2.2 对函数的进一步认识 学案1（共3课时，含答案）

2.2
对函数的进一步认识
学案（共3课时）
2.2.1　函
数
概
念
[读教材·填要点]
1．函数的概念
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，习惯上称y是x的函数．
2．区间与无穷的概念
(1)区间：
设a，b是两个实数，而且a＜b，规定如下表：
定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
左闭右开区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
左开右闭区间
(a，b]
这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
(2)无穷大的概念及无穷区间：
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤b}
{x|x＜b}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
[小问题·大思维]
1．函数定义中的集合A，B一定是非空数集吗？
提示：A，B一定是非空数集，否则构不成集合A到B的函数关系．
2．函数定义中对集合A中元素有什么要求？对B中元素有同样要求吗？
提示：对集合A中元素有两个要求，其一，全部参与对应，其二，每个元素在B中对应的元素唯一；而对B中元素没此要求．
3．试分析构成函数有几个要素？
提示：三个要素：对应关系f，定义域A和值域{f(x)|x∈A}．
[研一题]
[例1]　试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝()2，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
[自主解答]　(1)由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．
(2)由于函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．
(3)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．
[悟一法]
函数由定义域，值域和对应法则三要素构成．其中值域由定义域和对应法则确定，因此只要定义域和对应法则相同就表示同一函数．
[通一类]
1．下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝；
(2)f(x)＝与g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝|x－1|与g(x)＝
(4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z)．
解：(1)g(x)＝|2x＋1|，f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数；
(2)f(x)＝x－1(x≠0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数；
(3)f(x)＝f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；
(4)f(x)与g(x)的定义域和对应关系都不同．因此是不同的函数.
[研一题]
[例2]　(1)求函数f(x)＝的定义域；
(2)求函数f(x)＝－＋的定义域，并用区间表示．
[自主解答]　(1)要使f(x)有意义，需有解之得
所以f(x)的定义域为：(－∞，－1)∪(－1，4]；
(2)要使函数f(x)＝－＋有意义，必须所以－≤x＜2且x≠0，
故函数的定义域为{x|－≤x＜2且x≠0}，区间表示为[－，0)∪(0，2)．
[悟一法]
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
[通一类]
2．将进货单价为8元的商品按10元1个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，请你用解析表达式表示每天的销售利润y随销售单价x(元)变化的函数关系，并求出函数的定义域．
解：根据题意，每天的销售量为[100－10(x－10)]个．
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝10(x－8)(20－x)
由得10≤x≤20，
所以函数的定义域为[10，20]．
[研一题]
[例3]　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
[自主解答]　(1)∵f(x)＝.∴f(2)＝＝.
∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6；
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝；
(3)f(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，
∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值是2，
∴值域为[2，＋∞)．
[悟一法]
(1)求函数值的方法，只需根据对应关系f
的具体含义代入求解即可，但对于求f(g(x))类型的函数值，应遵循先内后外的原则．
(2)求函数值域的方法：
①图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；
②观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，≥0等观察出函数的值域；
③配方法：对于二次函数常用此法；
④换元法：利用换元法转化为求常见函数(如：二次函数)的值域等．
[通一类]
3．求下列函数的值域
(1)y＝(x∈R)；
(2)y＝2x－.
解：(1)y＝＝1－，而x4＋1≥1，
即0＜≤1，∴0≤y＜1.故值域为[0，1)；
(2)令＝t，则t≥0，x＝t2＋1，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋.
∵t≥0，∴y≥.∴函数的值域是[，＋∞).
函数y＝的定义域是________．
[错解]　y＝＝，
∴要使函数有意义，需满足x＋1≠0，解得x≠－1.
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠－1}．
[错因]　上述解答貌似简捷，但结果却是错误的，这是因为从原函数式来看，要使原函数有意义，必须同时满足1＋≠0.而上述解法改变了函数式之后，要求却变为x＋1≠0.这显然不妥，一般来说，求函数的定义域必须按照原函数式来求解，不可化简后再求函数的定义域．
[正解]　要使函数有意义，必须满足x≠0且1＋≠0，即满足x≠0且x≠－1.
