2.2.2 函数的表示方法 学案5（含答案）

2.2.2　函数的表示方法
学案
1．函数的表示法
函数的表示法
概念
优点
缺点
列表法
用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法
不必通过计算就可以知道两个变量之间的对应关系，比较直观
只能表示有限个元素间的函数关系
图像法
用图像把两个变量之间的函数关系表示出来的方法，称为图像法
可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势
只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差很大
解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法
利用解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质
一些实际问题很难找到它的解析式
【例1－1】下列四个图像中，是函数图像的是(　　)．
A．(1)　　　　B．(1)(3)(4)
C．(1)(2)(3)
D．(3)(4)
解析：在图像(2)中，对于定义域中的某些x存在两个y值和它对应，故(2)不是函数图像．
答案：B
解技巧
如何检验一个图像是否是一个函数的图像？
方法1：看对于定义域中的任何一个自变量x，是否对应唯一的函数值y，若是，则此图像是一个函数的图像；若不是，则此图像不是一个函数的图像．
方法2：在定义域表示的范围内，作垂直于x轴的直线，若此时直线与图像有唯一交点，则此图像即为定义域内函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则这个图像必定不是函数的图像．
【例1－2】下列表格中的x与y能构成函数的是(　　)．
A．
x
非负数
非正数
y
1
－1
B．
x
奇数
0
偶数
y
1
0
±1
C．
x
有理数
无理数
y
1
－1
D．
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
－1
解析：选项A，当x＝0时，y＝±1；选项B，当x是偶数时，y＝±1；选项C，任意一个x，都有唯一的y与之对应，故C项正确；选项D，当x＝1时，y＝1或0或－1.
答案：C
解技巧
如何判断两个变量是否构成函数
判断一个表格中的两个变量能否构成函数关系的方法：一看表格中两个变量组成的集合是否都是数集，二看对于其中一个变量的每一个取值是否都有唯一的另一个变量值和它对应．
【例1－3】已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，且f(－2)＝10，则f(2)＝(　　)．
A．－14
B．－12
C．－10
D．10
解析：当一个函数的解析式确定时，通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值．此题中函数f(x)含有两个参数a，b，由条件f(－2)＝10可得－8a－2b－2＝10，即8a＋2b＝－12，而f(2)＝8a＋2b－2，所以利用整体代入思想就可求出f(2)＝－12－2＝－14.
答案：A
2．分段函数
(1)分段函数的概念
有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．
谈重点
分段函数的理解
1．分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．
2．分段函数的标准形式是写分段函数时，注意其定义域的端点应不重不漏.
3．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，这一点与函数y＝＋的定义域的求法不相同，如函数y＝的定义域为{x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}＝{x|x＞0}．分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集．
4．分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．
5．求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．
(2)分段函数图像的画法
画分段函数y＝(D1，D2，…是非空集合且两两交集都是空集)的图像的步骤是：
①画函数y＝f1(x)的图像，再取其在集合D1上的图像，其他部分删去不要；
②画函数y＝f2(x)的图像，再取其在集合D2上的图像，其他部分删去不要；
③依次画下去；
④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．
例如：画函数y＝的图像的步骤是：
第一，画二次函数y＝(x＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；
第二，画一次函数y＝－x的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；
第三，这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像(如图所示)．
画分段函数的图像时，要注意每一段上端点的取舍，属于这一段的端点用实心点表示，不属于这一段的端点用空心点表示．
本题中，当x＝0时，(x＋1)2≠－x，故左边一段函数图像的右端点为实心点，右边一段函数图像的左端点为空心点．
【例2－1】已知函数
(1)求f{f[f()]}的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值；
(3)画出函数的图像．
分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以，求分段函数的函数值时，首先应确定自变量所在的取值范围，然后按相应的对应关系求值．要求f{f[f()]}的值，需要确定f[f()]的取值范围，为此又需确定f()的取值范围，可根据由内到外的顺序，依次求出各函数值f()，f[f()]，f{f[f()]}．若f(a)＝3，因为在各段上，函数值都有可能为3，所以应分三种情况进行讨论．
解：(1)∵－1＜＜2，∴f()＝()2＝3.
