2.2.2 函数的表示方法 教案4

2.2.2　函数的表示方法
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)明确函数的三种表示方法．
(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．
(3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法
学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情感、态度与价值观
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法
●重点难点
重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．
本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．
(教师用书独具)
●教学建议
教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．
●教学流程
创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法 研究新知，明确三种表示方法的优缺点 完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法 通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式
学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样 完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.掌握函数的常用的三种表示法．(重点)2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)
知识点一
函数的表示法
【问题导思】　
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
1．函数的定义域是什么？
【提示】　{1,2,3,4,5}．
2．y与x的关系是什么？
【提示】　y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
【提示】　
铅笔数x/支
1
2
3
4
5
钱数y/元
0.5
1
1.5
2
2.5
4.试用图像表示x与y之间的关系．
【提示】　
表示法
定义
列表法
用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法
图像法
用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法
解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法
知识点二
分段函数
【问题导思】　
如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．
1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？
【提示】　能．
y＝
2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？
【提示】　不能．
　
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.
类型一
函数图像的作法
　作出下列函数的图像．
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))；
(3)y＝，x∈[2，＋∞)．
【思路探究】　用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．
【自主解答】　(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．
(1)　　　　　　
　(2)
(3)
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．
(3)当x＝2时，y＝1，其图像如图(3)所示．
1．描点法作函数图像的“三步曲”：
一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表
2．作函数图像的注意事项：
(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；
(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．
求作y＝|x2＋3x－4|的图像．
【解】　作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．
(1)　　　　　　　　(2)
类型二
求函数解析式
　(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数f(x)的解析式．
(2)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
【思路探究】　(1)由于f(x)是一次函数，所以可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法恒等求解；
(2)可用换元法(或配凑法)求解．
【自主解答】　(1)由于f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意知，f[f(x)]＝4x－1，
所以k(kx＋b)＋b＝4x－1，
即k2x＋kb＋b＝4x－1，
所以
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)法一　(换元法)
设＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二　(配凑法)
f(＋1)＝(＋1)2－1，
又＋1≥1，
所以f(x)＝x2－1，x≥1.
1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：
(1)根据函数模型设出函数解析式；
(2)根据题设求待定系数．
2．已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，常用方法如下：
(1)换元法：令t＝g(x)，然后求出f(t)的解析式，最后用x代替t即可．
(2)配凑法：可通过配凑把f[g(x)]的解析式用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(1)已知f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式为________．
(2)已知2f(x)＋f()＝x，求f(x)．
【解】　(1)令x＋1＝t，
则x＝t－1，由题意得f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵2f(x)＋f()＝x，
以代替x得2f()＋f(x)＝，
于是可得
解得f(x)＝x－，
∴f(x)＝x－.
【答案】　(1)f(x)＝3x－1　(2)f(x)＝x－
类型三
分段函数
　已知f(x)＝求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
【思路探究】　由f(x)的解析式令x＝－1求出f(－1)及f(f(－1))的值，进而求出f(f(f(－1)))的值．
【自主解答】　x＝－1<0，∴f(－1)＝0，
f(f－1))＝f(0)＝π，
f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值；
2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．
　(1)(2012·江西高考)设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A.　　　　B．3　　　　C.　　　　D.
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
【解析】　(1)f(3)＝，f(f(3))＝f()＝.
(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋1＝10，解得x＝3或x＝－3(舍去)；
当x<0时，f(x)＝－2x＝10，解得x＝－5.综上得x＝－5或3.
【答案】　(1)　(2)－5或3
忽略变量的实际意义而致误
　如图2－2－2所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图像．
图2－2－2
【错解】　由题意得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝，所以y＝.
故所求的函数表达式为y＝，其图像如图所示．
【错因分析】　没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围导致出错．
【防范措施】　从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．
【正解】　由题意得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝.所以y＝.因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，BD＝＝5，所以3≤x≤5，
故所求的函数表达式为y＝(3≤x≤5)．
如图所示，曲线MN就是所求的图像．
1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.
