3.10相交线与平行线同步练习（含解析）北京版数学七年级上册

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3.10相交线与平行线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
2．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AP的长是点A到直线PC的距离 D．线段AP的长是点C到直线PA的距离
3．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，经过直线外一点作的垂线，能画出（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．如图，，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，于点，点到的距离是下列哪条线段的长（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一辆快艇从处出发向正北航行到A处时向左转航行到处，再向右转继续航行，此时航行方向为（ ）
A．西偏北 B．北偏西 C．东偏北 D．北偏东
8．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
9．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则点C到AB的距离是线段（ ）的长度．
A．BD B．AD C．CD D．BC
11．下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，垂足为D，，垂足为F，则点C到直线的距离是 ；点E到直线的距离是 ；点C到直线的距离是 ；点E到直线的距离是 ．
14．如图，是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球，另一端固定在点，将小球从左向右摆动，当垂直时，小球到水平线的距离最近，数学依据是 ．
15．如图，用几何语言叙述图的含义是 ．
16．同一平面内，两条直线相交有 个交点，两条直线相交的特殊位置关系是 ．
17．在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线l表示起跳线，经测量，PB＝3.3米，PC＝3米，PD＝3.5米，则该同学的实际立定跳远成绩是 米．
三、解答题
18．如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
19．按下列要求画图并填空：
如图，直线和相交于点O，M是上的一点，

(1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N；
(2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F；
(3)点M到点N之间的距离是线段________的长；
(4)点O到直线的距离是线段________的长．
20．如图，过点画出射线或线段的垂线．
(1)
(2)
(3)
21．当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
22．如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下．
23．如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
24．如图，从点A向引三条线段，且，．

(1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________．
(2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离．
《3.10相交线与平行线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B D D B C C
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝ AB PC＝ AC BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
2．D
【分析】根据点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. PB⊥a，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项正确，符合题意；
B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故该选项正确，符合题意；
C. PA⊥PC，线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项正确，符合题意；
D. PA⊥PC，线段CP的长是点C到直线PA的距离，故该选项不正确，不符合题意,
故选D.
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的定义与性质是解题的关键．
3．B
【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．D
【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此即可得到答案．
【详解】解：经过直线外一点画的垂线，能画出1条垂线，
故选：D
【点睛】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
5．B
【分析】本题考查了垂线的定义，由垂线的定义得出，再由计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
．
故选：B.
6．D
【分析】本题考查点到直线距离的定义：从直线外一点作直线的垂线段长度，据此判断即可得出答案．
【详解】解： 点到的距离是线段的长度．
故答案为：D．
7．D
【分析】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出和掌握方向角的定义是解题关键．根据平行线的性质，可得，根据角的和差得，根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴此时航行方向为北偏东．
故选：D．
8．B
【分析】此题主要考查了垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案．
【详解】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．
【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；
故选：C．
10．C
【分析】根据点到直线的距离的定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出结果．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴C到AB的距离是线段CD的长度．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离的定义，理解定义并结合图形进行判断是解本题的关键．
11．B
【分析】根据线段、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义和特征判断即可；
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，题中说法错误；
故①②③正确，
故选： B．
【点睛】本题考查了线段和垂线段的性质，垂线和点到直线的距离的定义，掌握相关定义和性质是解题关键．
12．C
【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．
【详解】解：根据点是直线外一点，，垂足为点，
是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点与点重合时有，
综上所述：，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．
13． 线段的长 线段的长 线段的长 线段的长
【分析】点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，据此回答即可．
【详解】解：∵，垂足为D，，垂足为F，
∴点C到直线的距离是线段的长；点E到直线的距离是线段的长；点C到直线的距离是线段的长；点E到直线的距离是线段的长．
故答案为：①线段的长；②线段的长；③线段的长；④线段的长
【点睛】此题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
14．垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【详解】解：由垂线段最短，得
当垂直l时，小球C到水平线l的距离最近，依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
15．线段AB和直线c相交于点P
【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述．
【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P．
故答案为：线段和直线c相交于点P．
16． 1 垂直
【解析】略
17．3
【分析】因为垂线段最短，所以点P到起跳线l的垂线段的长度即PC的长度就是立定跳远的成绩．
【详解】∵PC⊥BD，PC＝3米，
∴该同学的实际立定跳远成绩是3米．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是知道立定跳远的成绩即为起跳线外一点到这条起跳线的垂线段的长度，即要知道直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
18．(1)的度数为
(2)平分，理由见解析
【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解；
（2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：平分，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）根据点到点的距离的定义，判断即可．
（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：

（2）解：如上图所示，直线即为所求：
（3）解：点M到点N之间的距离是线段的长
故答案为：，
（4）解：点O到直线的距离是线段的长，
故答案为：
20．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查过一点作已知直线（线段、射线）的垂线，解题的关键是熟练掌握作图方法．
（1）根据垂线的画法作图即可；
（2）根据垂线的画法作图即可；
（3）根据垂线的画法作图即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求，
（2）解：如图，直线即为所求，
（3）解：如图，直线即为所求，
21．这两条直线互相垂直，理由见解析．
【分析】两条直线相交所成的四个角都相等时，根据这四个角的和为，得出这四个角都是，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．
【详解】解：两条直线相交所成的四个角都相等时，则每一个角都为，所以这两条直线垂直，
答：这两条直线互相垂直．
【点睛】本题考查了垂直的定义，解题的关键是知道两直线相交所成的四个角中，若有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．
22．图见解析
【分析】本题考查了平行线在生活中的应用，熟练掌握平行线的应用是解题关键．用平行条纹设计一些图案即可得．
【详解】解：用平行条纹设计一些图案如下：
．
23．见解析
【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可．
【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b），
只要最短就行，
即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥．
24．(1)，垂线段最短
(2)
【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据垂线段最短判断即可；
（2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短；
（2）解：∵，，，，，
∴，即，
∴，
∴点A到线段的距离为．
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