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重难点培优10 导数中二阶导与洛必达法则的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 二阶导与函数单调性（★★★★★） 4
题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）（★★★★★） 7
题型三 二阶导解决函数零点问题（★★★） 14
题型四 二阶导解决不等式证明（★★★★） 21
题型五 利用二阶导解决其他类型问题（★★★） 28
题型六 洛必达法则（★★★★★） 34
03 实战检测 分层突破验成效 36
检测Ⅰ组 重难知识巩固 36
检测Ⅱ组 创新能力提升 54
一、二阶导函数
1、前言
导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数。
2、二阶导的用法
判断的单调性则需判断的正负，假设的正负无法判断，则把或者中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数，如果通过对进行求导继而求最值，若或则可判断出的正负继而判断的单调性，流程如下图所示：
3、解决这类题的常规解题步骤为
①求函数的定义域；
②求函数的导数，无法判断导函数正负；
③构造求，求；
④找到的变化关系表；
⑤解答问题.
4、函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值.
5、二阶导“失效”，结合隐零点思路
如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下：
若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的，例如确定出在某数之前或某数之后，但是所设的满足=0，通过这个式子可以得到一个关于的等式，然后所设的点肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合这个等式，有的时候能求出一个不包含的最值或者含有一个很简单的数或式子.
二、洛必达法则
1、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
2、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
3、法则形式
1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3）；则：.
2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
（1） 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3），则：.
3.法则3（型）：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
（3），则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立.
（2）洛必达法则可处理型.
（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则.
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题.
4、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：；
（3）、型的转化：幂指函数类.
题型一 二阶导与函数单调性
【技巧通法·提分快招】
方法 二次求导使用情景对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.解题步骤设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
1．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合导数判断函数的单调性，即可求解.
【详解】，令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，又的定义域为，所以在和上单调递减，
又，，，，所以．
故选：B．
2．（23-24高三上·辽宁大连·月考）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】在上单调递增
【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明.
【详解】依题意，.
令，故，令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，即，
故函数在上单调递增.
3．设，函数，讨论在的单调性.
【答案】在单调递减，在单调递增.
【分析】利用多次求导的方法来求得在区间上的单调性.
【详解】因为，所以在有定义，
，
设，
则，
当时，，
所以 在单调递增，
而，所以当时时 ，
因此在单调递减，在单调递增.
4．（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；
（2）利用二次求导结合适当放缩判定的导函数符合即可.
【详解】（1）当时，，
令，
显然时，，则在上单调递减，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以；
（2）由，
令，
设，则，所以在上单调递增，
即，
若，则，即，
所以在上单调递增，则，
所以当时，在上单调递增.
题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）
【技巧通法·提分快招】
若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值.
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
【答案】
【分析】先设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数.
【详解】由题意可得.
设，则，所以是偶函数.
当时，.
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增.
因为是偶函数，所以在上单调递减，
所以，
由.
故答案为：
2．设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数有最小值，无最大值，由此确定单调递增，得，求得答案.
【详解】由已知，的定义域为，
由得：，
令，
当时，递减；
当时，递增，
故在时取得最小值，无最大值，
由于为上的单调函数，所以只能是递增函数，
故，即得.
故答案为：
3．若函数在单调递增，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】要使在单调递增，则，再令，，得，再令，，求出，通过可判断单增，求得，再分和讨论，确定取值范围，进而得解.
【详解】由，
得，
若函数在单调递增，
则在上恒成立，
令，，
则，
再令，，
则，
因为，
所以，
所以在上恒成立，
则在上单调递增，
故；
当时，得，
此时，
则在上单调递增，
则，
此时符合在上恒成立；
当时，得，
，使得，
故时，，即，
时，，即，
故在上单调递减，
则当时，，此时，不合题意；
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：.
4．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】.
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】由，可得，
令，
要存在两个不相等正实数，使得，
即不是正实数集上的单调函数，
则，
当时，，此时在单调递增,不满足；
当时，令，则，
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
要使不是正实数集上的单调函数，
则，即，解得.
故答案为：.
5．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点.
【答案】证明见解析
【分析】通过二次求导确定在上单调递增，再结合，，即可求证.
【详解】由得，，
令，
则在上恒成立，
则在上单调递增，
因，
则，，
则，使得，即，
则得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则存在唯一极小值点.
6．已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减.
(2).
【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性；
（2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
令，则，
令，解得，
，解得.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
∴，
∴函数在上单调递减.
（2）易知在上单调递增
∴任意，都有，
∵任意，，都有恒成立
∴在上恒成立，
当时，不等式可化为，恒成立，
当时，，
令，，
则，
∵当时，，即，
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴当时，函数取得最小值，∴，
综上，实数的取值范围是.
7．已知函数，为的导函数且.
(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；
(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.
【答案】(1)，不是；
(2)2，理由见解析.
【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解；
（2）由（1）得，根据三角函数的性质可知当时函数单调递增，无极值点；当时函数单调递减，结合零点的存在性定理和函数的奇偶性，即可求解.
【详解】（1），则，
由，得，
所以，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
所以不是函数的极值点.
（2）由（1）知，，
当时，，函数单调递增，无极值点；
设，则，
当时，，函数单调递减，
又，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数在上只有一个极值点，且该极值点为m.
又，所以函数为奇函数，
则在上也有一个极值点，且该极值点为.
综上，函数在上有2个极值点.
8．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)证明：当时，对任意的，恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别求切点坐标和切线斜率，利用点斜式可得切线方程；
（2）先把问题转化为，.设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值大于0即可.
【详解】（1）当时，，，
则，，
所以在点处的切线方程为即.
（2）要证当时，对任意的，恒成立，即证．
令，．
则，
令，，
则．
当时，，则函数在上单调递增，
则当时，，即，
所以函数在上单调递增，
所以当时，．
当时，，
所以函数在上单调递减．
而，，
所以存在、使得．
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
而，
，
令，，，
则．
当时，，
当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以当时，．
综上所述，当，对任意的，，
即当时，对任意的，恒成立．
题型三 二阶导解决函数零点问题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案.
【详解】定义域为，显然，
若是零点，则，
，
所以也是零点，函数有三个零点，
不妨设，则，
所以，，
当时，结合定义域和判别式易知恒成立，
即函数在上单调递增，不符合题意；
当时，设的两根分别为，
易知，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
，当，，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
【答案】ACD
【分析】计算的导数可判断A；分析的单调性和最值可判断B；变形得到，令，分析的单调性及和的极限值可判断C；对二次求导分析符号可判断D.
【详解】，，
令，可得，当时，，当时，，
所以是函数的极小值点，极小值，故A正确；
由在上单调递减，上单调递增，且，
可知无零点，故B错误；
令，则，即，
令，，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，上单调递减，
，故，则，单调递减，
当时，，当时，，
所以直线和曲线有且只有一个交点，
即方程恰有1个实根，故C正确；
由，令，，
当时，，所以在上为凹函数，
所以对任意的，都有，故D正确.
故选：ACD.
3．（23-24高三下·山东淄博·月考）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解；
（2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论.
【详解】（1）函数的定义域为R，且，
当时恒成立，所以在R上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在R上单调递减；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），则，令，即，
令，则，
令，则，
所以当时，则单调递减，且，
当时，则单调递增，
又，，故当时，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点.
4．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.
(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；
(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解；
（2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明.
【详解】（1），
因为为上的单调函数，
所以对任意，有；或对任意，有，
即恒成立，或恒成立，
所以的取值范围是.
（2），且，
所以是奇函数，
所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.
，令，
由（1）知，时，在上是减函数.
所以，在上是减函数.
，故存在.
当变化时，的变化情况如下表：
0
2 + 0
0 极大值
故时，.
故存在唯一的.
于是时，在上存在唯一的零点.
于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点.
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设是函数的两个零点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；
（2）由导函数的两个零点得和，得到，转化为证明，换元，证明即可.
【详解】（1）当时，，
则，则切线方程为，
因此曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：函数是的两个零点，
所以，则有，
且，由，得．
要证，只要证明，即证．
记，则，
因此只要证明，即．
记，则，
令，则，
当时，，
所以函数在上递增，则，
即，
则在上单调递增，，
即成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得，进而换元求解函数最值即可证明.
6．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)3个零点.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）首先判断函数的单调性以及导数的单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点的个数.
【详解】（1）当时，，则，
切线方程为，即.
（2），
设，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
.
.令，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，.
由零点存在定理可知，函数在和上各有一个零点，
设为，则，，
，
易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为
记，则，
在上单调递减，当时，；
当时，，
，则，即.
同理可知，函数的极小值为.
.
