2.2.2 函数的表示方法 学案3（含答案）

2.2.2　函数的表示法
学案
问题导学
一、求函数的解析式
活动与探究1
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x＋1，求f(x)的解析式．
迁移与应用
1．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
2．(1)已知f＝2x，求f(x)；
(2)已知2f(x)－f＝x，求f(x)．
求函数解析式的常见方法：
(1)若已知函数类型，可用待定系数法求解．
(2)若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法和换元法．配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法是令g(x)＝t，然后解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．
(3)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．
二、作函数的图像
活动与探究2
作出下列函数的图像：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x＜3.
迁移与应用
1．函数y＝＋x的图像是(　　)．
2．画出函数y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)的图像．
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．对于常见的一次、二次函数的图像可直接画出来．
三、分段函数及其应用
活动与探究3
已知函数f(x)＝
(1)求f，f(－2)的值；
(2)画出f(x)的图像；
(3)求f(x)的定义域和值域．
迁移与应用
1．已知f(x)＝则f(f(2))＝(　　)．
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
2．画出下列函数的图像，并写出它们的值域：
(1)y＝(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
(1)分段函数求值时，一定要注意所给自变量的值所在的范围，根据范围选择相应的解析式代入求得．
(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段．
(3)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”，其定义域是自变量x各段取值的并集，值域是各段值域的并集．
当堂检测
1．已知函数f(x)由下表给出：
x
－1
0
1
2
f(x)
4
2
0
1
则f(2)的值为(　　)．
A．4
B．2
C．0
D．1
2．f(x)＝|x－2|的图像是(　　)．
3．设函数f(x)＝则f(f(2))＝(　　)．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知f(x)满足f(2x－1)＝4x2，则f(x)的解析式为__________．
5．某商场进了10台电脑，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．列表法　图像法　解析法　(1)表格　(2)图像
(3)自变量的解析表达式　解析法
预习交流1　(1)提示：
(2)提示：它与函数的图像只有一个交点．因为由函数的定义知，一个x的值只有唯一的y值与它对应．作与x轴垂直的直线，如果它与所给的图形最多只有一个交点，那么这个图形就是某个函数的图像．
2．取值区间　解析式
预习交流2　提示：分段函数虽然由几部分组成，但它却只有一个定义域，只是在定义域内不同区间上有不同的解析表达式而已，所以分段函数是一个函数，而不是几个函数．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　思路分析：第(1)题已知f(x)是一次函数，用待定系数法求解；第(2)题用配凑法或换元法求解；第(3)题可用构造方程组求解法．
解：(1)由题意可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴∴a＝2，b＝7.
∴f
(x)＝2x＋7.
(2)方法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)因为f(x)＋2f(－x)＝x＋1，以－x替换x，得f(－x)＋2f(x)＝－x＋1，由以上两式可解得f(x)＝－x＋.
迁移与应用　1．解：(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(0)＝1，所以c＝1.
又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.
所以从而a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
2．解：(1)设t＝，则x＝(t≠0)，
∴f(t)＝2·＝，故f(x)＝(x≠0)．
(2)∵2f(x)－f＝x，以替换x，得
2f－f(x)＝，
由以上两式消去f可得f(x)＝x＋(x≠0)．
活动与探究2　思路分析：根据一次函数和二次函数的图像，结合函数的定义域，作出函数图像．
解：(1)定义域为Z，所以图像为一群孤立的点．如图(a)．
图(a)
图(b)
(2)定义域不是R，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．如图(b)．
迁移与应用　1．D　解析：函数定义域为{x|x≠0}，因此可排除选项C；当x＝1时，y＝2，可排除选项B；当x＝－1时，y＝－2，可排除选项A.故选D.
2．解：图像如图所示．
活动与探究3　思路分析：(1)根据，－2所在的区间求函数值．(2)(3)可分段画出图像，再结合图像求函数的值域．
解：(1)f＝2＝；f(－2)＝1.
(2)函数f(x)的图像如图所示．
(3)由题意知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当|x|≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当|x|＞1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
迁移与应用　1．C　解析：f(2)＝－2＋3＝1，
f(f(2))＝f(1)＝1＋1＝2.
2．解：(1)函数y＝的图像如左下图，观察图像，可得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图像如右上图．观察图像，得函数的值域为[4，＋∞)．
【当堂检测】
1．D
2．B　解析：函数的解析式可化为f(x)＝由描点法画出图像可知选B.
3．A　解析：f(2)＝＝1，f(f(2))＝＝0.
4．f(x)＝(x＋1)2　解析：令2x－1＝t，则x＝，于是f(t)＝4·2＝(t＋1)2，
即f(x)＝(x＋1)2.
5．解：用列表法可表示为
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
用图像法表示如图所示．
用解析法表示为：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．