2.2.2 函数的表示方法 教案3
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2.2.2
函数的表示方法
教案
1．掌握函数的三种表示方法，会选择适当的方法表示函数．
2．掌握求函数解析式的一般方法．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的表示法
(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是______取的值，第二行是对应的______，这种用____的形式表示两个变量之间________的方法，称为列表法．
列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．
(2)图像法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为______，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图像，这种用____把两个变量间的________表示出来的方法，称为图像法．
图像法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等．
(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的__________(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．缺点是并不是任意函数都可用解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析法表示．
【做一做1】
已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(
)．
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
2．分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的________的函数．
分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集．值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系．
【做一做2】
函数f(x)＝则f
的值为(
)．
A.
B．1
C.
D．2
答案：1．(1)自变量 函数值 表格 函数关系 (2)纵坐标 图像
函数关系 (3)解析表达式
【做一做1】
C 设x＋1＝t，则x＝t－1，则f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，则f(x)＝3x－1.
2．对应关系
【做一做2】
A
如何画分段函数的图像？
剖析：画分段函数的图像要先分析分段函数的定义域，遵循定义域优先的原则．
例如：画函数y＝的图像．
步骤：①画整个二次函数y＝(x＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像，如图所示．
由此可得，画分段函数y＝(D1，D2，…两两交集是空集)的图像的步骤是：
①画整个函数y＝f1(x)的图像，再取其在区间D1上的图像，其他部分删去不要；
②画整个函数y＝f2(x)的图像，再取其在区间D2上的图像，其他部分删去不要；
③依次画下去；
④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．
题型一
求函数的解析式
【例1】
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式．
分析：解答本题可利用待定系数法，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根据题设条件列方程组求解待定系数k，b.
反思：本题以f(x)为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．
【例2】
已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析：本题实际上是寻找对应关系f怎样对自变量起作用．解答本题可在“x＋2”中配凑出“＋1”或将“＋1”整体换元来求解．
反思：换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．
【例3】
已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
分析：已知x和互为倒数，故可在等式2f＋f(x)＝x中令x取的值，得到关于f(x)，f的另一个等式，把f(x)与f看成未知数，通过解方程组求得f(x)．
反思：对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，解方程组得函数f(x)的解析式．类似于解二元一次方程组，故称为方程组法．
题型二
分段函数【例4】
已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图像；
(2)根据已知条件分别求f(1)，f(－3)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式．
(1)函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的函数关系，因而可利用常见函数的图像作图．
(2)根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值．
反思：分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系．对于分段函数，各个分段的“端点”要注意处理好．
题型三
函数的图像
【例5】
作出下列函数的图像．
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．
分析：(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．
反思：1.图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．
2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．
题型四
应用问题
【例6】
如图所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域．
分析：可由题意将长方体的高度和底面正方形的边长表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制．
反思：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义，如本题中单从解析式上看，使解析式有意义的x∈R，但问题的实际意义x＜a，且≤t，这就是实际问题对自变量的制约．
答案：【例1】
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
【例2】
解：方法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【例3】
解：∵f(x)＋2f＝x，令x取的值，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)与f的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
【例4】
解：(1)分别画出y＝x2(x＞0)，y＝1(x＝0)，y＝0(x＜0)的图像，即得所求函数的图像如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，f[f(－3)]＝f(0)＝1，f{f[f(－3)]}＝f[f(0)]＝f(1)＝12＝1.
【例5】
解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分．
图①
图②
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．
【例6】
解：依题意知，长方体铁盒高为x，底面正方形的边长为(2a－2x)，则V＝(2a－2x)2·x＝4x(a－x)2.
∵∴
∵a－＝＞0，∴0＜x≤.
∴铁盒容积V＝4x(a－x)2，定义域为
.
1
已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为(
)．
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
A．－1
B．－2
C．－3
D．－4
2函数f(x)＝的图像是(
)．
3(2011山东寿光高一期中)若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(
)．
A.
B．
C．2
D．－2
4已知f(x－1)＝x2＋1，则f(x)＝__________.
5已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
答案：1．D
2．C ∴f(x)＝应选C.
3．A ∵f(4x)＝＝x，
∴4x－1＝4x2.∴4x2－4x＋1＝0.∴x＝.
4．x2＋2x＋2 设x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2＋1，即f(x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2.
5．分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论．
解：(1)∵－1＜＜2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f
[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1＜a＜2时，f(a)＝a2，
又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.