∴此函数定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠－1}．
[答案]　{x|x∈R，x≠0且x≠－1}
1．下列表达式中，表示函数的是(　　)
A．y＝　　　　　
B．y＝
C．y＝
D．y2＝x
解析：对于A，∵－x2－1＜0，
∴根式无意义，不表示函数；
对于B，当x＝0时对应的函数值有两个，不符合函数的定义；
对于D，任意x，与x对应的y值不唯一，因此也不表示函数．
答案：C
2．下列两个函数完全相同的是(　　)
A．y＝与y＝x
B．y＝与y＝x
C．y＝()2与y＝x
D．y＝与y＝x
解析：A中y＝的定义域为{x|x≠0}，而y＝x的定义域为R，A错；
C中y＝()2的定义域为[0，＋∞)，而y＝x的定义域为R，C错；
B中y＝＝|x|与y＝x的对应关系不同，所以B错；
D中y＝＝x与y＝x定义域与对应关系均相同，故D对．
答案：D
3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是(　　)
A．f(x)＝＋
B．f(x)＝
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝＋
解析：函数y＝的定义域为{x|x＞0}．
对于A，要使函数有意义，
需满足即x＞0，
因此定义域为{x|x＞0}；
B中函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}；
C中函数的定义域为R；
对于D，要使函数有意义，需满足即x＝0，因此定义域为{x|x＝0}．
答案：A
4．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞1且x≠2}＝________．
解析：由区间的定义，可将集合写成相应区间．
答案：(1)[2，＋∞)　(2)(3，4]　(3)(1，2)∪(2，＋∞)
5．(2012·广东高考)函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需使所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
6．某农场的防洪大堤的横断面是上底为a＝3
m的梯形，梯形的高h随地势在1
m到5
m间变化，下底b和高h之间有关系b＝a＋4h.
(1)试用解析表达式将横断面面积表示为堤高的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
解：(1)设h＝x
m，y＝S(x)(单位：m2)表示大堤的横断面面积，根据题意和梯形面积公式可得函数的解析表达式：
y＝S(x)＝
＝
＝x(3＋2x)
＝2x2＋3x.
(2)根据题意函数的定义域为[1，5]，
由S(x)＝2x2＋3x＝2(x＋)2－，x∈[1，5]，
得S(x)∈[5，65]，
函数的值域为[5，65]．
一、选择题
1．下列各组函数是同一函数的是(　　)
A．y＝(3x－2)0与y＝1
B．y＝2x＋3与y＝
C．y＝与y＝x＋2
D．y＝与y＝2x－1
解析：对于A，y＝(3x－2)0＝1但其定义域为{x|x≠}．而y＝1定义域为R，故A不正确．
对于B，y＝＝|2x＋3|，其与y＝2x＋3对应关系不同．
对于C，y＝与y＝x＋2，定义域不同．
对于D，y＝＝2x－1，与y＝2x－1一致．
答案：D
2．y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是(　　)
A．[－5，6)
B．[－5，0]∪[2，6]
C．[5，0)∪[2，6)
D．[－5，0]∪[2，6)
解析：由图像结合函数定义域的定义知，x∈[－5，0]∪[2，6)．
答案：D
3．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(，7]
B．(－∞，17]
C．[，＋∞)
D．[，7]
解析：要使函数有意义，需解得：≤x≤7，
所以函数的定义域为[，7]．
答案：D
4．给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
4
3
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
1
1
3
3
A.{4，2}
B．{1，3}
C．{1，2，3，4}
D．以上情况都有可能
解析：由表中的对应关系可知，f(g(1))＝f(g(2))＝f(1)＝4，f(g(3))＝f(g(4))＝f(3)＝2，∴f(g(x))的值域为{4，2}．
答案：A
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(f(1))＝________．
解析：f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2，
∴f(f(1))＝f(2)＝22＋|2－2|＝4.
答案：4
6．有下列三个命题
①y＝|x|，x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
则它的值域是{0，1，4，9}；
②y＝，则它的值域为R；
③y＝，则它的值域为{y|y≥0}．
其中正确的命题的序号是________．
解析：对于①，当x＝－2，－1，0，1，2，3时，
|x|＝2，1，0，1，2，3.
