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重难点培优12 导数中的不等式证明问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 常规构造差函数型（★★★★★） 4
题型二 同构构造函数型（★★★★★） 5
题型三 换元后构造函数型（★★★★★） 6
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）（★★★★） 7
题型五 利用隐零点（★★★★★） 8
题型六 利用凹凸反转（★★★★） 9
题型七 含多变量型（★★★★） 9
题型八 导数结合三角函数（★★★★） 10
题型九 导数结合数列（★★★★★） 11
03 实战检测 分层突破验成效 13
检测Ⅰ组 重难知识巩固 13
检测Ⅱ组 创新能力提升 15
一、导数证明不等式，核心思维如下：
1、构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立.
2、构造函数常见思路
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
（5）同构构造函数
①积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
②商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
③和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
3、利用函数不等式来放缩.涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维
（1）先放缩再求和证明；
（2）先求和再放缩证明.
4、切线放缩放缩的结构
（1）指数函数的切线不等式
①；②．
（2）对数函数的切线不等式
①；②；③．
（3）三角函数的切线不等式
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．
5、基于泰勒展开的结构
（1）常见函数的泰勒展开式
①，其中；
②，其中；
③，其中；
④，其中；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
（2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式
①，，，
②，，，
③，，．
二、证明不等式的一般思维和基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
三、不等式证明的“借式子”思维：
首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配.其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系.
题型一 常规构造差函数型
【技巧通法·提分快招】
证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
1．证明不等式：
(1)，；
(2)．
2．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：．
3．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.
题型二 同构构造函数型
【技巧通法·提分快招】
1、对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 2、对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 3、对数化:令，得 指数化:令，得
1．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：当时，恒成立.
2．已知函数，，，．
(1)求的单调区间；
(2)若的最大值为1，证明：对任意的，；
(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
3．（24-25高三下·河南·月考）已知函数的图象在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
4．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若，函数，证明：当，.
5．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两根，求a的取值范围；
(3)证明：当时，．
题型三 换元后构造函数型
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的倾斜角；
(2)若是函数的极值点，
（i）求实数的值；
（ii）设函数．证明：．
2．（24-25高三下·广东江门·月考）已知函数，，设.
(1)若，求的最大值；
(2)求在上的最小值；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
3．已知函数．
(1)若，判断的单调性；
(2)已知有两个零点，，（）
①证明：；
②证明：
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）
【技巧通法·提分快招】
1、常见不等式（大题使用需要证明） ①，，， ②，；； ③；； ④； ⑤； ⑥；；，
1．（24-25高三下·湖南·月考）已知函数．
(1)判断在区间的单调性；
(2)求的最小值；
(3)证明：当时，．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
3．函数，，其中为常数，当时，证明：．
4．证明不等式：．
5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
题型五 利用隐零点
1．（24-25高三上·云南丽江·月考）设函数其中
(1)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(2)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
2．已知函数，.
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证.
3．（24-25高三下·天津河北·月考）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围.
(3)证明不等式：
题型六 利用凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
1、凸凹反转：欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 2、利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 ①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 ②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 ③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
1．已知，，，求证：．
2．已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
题型七 含多变量型
1．（23-24高三下·河南·月考）已知函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．
2．（2025·河北石家庄·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
3．已知函数有三个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数，
(1)若与的图象恰好相切，求实数的值；
(2)时，证明：当时，
(3)若有三个零点，，，且．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
题型八 导数结合三角函数
【技巧通法·提分快招】
对于含有三角函数型不等式证明： 1、证明思路和普通不等式一样。 2、充分利用正余弦的有界性 3、三角函数与函数的重要放缩公式：.
1．（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，．
(1)若在其定义域上单调，求的取值范围；
(2)若．
（ⅰ）证明：；
（ii）若，求的取值范围．
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，．
(1)判断的单调性；
(2)若函数图象在处切线斜率为，求；
(3)求证：．
4．（2025·湖南长沙·三模）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个 “ 函数”.
(1)已知函数在区间上是一个 “ 函数”，求；
(2)证明: 函数在区间上是一个 “ 函数”;
(3)证明: .
题型九 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
1、证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 2、累加列项相消证明法 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.
1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，；
(3)设，证明：．
2．（24-25高三下·广东佛山·月考）已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)设，讨论的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数，都有．
3．已知函数，.
(1)设函数；
（i）讨论函数的单调性；
（ii）若函数无极值，求实数的取值范围；
(2)记数列的前项和为，证明：.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．求证：
(1)（）；
(2)；
(3)（）．
2．（2025·四川·三模）已知函数．
(1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由；
(2)当，时，求证：．（参考数据：）
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：对任意的，恒成立；
4．（24-25高三下·湖北·月考）已知.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
6．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，证明：．
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，．
8．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证．
9．已知函数，m，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，证明：，．
10．已知函数．
(1)当时，求曲线切线斜率的最小值；
(2)若有两个不同的极值点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：．
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若对于恒成立，求a的取值范围．
12．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)解方程，其中e为自然对数的底（…）；
(3)若a，b为均大于1的不等实数，满足，求证：．
13．（2025·河南·三模）已知函数，设的图象在处的切线为l：．
(1)若，证明：当时，；
(2)若有三个零点，，（）．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
14．已知函数，数列满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 是 的一个极值点.
(1)求实数 的值.
(2)判断函数 在 上的零点个数，并加以证明.
(3)证明: . 其中
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，且与有相同的最小值．
（i）求a的值；
（ii）已知，，且，求证：．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
3．（2025·上海松江·二模）已知.
