2.2.3 映射 教案1
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2.2.3
映射
教案
1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射．
2．理解映射与函数的区别与联系．
1．映射
设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的_________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为_______，B中的元素y称为x的_______，记作f：x→y.
映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应．
【做一做1－1】
给出下列4个对应，是映射的是(
)．
A．③④
B．①②
C．②③
D．①④
【做一做1－2】
在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为(
)．
①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应．
②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像．
③集合B中可能有元素在集合A中无原像．
④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．一一映射
当映射f：A→B满足：
(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)__________中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有__________，
那么就称映射f：A→B是——映射，——映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的__________．
映射和一一映射的区别与联系
映射f：A→B
一一映射f：A→B
定义
对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为A到B的映射
A到B的映射满足：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同；B中的每一个元素都有原像，则该映射又称为一一映射
对应方式
多对一或一对一
一对一
原像
B中的一些元素可能没有原像
B中的任何元素有唯一的原像
像
A中的几个元素可能对应同一个像
A中的任何元素有唯一的像
方向性
B到A不一定是映射
B到A是一一映射
【做一做2】
下列对应是集合M到集合N的一一映射的是(
)．
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．
M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
3．函数与映射
函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，
B均为非空________时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是________，而映射不一定是函数．在函数中，________的集合称为函数的定义域，________的集合称为函数的值域．
【做一做3】下列对应为A到B的函数的是(
)．
A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
答案：1．每一个 唯一 原像 像
【做一做1－1】
C
【做一做1－2】
A
2．(2)A 像 (3)原像 映射
【做一做2】
D 用排除法，选项A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；选项C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D.
3．数集 映射 原像 像
【做一做3】
D 由函数的定义可知，对于选项A,0∈R，
且|0|＝0B，故A项中的对应不是A到B的函数；
对于选项B,0∈Z，且02＝0N＋，
故B项中的对应不是A到B的函数；
对于选项C，当x＜0时，如－2∈Z，但无意义，
故C项中的对应不是A到B的函数；
对于选项D，是多对一的情形，
符合函数的定义，是A到B的函数．
1．映射f：A→B到底是什么？怎样理解映射的概念？
剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：
①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．
2．如何理解一一映射的概念？
剖析：(1)一对一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同．
集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像．
(2)可逆性：若映射f：A→B是一一映射，则集合B到集合A的映射一定是一一映射f′：B→A.
题型一
判断映射
【例1】下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝R，B＝{正实数}，f：x→|x|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±.
分析：从定义出发来判断．从集合A到集合B的映射，是指按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应．
反思：映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
题型二
求某一映射中的像或原像
【例2】
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的对应的元素和B中元素在A中的对应元素．
分析：把x＝代入对应关系中可求得在B中对应的元素，在A中对应的元素可通过列方程组解出．
反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组．
题型三
求映射的个数问题
【例3】
已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
分析：A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个，并且满足f(a)＋f(b)＝f(c)，需分类讨论．
反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合A中有m个不同元素，集合B中有n个不同元素，则A到B共有nm个映射，B到A共有mn个映射．
答案：【例1】
解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按对应法则f：x→|x|在B中没有像，∴(1)不是映射．
(2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0，∴对任意的x，总有y≥0.又当x≥2，且x∈N＋时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}知，当x∈A时，x2－2x＋2∈B，∴对A中每一个元素x，按对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，在B中都有唯一的y与之对应，∴(2)是映射．
(3)中，对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝±，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即y＝和y＝－与之对应，∴(3)不是映射．
【例2】
解：将x＝代入对应关系，可求出其在B中的对应元素为(＋1,3)．
由得x＝.
所以在B中的对应元素为(＋1,3)，在A中的对应元素为.
【例3】
解：(1)当A中三个元素都是对应0时，
则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射．
(2)当A中三个元素对应B中两个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1，0＋(－1)＝－1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有2个映射，分别是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0.
因此满足题设条件的映射有7个．
1
设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是(
)．
A．对集合A中的数开平方
B．对集合A中的数取倒数
C．对集合A中的数取算术平方根
D．对集合A中的数立方
2
已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(
)．
A．4
B．5
C．6
D．7
3
设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2,1)的原像为(
)．
A．(3,1)
B.
C.
D．(1,3)
4
设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为__________．
5
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f：x→2x＋1；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝，对应关系f：x→.
答案：1．D 当a＜0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C项错；当a＝0时，对a取倒数无意义，则B项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A中的数立方能建立映射．
2．A ∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
3．B ∵∴故应选B.