∴函数的值域为{0，1，2，3}．故①不正确；
对于②，y＝＝x＋1(x≠1)，
∴x＝y－1≠1，∴y≠2.
即值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．∴②不正确；
对于③，y＝≥0，∴值域为[0，＋∞)，③正确．
答案：③
7．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，须使
即0≤x≤1且x≠.
∴f(x)的定义域为[0，)∪(，1]．
答案：[0，)∪(，1]
8．已知函数f(x)＝满足f(f(x))＝x，则c＝________．
解析：∵f(f(x))＝f＝＝x，
化简，得(2c＋6)x2＋9x＝c2x，
∴∴c＝－3.
答案：－3
三、解答题
9．如图所示，用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆形的半径为x，求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式y＝f(x)，并写出它的定义域．
解：由已知得AB＝2x，CD的长为πx，
则AD＝，
故y＝2x·＋，
即y＝－x2＋Lx.
由得0所以函数的定义域为(0，)．
10．已知函数f(x)＝.
(1)分别计算f(2)＋f()，f(3)＋f()，f(4)＋f()的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明；
(3)利用(2)中结论计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
013)＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．
解：(1)f(2)＋f()＝＋＝1，
f(3)＋f()＝＋＝1，
f(4)＋f()＝＋＝1；
(2)由(1)知f(x)＋f()＝1，
证明如下．
f(x)＋f()＝＋
＝＋
＝
＝1.
(3)原式＝f(1)＋{[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋…＋f(2
013)＋f()}
＝＋2
012
＝.
2.2.2　函数的表示法
[读教材·填要点]
1．函数的表示法
表示法
定义
优点
缺点
列表法
用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法
不通过计算就能知道两个变量之间的对应关系
只能表示有限个元素之间的函数关系
图像法
用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法
能直观地表示函数局部变化规律，进而预测它的整体趋势
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，有时误差较大
解析法
函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来的方法
能较便利地通过计算手段研究函数的性质
一些实际问题很难找到它的解析式
2．分段函数
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．
[小问题·大思维]
1．同一个函数是否可以同时用列表法、图像法、解析法三种方法表示？
提示：不一定，如函数y＝x，x∈R.就无法用列表法表示．
2．函数的图像一定是连续不断的曲线吗？
提示：不一定．因为函数定义域的不同，图像可以是曲线的一部分、折线，也可以是一群孤立的点或由几段曲线组合而成．
3．分段函数由几部分组成就是几个函数吗？为什么？
提示：不是，因为分段函数是一个函数，只是同一个函数在不同范围内的对应关系不同．
[研一题]
[例1]　作下列函数的图像．
(1)f(x)＝(x∈N＋);
(2)f(x)＝|x－1|；
(3)f(x)＝
[自主解答]　(1)∵x∈N＋，∴f(x)＝(x∈N＋)的图像应是一系列孤立的点且分布在第一象限，它们都在反比例函数y＝(x>0)上，如图①.
(2)∵f(x)＝|x－1|＝
∴图像为两条射线组成的折线，如图②.
(3)这个函数的图像由两部分组成：
当0＜x＜1时，为反比例函数y＝的一段，
当x≥1时，为y＝x的一段，函数图像如图③.
[悟一法]
作函数图像的一般方法有：
(1)描点法：主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．
(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、对称、翻折得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形．
(3)直接法：当函数解析式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，可直接作出图像，但必须考虑它的定义域，确保图像的完整．
[通一类]
1．作出下列函数的图像：
(1)f(x)＝－(x∈N＋)；(2)f(x)＝
(3)y＝|x－1|＋x.
解：(1)∵x∈N＋，
∴f(x)是第四象限内的一系列孤立的点．
其图像如图①所示．
(2)f(x)的图像如图②所示．
(3)y＝图像如图③所示．
　　　　　
[研一题]
[例2]　(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式．
[自主解答]　(1)由题意可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a
＝2x＋17，
∴
∴a＝2，b＝7.∴f(x)＝2x＋7.
