1）在中，∵，∴，得到，然后证明即可；
（2）①， 由（1） 知，由正弦定理求解即可；
②设，在中，由余弦定理求得，然后由求得，在中，由余弦定理求得，然后由辅助角公式得，求解最大值即可.
【详解】（1）证明：在中，∵，
∴，故.
又，∴，
即，
故.
（2）①， 由，可知：是等边三角形，
所以，
故在中，由正弦定理可得：，故.
所以.
②设，
在中，由余弦定理得：，
由是等边三角形，是的中点，
，所以，
在中，由余弦定理得：
在中，由正弦定理得：
，所以，
所以，
所以当时，即时， .
8．数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补．
②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度；
(2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小．
【答案】(1)，
(2)；
【分析】（1）根据“托勒密定理”表示出边长的关系即可求出.
（2）连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A ，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积.
【详解】（1）设，则 ，
由材料可知， ，
即 ，
解得 ，
所以线段长度的最大值为．
由托勒密定理可知为圆的直径，，
所以，
所以.
（2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在 中，由余弦定理得：
，②
因为 四点共圆，所以，从而，③
由①②③，解得 ，
因为，所以 ．
从而，
，
所以 ．
题型三 几何图形：运用正、余弦定理综合
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长.
【详解】因为，，则，
设，则，，
在中，，，故，
由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，故.
故选：C.
2．如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】在中，利用余弦定理求出，再在中，利用正弦定理得.
【详解】设米，则米．
在中，由余弦定理得，
即，解得．
在中，米，，，
由正弦定理得，
即，解得（米）．
故选：B
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.
【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，，
由，，得，，
在中，，由正弦定理得，则，
在中，由余弦定理得.
故选：A
4．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理可求得，从而得到，结合凸四边形定义可求得的范围；利用正弦定理表示出，由角的范围可求得正弦值的取值范围，由此可得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
且，，，，
，，
，；
在中，由正弦定理得：，；
当时，，，
又，
，即的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的边长取值范围的求解问题，解题关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域的求解问题，从而通过确定角的范围来确定所求边长的取值范围.
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）如图，在平面凸四边形中，.
(1)求；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角和的正弦公式计算可得，再由三角形内角的范围可求出结果；
（2）利用正弦定理以及三角形内角的关系，结合余弦定理计算可得结果.
【详解】（1）由得，
故，
所以．
因为，
故，由三角形内角范围
所以；
（2）由，，故为边长为4的等边三角形，
在中，，
由正弦定理得，故，
由于，
所以，故，
在中，由余弦定理得，
即，
得.
6．（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，平面四边形中，，，为正三角形．
(1)当时，求的面积；
(2)设，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出边，即可得三边长，再由勾股定理得出为直角三角形，得出，然后得到为直角，用三角形面积公式即可得到答案.
（2）由余弦定理表示出边，即可得三边长，再由余弦定理和正弦定理得到的正弦值和余弦值，先将的面积表示出来，在由三角函数和差角公式化简，由三角函数的性质得到最大值.
【详解】（1）在中，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴.
（2）在中，
∴，
∴，
∵，
由正弦定理可得：，解得：，
∴，
∴
，
当且仅当即时等号成立，
故求的面积的最大值为：.
7．如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，.
(1)求四边形ABCD周长的最大值;
(2)若，求AC的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法1、连接BD，在中，由余弦定理求得，设，在中，由正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；
方法2、连接BD，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）在中，由余弦定理得，进而求得，利用勾股定理得到，在中，由正弦定理得，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：方法1、连接BD，因为，所以，
在中，由余弦定理得，解得，
设，则，
再在中，由正弦定理得，
所以，
所以，当且仅当时，周长的最大值为.
方法2、连接BD，因为，所以，
在中，由余弦定理得，可得，
在中，由余弦定理得
所以，
因为当且仅当时等号成立，
所以，
所以周长的最大值为.
（2）解：依题意得，设，
在中由余弦定理得，可得，
所以，解得，所以，
可得，所以，
在中，由正弦定理，所以，
则，
在中，由余弦定理得，
所以.
题型四 几何图形结合中线
【技巧通法·提分快招】
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
1．如图，在中，已知，，边上的中线，则 ．
【答案】/
【分析】将补成平行四边形，然后根据余弦定理求出，利用正弦定理求出.