又∵3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
又∵6≥2，∴f{f[f()]}＝f(6)＝2×6＝12.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2.若f(a)＝3，则a＋2＝3，
∴a＝1.
当－1＜a＜2时，f(a)＝a2.若f(a)＝3，则a2＝3，
∴，或(舍去)．
当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a＝3，∴(舍去)．综上可知，.
(3)函数f(x)的图像如图所示．
警误区
利用分段函数求值的注意事项
对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内．
【例2－2】目前，某市B档出租车的计价标准是：路程2km以内(含2
km)按起步价8元收取，超过2
km后的路程按1.9元/km收取，但超过10
km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)
(1)将乘客搭乘一次B档出租车的费用f(x)(元)表示为行程x(0＜x≤60，单位：km)的分段函数；
(2)某乘客行程为16
km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8
km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？
解：(1)由题意得，出租车的费用f(x)(元)与行程x(0＜x≤60，单位：km)的函数关系为f(x)＝
即f(x)＝
(2)只乘一辆车的费用为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘另一辆车的总费用为2f(8)＝2×(1.9×8＋4.2)＝38.8(元)，
∴该乘客换乘车比只乘一辆车完成全部行程更省钱．
3．函数解析式的求法
(1)待定系数法
若已知函数的类型，则可设出函数的解析式，由题设条件列出方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式，此种方法称为待定系数法．
例如：已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0.
∴f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴
解得a＝b＝.
∴f(x)＝x2＋x.
(2)配凑法
对于形如y＝f[g(x)]的函数，可将右边配成或凑成g(x)的多项式，最后将g(x)都换成x，从而求出解析式，这种方法称为配凑法．由y＝f[g(x)]的解析式，求出函数y＝f(x)后，应注意函数的定义域，f(x)的定义域就是g(x)的值域．
例如：已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)．可将右边“4x2＋2x＋1”变为含“2x＋1”的表达式，得到f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋1，再将“2x＋1”都换成x，则f(x)＝x2－x＋1.这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求．
(3)换元法
对于形如y＝f[g(x)]的函数，也可将“g(x)”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为函数的解析式，这种方法称为换元法．利用这种方法时要正确写出新元“t”的取值范围，也就是g(x)的值域．
例如：已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)．可令t＝2x＋1，则x＝t－，所以f(t)＝42＋2＋1，即f(t)＝t2－t＋1，再将f(t)＝t2－t＋1中所有的t换成x，得出f(x)＝x2－x＋1(因为f(t)和f(x)的定义域和对应关系是相同的，所以f(t)和f(x)是同一函数)．
(4)消元法
当在已知式中出现含有两个不同变量的函数关系式时，常常采用“消元法”，即依据两个变量的关系，重新产生一个关于两个变量的不同等式，再联立方程组消去其一，得到所求函数的解析式．
例如：设f(x)是定义在(0，＋∞)上的一个函数，且有f(x)＝2f－1，求f(x)．
欲求f(x)，必须消去关系式中的f，由于x，互为倒数，所以可用替换关系式中的x，得到另一个关于f(x)，f的方程f＝2f(x)－1，将其代入原关系式f(x)＝2f－1，即可消去f，
得到f(x)＝2－1＝4f(x)－2－1，从而f(x)＝＋.
于是所求函数的解析式为f(x)＝＋，x∈(0，＋∞)．
这种解法基于这样一种认识：函数定义域中的每一个元素都应满足函数表达式．在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于f(x)与f的方程，从而能解出f(x)．
【例3－1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)＝(　　)．
A．　
　B．
C．2x－3
D．2x＋5
解析：(方法1：待定系数法)已知f(x)是一次函数，所以可设f(x)＝kx＋b(k≠0)．则f(x＋1)＝k(x＋1)＋b＝kx＋k＋b.又因为3f(x＋1)＝2x＋17，于是可得方程组解得故所求函数的解析式为f(x)＝.