(2)法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)∵2f(x)＋f()＝3x　(x≠0)，
以换x得2f()＋f(x)＝，
以上两式消去f()，
得f(x)＝2x－　(x≠0)．
[悟一法]
求函数的解析式常见的方法有：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)求解，如例2(1).
(2)换元法：已知形如y＝f(φ(x))的函数，求f(x)时，可设φ(x)＝t，再用t表示x，代入y＝f(φ(x))中，即可得f(x)的解析式，如例2(2)．要注意t的取值集合为所求函数的定义域．
(3)消元法：主要针对抽象函数，如例2(3)，即若给出的条件中有f(x)、f()、f(－x)等形式，可将式子中的x用－x，等代换，得到另一方程，再通过消元法解方组得f(x)．
另外还有赋值法等，求出解析式后，应注意函数的定义域．
[通一类]
2．已知函数y＝f(x)的图像由两条射线和抛物线的一部分组成，求函数解析式．
解：当x＜－1时．设y＝kx＋b.
因为过点(－2，－1)和(－1，0)，
∴有解得
∴y＝x＋1，(x＜－1)，
同理可求当－1≤x≤1时，y＝x2－1，
当x＞1时，y＝－x＋1.
综上所述：y＝f(x)＝
[研一题]
[例3]　(1)设函数f(x)＝则f()的值为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．－
C.
D．18
(2)已知f(x)＝
①画出f(x)的图像；
②求f(x)的定义域和值域；
③解不等式f(x)＞x.
[自主解答]　(1)∵2＞1，∴f(2)＝22＋2－2＝4，
∴＝；
又＜1，∴f()＝1－()2＝.
(2)①函数f(x)的图像如右图所示；
②由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当|x|≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当|x|＞1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1]．
③由图像知：不等式f(x)＞x的解集为{x|x＜0}．
[悟一法]
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得，当不明确时要分类讨论．
(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好的求法也是“图像法”，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是分别求出各段上的值域的并集．
[通一类]
3．若f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)若f(a)＝－1，求a的值．
解：(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∵－3＜0，∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1，
又∵0＜1＜4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1.
(2)当a＋4＝－1时，a＝－5＜0，
∴a＝－5符合题意；
当a2－2a＝－1时，a＝1，
∵0＜1＜4，∴a＝1符合题意；
当－a＋2＝－1时，a＝3＜4，
∴a＝3不符合题意．
∴a＝－5或a＝1.
求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域．
[解]　法一：∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点－1，2的距离之和，如图所示，易知y的最小值是3，∴函数的值域是[3，＋∞)．
法二：将函数化为分段函数形式：
y＝
画出它的图像如图，由图像可知，函数的值域是[3，＋∞)．
[点评]　两种方法均采用“数形结合”．法二中利用函数图像的几何性质求函数的最值，只需找到图像上的最高点或最低点，如果没有最高点，说明函数没有最大值；如果没有最低点，说明函数没有最小值．
1．函数f(x)＝x＋的图像是(　　)
解析：∵f(x)＝∴应选C.
答案：C
2．(2012·江西高考)设函数f(x)＝，则f(f(3))＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　　B．3
C.
D.
解析：∵f(3)＝，∴f(f(3))＝()2＋1＝.
答案：D
3．若f(x－1)＝x，则f(1)等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝t＋1，即f(x)＝x＋1.
∴f(1)＝1＋1＝2.
答案：C
4．函数f(x)是一次函数，f(1)＝2，f(2)＝1，则f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴f(x)＝－x＋3.
答案：f(x)＝－x＋3
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
则f(g(1))的值为________；
满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：f(g(1))＝f(3)＝1.
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
故f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
答案：1　2
6．某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x(台)与收款总额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解：(1)列表法：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图像法：
(3)解析法：y＝3
000x(x∈N＋，且1≤x≤10)．
一、选择题
1．函数y＝|x＋1|的图像是(　　)
解析：y＝|x＋1|＝
由解析式可知，A项符合题意．
答案：A
2．设函数f(x)＝则f(f(f(－1)))＝(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．2
解析：∵f(－1)＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝－1.