【详解】将已知图形补形为平行四边形，如图，
在中，根据余弦定理则有，解得，
再在中，由正弦定理，.
化简得，即.
又，
解得．
故答案为：.
2．（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦定理及余弦定理结合向量数量积计算判断A,根据三角形面积公式计算判断B，应用数量积公式及向量夹角余弦计算判断C，D.
【详解】由得，
化简，所以
又因为，所以，
∵为边中线，，
两边平方可得，，故A正确，
又，则∽，故，则，B正确，
对于CD:
解法一：
.
，
前面已得，
所以.
故C正确，D错误.
解法二：因为，所以，
，
又
，C正确，
由A选项知：，同理：，， 所以D错误，
故选:ABC．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边BC上的中线记为.
(1)利用余弦定理证明：；
(2)如图，在平面a上的正投影为，O为BC的中点，已知直线AB，AO，AC和平面a所成的角分别为，，，，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理可得，由余弦定理得，代入整理可得结论；，
（2）由已知求得，，与的关系，进而结合（1）可得，求解即可.
【详解】（1）由余弦定理的推论，得，
所以，
所以.
（2）由已知易知：平面α，
，，，
，，，
又O为BC的中点，，
由（1）可得：，即，
解之可得：.
4．如图，已知的内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解；
（2）由，在与中结合余弦定理求解即可得出结果.
【详解】（1）因为，即，
又，所以，
可得，又，
因此；
（2）由（1）可得，又，
由余弦定理可得，所以；
在中，，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得；
又因为，可得，
联立，解得；
又，可得，
所以的周长为.
5．已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线.
(1)若的面积为，且，，求的长；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据三角形的面积公式，判断的形状，再根据几何关系以及余弦定理求；
（2）方法一，首先由是直角三角形，设，则，，在和和中，分别利用余弦定理，求解，最后利用基本不等式，即可求解；
方法二，以向量为基底，表示向量，，利用数量积，表示，再利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题可知：，
即，所以，
从而为等边三角形，则，，
因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以
在中，由余弦定理得：
，
所以.
（2）（方法一：）由，且为中点，则，
不妨设，则，，
在中，由余弦定理：①，
又因为，
易得：②
由①②解得：
，（当且仅当时取“=”）
故的最小值为.
（方法二：）∵
，
同理：，
由，得，
即
，
即，
∴，
当且仅当时，取“=”
故的最小值为.
6．已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；
(1)若满足，求证：．
(2)若在中，；
①BC边上的中线，求的面积的最大值．
②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据三角恒等变换，再结合正弦定理角化边，即可求解；
（2）①由公式两边平方，再结合基本不等式求的最大值，即可求解；
②根据三角形的几何关系，设，则，在和中，利用正弦定理表示和，即可得到，再根据三角恒等变换，以及辅助角公式，即可求解.
【详解】（1）由已知得，
即
则，
．
得，由正弦定理得．
（2）①由，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为．
②，，因为，所以，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，所以，得，
在中，由正弦定理得，所以，
得，
所以
，
其中，所以当时，DE取得最大值，
所以，
所以，所以，
即，所以，
解得或（舍去），所以当时，DE取得最大值．
7．（24-25高一下·福建三明·期中）.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：.
(1)求角；
(2)，求边上的中线的最小值；
(3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角；
（2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值；
（3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解；
【详解】（1）在中，据正弦定理可将题设条件化为：
即，又据余弦定理：
可知，
又，故.
（2）是的中点,
;
当且仅当时取等号，故.
所以边的中线的最小值是.
（3）依题可知，；
，，共线，，，共线，则有，
；
两式对比可得；
故；
点为三角形的重心，
则；
又因的面积为，故；
则可得；
可得，
，
因为是锐角三角形，则为锐角，
故有，
可得，
同理为锐角，故有，可得，
可得，
设，则，
则有，当时，易知该对勾函数单调递增，
则，故.
题型五 几何图形结合角平分线
【技巧通法·提分快招】
△ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法
1．在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解；
（2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，
因为，两式相除得，所以，
又因为，可得，所以.
（2）因为，所以，
又因为平分，可得，
因为，且，，
所以，
即，解得，
在中，由余弦定理得
，所以.