由零点存在定理可知，函数在区间上各存在一个零点，
有3个零点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断是判断导函数的单调性，以及导函数的极值，以及零点存在性定理中端点的取值，并多次构造函数说明不等式问题.
题型四 二阶导解决不等式证明
1．已知函数.
(1)设为的导函数，求在上的最小值；
(2)令，证明：当时，在上.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）通过判断的正负得到在上的单调性，再利用单调性求出最小值即可；
（2）因为，则，令，求导，通过分析的正负，得到的单调性，从而得出的最值及的正负，即可得到的单调性和最值，从而得证.
【详解】（1）由题意知，
令，则，
因为当时，，即，
所以即在上单调递增，
所以在上的最小值为.
（2）由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，所以，所以，
因此在上单调递增，
所以当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
即当时，在上.
2．（2025·浙江·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值.
（2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，，所以，
又，
所以在处的切线方程为，
将点代入得，解得．
（2）证明：，设，则，
因为，所以当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
时，，即，
，，
所以当时，.
，，
所以存在唯一的，使得，即，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，
所以，
因为，所以，故，
则，得证．
3．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知函数，为的导数．
(1)若曲线上的动点P到直线距离的最小值为，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
(3)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求函数斜率为2的切线方程，根据平行线间的距离公式求的值.
（2）明确的解析式，函数有两个极值点，转化成有两个不同的正数解，利用二次方程根的分布可求的取值范围.
（3）问题转化为证明（），分和两种情况证明.当时，构造函数，利用导数分析函数单调性，求最值即可.
【详解】（1）因为，
所以.
由，
又.
所以切点，且必在直线的上方.
由
设，则，且，
设，，则在上恒成立.
所以在单调递增.
方程只有1解：.
（2）由题意：，.
所以，，
因为有两个极值点，所以在有两个变号零点，
即方程有两个不等正根，即为，，
则.
（3）依题意：要证.
①当时，，，所以不等式成立；
②当时，要证，即.
设，，
则，.
设，.则，.
当时，，，，所以，.
所以在上单调递减.
所以.即，.
所以在上单调递减，
所以，
即当时，成立.
综上：当时，在上恒成立.
【点睛】方法点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的零点问题，考查考生的逻辑思维能力，考查数形结合思想的应用．已知函数有零点求参数的取值范围的常用方法：
①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
②分离参数法，将参数分离，转化为函数的值域问题加以解决；
③数形结合法，首先对解析式变形，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合法求解．
4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解.
（2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可.
【详解】（1）当时，
所以
令在恒成立，所以函数在单调递增，且
，
所以当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增；
所以函数在处取得极小值，无极大值；
（2）当时，
所以．
令在恒成立
所以函数在单调递增，
且当时，；当时，，
所以函数在存在唯一零点，
即，
且当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增,
所以函数在处取得极小值,
也为最小值，
要证不等式成立，
即证成立，
即
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
5．已知函数，．
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求b的值；
(2)若，且，，求证：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1） 先求出切点坐标为，再对求导，利用导数的几何意义得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；
（2）令（），则，，结合题目条件化简得到，再将要证明的两边同时取以为底的对数得到，
转化为（），构造函数，，利用导数证明函数即可.
【详解】（1）由，得，所以切点坐标为，
又，所以切线的斜率，
则切线方程为，即，
又切线方程为，所以．
（2）当时，，，
令（），则，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，由，得．
要证，即证，
即证，
即证（）．
令，，
则，
令（），
则，
因为，，所以，
所以在上单调递减，即在单调递减，
所以，所以在单调递减，
所以，故.
【点睛】关键点睛：解决双变量问题的关键是寻找两变量之间的关系，并通过换元，将双变量不等式问题转化为单变量不等式问题，再构造新函数，利用导数解决函数问题.
本题中令（），结合，用分别表示和， 再将要证明的两边同时取以为底的对数得到，就将双变量转化为单变量的不等式：（），构造函数，，再运用导数解决问题一定要有定义域优先的意识，在构造函数来解决问题时有时需要二次求导，在解决存在或恒成立问题时通常可以考虑先参变量分离，再转化为函数的最值来处理．
题型五 利用二阶导解决其他类型问题
1．已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上有解，求的取值范围；
(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)2025
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）根据不等式有解，转化为求函数的最小值，利用二次函数求最小值即可得解；
（3）利用导数求出函数的对称中心，根据对称中心的性质求值 .