1．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是(　　)
【解析】　刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.
【答案】　A
2．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)等于(　　)
A．3　　　B．3x　　　C．3x＋6　　　D．6x＋3
【解析】　由已知，得f[g(x)]＝6x＋3
＝3(2x＋1)＝3g(x)，
所以f(x)＝3x.
【答案】　B
3．已知f(x)＝则f[f()]＝________.
【解析】　f()＝()2－1＝－，
故f[f()]＝f(－)＝＝－.
【答案】　－
4．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
【解】　(1)列表法：
x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}.
一、选择题
1．函数y＝|x|的图像是(　　)
【解析】　∵y＝|x|＝∴B选项正确．
【答案】　B
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
A.1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　由表中数据可知，f(2)＝3.
【答案】　C
3．设函数f(x)＝则f()的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．18
【解析】　f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f()＝f()＝1－()2＝.
【答案】　A
4．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　　)
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
【解析】　①当a>0时，f(a)＝a2＝4，
∴a＝2.
②当a≤0时，f(a)＝－a＝4，
∴a＝－4.
【答案】　B
5．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2＋2x＋1
B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1
D．f(x)＝x2－2x－1
【解析】　令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
【答案】　A
二、填空题
6．已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)＝________.
【解析】　设f(x)＝(k≠0)，则＝－6，k＝－18.
∴f(x)＝－.
【答案】　－
7．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．
【解析】　当0≤x≤100时，y＝0.5x；
当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
所以y＝　
【答案】　y＝　
8．已知f(x)＝，则f(3)＝________.
【解析】　f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，f(7)＝7－5＝2.
【答案】　2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
【解】　(1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.
10．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
∴解得
∴f(x)＝x2－x＋1.
11．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2
000亿元，给我国农业造成的损失达1
500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
【解】　由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，
当5＜x≤6时，
y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.
当6＜x≤7时，
y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.
所以y＝.
(教师用书独具)
讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．
【思路探究】　可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图像，图像交点的横坐标x的值就是方程的实数解．
【自主解答】　构造两个函数y＝|x2－4x＋3|和y＝a并作图．
由图可知：
①当a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解；
②当a＝0或a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解；
③当a＝1时，原方程有三个实数解；
④当01．求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图像，由图像可知原方程实数解即为两个函数图像交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图像交点的个数．
2．函数图像可以形象地反映函数的性质，通过观察图像可以确定图像的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图像解题体现了数形结合的思想方法．
若x∈R，f(x)是y＝2－x2与y＝x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．无最大值
【解析】　两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f(x)是两个函数的较小者，可先画出两个函数的图像，然后找出f(x)的图像再求其最大值．
在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图像．∴x＝1时，f(x)max＝1.选B.
【答案】　B
知识拓展
变换法画函数的图像
　变换法画函数的图象有三类：
1．平移变换
(1)将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像；
(3)将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；
(4)将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像，
简称为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．
2．对称变换
(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于直线x＝0即y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于直线y＝0即x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
3．翻折变换
(1)函数y＝|f(x)|的图像可以将函数y＝f(x)的图像位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到；
(2)函数y＝f(|x|)的图像可以将函数y＝f(x)的图像y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分，并保留y＝f(x)在y轴右边部分图像即可得到．
函数的图像是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础，另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图像是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图像可以比喻成人的相片，观察函数的图像可以研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图像的特点，借助函数的图像来解决函数问题，函数的图像问题是高考的热点之一，应引起足够的重视．
下面举例说明其应用：
　已知函数f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图像；
(2)观察图像写出函数的定义域和值域．
【解】　(1)y＝＝＝3＋.
将y＝的图像向左平移两个单位得y＝的图像，再向上平移三个单位得y＝＋3的图像．
图像如图所示．
(2)观察函数的图像，可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．故函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)．
画不熟悉的函数的图像，可以变形成基本函数，利用变换法画出图像，但要注意变形过程是否等价，注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本初等函数的图像，如：正、反比例函数，一次、二次函数的图像，在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.