(1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：.
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
5．英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
(1)若，利用泰勒展开式证明：；
(2)当时，证明：；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
6．已知函数．
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若存在三个极值点，，，且，求证．中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优12 导数中的不等式证明问题
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 常规构造差函数型（★★★★★） 4
题型二 同构构造函数型（★★★★★） 8
题型三 换元后构造函数型（★★★★★） 15
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）（★★★★） 19
题型五 利用隐零点（★★★★★） 24
题型六 利用凹凸反转（★★★★） 28
题型七 含多变量型（★★★★） 30
题型八 导数结合三角函数（★★★★） 38
题型九 导数结合数列（★★★★★） 45
03 实战检测 分层突破验成效 51
检测Ⅰ组 重难知识巩固 51
检测Ⅱ组 创新能力提升 69
一、导数证明不等式，核心思维如下：
1、构造对应的函数不等式，用导数证明不等式成立.
2、构造函数常见思路
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
（5）同构构造函数
①积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
②商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
③和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
3、利用函数不等式来放缩.涉及到求和或者求积型不等式，放缩有以下两个思维
（1）先放缩再求和证明；
（2）先求和再放缩证明.
4、切线放缩放缩的结构
（1）指数函数的切线不等式
①；②．
（2）对数函数的切线不等式
①；②；③．
（3）三角函数的切线不等式
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．
5、基于泰勒展开的结构
（1）常见函数的泰勒展开式
①，其中；
②，其中；
③，其中；
④，其中；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
（2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式
①，，，
②，，，
③，，．
二、证明不等式的一般思维和基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
三、不等式证明的“借式子”思维：
首先作为第二问不等式证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出符合证明的不等式，或者符合证明方向的不等式放缩条件式子，这需要结合（1）中的结论，巧妙赋值，适当凑配.其次，还需要联想要证的不等式的大小关系，构造函数合适的函数关系式，得出放缩关系.
题型一 常规构造差函数型
【技巧通法·提分快招】
证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
1．证明不等式：
(1)，；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解，
（2）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解，
【详解】（1）设，，则．
令，得．
当时，，从而在内单调递增；
当时，，从而在内单调递减．
所以当时，在区间上取最大值．
所以，所以，，．
（2）设，则．令，得．
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减．
所以当时，取最小值．
所以，所以，．
2．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论和求出函数的单调区间即得.
（2）不等式可化为：，通过平方，构造函数，通过求导确定其单调性，求得最值，即可求证.
【详解】（1），
当时，在上单调递增
当时，，
当，在单调递减，
当，在单调递增．
（2）由，
要证，
即证，
即证，
令，则，
易知在上单调递减，在上单调递增，即，
，得证．
3．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
【答案】(1)；
(2)；证明见解析.
【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围；
（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；
（ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可.
【详解】（1）因为函数的定义域为，
当时，恒成立，
当时，，所以此时不恒成立，
当时，求导得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
即不等式恒成立，等价于，
综上，的取值范围为.
（2）（i）当时，，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
（ii）由，则要证明，只需要证明，
构造，则，
所以在上单调递增，
即，所以有，
即成立．
4．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）分离参数，构造函数，求导根据导数判断函数的单调性与最值，进而确定参数范围；
（3）由（2）可得，所证不等式即可转化为，构造函数，求导根据导数判断函数单调性与最值，进而得证.
【详解】（1）由已知，
则，
则，
又，
所以函数在处的切线方程为，
即；
（2）由已知，恒成立，
则对恒成立，
设，，
则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
即的最小值为；
（3）由（2）可知时，，
又，所以，
则时，，
设，，则，
设，则，
所以当时，恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
即，
所以，，
即，
综上所述.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
题型二 同构构造函数型
【技巧通法·提分快招】
1、对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 2、对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 3、对数化:令，得 指数化:令，得
1．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：当时，恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）将所证不等式变形为，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可证得，再构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得所证不等式成立.
【详解】（1）因为，则，所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，
当时，要证，即证，
即证，
当时，，
构造函数，其中，则，
即函数在上单调递增，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
当时，，即，
因此，当时，，即，
故原不等式得证.
2．已知函数，，，．
(1)求的单调区间；
(2)若的最大值为1，证明：对任意的，；
(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在单调递增，在单调递减
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间；
（2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明；
（3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可.
【详解】（1）的定义域为，令得，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，，
，要证，即证，
即证，即证，
构造函数，则，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减，
，即恒成之，当且仅当时等号成立.
，，使得，
恒成立，故对于任意的，.
（3）当时，，若恒式立,
即恒式立，即，即恒成立，
由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立，
令，则恒成立，
在单调递增，
，使得成立，
，，
所以．
3．（24-25高三下·河南·月考）已知函数的图象在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义得，即可求解；
（2）要证明，所以需证在上恒成立，即证在上恒成立，设，利用导数求其单调性可得证.
【详解】（1），
所以，
因为过点的切线为，所以.
（2）由（1）得，，
当时，要证明，即证明，
所以需证在上恒成立，
即证在上恒成立.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以（当且仅当取得等号）.
又当时，，所以，
即，
所以.
4．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若，函数，证明：当，.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为：，递增区间为：；极大值为，无极小值
(3)证明见解析
【分析】（1）对于切线方程，需要先求出函数在该点的导数，得到切线斜率，再结合该点坐标求出切线方程；
（2）对于函数的单调性和极值，通过求导，根据导数的正负判断函数单调性，进而求出极值；
（3）解法一：要证，即证明，令函数，，通过研究新函数的单调性，求解最值即可证明不等式；解法二：令，，设，，通过求导求解最值即可证明.
