2.2.3 映射 教案3

　2.2.3
映　射
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解映射的概念及表示方法．
(2)结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．
2．过程与方法
(1)函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合．
(2)通过实例进一步理解映射的概念．
(3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射、一一映射．
3．情感、态度与价值观
映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
●重点难点
重点：映射的概念．
难点：映射的概念．
映射的概念是比较抽象的，它是在初中所学对应的基础上发展而来，教学中应特别强调对应集合中的“唯一”这点要求的理解；
映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一、多对一、一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让“A中之任意”与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任意对唯一”.
(教师用书独具)
●教学建议
1．在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射．在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，
选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、一对一三种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识上升到理性认识．
2．对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括，最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．
3．关于求像和原像的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原像的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认识．
4．在教学方法上可以采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．
●教学流程
在现实生活中我们经常遇到两集合间的对应关系，今天我们学习一种特殊的对应——映射，为学习函数作准备 课件展示按照某种对应法则建立的两个集合元素之间的一种联系就是对应．出示这个课件的目的是让学生对对应有感性认识 学生分小组讨论几个例子得出映射的概念 通过例1及其变式训练，加深对映射概念的理解 给出像与原像的定义，完成例2及其变式训练 理解特殊的映射——映射，掌握其特点 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解映射、一一映射的概念．(重点)2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点)3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(难点)
知识点一
映　射
【问题导思】　
某校高一·八班有60名同学，同学们的姓名构成集合A.
1．若同学们的姓构成集合B.对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？
【提示】　是．
2．若在集合B中任取一个姓，在A中是否存在唯一的姓名与之对应？
【提示】　不一定．
3．若同学们的身份证号构成集合C，对于集合A中任意一个同学，在C中是否存在唯一的身份证号与之对应？对于集合C中的任意一个身份证号在集合A中是否存在唯一的同学与之对应？
【提示】　是，是
1．映射
(1)映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
(2)像与原像的概念
在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．记作f：x→y.
2．一一映射
一一映射是一种特殊的映射，它满足：
(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像也不同；
(3)B中的每一个元素都有原像．
3．函数与映射
设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射.
类型一
映射的判断
　在下列各题中，判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数，为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：“y＝|x－1|，x∈A，y∈B”；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应关系f：“y＝，x∈A，y∈B”；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应关系f：“y＝x＋3，x∈A，y∈B”．
【思路探究】　先判断A中每一个元素，在集合B中均有对应关系，若有，看对应关系是否唯一．
【自主解答】　(1)集合A＝N中元素1在对应关系f作用下为0，而0 N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故对应关系f不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3 B，故对应关系f不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应关系f作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以，对应关系f是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故对应关系f：A→B又是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应关系f也是从集合A到集合B的函数．
1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．
3．判断一个映射是否是函数的关键是确定集合A、B是否是非空数集．
下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为(　　)
①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x.
②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝.
③A＝N＋，B＝{0,1}，f：除以2所得的余数．
④A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝±.
⑤A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作等边三角形的内切圆．
A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．2
【解析】　①是映射，但不是一一映射，如集合B中4没有原像，③中所有正偶数在对应法则f下只有零一个值，所以不是一一映射，④中的每个值，有两个B中值对应，不是映射，只有②⑤是一一映射．
【答案】　D
类型二
像与原像
　已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)(－2,3)在f作用下的像是________；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，则它的原像是________．
【思路探究】　(1)根据对应关系f：(x，y)→(x＋y，xy)得出像；
(2)设出原像，列方程组，求原像．
【自主解答】　(1)(－2,3)在映射f作用下的像是(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．
(2)设原像(x，y)在映射f作用下的像是(2，－3)，
由题意得，解得或
，
所以原像是(3，－1)或(－1,3)．
【答案】　(1，－6)　(3，－1)或(－1,3)
1．解答此类问题的关键是：
(1)分清原像和像；
(2)弄清由原像到像的对应关系．
2．当给出原像求像时，只需要将原像代入对应关系中即可得出像；当给出像要求原像时，可先假设原像，再代入对应关系中求解，也可根据对应关系，由像逆推出原像．
已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．
(1)求A中元素(5,5)的像；
(2)求B中元素(5,5)的原像．
【解】　(1)当x＝5，y＝5时，
x＋2y＋2＝17,4x＋y＝25.
故A中元素(5,5)的像是(17,25)；
(2)令得
故B中元素(5,5)的原像是(1,1).
因函数与映射的概念理解不清致误
下列对应f是从集合A到集合B的函数的是___．
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.