(方法2：换元法)∵3f(x＋1)＝2x＋17，∴f(x＋1)＝.
令t＝x＋1，则x＝t－1，代入上式得f(t)＝.
∴所求函数的解析式为f(x)＝.
(方法3：配凑法)∵3f(x＋1)＝2x＋17，∴f(x＋1)＝，
将“x＋1”都换成“x”得f(x)＝，
∴所求函数的解析式为f(x)＝.
答案：A
【例3－2】已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式．
分析：因为f(x)是一次函数，所以可利用待定系数法，设f(x)＝kx＋b(k≠0)．则f[f(x)]＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，再根据题设条件即可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b就可确定函数f(x)的解析式．
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.又∵f[f(x)]＝9x＋4，∴
解得或
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
析规律
待定系数法求解析式
本题以f(x)为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．
【例3－3】已知，求f(x)．
分析：本题实际上是寻找对应关系f怎样对自变量起作用．解答本题可在“”中配凑出“”或将“”整体换元来求解．
解：(方法1：配凑法)
∵f()＝＝，且，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(方法2：换元法)
令＋1≠t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
警误区
利用配凑法和换元法求解析式的误区
配凑法和换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．
【例3－4】已知f(x)－＝3x＋2，求f(x)．
分析：观察条件可以看出，欲求f(x)，必须消去关系式中的，由于x和互为倒数，故可在题中等式里令x取的值，得到关于f(x)，的另一个等式，把f(x)与看成未知数，通过解方程组可求得f(x)．
解：∵f(x)－＝3x＋2，
∴令x取的值，得－2f(x)＝＋2.
于是得到关于f(x)与的方程组
①＋②×2消去得，f(x)＝－x－－2即为所求．
解技巧
消元法求解析式
对于已知等式中出现含有两个不同变量的函数关系式，常用消元法求函数的解析式．具体做法是依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，用消元法解方程组得函数f(x)的解析式．
4．函数图像的作法
图像法是表示函数的方法之一，为了直观地了解函数的性质，常常作出函数的草图或较为精确的图像，便于数形结合讨论问题．画函数图像时，常以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．同时还应注意抓住函数的特征，如定义域的分界点、图像上的特殊点(与轴、y轴的交点，最高点与最低点，转折点等)、图像随x变化而变化的趋势等来辅助作图．
另外，还可利用对称、平移、伸缩、翻折等方法作图．
①函数y＝f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于y轴对称；
②函数y＝－f(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称；
【例4－1】作出下列函数的图像．
(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)(x＞1)．
解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图(1)所示为函数图像的一部分．
(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图像如图(2)．
图(1)
图(2)
解技巧
画图的一个技巧
画某些函数的图像时，可以先不考虑其定义域，把使解析式本身有意义的整个基本函数的图像画出来，然后再标出定义域内的部分图像．
③函数y＝－f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于坐标原点对称；
④函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)的图像保留x轴上方部分，下方部分翻折到上方得到；
⑤函数y＝f(|x|)的图像由y＝f(x)的图像保留y轴右方部分，并作关于y轴的对称图像得到；
⑥函数y＝f(x＋a)(a＞0)的图像由y＝f(x)的图像向左平移a个单位长度得到；
⑦函数y＝f(x)＋b(b＞0)的图像由y＝f(x)的图像向上平移b个单位长度得到．
【例4－2】求作y＝|x2＋3x－4|的图像．
分析：函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)的图像保留x轴上方部分，下方部分翻折到x轴上方得到．
解：作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．
谈重点
画二次函数图像的几个突破口
画二次函数的图像时，要确定其开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与坐标轴的交点几个方面．
5．函数图像的应用问题
(1)利用函数图像解方程或判断方程解的个数
求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图像，由图像可知原方程实数解即为两个函数图像交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图像交点的个数．
例如：讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．
可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图像(如图所示)，方程|x2－4x＋3|＝a的实数解就是两个函数图像交点(纵坐标相等)的横坐标x的值，原方程解的个数就是两个函数图像的交点个数，由图可知：
①当a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解；
②当a＝0或a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解；
③当a＝1时，原方程有三个实数解；
④当0＜a＜1时，原方程有四个实数解．
(2)利用函数图像解不等式，不等式f(x)＜g(x)的解集 函数y＝g(x)的图像在y＝f(x)图像上方的点的横坐标的取值集合．
例如：解不等式|2x－1|＞x＋2时，就可用数形结合的方法求解，即先作出y＝|2x－1|及y＝x＋2的图像．由图像可知原不等式的解集为.