【详解】（1）因为
所以所求切线的斜率，又因为切点为
所以所求的切线方程为.
（2）因为，所以.
因为在上有解，
所以不小于在区间上的最小值.
因为时，，
所以的取值范围是.
（3）因为，所以.
令可得，所以函数的对称中心为，
所以当时，有，
所以.
2．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明；
（2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解.
【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为，
因为，
，
所以，所以关于对称，
即曲线是轴对称图形；
（2）因为，
则，
令，
则，
令，
则，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
又，
则，即，所以，
所以不等式的解集为.
3．（24-25高三上·北京·月考）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为和
(3)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用导数讨论函数的单调性即可；
（3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论.
【详解】（1）当时，，所以．
所以．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）的定义域为，且．
令，得．
与的情况如下：
- - 0 +
所以的单调递增区间为；单调递减区间为和．
（3）当且时，，证明如下：
令，则．
设，则．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
从而，即．
所以的单调递增区间为和．
当时，，即；
当时，，即．
综上，当且时，．
4．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数为自然对数的底数，，曲线与在处的切线的倾斜角互补.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为函数和的“隔离直线”.证明：函数和之间存在唯一的“隔离直线”.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合倾斜角互补即斜率互为相反数即可求解；
（2）对求导分析单调性及最值，利用二次求导分析的单调性及最值，可得的解析式，继而即可求解.
（3）由题意得点为函数的图象的公共点，，可知函数的图象在公共点处有公切线，通过构造函数，分析单调性及最值来证明，，即可得证.
【详解】（1）由题得，
所以，
由题意可知，则.
（2）由，得，
所以时，，则是的单调递减区间；
时，，则是的单调递增区间.
又由，得，时，，
则时，时，；
令，则恒成立，
所以在单调递减，
又，则，使得恒成立，
所以时，，则是的单调递增区间；
时，，则是的单调递减区间.
又，则时，时，；
故，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
故的单调递增区间为.
（3）证明：令，其公共定义域为，
则，则，
所以点为函数的图象的公共点，
由，则，由，则，
所以，
所以函数的图象在公共点处有公切线，即.
下证唯一性，构造函数，
所以，当且仅当时取“”.
构造函数，
则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，即，当且仅当时取“”.
综上可知，和之间存在唯一的“隔离直线”.
【点睛】方法点睛：求两函数的“隔离直线”的方法：
（1）首先通过求解或分析找到两函数的公共点；
（2）“隔离直线”一定过该公共点，通过点斜式表示出“隔离直线”的方程；
（3）构造函数及，求导分析单调性求出和使得等号成立的，把相应点坐标代入直线方程，即可求出，继而即可求出“隔离直线”方程.
题型六 洛必达法则
1．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子 分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可.
【详解】由题意可得
，
故选：A.
2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，，令，依题意，，
求导得，令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，
函数在上单调递增，由洛必达法则知，
因此恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
3．恒成立,求的取值范围
【答案】
【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值.
【详解】，
记，，
则，
记，
则，
而，
所以,在单调递增,所以，
所以,在单调递增,所以，
即在上,所以在上单调递增，
所以，
所以.
4．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
【答案】
【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案.
【详解】根据题目的条件，当且时，
得，等价于．
设，，
因为，设，
则，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，，
即在上单调递减，当在上单调递增．
当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，
所以符合洛必达法则的条件，
即，
所以当时，
所以的取值范围是．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．设实数，那么的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由构造函数，，求导判断其单调性即可比较大小.
【详解】
令，
令，，
在上是减函数，，
在上是减函数，
又，，即
故选：C.
2．（23-24高三上·江苏南通·月考）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得有两个根,再求的导函数,
结合根的情况得极值,再根据范围计算即可.
【详解】由已知存在极大值点和极小值点
可得有两个根,可得
当时, 单调递增,至多一个根,不合题意
因为的定义域为,所以,所以同号
单调递增,
因为有两个根,则存在,
在上是单调递减的, 在上是单调递增的,有两个根
又因
则,,又因
所以,即得
因为单调递增, ,所以
满足,则
令,则,是单调递增的, 所以,所以
所以,选项满足要求.
故选:.
3．（2024·四川南充·模拟预测）若函数在上单调递增,则和的可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】二次求导得到在上单调递增,要想在上单调递增,只需,再通过构造新函数求单调性结合不等式放缩逐项检验.