函数的表示方法
教案
1．掌握函数的三种表示方法，会选择适当的方法表示函数．
2．掌握求函数解析式的一般方法．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的表示法
(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是______取的值，第二行是对应的______，这种用____的形式表示两个变量之间________的方法，称为列表法．
列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．
(2)图像法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为______，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图像，这种用____把两个变量间的________表示出来的方法，称为图像法．
图像法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等．
(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的__________(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．缺点是并不是任意函数都可用解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析法表示．
【做一做1】
已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(
)．
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
2．分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的________的函数．
分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集．值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系．
【做一做2】
函数f(x)＝则f
的值为(
)．
A.
B．1
C.
D．2
答案：1．(1)自变量 函数值 表格 函数关系 (2)纵坐标 图像
函数关系 (3)解析表达式
【做一做1】
C 设x＋1＝t，则x＝t－1，则f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，则f(x)＝3x－1.
2．对应关系
【做一做2】
A
如何画分段函数的图像？
剖析：画分段函数的图像要先分析分段函数的定义域，遵循定义域优先的原则．
例如：画函数y＝的图像．
步骤：①画整个二次函数y＝(x＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像，如图所示．
由此可得，画分段函数y＝(D1，D2，…两两交集是空集)的图像的步骤是：
①画整个函数y＝f1(x)的图像，再取其在区间D1上的图像，其他部分删去不要；
②画整个函数y＝f2(x)的图像，再取其在区间D2上的图像，其他部分删去不要；
③依次画下去；
④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．
题型一
求函数的解析式
【例1】
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式．
分析：解答本题可利用待定系数法，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根据题设条件列方程组求解待定系数k，b.
反思：本题以f(x)为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．
【例2】
已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析：本题实际上是寻找对应关系f怎样对自变量起作用．解答本题可在“x＋2”中配凑出“＋1”或将“＋1”整体换元来求解．
反思：换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．
【例3】
已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
分析：已知x和互为倒数，故可在等式2f＋f(x)＝x中令x取的值，得到关于f(x)，f的另一个等式，把f(x)与f看成未知数，通过解方程组求得f(x)．
反思：对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，解方程组得函数f(x)的解析式．类似于解二元一次方程组，故称为方程组法．
题型二
分段函数【例4】
已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图像；
(2)根据已知条件分别求f(1)，f(－3)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式．
(1)函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的函数关系，因而可利用常见函数的图像作图．
(2)根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值．
反思：分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系．对于分段函数，各个分段的“端点”要注意处理好．
题型三
函数的图像
【例5】
作出下列函数的图像．
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．
分析：(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．
反思：1.图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．
2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．
题型四
应用问题
【例6】
如图所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域．
分析：可由题意将长方体的高度和底面正方形的边长表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制．
反思：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义，如本题中单从解析式上看，使解析式有意义的x∈R，但问题的实际意义x＜a，且≤t，这就是实际问题对自变量的制约．
答案：【例1】
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
【例2】
解：方法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【例3】
解：∵f(x)＋2f＝x，令x取的值，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)与f的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
【例4】
解：(1)分别画出y＝x2(x＞0)，y＝1(x＝0)，y＝0(x＜0)的图像，即得所求函数的图像如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，f[f(－3)]＝f(0)＝1，f{f[f(－3)]}＝f[f(0)]＝f(1)＝12＝1.
【例5】
解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分．
图①
图②
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．
【例6】
解：依题意知，长方体铁盒高为x，底面正方形的边长为(2a－2x)，则V＝(2a－2x)2·x＝4x(a－x)2.
∵∴
∵a－＝＞0，∴0＜x≤.
∴铁盒容积V＝4x(a－x)2，定义域为
.
1
已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为(
)．
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
A．－1
B．－2
C．－3
D．－4
2函数f(x)＝的图像是(
)．
3(2011山东寿光高一期中)若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(
)．
A.
B．
C．2
D．－2
4已知f(x－1)＝x2＋1，则f(x)＝__________.
5已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
答案：1．D
2．C ∴f(x)＝应选C.
3．A ∵f(4x)＝＝x，
∴4x－1＝4x2.∴4x2－4x＋1＝0.∴x＝.
4．x2＋2x＋2 设x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2＋1，即f(x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2.
5．分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论．
解：(1)∵－1＜＜2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f
[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1＜a＜2时，f(a)＝a2，
又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.