2.2.2 函数的表示方法 学案6（含答案）

2.2.2　函数的表示方法
学案
课时目标　1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
1．函数的三种表示法
(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．
(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．
(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．
2．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．
一、填空题
1．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为________．
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．
3．如果f()＝，则当x≠0时，f(x)＝________.
4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝__________________________________.
5．已知f(x)＝，则f(3)＝_________________________________.
6．已知f(x)＝，则f(7)＝________________________________.
7．一个弹簧不挂物体时长12
cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3
kg物体后弹簧总长是13.5
cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为________________________________．
8．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________．
二、解答题
10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．
11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
1．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
3．分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2.2.3　函数的表示方法
作业设计
1．y＝(x>0)
解析　由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
2．1
解析　由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．
3.
解析　令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝.
4．2x－1
解析　由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，
令t＝x＋2，则x＝t－2，
代入g(x＋2)＝2x＋3，
则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.
5．2
解析　∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.
6．6
解析　∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
7．y＝x＋12
解析　设所求函数解析式为y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝.
所以所求的函数解析式为y＝x＋12.
8．f(x)＝－(x≠0)
解析　∵f(x)＝2f()＋x，①
∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
9．f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
∴，解得或.
10．解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝f(4)知
得4a＋b＝0.①
又图象过(0,3)点，
所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.
即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
11．解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．解　根据题意可得d＝kv2S.
∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，
解得k＝.
∴d＝v2S.
当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝.
13．解　因为对任意实数x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.