【详解】（1）当时，，
则，，，
所以切线方程为；
（2）当时，，，
令，，
故在上单调递减，而，
因此0是在上的唯一零点，
即：0是在上的唯一零点，
当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
单调递增 极大值 单调递减
的单调递减区间为：；递增区间为：，
的极大值为，无极小值；
（3），，
要证明，即证明，
因为，
所以要证，即证，
令，，则证，
设，，对其求导的，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取最小值，即，
所以当时，得证.
5．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两根，求a的取值范围；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，对分类讨论即可求解；
（2）由（1）根据的情况，分类讨论，当时，由的单调性即可求解，当时，由单调性和极限思想即可求解；
（3）要证，即，令，只需证即可；法一：当时，，显然成立；当时，由（1）得，，取，即得证，法二：令，利用导数研究单调性即可得证.
【详解】（1）由题意有．
当时，，在单调递减；
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减．
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故．
因为当时，在单调递减，在单调递增，
又因为，，且，，
故要使方程有两根，则，
即，得，故a的取值范围为．
（3）法一：要证，即，
令，则只需证，当时，，上式显然成立；
现证当时上式成立：
由（1）知，，取，即得，
取，即可得，即得证．
法二：要证，即，
令，则只需证，令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
由（1）知，，则，
故，即，得证，
题型三 换元后构造函数型
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的倾斜角；
(2)若是函数的极值点，
（i）求实数的值；
（ii）设函数．证明：．
【答案】(1)；
(2)（i）1；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小；
（2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证.
【详解】（1）由题设，则，故切线斜率，
所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为.
（2）（i）由题设，则，
由，则，故且，
令，则，
所以在上单调递减，且，
所以时，在上单调递增，
时，在上单调递减，
所以是函数的极值点，故；
（ii），则且，
当时，，此时，即证，
当时，，此时，即证，
综上，只需证明在且上恒成立，
令，，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，故得证.
2．（24-25高三下·广东江门·月考）已知函数，，设.
(1)若，求的最大值；
(2)求在上的最小值；
(3)若有两个不同的零点，求证：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入，求出函数导数，确定函数的单调性求出最大值.
（2）求出函数的导数，进而求出其单调区间，再分类讨论求出最小值.
（3）利用零点的定义可得，，作差变形并构造函数，利用导数探讨取值集合即可.
【详解】（1）依题意，函数，其定义域为，
当时，，求导得，
当时，，；当时，，，
函数在上单调递增，在上单调递增减，
所以的最大值为.
（2）函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，
所以当时，；当时，.
（3）依题意，不妨令，，即，
两式相减得，
不等式，
令，则，
令函数，，函数在上单调递增，
因此，即，则，
所以.
3．已知函数．
(1)若，判断的单调性；
(2)已知有两个零点，，（）
①证明：；
②证明：
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增；
(2)证明见解析；
【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性；
（2）①应用导数研究的区间单调性和对应值域，结合零点个数及其最小值即可证；②由题设有，设，即有，记，，则，应用分析法将问题化为证明，构造函数并应用导数研究函数值符号，即可证.
【详解】（1）当时，，得的定义域为，
且，，
时，单调递增，时，单调递减，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）①由题设且，则，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，则，
由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点，
所以，即，命题得证；
②证明：由题意，即，
所以，
记，则，
要证，
记，，则，
记，则，
同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
下证，由，由于时，显然成立，
故只需考虑时，是否成立，要证，即证，
由在区间上单调递减，即证，
即证，即证，
记，，，
记，，，所以在上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减，
又，所以，故.
题型四 利用放缩法 （含切线放缩、泰勒展开）
【技巧通法·提分快招】
1、常见不等式（大题使用需要证明） ①，，， ②，；； ③；； ④； ⑤； ⑥；；，
1．（24-25高三下·湖南·月考）已知函数．
(1)判断在区间的单调性；
(2)求的最小值；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)在和单调递增，在和单调递减
(2)1
(3)证明见详解
【分析】（1）求导，判断导函数在上的正负，进而可得单调性；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值；
（3）构造函数，利用三角函数的有界性以及（2）的结论即可判断的单调性，进而可知的最值，进而可证不等式.
【详解】（1）由题可得，
当时，，当时，，当时，，当时，，
所以在和单调递增，在和单调递减.
（2），令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（3）当时，令，
则，
因为，所以
由（2）知，故，
所以，故在上单调递减，
所以，所以．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）构造函数，求导得出函数单调性，结合零点存在定理列不等式计算求解；
（2）构造函数，利用导数证明，再把不等式转化为，应用导函数得出函数单调性即可证明.
【详解】（1）因为，，
所以.
令，，
则，
所以在上单调递减.
由题意知方程在上有根，所以，且，
即解得，
即实数的取值范围是.
（2）当时，，.
令，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以.
令，则问题转化为证当时，.
，令，则，等号不恒成立，
所以在上单调递减.
又因为，所以当时，，即，
所以在上单调递减.
又因为，所以当时，，
所以，即得证.
3．函数，，其中为常数，当时，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用参数的范围对函数进行放缩，结合的泰勒公式放缩证明.
【详解】由于，∴即证
由的泰勒展开式得，，得，
即，即，得证．
4．证明不等式：．
【答案】证明见解析
【分析】设，求出再代入的二阶泰勒公式，即得解.
【详解】设，则，
，
代入的二阶泰勒公式，有，
．
所以原题得证.