【详解】,且,且,,
令,则恒成立,故在上单调递增,
要想在上单调递增,只需,即只需.
对A，由，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，则，
所以，与矛盾，则A错误；
对B，令,，则在上恒成立，故在上单调递增,
故，即，则 , 与矛盾，则B错误.
对C，因为，所以 ，符合，故C正确；
对D，令, 当, 单调递减，故，即
因为,
，即,与矛盾，故D错误．
故选：C．
4．（多选题）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
【答案】AC
【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.
【详解】对A,B，因为，.
所以，.
设，，则，因为，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，
且，，
所以，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，因为，
所以，
因为，所以.故A正确，B错误；
对D，又，.
所以，.
设，则，，所以在恒成立.
所以在上单调递增，
所以至多一个解，故D错误；
对C，又因为，，
所以只有一解，在区间内.
所以在上单调递增，且，
所以在上无零点.故C正确.
故选：AC
5．（2024·云南·二模）函数的单调递增区间为 ．
【答案】/
【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解.
【详解】由题得函数定义域为，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，
故的单调递增区间为（或）．
故答案为：
6．（23-24高三下·河南南阳·月考）对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数求函数的最大值，即可求解参数的取值范围.
【详解】由题意可分离参数，即对于恒成立，
令，则只需即可，
则，令，，
所以在上单调递增，且.
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；则，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
7．已知函数的图象过，，若，则 .
【答案】
【分析】利用二阶导数为零求出的对称中心即可求解.
【详解】由题意可得，
令，则，
令解得，此时，所以的图象关于对称，
由可得点关于对称，所以，
故答案为：
8．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调性．
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程,
（2）利用导数确定函数的单调区间.
【详解】（1），
．
，．
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
9．已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知切线斜率等于求导函数在切点处的值列式求解即可；
（2）根据导函数正负与原函数单调性的对应关系，多次求导确定导函数正负即得证.
【详解】（1）的定义域为，
，，
依题意得，所以.
（2）∵， ，
因为当时，，所以在上单调递增，
且，故，即，∴：在上单调递增；
，，
∴，令，
而，
令，
，
∴在上单调递减，且，故，
∴，
∴在上单调递增，且，
故，即，∴函数在上单调递增；
10．已知，函数，．
（1）讨论函数的极值；
（2）若，当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】(1)求出函数的导数，再按的零点情况分类讨论即可得解；
(2)构造函数，探求函数在区间上的最小值即可作答.
【详解】（1）因为，则，
当时，对，，则在是增函数，此时函数不存在极值；
当时，，令，解得，
若，则，若，则，当时，取得极小值，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值；
（2）时，设，，
求导得，设，，
则，当且仅当时取“=”，
于是得在单调递增，，即，从而得在上单调递增，
因此有，即，
所以在上恒成立.
11．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导可知，都是常数，所以该点的切线方程易求得；
（2）此题不宜用分离参变量方法，而是含参求导分析，要抓住这个含参函数的定值，而这个定值恰好是不等式对任意恒成立的一个端点值，所以由此联想到要使得，则必需要使得紧靠0的右侧附近区域递增，这样也就只需要紧靠0的右侧附近区域，然后又抓住这个定值条件，所以继续同上分析的二次导函数，最后通过分类讨论得出问题的答案.
【详解】（1）由得：
所以当时，有，，
由曲线在点处的切线方程为，得：，
即曲线在点处的切线方程为.
（2）令，则，
由于得：，所以把参数按下面分类讨论：
①当时，有，则在区间上是单调递增，
即，从而可知，
所以函数在区间上也是单调递增，
即有最小值，此时不等式对任意恒成立，
所以当时，满足题意；
②当时，由得，，
则当时，，则在区间上是单调递减，
且当时，，则在区间上是单调递增，
即，又当时，可判断，
由上可知在开区间存在唯一零点，假设零点为，
则可知当时，，则在区间上是单调递减，
可知当时，，则在区间上是单调递增，
即，此时不等式对任意不恒成立，
即当时，不满足题意，被舍去；
综上所述：实数的取值范围是.
12．已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．
(1)求的最小值；
(2)证明：当时，．
参考数据：，．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求出，再利用函数的单调性求解；
（2）先证明当时不等式成立，再证明当时，令，求出函数最小值，证明最小值大于零即得证.
【详解】（1）由题得，
又，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，
令得，所以.