∴f(f(f(－1)))＝f(－1)＝1.
答案：B
3．已知f()＝，那么函数f(x)的解析式及定义域正确的是(　　)
A．f(x)＝(x≠－1)
B．f(x)＝(x≠－1且x≠0)
C．f(x)＝
D．f(x)＝1＋x
解析：令t＝，则x＝(t≠0)，
∴f(t)＝＝(t≠－1)．
∴f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
答案：B
4．图中的图像所表示的函数的解析式为(　　)
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
解析：当0≤x≤1时，设函数y＝kx，
将(1，)代入其中得k＝.
当1将(1，)和(2，0)代入得：解得：
∴y＝
即y＝
亦即y＝－|x－1|(0≤x≤2)．
答案：D
二、填空题
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．
解析：f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.
答案：2
6．设f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝x＋3，则f(1)＝______．
解析：令x＝1得，f(－1)＋2f(1)＝4，
再令x＝－1得，f(1)＋2f(－1)＝2.
两式联立消去f(－1)得，f(1)＝2.
答案：2
7．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，
即a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3＝x2＋10x＋24.
比较系数，得
解得或则5a－b＝2.
答案：2
8．已知f(x)＝则f(7)＝______．
解析：f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)
＝f(8)＝f(f(8＋4))＝f(f(12))
＝f(12－3)＝f(9)
＝9－3＝6.
答案：6
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．
解：当x≤－2时，图像为一条射线，过(－2，0)与(－4，3)，
设y＝ax＋b，将两点代入，得－2a＋b＝0，及－4a＋b＝3，解得a＝－，b＝－3，
所以它的解析式为y＝－x－3(x≤－2)；
当－2＜x＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y＝2(－2＜x＜2)；
当x≥2时，图像为一条射线，过(2，2)与(3，3)，
设y＝cx＋d，
将两点代入，得2c＋d＝2，3c＋d＝3，解得c＝1，d＝0，
所以它的解析式为y＝x(x≥2)．
综上得f(x)＝
10．甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300
km外的B地，甲车先以75
km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2
h后，再以100
km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶．
(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图像；
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A、B两地)，试确定乙车行驶速度v的取值范围．
解：(1)x＝
它的图像如下图①所示；
(2)由已知，乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x＝vt(0≤t≤)，其图像是一条线段．
由图像知，当此线段经过(4，150)时，v＝(km/h);
当此线段经过点(5.5，300)时，v＝(km/h)．
∴当＜v＜时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．
2.3映　射
[读教材·填要点]
1．映射
若两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的元素y称为x的像，记作f：x→y.
2．一一映射
如果映射f：A→B满足：
(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像也不同；
(3)B中的每一个元素都有原像，
那么就称映射f：A→B是一一映射，一一映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的映射．
3．函数与映射的区别与联系
函数是一种特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．在函数中，原像的集合称为函数的定义域，像的集合称为函数的值域．
[小问题·大思维]
1．映射定义中的两个非空集合A和B一定是数集吗？
提示：不一定，也可以是点集，或由图形组成的集合等．
2．在映射f：A→B中，B中的元素都有原像与之对应吗？
提示：不一定，如在映射f：A→B如图所示：
B集合中的元素5，在A集合中无原像与之对应．
3．从集合A到集合B的映射，与从集合B到集合A的映射是同一个映射吗？
提示：不是．A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是不同的，即映射具有方向性．
[研一题]
[例1]　判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应法则f：y＝x2，x∈A，y∈B；
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应法则f：y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应法则f：A中的元素对应它的平方根；
(4)A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，对应法则f：y＝x－3，x∈A，y∈B.
[自主解答]　(1)是映射，且是函数，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．又A、B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射；
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为A中的元素0，在集合B中没有对应元素；
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应；
(4)当x≥2时，x－3≥－1，而y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射．
[悟一法]
判断对应f：A→B是否为A到B的映射，应注意两点：
(1)明确集合A、B中的元素；
(2)判断A中的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应，若进一步判断是否为一一映射，还需要注意B中的每个元素在A中是否有原像，集合A中的不同元素对应的像是否相同．
[通一类]
1．下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝R，B＝{正实数}，f：x→|x|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±.