5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
【答案】（1）；；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，、和都不小于其在处的阶泰勒展开式，可直接证得不等式成立；②当时，根据，将不等式变为，令，利用导数可证得，由此可证得不等式成立.
【详解】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）令，则，
，在上单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，
①由（2）知：当时，，
当时，；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
题型五 利用隐零点
1．（24-25高三上·云南丽江·月考）设函数其中
(1)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(2)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，直接计算即可；
（2）求导，假设零点，得到，并得到函数的单调性，并求得，然后构建函数求导判断即可.
【详解】（1），故，
，故.
（2），即，存在唯一零点，
设零点为，故，即，
若，则；若，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
，
设，则，
设，则，单调递减，
，故恒成立，故单调递减.
故当时，.
2．已知函数，.
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增
(3)证明见解析
【分析】（1）对求导，令其导数为0求解得到的极值点，根据该极值点左右的单调性判断该极值点是极大值点还是极小值点，再代入即可；
（2）对参数的取值分类讨论，利用导数为正，函数单增，导数为负，函数单减进行判断即可；
（3）对不等式进行化简，构造新函数，将问题转化为求该函数的最小值即可.
【详解】（1），
，
令，解得，
当时，，，得，单调递减，
当时，，，得，单调递增，
因此，是的极小值点，极小值为，
综上，极小值为，无极大值.
（2）定义域为，
，
当时，在上恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，得，单调递减，
当时，，得，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，定义域为，
，
，即，，，
令，定义域为，
，其中，恒成立，
假设解得，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
因此的最小值为，
由可知，，
所以，即的最小值为0，
综上，，得证.
3．（24-25高三下·天津河北·月考）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围.
(3)证明不等式：
【答案】(1)函数有极大值，无极小值；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数工具研究函数的单调性即可由极值定义得解；
（2）将题设等价转化成对任意恒成立，再利用导数工具求出函数的最大值即可得解；
（3）令，利用导数工具二次求导研究函数的最小值情况即可得证.
【详解】（1）当时，函数，
所以函数定义域为，，
所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以函数有极大值，无极小值；
（2）对任意不等式恒成立，
所以对任意恒成立，
因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，所以；
（3）证明：令，则，
故恒成立，
所以函数即为上的增函数，又，
所以存在使得，
所以当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
又为增函数，
所以，
所以.
题型六 利用凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
1、凸凹反转：欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 2、利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 ①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 ②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 ③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
1．已知，，，求证：．
【解析】令，，则，则，只需证明，即证；
，，故只需证明，即证，
记，则，
当时，；当时，；
即在上递减，在上递增，
①，当且仅当时等号成立，
再记，则，
当时，；当时，；
在上递增，在上递减．
②，当且仅当时等号成立．
由①②等号不同时取到，得，于是．
2．已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
【解析】（1）因为，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以．
因为，，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
由题意可得，解得．
（2）证明：要证，即证，即证．
令，，，．
易得，则令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
易得．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，故．
题型七 含多变量型
1．（23-24高三下·河南·月考）已知函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）分类讨论利用导数求最值判断不等式恒成立的条件；
（2）关于的方程有三个不相等的实数根，即方程有三个不相等的实数根，设，利用导数可得在内单调递增，在内单调递减，求出函数极值确定的取值范围，利用极值点偏离证明和，即可得结果.
【详解】（1）当时，，则，
，
所以不等式在区间上不恒成立，不合题意；
当时，函数的定义域为，且．
由可得；由可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
则，即，即，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
（2）当时，由，得，
令，则，
由可得或；由可得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以极大值为，极小值为，
若有3个不同实根，则，即的取值范围为.
此时．
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递减，
则，即，可得．
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递增，
则，即，
由和，两式相加可得．
2．（2025·河北石家庄·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可；
（2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可；
（ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明.
【详解】（1）的定义域为，
.
当时，，所以恒成立，
所以在单调递增；
当时，，
所以的两根为，
且，所以，
所以，时，或时，．
所以在上单调递减，在和单调递增．
综上：当时，在单调递减，
在和单调递增；
当时，在单调递增.
（2）（i）由（1）可知当时，在单调，
不可能有三个零点；
当时，的两根为，
且，所以，且，
因为在上单调递减，所以，
因为，所以，
设，
在上单调递减，，
即，所以使.
因为，
又因为，所以，
所以使，
所以，当时，有三个零点，
（ii）由（i）可知，的三个零点：，
因为，且，所以，
又因为，所以，
因为，所以函数单调递减，，
所以，得证．
3．已知函数有三个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，然后构造函数，利用函数的奇偶性、单调性等研究函数的零点即可；
（2）先根据第（1）问得到之间的关系，将多元不等式问题转化为一元不等式问题，然后换元，构造函数进行证明即可．
【详解】（1）由题意知有三个变号零点，且，
易知，故为定义在上的奇函数，
又，所以在上恰有一个变号零点．
令，则，
令，则，
当时，，，单调递增．
又，当时，
所以当时，．
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，，不符合题意．
故，此时，在上存在唯一零点，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
由，时可知，在上恰有一个变号零点．
综上，实数的取值范围为．
（2）不妨设，则由（1）的讨论可知，，，
故只需证明，
，解得，
故只需证明，
整理后，只需证明．
设，则只需证明，
即证，
即证，即证，
故只需证明在时恒成立．
记，，
则，故在上单调递增，
所以，即在时恒成立，
所以．
【点睛】方法点睛：
对于多元不等式的证明，通常采取多元化一元，然后构造函数，利用导数讨论单调性，利用单调性进行证明，多元化一元时可采取换元，或寻找各元之间的联系进行代换.