所以，
当时，，函数在单调递增；
当时，，函数在单调递减.
所以函数的最小值为.
所以函数的最小值为0.
（2）当时，显然成立.
当时，令，
所以，
所以，所以在单调递增（增函数+增函数=增函数），
又，
所以恒成立，
所以在单调递增，
又，
所以存在使得即.
所以在单调递减，在单调递增.
所以
.
故得证.
13．已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案.
【详解】当时，，即，
①当时，，，
②当时，等价于，
即，
令，，则，
记，，
则，因此在上单调递增，
且，所以， 从而在上单调递增，
所以，
由洛必达法则得，
即，.
综上所述，实数a的取值范围为.
14．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值.
【详解】∵，∴．
∴当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增．
若当时，恒有成立，即恒有成立．
当时，不等式恒成立．
当时，恒有成立，
即，令，
则．
令，则，进一步，
∴ 在上单调递减，∴．
∴在上单调递减，∴．
即在上恒成立，∴在上单调递减．
∴，∴．
综上，的取值范围为．
15．已知函数．当时，求的取值范围．
【答案】
【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可.
【详解】由题意可知，当时，即等价于．
设，则
设，则，因为，所以，
即当时，，所以在上单调递减，
当时，，当时，满足洛必达法则，
所以，
即当时，的取值范围是．
16．已知函数．
(1)求曲线在处的切线；
(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式得切线方程；
（2）令，根据函数导数讨论函数单调性可得，从而得到证明．
【详解】（1）解：因为，所以，
则，，
此时切线方程为，即；
（2）证明：函数存在两个零点，得方程有两解，
即存在两解．
令，则，
令，因为，
所以在上为单调递减函数，
由，，
所以存在，使得，
且，，，，
所以在上递增，在上递减．
所以
，
由，且，
则任意，时，函数与有两交点，
故函数存在两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意得方程有两解，即存在两解，令，通过二次求导及零点存在性定理得到函数的单调性，进行求解．
17．已知函数.
(1)不等式在上恒成立，求实数的最小值.
(2)记函数，记在上的最小值为，证明：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解最值即可，
（2）求导，结合零点存在性定理确定函数的极值点，进而得函数的最值，即可根据求解.
【详解】（1）由题意得，.
当时，.
令，得，所以.
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故.
所以，即的最小值为.
（2）由题意知，，
则，.
令，则，.
因为，，所以，所以在上单调递增.
因为，，，
所以在上有零点，设为，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增.
则，即结论得证.
【点睛】思路点睛：第（1）问实质上是求函数在上的最大值，第（2）问研究了函数在上的单调性以及极小值、最小值.过程中两次求导，判断导函数的正负，从而确定函数的单调性.需要引起重视的有两点：一是三角函数的有界性，如，当时，.二是函数零点存在定理的应用，注意到，且在上单调递增，由函数零点存在定理知，必存在，使，从而为的极小值点，进一步证得结论成立.
18．（2024·吉林长春·模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由题意对求导可得，则对不等式恒成立，即函数在上单调递减，结合即可证明；
（2）由题意可知当时，即恰好有1根，利用二阶导数和零点的存在性定理研究函数的性质，得，再次利用导数研究函数的性质可得，结合即可证明.
【详解】（1）
令，
，
令，得，对不等式恒成立，
即在上恒成立，得函数在上单调递减，
又，所以，即．
（2）
易知是方程一个根，
所以当时，即恰好有1根，
令，，
设，，
令，令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，由零点的存在性定理，
得使得，即，得①，
当时，，即，函数单调递增，
当时，，即，函数单调递减，
所以②，由①②可得，
则，当时，即，函数单调递减，
又，所以，即，
所以，而，
所以，即证.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决不等式证明问题时，常常采用分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
19．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.
【答案】(1)极大值为,极小值为.
(2)(i) ；(ii)证明见解析.
【分析】(1)先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值.
(2) (i)先把 化为，则除1外还有两个零点，通过求导讨论的单调性，当时， 在单调递减，不满足，舍去. 当时，除1外还有两个零点，则不单调，可求出实数满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，从而说明所求的不等式为符合题意的实数的取值范围；(ii) 由题意得，结合(i)可知，再用基本不等式证明结论.
【详解】（1）当时，，定义域为.
，
令，得或；
令，得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
因此，当时，有极大值，并且极大值为,
当时，有极小值，并且极小值为,
（2）(i)，
，，则除1外还有两个零点，
，
令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去.