2．如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，再结合二倍角公式即可求解；
（2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积．
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理可得，所以，
再由正弦定理，可得，
又因为为的角平分线，所以，
所以，
所以.
（2）中，，，，
所以，
从而
，
由正弦定理可得，
而
.
3．在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】解：因为，
所以，，
即，由正弦定理可得，
因为的角平分线交于，则，所以，．
又因为，，由可得，
即，则，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因为，
则①②可得，，即，
即，即，解得，
此时满足，故，所以，．
4．在中，与的角平分线交于点D，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可；
（2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可.
【详解】（1）由题意可知，
由，
可知
，
所以，
．
因为，
所以．因为，所以．
（2）因为，所以，
所以，所以．
由余弦定理得，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以△ACD面积的最大值为．
5．如图，在中，，的角平分线交于，．
(1)求的取值范围；
(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据角平分线定理，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理，基本不等式，同角三角函数的基本关系进行求解即可.
【详解】（1）设，，则，，
由角平分线定理，知，
在中，由余弦定理得:，
在中，由余弦定理得:，
所以，
化简得，即，
因为，所以．
（2）因为面积为1，
所以，即，
在中，由余弦定理得，，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，
此时，
由（1）知，．
6．如图，在中，是上一点，是上一点，且．
(1)已知，在的垂直平分线上，且．
①求；
②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
(2)若是的角平分线，，求的最大值．
【答案】(1)①；②
(2)1．
【分析】（1）①由条件得，在中，利用余弦定理求出，继而求得，再在中利用余弦定理即可求得；②结合题意推出四点共线，利用正弦定理分别求出和的外接圆半径，继而求出和即可求得；
（2）结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同).
【详解】（1）①由题意得，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
又，则，．
在中，由余弦定理得．
②如图，易得四点共线．
在中，由正弦定理，可得，得，
则．
在中，由正弦定理，可得，得，
则．
故．
（2）因，
则得，
即(*).
在中，由余弦定理得：
，
因，且，故可得，
当且仅当时，等号成立.
此时，由(*)可得：，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为1．
题型六 几何图形结合垂线
【技巧通法·提分快招】
①等面积法： ② ③
1．如图，在中，为BC边上一点，且.
(1)求AB的长；
(2)求的值；
(3)若的面积为，求中AD边上的高.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用同角三角函数关系得，然后在中利用正弦定理即可求出；
（2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可；
（3）方法一：先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可求高；
方法二：先根据三角形的面积公式求出，再在中，利用正弦定理求得，进而求得，即可求高．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以.
（2）.
（3）方法一：，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得（CD舍去），
所以中AD边上的高为.
方法二：，所以，
在中，，
，
所以中AD边上的高为.
2．（23-24高三上·江西·月考）如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D.
(1)若，求；
(2)若，求CD.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1），由得，在和中，由余弦定理表示，结合，可求；
（2）时，由余弦定理求出，在中由正弦定理得，又，可得和，在中正弦定理求.
【详解】（1）由题意，得，所以，
，，，由得.
在中，由余弦定理，得，
即，
在中，由余弦定理，得，
即，
两式联立消去，得，所以.
（2）因为，，所以，
在中由余弦定理，，得.
在中，由正弦定理，得，所以，
又，所以，
所以，
在中，，所以.
3．如图，在中，内角所对的边分别为为边上的高，且，求的取值范围．
【答案】
【分析】由等面积法以及余弦定理、基本不等式即可求解.
【详解】由等面积法及余弦定理得
则，
其中，
所以，即，
即．
4．设三个内角所对的边分别为．已知，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式与诱导公式化简已知式，推得，结合角的范围，即可求得角；
（2）结合图形，用的三角函数分别表示，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，借助于角的范围和正弦函数的图象性质，即可求得的最大值.
【详解】（1）由，可得
即，即得，故得，
因，故得.
（2）由题设，在中，；
在 中，
，，
所以，
因为，所以，从而有，
故得
于是，当 ，即 时，取得最大值.
5．（2025·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若.
