2.2.3 映射 学案4（含答案）
图片预览
文档简介
2.2.3
映射
学案
问题导学
一、映射、一一映射与函数的判定
活动与探究1
在如图所示的对应中是A到B的映射的是( )．
A．②
B．③
C．③④
D．④
活动与探究2
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应关系f：A中的元素对应它的平方根．
(4)A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞0}，f：y＝，x∈A，y∈B.
迁移与应用
判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应关系f：x→；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应关系f：x→x＋3.
判断一个对应是否构成从A到B的映射时，先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．若进一步判断该映射是否是函数，只需看两个集合A，B是否是非空数集即可．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原像，集合A中不同元素对应的像不同．
二、像与原像的计算
活动与探究3
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素的原像．
迁移与应用
已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，
(1)求A中元素(1,2)的像；
(2)求B中元素(1,2)的原像．
解决像与原像的计算问题的关键是紧扣定义，具体地说，就是若已知A中的元素a(即原像a)，求B中与之对应的元素b(即像b)，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可；若已知B中的元素b(即像b)，求A中与之对应的元素a(即原像a)，这时构造方程(组)进行求解即可，应注意解得的结果可能不唯一．
当堂检测
1．给出下列四个对应，其中是映射的是( )．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
2．下面集合P到集合M的对应关系f是映射的是( )．
A．P＝{自然数}，M＝{整数}，f：求算术平方根
B．P＝{整数}，M＝{奇数}，f：x→
C．P＝{整数}，M＝{有理数}，f：求倒数
D．P＝{正整数}，M＝{正整数}，f：x→x＋1
3．下列关于从集合A到集合B的映射的叙述，其中正确的有______．(只填序号)
①B中任何一个元素在A中必有原像；
②A中不同元素在B中的像也不同；
③A中任何一个元素在B中的像是唯一的；
④A中任何一个元素在B中可以有不同的像；
⑤B中某一元素在A中的原像可能不止一个；
⑥集合A与B一定是数集；
⑦记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．
4．已知映射f：N→N＋，x→x2＋1，则10的原像是______．
5．根据下列所给的对应关系，回答问题：
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝.
上述三个对应中，是映射的是______，是函数的是______．(只填序号)
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．唯一 f：A→B 原像 像
预习交流1 (1)提示：不一定．如映射f：A→B，如图所示．集合B中的元素3在集合A中无原像．
(2)提示：可以相同．只要A中的每一个元素都有像，且像是唯一的，就可以建立从A到B的映射．
(3)提示：不一定相等．由于集合B中有些元素可能没有原像，因此像的集合是集合B的子集，二者不一定相等．
2．唯一的像 原像
预习交流2 提示：③
3．非空数集 非空数集
预习交流3 提示：函数是从数集到数集(且均为非空数集)的映射，所以函数是映射，但映射不一定是函数，因为映射的像集与原像集不一定是非空数集．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：按照映射的定义进行判断，分析A中的每一个元素在B中是否都有与之对应的元素，A中每一个元素在B中对应的元素是否是唯一的．
C 解析：(1)中元素b没有与之对应的元素，(2)中元素2在B中有两个元素与之对应，因而均不能构成从A到B的映射．(3)和(4)符合映射的定义，能构成从A到B的映射．
活动与探究2 思路分析：解答时可先从映射的定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应，然后再根据一一映射的定义及映射与函数的关系确定该对应关系是否为一一映射及是否是函数．
解：(1)是映射，且是函数，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．又A，B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为A中的元素0在集合B中没有对应的元素．
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)是映射，是函数，也是一一映射．因为对A中的任一个元素，其倒数是唯一的，即在B中有唯一的元素与之对应．又由于A，B都是非空数集，故此映射也是函数．又因为对于不同的正数，其倒数也是不同的，且B中每个正数都是A中某个正数的倒数，故这个映射也是一一映射．
迁移与应用 解：(1)集合A＝N中元素1在对应关系f的作用下为0，而0N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故该对应不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3，而3B，故该对应不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以此对应是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故该对应是一一映射．又A，B是非空数集，因此该对应也是从集合A到集合B的函数．
活动与探究3 思路分析：解决本题的关键是清楚映射的对应关系f，如要求的像，只需把x＝代入对应关系即可，求的原像可通过列方程组求解．
解：把x＝代入对应关系，得其像为(＋1,3)．
又由解得x＝.
所以的像为(＋1,3)，的原像为.
迁移与应用 解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0，4x＋3y－1＝9，
故A中元素(1,2)的像为(0,9)．
(2)由得
故B中元素(1,2)的原像是.
【当堂检测】
1．B
2．D 解析：选项A中，P中元素2的算术平方根是，但M，选项B中，P中元素4的对应元素为＝2，但2M，故这两个对应都不是映射；选项C中，0∈P，但0没有倒数，故该对应不是映射，只有D选项符合．
3．③⑤
4．3 解析：∵由x2＋1＝10，得x2＝9，
∴x＝±3，又∵x∈N，
∴x＝3.
5．①② ① 解析：①是映射，也是函数；
②是映射，但不是函数；
③中元素0无像与之对应，不是映射，更不是函数．
映射
学案
问题导学
一、映射、一一映射与函数的判定
活动与探究1
在如图所示的对应中是A到B的映射的是( )．
A．②
B．③
C．③④
D．④
活动与探究2
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应关系f：A中的元素对应它的平方根．
(4)A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞0}，f：y＝，x∈A，y∈B.
迁移与应用
判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应关系f：x→；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应关系f：x→x＋3.
判断一个对应是否构成从A到B的映射时，先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．若进一步判断该映射是否是函数，只需看两个集合A，B是否是非空数集即可．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原像，集合A中不同元素对应的像不同．
二、像与原像的计算
活动与探究3
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素的原像．
迁移与应用
已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，
(1)求A中元素(1,2)的像；
(2)求B中元素(1,2)的原像．
解决像与原像的计算问题的关键是紧扣定义，具体地说，就是若已知A中的元素a(即原像a)，求B中与之对应的元素b(即像b)，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可；若已知B中的元素b(即像b)，求A中与之对应的元素a(即原像a)，这时构造方程(组)进行求解即可，应注意解得的结果可能不唯一．
当堂检测
1．给出下列四个对应，其中是映射的是( )．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
2．下面集合P到集合M的对应关系f是映射的是( )．
A．P＝{自然数}，M＝{整数}，f：求算术平方根
B．P＝{整数}，M＝{奇数}，f：x→
C．P＝{整数}，M＝{有理数}，f：求倒数
D．P＝{正整数}，M＝{正整数}，f：x→x＋1
3．下列关于从集合A到集合B的映射的叙述，其中正确的有______．(只填序号)
①B中任何一个元素在A中必有原像；
②A中不同元素在B中的像也不同；
③A中任何一个元素在B中的像是唯一的；
④A中任何一个元素在B中可以有不同的像；
⑤B中某一元素在A中的原像可能不止一个；
⑥集合A与B一定是数集；
⑦记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．
4．已知映射f：N→N＋，x→x2＋1，则10的原像是______．
5．根据下列所给的对应关系，回答问题：
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝.
上述三个对应中，是映射的是______，是函数的是______．(只填序号)
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．唯一 f：A→B 原像 像
预习交流1 (1)提示：不一定．如映射f：A→B，如图所示．集合B中的元素3在集合A中无原像．
(2)提示：可以相同．只要A中的每一个元素都有像，且像是唯一的，就可以建立从A到B的映射．
(3)提示：不一定相等．由于集合B中有些元素可能没有原像，因此像的集合是集合B的子集，二者不一定相等．
2．唯一的像 原像
预习交流2 提示：③
3．非空数集 非空数集
预习交流3 提示：函数是从数集到数集(且均为非空数集)的映射，所以函数是映射，但映射不一定是函数，因为映射的像集与原像集不一定是非空数集．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：按照映射的定义进行判断，分析A中的每一个元素在B中是否都有与之对应的元素，A中每一个元素在B中对应的元素是否是唯一的．
C 解析：(1)中元素b没有与之对应的元素，(2)中元素2在B中有两个元素与之对应，因而均不能构成从A到B的映射．(3)和(4)符合映射的定义，能构成从A到B的映射．
活动与探究2 思路分析：解答时可先从映射的定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应，然后再根据一一映射的定义及映射与函数的关系确定该对应关系是否为一一映射及是否是函数．
解：(1)是映射，且是函数，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．又A，B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为A中的元素0在集合B中没有对应的元素．
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)是映射，是函数，也是一一映射．因为对A中的任一个元素，其倒数是唯一的，即在B中有唯一的元素与之对应．又由于A，B都是非空数集，故此映射也是函数．又因为对于不同的正数，其倒数也是不同的，且B中每个正数都是A中某个正数的倒数，故这个映射也是一一映射．
迁移与应用 解：(1)集合A＝N中元素1在对应关系f的作用下为0，而0N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故该对应不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3，而3B，故该对应不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以此对应是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故该对应是一一映射．又A，B是非空数集，因此该对应也是从集合A到集合B的函数．
活动与探究3 思路分析：解决本题的关键是清楚映射的对应关系f，如要求的像，只需把x＝代入对应关系即可，求的原像可通过列方程组求解．
解：把x＝代入对应关系，得其像为(＋1,3)．
又由解得x＝.
所以的像为(＋1,3)，的原像为.
迁移与应用 解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0，4x＋3y－1＝9，
故A中元素(1,2)的像为(0,9)．
(2)由得
故B中元素(1,2)的原像是.
【当堂检测】
1．B
2．D 解析：选项A中，P中元素2的算术平方根是，但M，选项B中，P中元素4的对应元素为＝2，但2M，故这两个对应都不是映射；选项C中，0∈P，但0没有倒数，故该对应不是映射，只有D选项符合．
3．③⑤
4．3 解析：∵由x2＋1＝10，得x2＝9，
∴x＝±3，又∵x∈N，
∴x＝3.
5．①② ① 解析：①是映射，也是函数；
②是映射，但不是函数；
③中元素0无像与之对应，不是映射，更不是函数．