解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0 B，即A中的元素0按对应法则f：x→|x|在B中没有像，∴(1)不是映射；
(2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0，
∴对任意的x，总有y≥0.
又当x≥2，且x∈N＋时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}，
B＝{y|y≥0，y∈Z}知，
当x∈A时，x2－2x＋2∈B，
∴对A中每一个元素x，按对应法则f：x→y＝x2－2x＋2在B中都有唯一的y与之对应，∴(2)是映射；
(3)中，对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝±，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即y＝和y＝－与之对应，∴(3)不是映射.
[研一题]
[例2]　已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．f：(x，y)→(x＋2y＋2，4x＋y)．
(1)求A中元素(5，5)的像；
(2)求B中元素(5，5)的原像．
[自主解答]　(1)当x＝5，y＝5时，
x＋2y＋2＝17，4x＋y＝25.
故A中元素(5，5)的像是(17，25)；
(2)令得
故B中元素(5，5)的原像是(1，1)．
[悟一法]
(1)解答此类问题的关键是：
①分清原像和像；
②搞清楚由原像到像的对应关系．
(2)对于A中的元素求像，只需将原像代入对应关系即可，对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程(组)求解即可．
[通一类]
2．(1)从R到(0，＋∞)的映射f：x→|x|＋1，则R中的元素－1在(0，＋∞)中的像是________，(0，＋∞)中的元素4在R中的原像是________．
(2)在给定的映射f：(x，y)→(x＋y，x－y)下，则点(1，2)在f下的像是________，点(1，2)在f下的原像是________．
解析：(1)当x＝－1时，|x|＋1＝2，
当|x|＋1＝4时，x＝±3.
(2)把(1，2)代入(x＋y，x－y)中得点(3，－1)；
令得
答案：(1)2　±3　(2)(3，－1)　(，－)
[研一题]
[例3]　已知A＝{a，b，c}，B＝{－1，0，1}，映射f：A→B满足f(a)·f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
[自主解答]　由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，0，1}，
故f(a)·f(b)＝f(c)时，f(a)、f(b)、f(c)取值的情况如表所示：
f(a)
f(b)
f(c)
1
－1
－1
－1
1
－1
1
1
1
－1
－1
1
－1
0
0
0
－1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
由表可知这样的映射有9个．
若将本例中f(a)·f(b)＝f(c)变为f(a)＋f(b)＝f(c)，则映射个数有多少？
解：由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，0，1}，故符合f(a)＋f(b)＝f(c)条件的f(a)、f(b)、f(c)的取值情况如表所示：
f(a)
0
1
0
－1
0
1
－1
f(b)
0
0
1
0
－1
－1
1
f(c)
0
1
1
－1
－1
0
0
由上表可知，所求映射有7个．
[悟一法]
对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
[通一类]
3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－1，1，2}，映射f：A→B，
(1)求映射f：A→B的个数；
(2)若f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
解：(1)根据映射的定义，集合A中的每一个元素．在集合B中都有唯一的像，所以f：A→B可构成不同映射的个数为33＝27(个)；
(2)由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，1，2}，故符合f(a)＋f(b)＝f(c)条件的f(a)，f(b)，f(c)的取值情况如表所示：
f(a)
f(b)
f(c)
1
1
2
－1
2
1
2
－1
1
由上表可知，所求的映射有3个.
设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f作用下，像20的原像是(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．3
C．4
D．5
[巧思]　抓住A、B都是自然数集合，对不能用基本方法解决的方程2n＋n＝20进行分类讨论求解．
[妙解]　依题意得2n＋n＝20，分别用n＝2，3，4，5代入．
当n＝2时，22＋2≠20，排除A；
当n＝3时，23＋3≠20，排除B；
当n＝5时，25＋5≠20，排除D；
当n＝4时，24＋4＝20，C正确．
[答案]　C
1．设f：A→B是从A到B的映射，那么下列说法正确的是(　　)
A．A中任何不同的元素必有不同的像
B．A中任何一个元素在B中的像是唯一的
C．B中任何一个元素在A中必有原像
D．B中一定存在元素在A中没有原像
答案：B
2．设A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，下面从A到B的对应中是从A到B的映射的有(　　)
A．①②③　　　　　　　　
B．①③④
C．①②④
D．②③④
答案：A
3．下列各组中，集合P与M能建立一一映射的是(　　)
A．P＝{0}，M＝
B．P＝{1，2，3，4，5}，M＝{2，4，6，8}
C．P＝{有理数}，M＝{有序实数对}
D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}
答案：D
4．下列对应f是从集合A到集合B的函数是________．
(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1.