（i）求；
（ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角的大小；
（2）（i）由三角形内角和可求出，结合正弦定理可求出边；（ii）法一：根据直角三角形角的关系可设，则均可用表示，余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出最小值；法二：由，可知四点共圆，从而表示，转化为求最小值，数形结合，当时，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点坐标，利用两点距离公式可求出最小值.
【详解】（1）在中，.
由及正弦定理得，，
整理得.
由于，则.又，故.
（2）（i）如图1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.
（ii）由于，则与互补，故.
方法1：单变量法
设，则，
，则
.
当时，取得最小值为.
方法2：四点共圆
如图1，由，故四点共圆，且为该圆直径.
由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值.当时，最小，此时
，
故取得最小值为.
方法3：建系坐标法
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2，则，，直线，直线.设，则，直线.
联立方程得，.
当时，取得最小值为.
题型七 解三角形结合“四心”
【技巧通法·提分快招】
一、三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 二、三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 三、三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 四、三角形的垂心 1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
1．（2025·安徽·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)设的垂心为，若.
①求的值；
②求的值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】(1)根据正弦定理,由边化角,再根据两角和的正弦公式变换化简,求出结果.
(2)根据垂心的向量性质,写出数量积的表达式,求出比值.再根据余弦定理求出结果.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
即，
因为，则，故，
因为，所以.
（2）①因为点为的垂心，所以，
则，
得.
②因为，所以由余弦定理得，，
将代入上式，得，
所以.
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC上一点，AD平分，．
(1)求；
(2)若，求的外心O到BC的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据，求得，结合计算得出结果；
（2）根据条件和余弦定理得的长，设BC中点为M，OM即为所求，结合，，求得．
【详解】（1）设，则，
即，
将，，代入得，
得，所以；
（2），由余弦定理求得，
，
由（1）可得，
设BC中点为M，则OM即为所求，，，故．
3．（2025·海南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．
(1)求A的大小；
(2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由、正弦定理可得可得答案；
（2）取的中点D，连接AD，求出，由正弦定理可得答案．
【详解】（1）由可得，
由正弦定理可得，
又因为，
所以可得，
且，则，可得，即，
又因为，所以；
（2）取BC的中点D，连接AD，
由题意，，点N是的重心，
可知，，则，
由题意，
则，
在中，由正弦定理可得，
所以，即．
4．（24-25高三下·重庆北碚·月考）中，角、、分别对应的边为、、，且，.
(1)求证：为钝角三角形；
(2)若，，为的外心，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算得出，结合角的取值范围可知为钝角，即可证得结论成立；
（2）利用两角差的余弦公式可得出，由（1）可知、均为锐角，结合余弦函数的基本性质可求出的值，并求出的值，并求出外接圆的半径，再利用平面向量数量积的定义可求得的值.
【详解】（1）因为，，由余弦定理得，
又因为，故角为钝角，即为钝角三角形.
（2）因为
，即，
由（1）可知，为钝角，则、均为锐角，即、，
所以，故或
因为，则，故不成立，即有，从而可得，
设的外接圆半径为，由正弦定理可得，故，
如下图所示：
在优弧上取一点（异于点、），则，
所以，
由平面向量数量积的定义可得.
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长CG交AB于点D，利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得.
（2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范围.
【详解】（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且，
由，得，则，，
又，则是正三角形，，在中，记，
由正弦定理，即，
则，即，
所以，即.
（2）由（1）知，在中，，
在中，，
于是，整理得，
在中，，当且仅当时取等号，
又，所以的取值范围为.
6．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解；
小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可.
【详解】（1）选择条件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
选择条件②：因为，所以，即.
由正弦定理得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.因为，所以.
（2）连接，
因为点是内心，所以.
因为，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；
（2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，，
可得；
（2）延长交于，延长交于，延长交于，，
根据题意可得，，因为，所以，
设，，在中，由正弦定理可得，
即，可得，
同理在中，可得，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以．
8．（24-25高三下·山东德州·月考）在中，角所对的边分别为，已知，且满足
(1)求角的大小
(2)的内心为，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得,再根据即可求解；
（2）设的内心为，，在中，由正弦定理得，再根据三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）由，
根据正弦定理，得，
由，则，
即,
而，故，
又，
所以
（2）由（1）可得，
即，
设的内心为，即，
故.
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以的周长为
因为，
所以，
所以，
所以，
故的周长取值范围为.