4．6 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个．
5．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数．但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．
映射
教案
1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射．
2．理解映射与函数的区别与联系．
1．映射
设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的_________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为_______，B中的元素y称为x的_______，记作f：x→y.
映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应．
【做一做1－1】
给出下列4个对应，是映射的是(
)．
A．③④
B．①②
C．②③
D．①④
【做一做1－2】
在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为(
)．
①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应．
②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像．
③集合B中可能有元素在集合A中无原像．
④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．一一映射
当映射f：A→B满足：
(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)__________中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有__________，
那么就称映射f：A→B是——映射，——映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的__________．
映射和一一映射的区别与联系
映射f：A→B
一一映射f：A→B
定义
对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为A到B的映射
A到B的映射满足：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同；B中的每一个元素都有原像，则该映射又称为一一映射
对应方式
多对一或一对一
一对一
原像
B中的一些元素可能没有原像
B中的任何元素有唯一的原像
像
A中的几个元素可能对应同一个像
A中的任何元素有唯一的像
方向性
B到A不一定是映射
B到A是一一映射
【做一做2】
下列对应是集合M到集合N的一一映射的是(
)．
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．
M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
3．函数与映射
函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，
B均为非空________时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是________，而映射不一定是函数．在函数中，________的集合称为函数的定义域，________的集合称为函数的值域．
【做一做3】下列对应为A到B的函数的是(
)．
A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
答案：1．每一个 唯一 原像 像
【做一做1－1】
C
【做一做1－2】
A
2．(2)A 像 (3)原像 映射
【做一做2】
D 用排除法，选项A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；选项C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D.
3．数集 映射 原像 像
【做一做3】
D 由函数的定义可知，对于选项A,0∈R，
且|0|＝0B，故A项中的对应不是A到B的函数；
对于选项B,0∈Z，且02＝0N＋，
故B项中的对应不是A到B的函数；
对于选项C，当x＜0时，如－2∈Z，但无意义，
故C项中的对应不是A到B的函数；
对于选项D，是多对一的情形，
符合函数的定义，是A到B的函数．
1．映射f：A→B到底是什么？怎样理解映射的概念？
剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：
①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．
2．如何理解一一映射的概念？
剖析：(1)一对一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同．
集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像．
(2)可逆性：若映射f：A→B是一一映射，则集合B到集合A的映射一定是一一映射f′：B→A.
题型一
判断映射
【例1】下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝R，B＝{正实数}，f：x→|x|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±.
分析：从定义出发来判断．从集合A到集合B的映射，是指按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应．
反思：映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
题型二
求某一映射中的像或原像
【例2】
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的对应的元素和B中元素在A中的对应元素．
分析：把x＝代入对应关系中可求得在B中对应的元素，在A中对应的元素可通过列方程组解出．
反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组．
题型三
求映射的个数问题
【例3】
已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
分析：A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个，并且满足f(a)＋f(b)＝f(c)，需分类讨论．
反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合A中有m个不同元素，集合B中有n个不同元素，则A到B共有nm个映射，B到A共有mn个映射．
答案：【例1】
解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按对应法则f：x→|x|在B中没有像，∴(1)不是映射．
(2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0，∴对任意的x，总有y≥0.又当x≥2，且x∈N＋时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}知，当x∈A时，x2－2x＋2∈B，∴对A中每一个元素x，按对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，在B中都有唯一的y与之对应，∴(2)是映射．
(3)中，对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝±，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即y＝和y＝－与之对应，∴(3)不是映射．
【例2】
解：将x＝代入对应关系，可求出其在B中的对应元素为(＋1,3)．
由得x＝.
所以在B中的对应元素为(＋1,3)，在A中的对应元素为.
【例3】
解：(1)当A中三个元素都是对应0时，
则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射．
(2)当A中三个元素对应B中两个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1，0＋(－1)＝－1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有2个映射，分别是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0.
因此满足题设条件的映射有7个．
1
设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是(
)．
A．对集合A中的数开平方
B．对集合A中的数取倒数
C．对集合A中的数取算术平方根
D．对集合A中的数立方
2
已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(
)．
A．4
B．5
C．6
D．7
3
设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2,1)的原像为(
)．
A．(3,1)
B.
C.
D．(1,3)
4
设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为__________．
5
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f：x→2x＋1；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝，对应关系f：x→.
答案：1．D 当a＜0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C项错；当a＝0时，对a取倒数无意义，则B项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A中的数立方能建立映射．
2．A ∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
3．B ∵∴故应选B.
4．6 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个．
5．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数．但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．