4．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数，
(1)若与的图象恰好相切，求实数的值；
(2)时，证明：当时，
(3)若有三个零点，，，且．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程组，解之即可；
（2）将原不等式转化为，利用导数分别证明、
，两个等号不是同时取到，进而得证；
（3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）由题意，，
设切点，又直线与图象相切，
所以，即，
得，即，代入，
得，解得，代入，解得.
经检验，符合题意.
所以的值为.
（2）当时，，
要证，即证，
令，则，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以；
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
而上面两个等号不是同时取到，
所以在上恒成立，
即当时，.
（3）（i）由题意，，
由等价于，
令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点，
又由，令（），
当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意；
当时，由题意，首先在上有两个零点，
故，解得，
设两个零点为和，有，，故可知，均大于0，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，
又因为，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，
又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点，
实数的取值范围是.
（ii），由，
由此可得，要想证明，
只需证明，而，
因此只需要证明当时，，
令，
可得，故在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，即，
两边同时除以，由，有，
即.
【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明.
题型八 导数结合三角函数
【技巧通法·提分快招】
对于含有三角函数型不等式证明： 1、证明思路和普通不等式一样。 2、充分利用正余弦的有界性 3、三角函数与函数的重要放缩公式：.
1．（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值；
（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；
（3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证.
【详解】（1）当时，，
则，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
在处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以.
记，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.
又，所以，所以.
（3）先证，设，则，
所以在区间上单调递减，所以，即.
所以，再证.
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，
累加可得，
所以.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，．
(1)若在其定义域上单调，求的取值范围；
(2)若．
（ⅰ）证明：；
（ii）若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）求得，对函数在区间上单调递增、单调递减两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围；
（2）（i）构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出，由此可证得结论成立；
（ii）由所求不等式变形得出在区间上恒成立，令，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，求出的取值范围，然后验证在区间上能否恒成立，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，
因为函数在上单调，
若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，则；
若在上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）当时，，
（i）由题意得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
当时，，则，，则，
所以，函数在区间上单调递增，所以，
所以得证；
（ii）由得在区间上恒成立，
令，，
则，且，
因为在区间上恒成立，所以，解得，
因为，所以，，
所以当时，，
此时函数在区间上单调递减，所以恒成立，合乎题意，
综上所述，实数的取值范围是.
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，．
(1)判断的单调性；
(2)若函数图象在处切线斜率为，求；
(3)求证：．
【答案】(1)在上单调递增；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性；
（2）借助导数的几何意义可得，计算即可得解；
（3）结合的取值范围，可将所需证明的不等式转化为证明，构造函数，，则可借助导数结合基本不等式得到的单调性，即可得证.
【详解】（1），
由，则，
故，，
故在上恒成立，故在上单调递增；
（2）由题意知，
则，
故或，
由，
故无解；
则，即，又，故；
（3）由，则，，
要证，只需证，
即只需证，
由（1）知在上单调递增，
故，即，
故只需证，即只需证，
即只需证，
令，，
则，
由，当且仅当时等号成立，
由，故不能取等，即有，
则，
令，，则，
故在上单调递增，则，
即，故在上单调递增，则，
即有，即得证.
4．（2025·湖南长沙·三模）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个 “ 函数”.
(1)已知函数在区间上是一个 “ 函数”，求；
(2)证明: 函数在区间上是一个 “ 函数”;
(3)证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用给定的定义列出恒成立的不等式，再分离参数，结合反比例函数单调性求解.
（2）由给定的定义，利用导数证明及在上恒成立.
（3）利用（2）的信息及结论可得在上成立，取，利用裂相消法求和推理得证.
【详解】（1）由 在区间上是一个 “ 函数”，
则任意恒成立，即恒成立，
而当时，，因此，解得，
所以.
（2）要证在区间上是一个“ 函数”，
需证时，，证明如下:
令 ，求导得，
令，求导得，即在上单调递增，且 ，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
因此，即；
令，求导得，
令，求导得，
当或时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减，
又，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，因此，即，
所以，即函数在区间上是一个 “ 函数”.
（3）当，则，由（2）知且，则，
因此，即当时，，令，，
则，
所以
.
题型九 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
1、证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 2、累加列项相消证明法 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.
1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，；
(3)设，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解；
（2）由题，问题转化为证明，令，只需证对任意的恒成立，设，求导，判断单调性求出最值得证；
（3）由（2），令，可得，即，利用裂项相消法求和得证.
【详解】（1），
，
.
所求切线方程为，即.
（2）要证，等价于证，
令，则，且，，
只需证在成立，
即证对任意的恒成立，
设，
则恒成立，
时，单调递减，
，即，
.
（3）由（2）知，对任意的恒成立．
对任意的，有，则，
即，
，
，得证.
2．（24-25高三下·广东佛山·月考）已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)设，讨论的单调性；
(3)证明：对于任意的正整数，都有．
【答案】(1)0；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）利用导函数分析函数的单调性，求最值即可；
（2）求出导函数，分类讨论单调性即可；
（3）利用（1）小问的结论，构造出不等关系，利用累加法即可证得结论.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，令，解得，
时，单调递增；
时，单调递减，
.
（2）由题意，，定义域为，
则，
令，解得，
当时，时，单调递减；时，单调递增.
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.
当时，时，单调递增.
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（1）知，，在上恒成立，即，当且仅当时等号成立.
对于任意的正整数都有成立，
，
，
累加可得，
即，
即得证.