9．（24-25高三上·湖南益阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中．
(1)求的最大值；
(2)若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值．
（从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据余弦定理得，化简应用基本不等式得到得到答案.
（2）选择条件① ② ③时分别计算，根据重心得到，根据得到，根据余弦定理得到，结合基本不等式计算面积最值即可.
【详解】（1）由余弦定理得
所以，
又因为，所以，
所以.
当且仅当时取最大值.
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
题型八 证明等式（不等式）
【技巧通法·提分快招】
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路 1、利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式. 2、充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B sin A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
1．（2025·北京东城·一模）在中.
(1)求的值及的面积；
(2)求证：.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积；
（2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证.
【详解】（1）在中,所以是锐角，.
由，可得，而，
所以，
可得，则，
故；
（2）由（1）易知，则，
由（1）及余弦定理有，
所以，又，则.
2．（24-25高三上·山西大同·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)如图，为内一点，且，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，并结合余弦定理即可求得答案；
（2）设,在中应用余弦定理得或，再结合（1）及大角对大边即可得，进而证明.
【详解】（1）解：，
∴由正弦定理得，整理得．
∴由余弦定理得，
又．
（2）设．
在中，由余弦定理可得，
，整理得，
即：，解得：或，
由题易知舍去，下证即可得证明.
在中，，即．
∴结合（1）有，
故，即．证毕.
3．（2024·广东汕头·二模）中，内角、、的对边分别为、、.
(1)若，，求的值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以.
（2）证明：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以.
4．（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c．
(1)请用正弦定理证明：若，则；
(2)请用余弦定理证明：若，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件得出，对角的范围进行分类讨论，再利用正弦函数的单调性即可得出结果；
（2）根据余弦函数在上单调递减，得，利用余弦定理转化为边的关系即可得出结果.
【详解】（1）由正弦定理知，，若，则，即．
（ⅰ）若A，，则由在单调递增，得．
（ⅱ）若，，则，此时，
由在单调递增，得，显然不成立，舍去．
（ⅲ）若，，必有成立.
综上，在中，若，则.
（2）由在上单调递减，若，则，
由余弦定理得，，则，
所以，
即，
即，
而，，所以．
所以在中，若，则.
5．（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）应用余弦定理计算化简证明；
（2）应用（1）结合基本不等式即可证明；
（3）结合（1）应用三角形三边的关系及不等式的性质证明即可.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，
化简得，
整理得；
（2）由（1）得，
当且仅当时取得等号，与题意不符.
故，即.
（3）由（1）知，
又，
则，
解得，
故
解得，
所以.
6．（24-25高三上·辽宁·期中）在锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)证明：.
（参考数据：）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据余弦定理可得，再根据正弦定理结合两角和的三角函数证明；
（2）先根据锐角三角形性质与可得，再根据三角恒等变换化简可得，进而可得范围；
（3）由题意结合三角恒等变换可得，再根据，构造函数，求导分析单调性，进而可得即可证明.
【详解】（1）因为，，成等比数列，故，
化简得，则，
则
即.
又为锐角，故，即.
（2）因为锐角中，故，解得.
，
因为，故，
则，即.
（3）由，可得.
则
设，，，
则，令，解得，，
故在上单调递增，在上单调递减.
又，
.
故，即得证.
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，
(1)已知，
（i）求；
（ii）若，为边上的中点，求的长.
(2)若为锐角三角形，求证：
【答案】(1)（i）或；（ii）
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）由，结合正弦定理化简可得结果；（ii）由，，利用正弦定理求出，，在，由余弦定理求出的长即可得解；
（2）求出，将问题转化为证明，利用，化简可得结论.
【详解】（1）（i）因为，，所以，
由正弦定理可得：，即，
因为在，，，
则，
因为，所以或；
（ii），所以，则，则，
由正弦定理可得：，即，
又，解得，，
因为为中点，则，
在中，由余弦定理可得：，
即，则.
（2）因为为锐角三角形，，则，则，
要证，即证，
由于
，
由，则，所以，
故，则，则，证毕.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）
A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
【答案】B
【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果.
【详解】由题意，在中，，，，所以，
由正弦定理可得，，
则；
又在中，，，
由余弦定理可得，
，所以，
因此救援船到达点需要的时间为小时.