当时，除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，，所以，
当或时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点,
综上，实数a的取值范围为.
(ii)证明:因为，
所以若，则，所以，，
又，所以，
，当且仅当时不等式取等号.
所以.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.
【详解】，
，
设函数，
则，
设，则，
所以在上单调递减，且，即，
所以在上单调递减，
则，即，所以.
设，则，
所以在上单调递增，且，
即，
得，所以，即，解得.
综上，.
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
2．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先设，首先讨论的情况，再讨论的情况，同时利用二阶求导的方法研究的单调性与最值.
【详解】令，则，
由题意知，，，，
设， ，
①当时，对任意的，
，，则，此时函数在上单调递增，故，符合题意；
②当时，对任意的恒成立，所以在上单调递增，
因为，，
（i）当，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增，则，符合题意；
（ⅱ）当且，即当时，
由零点存在定理可知，存在，使得，
且当时，，则函数在上单调递减，所以，不合题意；
（ⅲ）当，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时，函数在上单调递减，则，不合题意．
综上所述，，故实数t的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值，对需进行合理的分类讨论.
3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)有一个极值点，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求，得，再设，通过对符号的分析，得到的单调性，再判断的解的情况，分析函数的极值点的情况.
（2）先把原不等式化成恒成立，利用换元法，设，则，问题转化为恒成立．再设，利用（1）的结论求的最小值.
【详解】（1）当时，，，
所以，
令，则，
当时，，在上单调递增，
又，，存在唯一零点，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增．
有一个极小值点，无极大值点．
（2）恒成立，
恒成立，恒成立．
令，则，恒成立．
设，由（1）可知的最小值为．
又，．（﹡）
设，当时，，在上单调递增，
，，，
由（﹡）知，，即．
，
，，又，
a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：该题第二问的关键是求函数的最小值，由（1）得的极小值是，而的值不能准确的表示出来，所以根据进行代入计算.
4．（24-25高三上·云南·月考）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）构造差函数求导证明不等式成立；
（2）利用函数二阶导结合端点效应说明极值点是否成立即可求解.
【详解】（1）证明：令，
则，令
则恒成立，
则在上单调递减，
则，
所以在上单调递减，
则，
即；
同理，令，
则，
则在上单调递减，
则，
即，
故当时，.
（2）解：由题，令，
则，
又，则
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，
则，
则在上单调递增，由为偶函数，可得在上单调递减，
所以是的极小值点，符合题意.
②若，即或时，
易知存在，使得时，，
在上单调递减，又，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
满足是的极大值点，不符合题意.
③若，即时，由为偶函数，不妨只考虑的情形，
此时，，
在上单调递增，则在上单调递减，
所以是的极小值点符合题意.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】利用简单的和差构造新函数，通过对新函数求导证明其在给定区间上大于或者小于恒成立来说明不等式成立；利用导数求解函数的单调区间，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究.
5．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数．
(1)求出的所有零点，并求出函数在零点处的切线方程；
(2)设，，证明：，；
(3)若函数有两个解，，且，证明：．
【答案】(1)两个零点：0，1；在和处的切线方程分别为，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1），求导判断出为增函数，计算，，利用零点存在定理判断存在唯一零点，，使得，再把定义域分成两个区间，结合函数的单调性及零点存在定理进行求解；
（2），求出，判断出在上单调递增，且；利用函数的单调性得出则，同样的方法证明；
（3）结合（2）得出，，变形为，，结合条件，，得出，，再利用同向可加性证明．
【详解】（1）因为，
令
，
故为增函数，，，故，使得，
在上，，为减函数，而，故在上，有唯一零点0；
在上，，为增函数，而，故在上，有唯一零点1．
故仅有两个零点：0，1，
，，
在和处的切线方程分别为，；
（2）由于，则，
，
于是在上单调递增，且，则在上单调递减，
在上单调递增，则，恒成立；
由于，
则，
，
，
于是在上单调递增，且，则在上单调递减，
在上单调递增，则恒成立；
（3）由（2）可知，，，因此，，
由于，，因此，，
则，不等式得证．
6．设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据，求解；
（2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，解得，
所以；
（2）由（1）可知，时，，此时，；
故时，成立时，成立，
对恒成立，
即对恒成立；
记，则，
记，则，
记 ，则 ，
∴当0时，，在上单调递增；
，
所以在上单调递增；；
∴时，0，即在上单调递增；
记，，
当时，，符合洛必达法则条件，
∴，
∴时，，
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重难点培优10 导数中二阶导与洛必达法则的应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 二阶导与函数单调性（★★★★★） 4
题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）（★★★★★） 5
题型三 二阶导解决函数零点问题（★★★） 6
题型四 二阶导解决不等式证明（★★★★） 7
题型五 利用二阶导解决其他类型问题（★★★） 8
题型六 洛必达法则（★★★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 9
检测Ⅰ组 重难知识巩固 9
检测Ⅱ组 创新能力提升 11
一、二阶导函数
1、前言
导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数。
2、二阶导的用法
判断的单调性则需判断的正负，假设的正负无法判断，则把或者中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数，如果通过对进行求导继而求最值，若或则可判断出的正负继而判断的单调性，流程如下图所示：
3、解决这类题的常规解题步骤为
①求函数的定义域；
②求函数的导数，无法判断导函数正负；
③构造求，求；
④找到的变化关系表；
⑤解答问题.