【错解】　(1)(2)(3)均为集合A到B的函数．
【错因分析】　未弄清函数与映射两概念的区别与联系．
【防范措施】　1.对映射与函数的概念理解不透，误认为只要给出解析式，对应便是函数．
2．函数是定义在非空数集上的映射，它也要满足映射的定义．
【正解】　对于(1)，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数．
同理，对于(2)，对应f也是集合A到集合B的函数．
对于(3)，由于f(3)＝2×3－1＝5 B，即集合A中的元素3在集合B中没有像．
∴对应f不是集合A到集合B的函数．
【答案】　(1)(2)
1．判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看A的每一个元素是否都在B中有且有唯一的像，对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
2．函数、映射与对应的关系可用下面的图形表示．
1．给出下列四个对应，其中构成映射的是(　　)
A．(1)(2)　　　　　　　B．(1)(4)
C．(1)(3)(4)
D．(3)(4)
【解析】　判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应．故选B.
【答案】　B
2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是(　　)
A．A中每一个元素在B中必有唯一像
B．B中每一个元素在A中必有原像
C．B中每一个元素在A中必有唯一原像
D．A中不同元素的像必不同
【解析】　根据映射的概念知，A正确．
【答案】　A
3．已知集合A＝{正实数}，集合B＝R，f：A→B是从A到B的一个映射，若f：x→2x－1，则B中元素3的原像为____．
【解析】　依映射的定义，令2x－1＝3，解得x＝2.
【答案】　2
4．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素(，)的原像．
【解】　把x＝代入对应关系，得其像为(＋1,3)．
又，得x＝.
所以的像为(＋1,3)，(，)的原像为.
一、选择题
1．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
【解析】　所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．
【答案】　D
2．下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是(　　)
A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根
B．A＝R，B＝R，f：取绝对值
C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方
D．A＝R，B＝R，f：取倒数
【解析】　A、B、C均符合映射的定义，而对于D，集合A中的元素0在集合B无元素与之对应，故D不是A到B的映射．
【答案】　D
3．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为(　　)
A．18
B．30
C.
D．28
【解析】　由题意，可知解得a＝2，b＝－8，
∴对应关系为y＝2x－8.
故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.
【答案】　B
4．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【解析】　∵f(3)＝3，∴共有如下4个映射
【答案】　B
5．(2013·太原高一检测)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收文由密文→
明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收文收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为(　　)
A．4,6,1,7
B．7,6,1,4
C．6,4,1,7
D．1,6,4,7
【解析】　由题意得a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28，解得d＝7，c＝1，b＝4，a＝6.
【答案】　C
二、填空题
6．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素(x，y)，映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，像(2,1)的原像是________．
【解析】　解方程组得
【答案】　(，)
7．a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于________．
【解析】　∵f：x→x，∴M＝N，
∴＝0，b＝0，a＝1，故a＋b＝1.
【答案】　1
8．设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果A＝{1,2}，则满足条件且元素最少的集合B＝________.
【解析】　由已知，12＝1,22＝4，故B＝{1,4}．
【答案】　{1,4}
三、解答题
9．判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？
(1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；
(2)A＝B＝{0,1,2}，对应关系f：x→y，y＝x＋1；
(3)A＝B＝N，对应关系f：x→y，y＝(x－2)2.
【解】　(1)不是映射，更不是函数或一一映射．因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(2)不是映射，更不是函数或一一映射，因为x＝2时，y＝3，但3 B，即集合A中元素2在B中没有元素和它对应，所以这个对应不是集合A到集合B的映射．
(3)是映射，也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f和数集B中的唯一一个元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射和函数．显然原像0,4在对应关系下的像都是4，故映射不是一一映射．
10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
(2)判断这个映射是不是一一映射？
【解】　(1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)．
由得a＝0，b＝.
∴存在元素(0，)使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．
11．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；
(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；
(3)
求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系式．
【解】　(1)设(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是解得或
∴(3，－4)在A中的原像有两个，(－1,3)和(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足，　由②式得，y＝x－b，将它代入①式，并化简得x2－bx＋a＝0.　　③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数根，因此只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．
(3)由以上(2)的解题过程可知，当B中元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像.
(教师用书独具)
已知集合A＝{a，b}，集合B＝{c，d，e}．
(1)试建立一个从A到B的映射；
(2)从A到B的映射共有多少个？
【思路探究】　根据映射的定义，建立从A到B的映射，只要使A中的每一个元素在B中有唯一确定的元素与之对应即可．用列举的方法，不难得出答案．
【自主解答】　(1)如上图所示．(答案不唯一)
(2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如下图所示．
对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
(1)已知：A＝{a，b，c，}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．
【解析】　要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是1，其只有三种对应方法，故满足条件的映射有3个．
f(a)
f(b)
f(c)
2
1
1
1
2
1
1
1
2
【答案】　3
(2)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．
【解析】　因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．
【答案】　27　6