2.2.1 函数的概念 学案2（含答案）

2.1　函数的概念
学案
问题导学
一、函数关系的判断
活动与探究1
判断下列对应关系能否构成集合A到B的函数？
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝N，B＝R，f：x→y＝±.
迁移与应用
设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成集合A到B的函数是__________．(只填序号)
①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；
③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.
判断所给对应关系是否是函数关系的两个条件是：
(1)看是否是两个非空数集的对应．
(2)看是否满足任意性、存在性、唯一性．
总之，对应关系可以一对一，多对一，但不可一对多．
二、相同函数的判断问题
活动与探究2
下列各组函数是否表示同一函数？为什么？
(1)f
(x)＝|x|，φ(t)＝；(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝·，y＝.
迁移与应用
下列函数与函数y＝x－1是同一函数吗？请说明理由：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝t－1.
(1)判定两个函数是否表示同一函数，要看三要素的实质是否对应相同．由于没有特殊的要求，函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只需判断定义域和对应关系是否都相同即可．
(2)两个函数是否相同，与表示自变量和函数值的字母无关．
三、求函数的定义域
活动与探究3
(1)求下列函数的定义域：
①y＝(x－1)0；②y＝；③y＝.
(2)设一个矩形的周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数解析式，并写出定义域．
迁移与应用
1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)．
A．[2,3)
B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,3)∪(3，＋∞)
2．如果关于x的函数f(x)＝的定义域是{x|x≤1}，则实数a等于__________．
1．求函数的定义域应遵循的几个依据
(1)f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)f(x)是由几部分数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)．
(5)f(x)是零次幂时，底数不能为零．
2．求函数的定义域时应注意的几点：
(1)求函数的定义域之前，不能随意对函数解析式进行化简变形．
(2)函数的定义域必须要写成集合或区间的形式．
(3)实际应用问题中函数的定义域还必须要考虑变量的实际意义．
四、求函数值及函数的值域
活动与探究4
已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f(2＋x)及f[g(x)]；
(4)求f(x)，g(x)的值域．
迁移与应用
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x＋1，x≤－1；
(3)y＝＋1.
2．已知函数f
(x)＝.
(1)求f(2)；
(2)若f(m)＝2，求m的值；
(3)求函数f(x)的值域．
1．要熟记常见函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b的值域为R；
(2)反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y|y≠0}；
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的值域，当a＞0时是；当a＜0时，是.
2．形如y＝的函数，在求其值域时，要先对解析式进行变形，分离出一个常数，然后再结合反比例函数的值域进行求解；
3．求函数的值域之前，应先确定函数的定义域，对同一个函数，其定义域发生变化，其值域也会随之改变；
4．函数的值域也要写成集合或区间的形式．
当堂检测
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　)．
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．与函数y＝x是同一个函数的是(　　)．
A．y＝|x|
B．y＝
C．y＝
D．y＝t
3．给定集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系不能表示集合A到B的函数的是(　　)．
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝2x
D．f：x→y＝
4．函数f(x)＝的定义域为__________．
5．已知函数f(x)＝－的定义域为(16,25)，则它的值域为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．非空数集　唯一确定　函数　f：A→B　y＝f(x)，x∈A　自变量　定义域　值域
预习交流1　(1)提示：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．又因为值域由定义域和对应关系确定，所以只要两个函数的定义域相同，对应关系也相同，它们就是同一个函数．
(2)提示：函数的定义域和值域都不能是空集．该式中满足x－3≥0且1－x≥0的实数x不存在，因此该式不能表示一个函数关系．
(3)提示：不一定．值域由定义域和对应关系f确定，若设函数的值域为C，则有C B.