故选：B.
2．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】设，首先表示出，，，再根据向量数量积运算列式求出得解.
【详解】设，可得，，，
因为是的中点，所以米，
由，得，
由，得，
所以，
，解得，
所以该建筑的高度米.
故选：B.
3．如图，在平面四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在△中，由正弦定理，建立的等量关系；再在△中，由正弦定理，再次建立的关系，从而解方程组，消去，即可求得的正切值.
【详解】设，
在△中，，则，又，
故由正弦定理可得：，即；
在中，，故，，故，
又，故由正弦定理可得：，即，；
联立，消去可得：，即，
也即，，整理得：，故.
故选：B.
4．在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理可求，设，在，中利用正弦定理列方程可求，再结合面积公式表示，，由此可求结论.
【详解】在中，由余弦定理，，
因为，
所以，即，
又因为，所以．
设，因为，，
则，，，
在中，由正弦定理，，即，
在中，由正弦定理，，即，
又，所以，
所以，
所以，
即，因为，
所以，
所以，
所以，，
因为，
所以．
故选：B.
5．（多选题）中,,点在线段上,下列结论正确的是（）
A．若是中线,则 B．若是高,则
C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点
【答案】AC
【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题.
【详解】
A选项：由余弦定理知：
因为是中线，则
则
则
B选项：
则
则故B错误.
C选项：
即
则则故C正确.
D选项：在中
在中
即若是线段的三等分点，则
但不是方程的解，则选项D错误.
故选：AC.
6．（24-25高三上·上海·月考）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.
【答案】
【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可.
【详解】在Rt中，，则
因为，所以
因为，所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，
由余弦定理得
所以米．
故答案为：4.25米．
7．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 .
【答案】/0.75
【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出.
【详解】设在三角形与三角形中，
解得：
作的四等分点，且,由题意知，，
又因为，所以,,
又，所以,
在三角形与三角形中，
化简得: ,代入解得：,
从而解得：
故答案为：.
8．（23-24高三上·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
【答案】6
【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得及，利用同角三角函数关系得，结合面积公式即可求解.
【详解】因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，且，所以，
又，所以，设，
则由余弦定理得，
，
所以，化简得，解得，所以，
所以，所以，
.
故答案为：6
9．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知的内角所对的边分别为．
(1)求；
(2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简求出余弦值，结合角的范围即可求出角；
（2）先根据正弦定理求出外接圆半径，再应用余弦定理求边长，最后面积公式计算即可得.
【详解】（1），在中，由正弦定理得，
又，则，即，
，即，
，，
；
（2）由（1）得，设的外接圆的半径为，
在中，由正弦定理得，解得，
则，在中，由余弦定理得，
，，，
在中，由正弦定理得，
，即是等边三角形，
的面积为.
10．（23-24高三上·河北邢台·期末）的内角A，，C所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式将展开，然后化简可解；
（2）利用角平分线定理和余弦定理可得，由勾股定理可知，然后在中，利用勾股定理可解.
【详解】（1）由及正弦定理，
可得．
因为，
所以．
又，所以，则，
又，所以．
（2）∵为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
又∵，在中，由余弦定理，，
,∴，
又∵，∴，
又∵，∴在中，，
∴．
11．（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，点为的重心，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
又因为，所以．
（2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，
又因为，所以．
在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，所以，
所以的面积为．
12．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.
(1)若，求和；
(2)若，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出，进而得出是等边三角形及边长，进而可求解.
（2）在与中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.
【详解】（1）由，，可得.
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
则或60°，又因为，故.
因此，又因为，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以.
（2）证明：令，，，.
因为，则.
在与中，由余弦定理可得
消去，得，整理得，
所以，即.
13．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求；
(3)若为上一点，且的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在和中，分别用余弦定理得到方程，结合，得到，求出答案；
（2）由（1）可知，故，在中，由正弦定理得到方程，求出，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；
（3）由的面积和三角形面积公式得到方程，求出．
【详解】（1）在中，
由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得
，②
又，
所以，③
由①②③得，
所以，
又，所以；
（2）由（1）可知，
又，所以，
在中，由正弦定理得，即，
解得，所以，
所以．
（3）由的面积为，得，
解得．
14．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．
(1)证明：；
(2)若，边上的高为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出所证结论成立；
（2）解法1：利用两角和的正切公式可求出的值，过作，过作，、分别为垂足，设，在中，应用勾股定理求出的值，然后在，利用勾股定理可求出的值；
解法2：利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后利用正弦定理可求出的值.