4、函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值.
5、二阶导“失效”，结合隐零点思路
如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下：
若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的，例如确定出在某数之前或某数之后，但是所设的满足=0，通过这个式子可以得到一个关于的等式，然后所设的点肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合这个等式，有的时候能求出一个不包含的最值或者含有一个很简单的数或式子.
二、洛必达法则
1、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
2、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
3、法则形式
1.法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3）；则：.
2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
（1） 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3），则：.
3.法则3（型）：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
（3），则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立.
（2）洛必达法则可处理型.
（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则.
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题.
4、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：；
（3）、型的转化：幂指函数类.
题型一 二阶导与函数单调性
【技巧通法·提分快招】
方法 二次求导使用情景对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.解题步骤设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
1．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·辽宁大连·月考）已知函数，讨论函数的单调性.
3．设，函数，讨论在的单调性.
4．（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）
【技巧通法·提分快招】
若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值.
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
2．设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
3．若函数在单调递增，则实数m的取值范围为 .
4．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
5．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点.
6．已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数，为的导函数且.
(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；
(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.
8．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)证明：当时，对任意的，恒成立．
题型三 二阶导解决函数零点问题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数，则（ ）
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
3．（23-24高三下·山东淄博·月考）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
4．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.
(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；
(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设是函数的两个零点，求证：．
6．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的零点个数.
题型四 二阶导解决不等式证明
1．已知函数.
(1)设为的导函数，求在上的最小值；
(2)令，证明：当时，在上.
2．（2025·浙江·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
(2)当时，证明：．
3．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知函数，为的导数．
(1)若曲线上的动点P到直线距离的最小值为，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
(3)在（1）的条件下，求证：．
4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．
5．已知函数，．
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求b的值；
(2)若，且，，求证：．
题型五 利用二阶导解决其他类型问题
1．已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若在上有解，求的取值范围；
(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
2．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
3．（24-25高三上·北京·月考）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由．
- - 0 +
4．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数为自然对数的底数，，曲线与在处的切线的倾斜角互补.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为函数和的“隔离直线”.证明：函数和之间存在唯一的“隔离直线”.
题型六 洛必达法则
1．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子 分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
3．恒成立,求的取值范围
4．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．设实数，那么的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·江苏南通·月考）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·模拟预测）若函数在上单调递增,则和的可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选题）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
5．（2024·云南·二模）函数的单调递增区间为 ．
6．（23-24高三下·河南南阳·月考）对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 .
7．已知函数的图象过，，若，则 .
8．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调性．
9．已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
10．已知，函数，．
（1）讨论函数的极值；
（2）若，当时，求证：．
11．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
12．已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．
(1)求的最小值；
(2)证明：当时，．
参考数据：，．
13．已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
14．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
15．已知函数．当时，求的取值范围．
16．已知函数．
(1)求曲线在处的切线；
(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．
17．已知函数.
(1)不等式在上恒成立，求实数的最小值.
(2)记函数，记在上的最小值为，证明：.
18．（2024·吉林长春·模拟预测）函数．
(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 ．
3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
4．（24-25高三上·云南·月考）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围.
5．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数．
(1)求出的所有零点，并求出函数在零点处的切线方程；
(2)设，，证明：，；
(3)若函数有两个解，，且，证明：．
6．设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