(4)提示：“y＝f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；f(x)是一个整体，f(x)并不表示f与x的乘积，而表示从x的取值范围(集合A)到函数值的集合的一个函数．
(5)提示：f(x)与f(a)是不同的，f(x)表示的是一个函数，是一个变量，而f(a)则表示函数f(x)当x＝a时的函数值，是一个常数．
(6)提示：不一定．如函数y＝x与y＝x－1的定义域与值域都是R，但它们是不相同的函数．
2．(1)[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]　端点
(2)[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，a]　(－∞，a)
预习交流2　提示：区间是实数集合的另一种表示形式，因此区间一定是集合，但集合不一定是区间，并不是所有的数集都能用区间表示，例如：集合{1,2}就无法用区间表示．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　思路分析：根据函数的定义，检验所给的对应关系是否满足以下几个条件：
(1)A，B是否是非空数集；
(2)A中的每一个元素是否在B中都有与之对应的元素；
(3)A中的每一个元素在B中与之对应的元素是否是唯一的．
解：(1)不能构成集合A到B的函数，因为A中的元素0在B中没有元素与之相对应．(2)能构成集合A到B的函数，因为它满足函数的定义．(3)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素－2在B中没有元素与之相对应．(4)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素4在B中有两个元素与之相对应．
迁移与应用　④　解析：容易判断①②③能构成A到B的函数，对于④，考虑输入值2，即当x＝2时，y＝4－22＝0，而0B，所以④不能构成A到B的函数．
活动与探究2　思路分析：只有定义域与对应关系分别相同的两个函数才是同一函数．
解：对于(1)：在公共定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝|t|的对应关系完全相同，只是表示形式不同；对于(2)：前者x∈R，后者x≥0，两者定义域不同；对于(3)：前者定义域为{x|x≥1}，后者定义域为{x|x≤－1，或x≥1}；对于(4)：在公共定义域{x|－1≤x≤1}上，y＝· y＝.
由上述可知(1)与(4)中的两个函数分别表示同一函数，(2)与(3)中的两个函数分别表示不同的函数．
迁移与应用　解：(1)y＝＝|x－1|与y＝x－1的对应关系不同，
故y＝与y＝x－1不是同一函数．
(2)y＝＝x－1，
定义域为{x|x≠－1}，
而y＝x－1的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
(3)y＝t－1与y＝x－1的定义域均为R，对应关系又完全相同，因此是同一函数．
活动与探究3　思路分析：对于(1)，要从所给函数解析式的结构入手，使各个部分同时有意义，列出不等式或不等式组求解得出定义域；对于(2)，可由面积公式得到解析式，同时从变量x的实际意义出发求出定义域．
解：(1)①要使函数有意义，应满足x－1≠0，即x≠1.
故函数的定义域为{x|x≠1}．
②要使函数有意义，应满足x2－4≠0，即x≠±2，故函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－2}．
③要使函数有意义，应满足即
故函数的定义域是{x|x≥－1，且x≠1}．
(2)由题意知，另一边长为，且每边长都为正数，所以S＝·x＝(40－x)·x，
且得0＜x＜40，
所以函数的定义域为{x|0＜x＜40}．
迁移与应用　1．C　解析：由解得x≥2，且x≠3.
2．1　解析：要使f(x)有意义，应满足a－x≥0，即x≤a，
由于函数的定义域为{x|x≤1}，因此有a＝1.
活动与探究4　思路分析：解决求值问题，先分清对应关系，再代入求值．求值域问题首先确定定义域．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝.
(3)f(2＋x)＝＝，
f[g(x)]＝＝.
(4)y＝的定义域为{x|x≠－1}，
∴f(x)的值域是{y∈R|y≠0}(或(－∞，0)∪(0，＋∞))．
∵y＝x2＋2的定义域为R，且x2≥0，
∴y＝x2＋2≥2，此时y的最小值为2.
∴g(x)的值域是[2，＋∞)．
迁移与应用　1．解：(1)由x的取值得该函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵x≤－1，∴2x≤－2.
∴2x＋1≤－1.
∴函数的值域为(－∞，－1]．
(3)∵≥0，∴＋1≥1.
∴该函数的值域是[1，＋∞)．
2．解：(1)f(2)＝＝.
(2)∵f(m)＝＝2，∴m＝－3.
(3)f(x)＝＝＝1－，
∵≠0，∴1－≠1.∴f(x)≠1，
即函数的值域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
【当堂检测】
1．B　解析：②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来．
2．D
3．C　解析：对于选项C中的对应关系，当x＝6时，y＝2x＝12B，因此这种对应关系不能构成函数．
4．[1，＋∞)　解析：要使f(x)有意义，应满足即x≥1，故函数的定义域是[1，＋∞)．
5．(－5，－4)　解析：∵16＜x＜25，∴4＜＜5.
∴－5＜－＜－4.
∴函数的值域为(－5，－4)．