2.2.1 函数的概念 学案4（含答案）

2.2.1
函数的概念
学案
课标解读
1.通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重点、难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域.
知识点一
生活中的变量关系
【问题导思】　
世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．
1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
【提示】　没有依赖关系．不是函数关系．
2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？
【提示】　具有依赖关系，但不是函数关系．
3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？
【提示】　具有依赖关系，也是函数关系．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．
知识点二
函数的概念
【问题导思】　
1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？
【提示】　初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．
2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？
【提示】　因变量y随自变量x的变化而变化．
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
知识点三
区间
1.区间：
设a，b是两个实数，而且a定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
　这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
2．无穷大的概念及无穷区间：
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤b}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
类型一
生活中的变量关系及判断
　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；
(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；
(3)商品的销售额与广告费之间的关系；
(4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
【思路探究】　两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．
【自主解答】　(1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；
(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；
(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；
(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；
(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．
综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．
1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．
2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．
(1)下列说法不正确的是(　　)
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则(　　)
A．x，y之间有依赖关系　
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
【解析】　(1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A、B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．
(2)虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．
【答案】　(1)C　(2)A
类型二
函数概念的理解
　下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝.
【思路探究】　解答本题可从函数的定义入手，即对于A中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y值与之对应．
【自主解答】　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝＋是函数
B．A＝N，B＝Z，f：x→y＝±，则f是从集合A到集合B的一个函数
C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，f：x→y＝x2，则f是从A到B的一个函数
D．y2＝x是函数
【解析】　对于A，由于，则无解，所以f(x)不是函数．
对于B，对集合A中的元素4，在B中有2个元素与之对应，不是函数．
对于D，当x＝4时，y＝±2两个值与之对应，不满足函数定义．
对于C，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念．
【答案】　C
类型三
函数的定义域
　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2x＋3；(2)f(x)＝·＋2；
(3)y＝.
【思路探究】　对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．
【自主解答】　(1)函数f(x)＝2x＋3的定义域为R.
(2)要使函数有意义，需满足
解得1≤x≤4.所以函数f(x)＝·＋2的定义域为{x|1≤x≤4}．
(3)要使函数有意义，需满足1＋x≠0，解得x≠－1.
所以函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：
(1)分式中，分母不为零；
(2)偶次根式中，被开方数非负；
(3)对于y＝x0要求x≠0；
(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．
2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
求下列函数的定义域
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
【解】　(1)当x－2≠0，即x≠2时，有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≠2}．
(2)当3x＋2≥0，即x≥－时，有意义，
∴函数f(x)＝的定义域是[－，＋∞)．
(3)由题意解得
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1}∩{x|x≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).
求定义域时盲目化简函数解析式致误
　求函数f(x)＝－的定义域．
【错解】　f(x)＝－＝x＋1－.
要使函数有意义，需满足．
1－x≥0，即x≤1.
故f(x)的定义域为(－∞，1]．
【错因分析】　本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化．
【防范措施】　讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．
【正解】　要使函数f(x)有意义，需满足：
解得x≤1且x≠－1.
所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．
1．函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图像．
2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{
y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到N的函数关系的有(　　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【解析】　由函数的定义，M中任意一个x，N中都有唯一y对应，故(1)(2)(4)正确．
【答案】　C
2．下列函数完全相同的是(　　)
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋3.
【解析】　A、C、D的定义域均不同．
【答案】　B
3．(2012·四川高考)函数f(x)＝的定义域是________．(用区间表示)
【解析】　由题意，需1－2x>0，解得x<.
故f(x)的定义域为(－∞，)．
【答案】　(－∞，)
4．已知函数f(x)＝－，
(1)求函数f(x)的定义域；(用区间表示)
(2)求f(－1)，f(12)的值．
【解】　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f(2)＝(　　)
A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】　f(2)＝＝.
【答案】　C
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．y＝x2和y＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
【解析】　A中y＝x－1定义域为R，而y＝定义域为{x|x≠1}；
B中函数y＝x0定义域{x|x≠0}，而y＝1定义域为R；
C中两函数的解析式不同；
D中f(x)与g(x)定义域都为(0，＋∞)，化简后f(x)＝1，g(x)＝1，所以是同一个函数．
【答案】　D
3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是(　　)
图2－2－1
【解析】　水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来越快．
【答案】　B
4．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1,2)∪(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[1,2]
D．[1，＋∞)
【解析】　要使函数有意义，需
解得x≥1且x≠2，
所以函数的定义域是{x|x≥1且x≠2}．
【答案】　A
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　)
A．(0,1)
B．(0,1]
C．[0,1)
D．[0,1]
【解析】　由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，
即0【答案】　B
二、填空题
6．集合{x|－1≤x<0或1【解析】　结合区间的定义知，
用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．
【答案】　[－1,0)∪(1,2]
7．函数y＝的定义域为________．
【解析】　要使函数有意义，自变量x须满足
解得：x≥1且x≠2.
∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
【答案】　[1,2)∪(2，＋∞)
8．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
【解析】　由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1.
【答案】　－1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋，
求：(1)函数f(x)的定义域；
(2)f(4)的值．
【解】　(1)由得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)f(4)＝＋＝2＋＝.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
【解】　(1)要使y＝有意义，则必须解得x≤0且x≠－，
故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－}．
(2)要使y＝有意义，
则必须3x－2>0，即x>，
故所求函数的定义域为{x|x>}．
11．已知f(x)＝，x∈R，
(1)计算f(a)＋f()的值；
(2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值．
【解】　(1)由于f(a)＝，f()＝，
所以f(a)＋f()＝1.
(2)法一　因为f(1)＝＝，f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝，f(4)＝＝，f()＝＝，
所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝＋＋＋＋＋＋＝.
法二　由(1)知，f(a)＋f()＝1，则f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝f(4)＋f()＝1，即[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋[f(4)＋f()]＝3，
而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝.