2.2.3 映射 学案2（含答案）
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2.2.3 映射
学案
1．映射的概念
两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
谈重点
映射定义的理解
(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．
(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．
(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．
(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．
(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合CB.
【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．
A．(1)(2) B．(1)(4)
C．(1)(3)(4)
D．(3)(4)
解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.
答案：B
解技巧
判断映射的技巧
映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．
【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝
(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝；
(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；
(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→.
解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．
(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.
又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.
∴当x∈A时，x2－2x＋2∈B.
∴对A中每一个元素x，在B中都有唯一的y与之对应，故(2)是映射．
(3)按照对应关系f，在A中任意一个非负数，在B中都有唯一的数1与之对应；在A中任意一个负数，在B中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．
(4)对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即和与之对应，故(4)不是映射．
(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A中的每一个矩形，B中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．
(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A中的实数0，B中没有元素与之对应，故(6)不是映射．
2．一一映射的概念
若从A到B的映射满足下列条件：
①A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
②A中的不同元素的像也不同；
③B中的每一个元素都有原像．
就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A，B之间的一一映射也叫作一一对应．映射与一一映射都是特殊的对应关系，它们之间的关系可表示为：
破疑点
一一映射和映射的区别与联系
映射f：A→B
一一映射f：A→B
定义
对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为A到B的映射
A到B的映射满足：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同，B中的每一个元素都有原像，则该映射称为一一映射
对应方式
“多对一”或“一对一”
一对一
原像
B中的一些元素可能没有原像
B中的任何元素有唯一的原像
像
A中的几个元素可能对应同一个像
A中的任何元素都对应不同的像
方向性
B到A不一定是映射
B到A是一一映射
【例2－1】已知集合A＝{x，y}，B＝{0,1}．试构造从集合A到集合B的映射，则能构造出多少个映射？其中有多少个一一映射？
分析：可根据映射的定义，构造从集合A到集合B的映射，即让A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．从集合A到集合B的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．
解：从集合A到集合B可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：
根据一一映射的定义可知，上述映射中的(3)，(4)是一一映射，所以从集合A到集合B能构造出4个映射，其中有2个一一映射．
【例2－2】若M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤1}，下列对应关系f：x→y是从M到N的一一映射的是( )．
A．
B．
C．
D．y＝(x－1)2
解析：一一映射首先是映射，其次是A中的不同元素在B中的像不同，且B中的每一个元素在A中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A到B的一一映射．在选项A中，当0≤x≤2时，0≤y≤1，对于集合M中的每一个元素在N中都有唯一的像与之对应，且M中的不同元素的像也不同，N中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B中，当0≤x≤2时，0≤y≤，所以集合N中的元素y∈在M中没有原像；在选项C中，当0≤x≤2时，0≤y≤2，所以集合M中的元素x∈{x|＜x≤2}在N中没有像；在选项D中，当x＝0和2时，都有y＝1，所以集合M中的不同元素的像可能相同，故选A.
答案：A
3．函数与映射的区别与联系
(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A、非空集合B以及A，B之间的对应关系．
(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．
(3)在函数中，对定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A中的任意元素a在集合B中都有唯一确定的像b和它对应．
(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B中的任一元素b，在集合A中不一定有原像．
(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．
(6)函数一定是映射，而映射不一定是函数，两者之间的关系如图所示．
【例3】下列对应是不是从A到B的映射？是不是从A到B的函数？
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；(2)A＝{三角形}，B＝{圆}，f：三角形的内切圆；
(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→x2＋y2＝1.
分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．
解：(1)当x＝－1时，y的值不存在，所以不是映射，更不是函数．
(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．
(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，也是A到B的映射．
(4)取x＝0，则由x2＋y2＝1，得y＝±1，即A中的一个元素0与B中的两个元素±1对应，因此(4)不是A到B的映射，也不是从A到B的函数．
警误区
关系式x＝1是函数吗？
有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．
4．像与原像的求解问题
(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．
(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．
例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．
∵2×11－1＝21，
∴M中的元素11对应着P中的元素21.
由2a－1＝11，得a＝6，
∴P中的元素11对应着M中的元素6.
【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．
A．18 B．30 C． D．28
解析：由题意，可知解得a＝2，b＝－8，
∴对应关系为y＝2x－8.
故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.
答案：B
【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)的像；
(2)求B中元素(1,2)的原像．
分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组求出x，y的值便可．
解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，
故A中元素(1,2)的像为(0,9)．
(2)令得
故B中元素(1,2)的原像是.
5．映射的个数问题
(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有nm个，从B到A的映射有mn个．
例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．
(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．
例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．
要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N中元素一定要取完，因而可通过列表把f(a)，f(b)，f(c)的取值情况表示出来．
f(a)
f(b)
f(c)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
－1
0
－1
0
－1
－1
1
－1
0
－1
1
0
由上表可知，所求的映射有7个．
【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．
解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．
答案：4
【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．
解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，
f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是1，其只有三种对应方法，故满足条件的映射有3个．
f(a)
f(b)
f(c)
2
1
1
1
2
1
1
1
2
答案：3
【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．
解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．
答案：27 6
学案
1．映射的概念
两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
谈重点
映射定义的理解
(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．
(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．
(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．
(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．
(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合CB.
【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．
A．(1)(2) B．(1)(4)
C．(1)(3)(4)
D．(3)(4)
解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.
答案：B
解技巧
判断映射的技巧
映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．
【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝
(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝；
(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；
(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→.
解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．
(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.
又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.
∴当x∈A时，x2－2x＋2∈B.
∴对A中每一个元素x，在B中都有唯一的y与之对应，故(2)是映射．
(3)按照对应关系f，在A中任意一个非负数，在B中都有唯一的数1与之对应；在A中任意一个负数，在B中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．
(4)对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即和与之对应，故(4)不是映射．
(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A中的每一个矩形，B中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．
(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A中的实数0，B中没有元素与之对应，故(6)不是映射．
2．一一映射的概念
若从A到B的映射满足下列条件：
①A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
②A中的不同元素的像也不同；
③B中的每一个元素都有原像．
就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A，B之间的一一映射也叫作一一对应．映射与一一映射都是特殊的对应关系，它们之间的关系可表示为：
破疑点
一一映射和映射的区别与联系
映射f：A→B
一一映射f：A→B
定义
对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为A到B的映射
A到B的映射满足：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同，B中的每一个元素都有原像，则该映射称为一一映射
对应方式
“多对一”或“一对一”
一对一
原像
B中的一些元素可能没有原像
B中的任何元素有唯一的原像
像
A中的几个元素可能对应同一个像
A中的任何元素都对应不同的像
方向性
B到A不一定是映射
B到A是一一映射
【例2－1】已知集合A＝{x，y}，B＝{0,1}．试构造从集合A到集合B的映射，则能构造出多少个映射？其中有多少个一一映射？
分析：可根据映射的定义，构造从集合A到集合B的映射，即让A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．从集合A到集合B的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．
解：从集合A到集合B可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：
根据一一映射的定义可知，上述映射中的(3)，(4)是一一映射，所以从集合A到集合B能构造出4个映射，其中有2个一一映射．
【例2－2】若M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤1}，下列对应关系f：x→y是从M到N的一一映射的是( )．
A．
B．
C．
D．y＝(x－1)2
解析：一一映射首先是映射，其次是A中的不同元素在B中的像不同，且B中的每一个元素在A中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A到B的一一映射．在选项A中，当0≤x≤2时，0≤y≤1，对于集合M中的每一个元素在N中都有唯一的像与之对应，且M中的不同元素的像也不同，N中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B中，当0≤x≤2时，0≤y≤，所以集合N中的元素y∈在M中没有原像；在选项C中，当0≤x≤2时，0≤y≤2，所以集合M中的元素x∈{x|＜x≤2}在N中没有像；在选项D中，当x＝0和2时，都有y＝1，所以集合M中的不同元素的像可能相同，故选A.
答案：A
3．函数与映射的区别与联系
(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A、非空集合B以及A，B之间的对应关系．
(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．
(3)在函数中，对定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A中的任意元素a在集合B中都有唯一确定的像b和它对应．
(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B中的任一元素b，在集合A中不一定有原像．
(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．
(6)函数一定是映射，而映射不一定是函数，两者之间的关系如图所示．
【例3】下列对应是不是从A到B的映射？是不是从A到B的函数？
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；(2)A＝{三角形}，B＝{圆}，f：三角形的内切圆；
(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→x2＋y2＝1.
分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．
解：(1)当x＝－1时，y的值不存在，所以不是映射，更不是函数．
(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．
(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，也是A到B的映射．
(4)取x＝0，则由x2＋y2＝1，得y＝±1，即A中的一个元素0与B中的两个元素±1对应，因此(4)不是A到B的映射，也不是从A到B的函数．
警误区
关系式x＝1是函数吗？
有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．
4．像与原像的求解问题
(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．
(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．
例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．
∵2×11－1＝21，
∴M中的元素11对应着P中的元素21.
由2a－1＝11，得a＝6，
∴P中的元素11对应着M中的元素6.
【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．
A．18 B．30 C． D．28
解析：由题意，可知解得a＝2，b＝－8，
∴对应关系为y＝2x－8.
故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.
答案：B
【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)的像；
(2)求B中元素(1,2)的原像．
分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组求出x，y的值便可．
解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，
故A中元素(1,2)的像为(0,9)．
(2)令得
故B中元素(1,2)的原像是.
5．映射的个数问题
(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有nm个，从B到A的映射有mn个．
例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．
(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．
例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．
要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N中元素一定要取完，因而可通过列表把f(a)，f(b)，f(c)的取值情况表示出来．
f(a)
f(b)
f(c)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
－1
0
－1
0
－1
－1
1
－1
0
－1
1
0
由上表可知，所求的映射有7个．
【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．
解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．
答案：4
【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．
解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，
f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是1，其只有三种对应方法，故满足条件的映射有3个．
f(a)
f(b)
f(c)
2
1
1
1
2
1
1
1
2
答案：3
【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．
解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．
答案：27 6