所以，对于任意的正整数，都有．
3．已知函数，.
(1)设函数；
（i）讨论函数的单调性；
（ii）若函数无极值，求实数的取值范围；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)（i）当时，函数在内单调递减；
当时，函数在内单调递减，在和内单调递增；
当时，函数在内单调递增.
（ii）.
(2)证明见详解.
【分析】（1）（i）由题意得，，定义域为，则，根据对的取值进行分类讨论，可得的正负情况，进而可得函数的单调性；
（ii）函数无极值，等价于导函数不存在变号区间，根据（i）的讨论结果，即可判断；
（2）根据题意得，，则要证，需先证明，令，则，代入化简得，构造函数，通过求导判断函数的单调性，可得恒成立，原不等式得证.
【详解】（1）（i）由题意得，，定义域为，
则，
①当时，恒成立，所以单调递减；
②当时，，此时，令，
解得，，
当或时，恒成立，所以单调递增；
当时，恒成立，所以单调递减；
③当时，，此时，此时至多一个实数根，即恒成立，所以单调递增；
④当时，易得当时，恒成立，所以单调递减；
综上所述，当时，函数在内单调递减；
当时，函数在内单调递减，在和内单调递增；
当时，函数在内单调递增.
（ii）因为函数无极值，等价于在上无变号零点，
由（i）可得，当时，恒成立，当时，恒成立，
综上所述，当函数无极值时，的取值范围是.
（2）根据题意得，，
要证，需先证明，
令，则，
代入化简得，即，
令，则，
令，则，
令，则，
因为，所以恒成立，则函数单调递减，
又，所以在上恒成立，
即恒成立，所以单调递减，
又，所以在上恒成立，
即恒成立，所以单调递减，
又，所以在上恒成立，
即恒成立，即恒成立，
即恒成立，又，
所以，
所以，
原式得证.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．求证：
(1)（）；
(2)；
(3)（）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数（），证明并利用其单调性，结合即得；
（2）构造函数，利用导数求出其最大值推理即得；
（3）构造函数（），利用导数得到该函数的图象特征，求出其最大值即可得证.
【详解】（1）要证，只需证，
令（），，
故在上单调递减，由于，因，
故，则有（）.
（2）令，，
当时，；当时，，
可知在上单调递增；在上单调递减，所以，
故，从而成立.
（3）令（），，由解得：，，
令，得，令，得或
故在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
由于，
则有对恒成立，故得：（）．
2．（2025·四川·三模）已知函数．
(1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由；
(2)当，时，求证：．（参考数据：）
【答案】(1)个，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用二次函数的单调性判断出函数在区间内的单调性，结合零点存在定理可得结论；
（2），其中，利用导数分析函数的单调性，证得即可证得结论成立.
【详解】（1）因为，则，
所以，函数在区间上单调递增，
因为，则，，则，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
故函数函数在区间内的极值点个数为.
（2）当，时，，
构造函数，其中，
则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
故当时，，即，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，即，
故，时，.
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：对任意的，恒成立；
【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的符号求函数的单调区间；
（2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数分析最值证明不等式即可.
【详解】（1）当时，，则．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）证明：当时，．
要证，即证．
构建，则．
构建，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
可知函数在上单调递增，
则，即．
4．（24-25高三下·湖北·月考）已知.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，.
【答案】(1)
(2)，.证明见解析
【分析】（1）递增则，分离出，设求导判断单调性，根据单调性求范围得范围.
（2）先根据条件确定、值，再证时.先构造，通过多次求导判断单调性，证. 再构造，求导判断单调性，证，结合两式得结论.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以其导数恒成立，即.
设，对求导得.
在上，，所以，单调递减.
则，所以.
（2）由得，由得，则.
要证时， .
先证.设，求导，
令，.
当时，，，，递增，，递增，，所以.
再证.设，求导.
时，；时，，在递减，递增，，所以.
由上述两个结论可得.原命题得证.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可,
（2）由（1）可得，再作商构造函数，利用导数求出最大值小于1即可得证.
【详解】（1）函数定义域为，
不等式，
令函数，依题意，对恒成立，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，不等式恒成立，则恒成立，
因此，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以当时，.
6．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性.
（2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可.
（3）引入函数，分别证明（）和（）即可.
【详解】（1）因为，.
若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；
若，由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得，欲使恒成立，须有，且.
由.
所以的取值范围为：.
（3）当时，.
设（），则，因为，所以.
所以在上单调递增，所以.
所以在上恒成立.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以即在上恒成立.
所以在上恒成立.
故原不等式成立.
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率，再确定切点纵坐标，从而得切线方程.
（2）构造函数求导确定单调性即可得，再设，求导确定单调性，从而可得，结合指数与对数运算即可证得结论.
【详解】（1）函数，求导得，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，求导得，
函数在上单调递减，恒成立，即，因此，
设，求导得，函数在上单调递增，
则，则，即，
所以，即.
8．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若且时，求证．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间.
（3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
时，，时，，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，不等式，
令函数，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
而，则存在，使，即，
此时，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以当时，.
9．已知函数，m，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，证明：，．
【答案】(1)0(2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；
（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式等价转化为，设，依题意，只需证在时，成立，分别求即可得证.
【详解】（1）当时，，，
由，可得或，由，可得，
即在和上单调递增；在上单调递减，
时，，时，，故时，取得极小值也即最小值，为.
（2）当时，，函数的定义域为，，
当时，恒成立，故在上为增函数；当时，由，可得，
故当或时，；即在和上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
综上，当时，在上为增函数；当时，在和上单调递增,
在上单调递减.