【详解】（1）因为，所以，
在中，，所以．
由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，即，
所以．
（2）因为，所以，由（1）知．
法1：因为，
所以为锐角三角形．
过作，过作，、分别为垂足，
由，设，
因为，所以，，
所以在中，，，，所以，解得，
所以在中，，即．
法2：因为，又因为，解得，．
因为，所以，所以，．
由，得，解得．
由正弦定理，得，解得．
15．（23-24高三上·河北·期末）在中，角的平分线与边交于点，且满足.
(1)若，求角；
(2)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将题干条件化简即可得到角关系，将条件用正弦定理化简后又可以得到一个关于角关系的方程，两个独立方程两个未知数，据此可解本题.
（2）利用几何关系式化简即可解题.
【详解】（1）……①
由①式可得：……②
对①化简有：……③
由③可以得：……④，
而(舍去)……⑤
由……⑥
④代入⑥有：……⑦
故.
（2）由第一问知可推得……⑧
由⑧式知：……⑨
由几何关系得：
即：……⑩
⑨代入⑩得：.
16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且
(1)求BO的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解.
【详解】（1）设，，所以，，
在中，，
在中，，
因为，解得，所以BO的长为；
（2）由（1）知，设,，，
在中，，
在中，，
所以，
若，则与全等，所以，
所以，所以，
不成立，所以
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以的值为.
17．（23-24高三下·广西桂林·月考）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
【答案】(1)
(2)选①，不合要求，选②③，面积为
【分析】（1）由余弦定理得到，得到，求出；
（2）选①，为的外心，，由正弦定理得到，与矛盾，舍去；
选②，计算出，故，，根据，得到，利用正切和角公式得到，从而求出，所以，为等边三角形，求出的面积；
选③，根据和三角形面积公式得到，结合，求出，求出三角形面积.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
又因为，，
所以，整理得．
在中，由余弦定理得，所以，
即，
又因为，所以．
（2）选①，为的外心，；
设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得
，即，
因为为外心，所以，与矛盾，故不能选①．
选②，为的垂心，；
因为为的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因为，所以，
即，
又因为在中，，
所以，因此，
故，为方程两根，
即，
因为，，所以，
所以为等边三角形，
所以．
选③，为的内心，，
因为为的内心，所以，
由，得，
因为，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，又因为，所以，
所以．
18．（2024·广东广州·模拟预测）三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积.
(1)求的大小；
(2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理可得，即可求解，
（2）根据正弦定理可得，即可根据二倍角公式化简得，利用余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，即，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）在和中，由正弦定理可得，
设，，则，
故两式相除可得，即,
因此，
故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值.
19．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小；
（2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得；
（3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值.
【详解】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）如图，设，，则，且.
因为，所以.
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值为.
20．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.
(1)的内角的对边分别为若的面积为，，求的大小和；
(2)设，已知，且，求对角线的最大值和此时的值.
【答案】(1)，
(2)，最大值为.
【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出的值即可，在和中，利用正弦定理得可得到，再结合即可求解.
（2）在中，得到，再利用余弦定理结合三角函数看可求出的长的最大值及其对应的值.
【详解】（1）在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因为，所以.
，设，则，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
，，
因为，则，所以，
因为，所以，，即
（2）解：，且，，
由余弦定理可得，
在中，，
由正弦定理得，
，
在中，，，
由余弦定理可得，
，
易知，则，
故当时，即当时，取最大值，且最大值为.
21．记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值；
（2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案；
（3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围.
【详解】（1）利用余弦定理化简，得，
在斜中，得，，
故上式可化为，
，可得，利用二倍角公式可得，
，，即，.
（2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，，
，得，
由（1）可知，即，，
由余弦定理得，解得，
的面积为
（3），在中，由正弦定理可得，，即，
在中，由正弦定理可得，，即，
四边形的内角和为，且，，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
，
，在中,，，
，故的取值范围为.