(3)利用函数的图像求函数的值域．
例如：求函数y＝的值域．可以看出，所给函数解析式是分段函数，它的图像由y＝，0＜x＜1和y＝x，x＞1两部分组成(如图所示)，观察图像可得此函数的值域为(1，＋∞)．
解技巧
利用图像求分段函数的值域
利用图像法求函数值域，关键是准确作出函数的图像．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图像时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
(4)根据函数的图像求其解析式．
例如，下图中的图像所表示的函数的解析式为(　　)．
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
解析：函数的图像由两条线段组成，若直接求其解析式，则较麻烦．可采用特殊值代入法验证选项，将原点(0,0)代入，可排除选项A，C；再将点代入，又可排除D，故选B.
答案：B
【例5－1】若x∈R，f(x)是y＝2－x2与y＝x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为(　　)．
A．2　　　　B．1
C．－1
D．无最大值
解析：两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f(x)是两个函数的较小者．可先画出两个函数的图像，然后找出f(x)的图像再求其最大值．
在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图像．∴x＝1时，f(x)max＝1.选B.
答案：B
谈重点
函数图像的功能
函数图像可以形象地反映函数的性质，通过观察图像可以确定图像的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图像解题体现了数形结合的思想方法．
【例5－2】设函数f(x)＝已知f(a)＞1，求a的取值范围．
分析：所给函数是分段函数，其图像很容易作出，所以可以利用图像解不等式；另外，也可以对a分三种情况：a≤－1，－1＜a＜1，a≥1，通过解不等式得出a的取值范围．
解法一：(数形结合)
画出f(x)的图像，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的值为(－∞，－2)∪.
解法二：(分类讨论)
(1)当a≤－1时，由(a＋1)2＞1得a＋1＞1，或a＋1＜－1，a＞0，或a＜－2，又a≤－1，∴a＜－2；
(2)当－1＜a＜1时，由2a＋2＞1得，，
又－1＜a＜1，∴；
(3)当a≥1时，由得0＜a＜，
又a≥1，∴此时a不存在．综上可知，a＜－2，或.
【例5－3】求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域．
分析：函数解析式中含有绝对值符号，直接求其值域难度较大．可根据绝对值的意义，分情况去掉绝对值符号，再研究其值域．
解：当x≤－1时，y＝－(x＋1)－(x－2)＝－2x＋1；
当－1＜x＜2时，y＝(x＋1)－(x－2)＝3；
当x≥2时，y＝(x＋1)＋(x－2)＝2x－1，
∴函数y＝|x＋1|＋|x－2|可化为分段函数y＝
它的图像如图所示．
∴函数的值域为[3，＋∞)．
【例5－4】已知函数y＝f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
分析：图中给定的图像实际上是一个分段函数的图像，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．
解：根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(k≠0，x＜1)，将点(1,1)，(0,2)的坐标代入得
解得
∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x＜1)；
同理，x＞3时，函数的解析式为y＝x－2(x＞3)．
再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)，
∵点(1,1)在抛物线上，
∴a＋2＝1，a＝－1.
∴抛物线对应的函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上可知，函数的解析式为y＝
解技巧
由图像求解析式的基本要求
由图像求函数的解析式的基本要求是充分挖掘图中所提供的图像形状以及特殊点的坐标，如本例中点(1,1)，(0,2)，(2,2)，(3,1)，(4,2)的信息，可利用待定系数法求解析式．