（3）当时，,
要证，，只需证，
即证在上恒成立.
设，依题意，只需证在时，.
因，，由，可得，由，可得，
故在上单调递减，在上单调递增,
则在时取得极小值也是最小值，为；
因，，由，可得，
由，可得，由，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则在时取得极大值也是最大值，为.
因，即在上成立，故得证.
即，．
10．已知函数．
(1)当时，求曲线切线斜率的最小值；
(2)若有两个不同的极值点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）代入，求导，然后继续求导判断；
（2）（i）对求二阶导，分，，讨论判断；（ii）依据题意得到，代入，对证明的式子两边取自然对化简为，然后换元，求导即可.
【详解】（1）当时，，．
令，则，
令，解得．
当时，，单减；当时，，单增．
所以，当时，取得极小值也是最小值，
所以，曲线切线斜率的最小值为．
（2）（i），则，
若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点．
令．
当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去．
当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值．
令，则，所以时，，单减，
当时，单增，所以存在极小值也是最小值．
所以，对，恒有的极大值．
当时，，的图象在连续不断，
由零点存在定理，存在，使得．当时，，
同理，存在，使得．
所以，对，在上存在两个不同的变号零点．
综上，a的取值范围为．
（ii）不妨设，是的两个零点，且，
则，，
两式相减得：，两式相加得：，
于是要证，只需证，只需证，
即证，即证（*）．
事实上，令，，，
所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立．
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若对于恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)在单调递减；在单调递增
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，分类讨论导数符号即可得解；
（2）只需证明当时，，构造函数，利用导数证明即可；
（3）由题意，对于恒成立，求导分类讨论函数单调性、最值即可得解.
【详解】（1），
当时，，在单调递减；当时，，在单调递增．
综上，在单调递减；在单调递增．
（2）要证，只需证当时，．
令，则．
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，故，
因此．
（3）令，，
令，则．
①当时，由，得，，因此，满足题意．
②当时，由，得，，
因此，则在上单调递增，
若，则，
则在上单调递增，
所以，满足题意；
若，则，，
因此在存在唯一的零点，
且，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，不合题意．
综上，的取值范围为．
12．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)解方程，其中e为自然对数的底（…）；
(3)若a，b为均大于1的不等实数，满足，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，按照和分类讨论，解不等式即可求得单调区间.
（2）由得，当时，，利用导数判断函数单调性，求出最大值，进而求解方程.
（3）由题意得，由已知可得，设，则，故，要证，即证，令，利用导数的单调性证明可得.
【详解】（1）对于，则，.
当时，令得，所以，
令得，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令得，所以，
令得，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，所以，即，
由（1）可知，当时，，，.
当时，即时，，此时在上单调递增；
当时，即时，，此时在上单调递减；
故函数在处取到极大值，即最大值，为.
所以方程有唯一解，即方程的解为；
（3）由得，即，
因为a，b为均大于1的不等实数，且函数在上递增，在上递减，
不妨设，由可得，
设，则则，即，
则，
故要证，只需证，即证，故需证，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以，所以，
所以
13．（2025·河南·三模）已知函数，设的图象在处的切线为l：．
(1)若，证明：当时，；
(2)若有三个零点，，（）．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程，构造，利用导数求解最值即可证明不等式.
（2）（i）先确定有零点，然后分和两种情况讨论，利用导数研究其单调性，结合零点个数求解参数范围；
（ii）由（i）得，根据（1）的结论得，结合即可证明.
【详解】（1）当时，，．
对求导得，则．
所以切线l的方程为，即，
令．
对求导得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即，所以当时，．
（2）（i），显然有，，．
①若，则恒成立，所以在上单调递增，
所以在上只有一个零点，不符合题意；
②若，令得，记其两根分别为，
则，，所以，
由得，或，由得，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，所以，，
当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
所以在上有唯一零点，为，
又，且，
所以在上只有一个零点，从而，所以．
（ii）由（i）知，且，所以，
由（1）知，当时，，所以，
整理得，
又，所以，得证．
14．已知函数，数列满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)最大值为0；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值；
（2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可；
（3），所以，得，适当放缩后，再累加即可.
【详解】（1）因为的定义域为，所以
当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
所以在时有最大值，所以，即的最大值为0；
（2）由（1）知，，所以，
所以，即，
所以，，，
累加得，即.
（3）因为，所以，得，
，，，
所以，即，
所以，
所以，，，
所以，
，
所以得证．
【点睛】关键点点睛：第一问借助导数研究即可，第二问主要是要借助第一问的结论，得到，再用对数性质，裂项累加求和；第三问关键要用，两边平方，得到，再放缩后，累加求和.转化思想要求很高，属于难题.
15．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 是 的一个极值点.
(1)求实数 的值.
(2)判断函数 在 上的零点个数，并加以证明.