22．（23-24高三上·广东佛山·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，求角；
(2)证明：
①；
②．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出，再结合可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）①由（1）可得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得，求出角的取值范围，即可证得结论成立；
②由结合诱导公式、三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，令，利用导数证得即可.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
即，所以，，所以有
因为，所以，即，
因为，所以.
（2）解：①由（1）知，由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，，则，
且，则，
所以或（舍），所以．
②由①得，所以
，
因为，则，所以，
令，令，
因为，由得，由得，
所以在上递增，在上递减，
因为，所以，所以.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时.
（参考数据：，，，）
【答案】 1000 72
【分析】由方位角知识得到，，，，，在和中由正弦定理得到米，米，在中由余弦定理得到米千米，由速度公式求得速度.
【详解】
在中，，，米，，
由正弦定理得，即得米；
在中，米，，，，
由正弦定理得，即得米，
在中，，米，米，
由余弦定理得，
即，所以米千米，
秒小时，所以速度为千米/小时，
故答案为：1000；72.
2．（24-25高三上·山东临沂·月考）如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，，，利用结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求.
【详解】设，，，由题意可得，且，
因为，即，
可得，由题意可知，，，
所以，，由，解得，
所以，，
令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，则，
由余弦定理可得
，故，
因此，的长的取值范围是.
故答案为：.
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．
(1)求的面积；
(2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案；
（2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R.
【详解】（1）可知，即，解得．
（2）可知内接圆的半径．
连接IB、OB，设，则．
不妨设外接圆半径为R，则．
由角度关系，，
因此代入有
，
整理：．
右式
由于，因此，解得．
4．如图，已知在平面四边形中，，，．
(1)若平分，求的长；
(2)设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长；
（2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解；
②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论.
【详解】（1）因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以.
（2）①在中，余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，所以，
因为，所以，
由四边形面积，
所以；
②在中，可得，
在中，可得，
所以，
所以，
设四边形的面积为，
则
所以，
又因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当且仅当时，，此时取最大值12，
此时有最大值，所以当四边形面积最大时．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知的角所对应的边为，，.
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，求证：.
【答案】(1)
(2)；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，得到，由同角三角函数关系求出；
（2）再由的等式推出，结合三角形内角和得到；
（3）通过三角函数公式化简得到关于的方程，构造函数利用单调性确定范围，进而得到、范围.最后根据角的大小关系比较边的大小，得出.
【详解】（1）由和正弦定理知，
又，则，又，
因，解得；
（2）由得，
，
即，
由，，即，
则或，
当时，，与题目中的矛盾，舍去，
故，又，故，
即；
（3）因，则，
则，即，
故，
即，
因为，故为钝角，令，，
令，
由，
故在上单调递减，
有，，所以，
因，则
由可得，
则，从而，则.
又，则，
所以，即
又，则，
综上：
6．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.
(1)求的大小；
(2)若外接圆半径为1，求的周长最大值.
(3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出；
(2)利用正弦定理将的周长中的边转化为角，再结合辅助角公式化简，利用即可求出的周长最大值；
(3)设，将图形中的角用来表示，结合正弦定理即可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的值.
【详解】（1）在中，由余弦定理知，，
所以，
因为，
所以，即，
又因为，所以；
（2）由正弦定理得，，又，
所以，，，
由(1)可知，所以，
所以的周长，
，
，
，
因为，所以，
所以，所以的周长的取值范围是，
所以的周长的最大值为；
（3）设，则，，，
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由正弦定理，，即，
因为，
两式作商得，，
即，因为，所以，
所以，所以，
所以，，
假设，所以，
解得.
7．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等．
(1)若，求OA的长；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可得，然后在与中用余弦定理代入计算，即可得到，然后在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别在与中结合正弦定理代入计算，即可得到与相等或互补，然后分别讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由题，，
因为和的外接圆半径相等，
由正弦定理得，所以，
设，，则，，
在中，由余弦定理得：，
即，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以，
解得，即，
在中，由余弦定理得：，
即，解得或（舍），
所以．
（2）在中，由正弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，即，
因为，所以，所以，
或，
若，则，此时，
，
易得，，不成立，
所以，故，
解得（舍）或，
因为，所以，
故．