解析：对于(1)，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数；
同理，对于(2)，对应f也是集合A到集合B的函数；
对于(3)，由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中没有像．∴对应f不是集合A到集合B的函数．
答案：(1)(2)
5．根据下列所给的对应关系，回答问题．
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈B.
上述三个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．
解析：①对x∈A，在f：x→y＝3x＋1作用下在B中都有唯一的像，因此能构成映射，又A、B均为数集，因而能构成函数；对于②可以构成映射，但A、B不是数集，故构不成函数关系；对于③A中的元素－1在B中无元素与之相对应，故构不成映射，也构不成函数关系．
答案：①②　①
6．已知(x，y)在f作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)求(－2，3)在f作用下的像；
(2)求(2，－3)在f作用下的原像．
解：(1)∵x＝－2，y＝3，∴x＋y＝－2＋3＝1，
xy＝(－2)×3＝－6.
∴(－2，3)在f作用下的像是(1，－6)；
(2)易知解得
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)和(－1，3)．
一、选择题
1．已知集合A＝{a1，a2}，集合B＝{－1，1}，下列对应不是A到B的映射的是(　　)
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足任一A中元素在B中有唯一元素与之对应．
答案：C
2．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列由A到B的对应：①f：x→y＝x，②f：x→y＝，③f：x→y＝－|x|.④f：x→y＝x－2.
其中能构成映射的是(　　)
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④
解析：对于①，当0≤x≤4时，0≤x≤2，显然对于A中的任意元素x，B中有唯一的元素y与之对应，是映射；
对于②，也符合映射的定义；
对于③，0≤x≤4时，－4≤－|x|≤0，
显然－|x| (0，2]，不是映射；
对于④，0≤x≤4时，－2≤x－2≤2，当0≤x<2时，B中没有像与之对应，也不符合映射的定义．
故只有①②正确．
答案：A
3．设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2，1)的原像为(　　)
A．(3，1)
B.
C.
D．(1，3)
解析：∵∴
答案：B
4．集合A＝{a，b}，B＝{－1，0，1}从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数有(　　)
A．2个
B．3个
C．5个
D．8个
解析：由f(a)，f(b)∈{－1，0，1}，且f(a)＋f(b)＝0知，这样的映射有：
共3个．
答案：B
二、填空题
5．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6，2)，在此映射下的原像是(3，1)，则k＝________，b＝______．
解析：由解得
答案：2　1
6．设A到B的映射f1：x→2x＋1，B到C的映射f2：y→y2－1，则A到C的映射f：________．
解析：x→(2x＋1)2－1＝4x2＋4x.
答案：x→4x2＋4x
7．已知集合A到集合B＝{0，1，，}的映射f：x→，那么集合A中的元素最多有________个．
解析：∵|±1|＝1，
∴和B集合中的1对应的元素可以是±1.
而当x＝±2时，＝，当x＝±3时，＝，
又不可能有x使＝0，
∴集合A中元素最多有6个．
答案：6
8．已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原像，则k的取值范围是________．
解析：∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y≤1，即像的集合为(－∞，1]
∵k∈B时，在集合A中不存在原像，即k不在像的集合内．
∴k＞1.
答案：(1，＋∞)
三、解答题
9．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x＋1；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；
(3)A＝{1，2，3，4}，B＝{1，，，}，对应关系f：x→.
解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素4，6，8没有原像，不能构成一一映射；
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应；
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．
10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．
(2)判断这个映射是不是一一映射．
解：(1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)
由得a＝0，b＝.
∴存在元素(0，)使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．