(3)证明: . 其中
【答案】(1)；
(2)在上存在唯一零点．证明见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（1）求得，则极值点导数值为0求得值并检验极值点；
（2）由（1）的讨论及检验过程得在上无零点，利用导数确定在上存在零点，然后证明在上无零点，结合零点存在定理证明在上有唯一零点，在上零点，从而得结论；
（3）在（2）中讲明中得出在上递增，证明，然后令，利用放缩法得，再结合累加法可得证不等式左边，结合，然后同样令后放缩累加证明右边成立．
【详解】（1）由得，
因为1是的一个极值点，所以，解得，
时，，
当时，是增函数，则，所以在上递减，
时，设，则，
而在上是减函数，且，，
因此存在，使得，且当时，，所以，即递增，又，所以时，，从而在上递增，
所以是的极小值点，
故；
（2）在上存在唯一零点．证明如下：
，，
由（1）知在让单调递减，，无零点，
在上递增，，无零点，，
又，，
所以存在，使得，
在上，递增，从而，无零点，
上，，递减，，无零点，
综上在上无零点，
当时，，单调递减，
又，
由零点存在定理，在上有唯一零点，
时，，此时零点，
综上所述，在上存在唯一零点．
（3），由（2）中在上的单调性的分析知，所以在上单调递增，所以对任意，，即，所以，
令，
得，
所以，
令，则，所以递减，
所以，即，，
所以，时，，
所以，
综上， . 其中 ．
【点睛】关键点点睛：第（3）小题中关键在于由（2）的证明中得出在上递增，从而证明，然后令，利用放缩法得，再结合累加法可得证不等式左边，同理引入函数证得，然后同样令后放缩累加证明右边成立．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，且与有相同的最小值．
（i）求a的值；
（ii）已知，，且，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案；
（2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最值，再根据不等式性质，可得答案.
【详解】（1）依题意，
当时，，在上单调递增．
当时，令得，，即．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（i）由（1）知，当时，时取得最小值．
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以，当时取得极小值即最小值．
由题意可知，，即，
令，则，
令，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以取得最小值，
所以在上恒成立，所以在上单增，
又，所以；
（ii）因为，所以，
即．
令，则，
可知在时取得最大值0，所以，即，
所以，当且仅当时，“＝”成立．
令，则，当时，，单调递减．
所以，当时，，，
由，得．
当时，显然，
综上，，即．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为有两个不等实根，令，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；
（2）根据题意，是的两个根，将问题等价转化为证明，令，利用函数的单调性进而求证；
（3）根据题意可得，将要问题等价转化为，令，利用导数与函数的单调性得到，令，，根据函数的单调性进而求证.
【详解】（1）
有两个不等根
令，则
在单调递增，上单调递减，且
.
（2）由（1）知，是的两个根
先证
令，
则
在上单调递增
又得证
（3）因为，所以，
，所以
要证，即证：，
又因为，即证：.
令，
所以单调递减，单调递增，
，即.令，
时，单调递减，
所以所以，即，
即成立.
【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.
3．（2025·上海松江·二模）已知.
(1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用，得出的值，再检验是函数的一个极值点，最后利用点斜式求切线方程；
（2）求导，研究的正负性，分和两种情况，再结合一元二次函数的图象研究其正负性即可；
（3）化简，再令，将问题转化为利用导数证明不等式，再通过构造函数研究函数的最值.
【详解】（1）的定义域为，
由，得，
因为是函数的一个极值点，
所以，即，解得，
则，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则是的极小值点，
又，
则切线方程为，整理得.
（2）的定义域为，，
令，其对称轴为，
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即或时，
（i）当时，的两根为，
且，
则当或时，，；
当时，， .
（ii）当时，的对称轴，且，
则在上恒成立，即在上恒成立.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）已知，则，
则，
则，
要证，即证，
即证，
令，则只需证，
先证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，则，即；
再证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，则，即.
综上，得证.
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解；
（2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立；
（3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果.
【详解】（1）由得，
令，则，
①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，即，又，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
要证，即证，
进一步变形为证，即证.
因为，令，则需证（），
即证（）
设，，，
当时，，在单调递增，所以，得证.
（3）由（1）知，且，
当时，，即；
令（），则.
要证，即证，
因为，所以，
而，得证.
5．英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
(1)若，利用泰勒展开式证明：；
(2)当时，证明：；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由泰勒公式两边求导可得；
（2）解法一，构造函数，求导分析单调性证明可得；
解法二，构造函数，求导分析单调性得到隐零点，然后再求最小值可得；
（3）先分离参数，构造函数，求导，再对分子构造函数求导分析单调性，结合对数的运算得到隐零点，然后求最小值可得.
【详解】（1）由，两边求导得：
即.
（2）解法1：由知，对于，，
先证时，，
令，则，得，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
则，所以，
则，
解法2：设，则，
令，则存在使得，即，
则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以，所以成立.
（3）当时，不等式恒成立，
即，
设，
则，
再令，则，
所以在时单调递增，
又，，所以在存在零点．
又因为，
而且，，可以设使得，
且，
即，使得，
所以时，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
，
所以.
6．已知函数．
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若存在三个极值点，，，且，求证．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】对函数进行求导，结合，求得的值；
由存在三个极值点，确定方程有两个不相等的实数根，且都不是，令，求导分析单调性，确定，分别求证和两部分成立.
【详解】（1）解：由可知，函数的定义域为，
则，且，
解得.
（2）解：，因为存在三个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，且都不是.
所以令，则，
当时，，所以单调递增，至多有一个实数根，
所以，令，得，令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，
所以.
因为，，，
其中令，则，
所以在上单调递增，，所以，
因为，所以，即，所以
所以存在三个极值点，其中.
又因为，，则，，
即，
设代入上式得：，即，.
要证，即，
只需证，即证.
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，得证；
要证，即，只需证，
即证，则证，即，
只需证，
令，，
所以，
所以在上单调递减，因为，所以，得证.
综上所述，若存在三个极值点，，，且时，．
【点睛】本题中进行恒等变形得到，然后换元，令，不等式转化为是解题的关键，这类问题反复利用导数研究单调性，分步证明，综合性很强，属于难题.
