2.3 函数的单调性 教案4

2.3
函数的单调性
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)建立增(减)函数的概念，通过观察一些函数图像的特征，形成增(减)函数的直观认识.
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数单调性的定义
.
掌握用定义证明函数单调性的步骤．
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程．
2．过程与方法
(1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．
(2)学会运用函数图像理解和研究函数的性质．
(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3．情感、态度与价值观
使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的积极性．
●重点难点
重点：函数的单调性的证明．
难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的证明．
本节课的难点主要是发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是定义中“任意”的理解，建议教学时多给学生操作与思考的空间；另一个难点是定义法判断或证明函数的单调性，其主要原因是学生比较大小的能力不够，因此，对于函数的复杂程度要加以限制，同时要帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤．
(教师用书独具)
●教学建议
在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容，实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最后根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想，将图像法和定义法统一起来．
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生画函数图像，以便有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．
●教学流程
创设情景，揭示课题，观察函数的图像，说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 研探新知，通过观察、思考、讨论，归纳得出增函数、减函数的定义 利用定义，借助例1及变式训练，加深对单调性定义的理解 完成例2及变式训练，通过图像得出函数的单调区间
发展思维，强化函数单调性的应用，完成例3及变式训练 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.理解函数的单调性的概念及其几何意义．(难点)2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(易混点)
知识点一
函数在区间上增加(减少)的定义
【问题导思】　
　观察下列函数的图像．
当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？
【提示】　函数y＝x的值逐渐增大，函数y＝－x的值逐渐减少，而函数y＝x2在(－∞，0]上逐渐减小，在[0，＋∞)上逐渐增大．
　函数在区间上的增加(递增)或减少(递减)性
1．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x12．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，或称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
知识点二
单调区间、单调性和单调函数
【问题导思】　
1．函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下：
该函数的图像在哪些区间上是上升的？在哪些区间上是下降的？
【提示】　在区间[－3，－2]，[2,3]上是上升的，在区间[－2,2]上是下降的．
2．对于问题1中区间[－2,2]上的任意x1，x2，当x1f(x2)
【提示】　图像在区间[－2,2]上是下降的，所以有f(x1)>f(x2)．
1．单调区间
如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
2．单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
3．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.
类型一
函数单调性的判断或证明
　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
【思路探究】　在(0,1)内任取x1f(x2)．
【自主解答】　设0f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)(1－)＝.
已知0则x1x2－1<0，x1－x2<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
1．证明过程中要注意x1，x2在所给区间上的任意性，切忌以特殊值代替一般．
2．证明函数单调性的步骤：
证明：f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
【证明】　设x1，x2∈(－∞，0)，且x10，所以<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)类型二
求函数的单调区间
　画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
【思路探究】　含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．
【自主解答】　f(x)＝
当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；
当x<0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.
作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．
1．本题中f(x)是含有绝对值的函数，通常去掉绝对值号转化为分段函数，然后分段画出图像．
2．写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能“∪”符号连接．
3．求函数的单调区间不能忽略函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．
　已知f(x)＝|x2－x－12|，求f(x)的单调区间．
【解】　f(x)＝|x2－x－12|＝|(x－)2－|.
如图，作出函数的简图观察其图像，知函数f(x)的单调递增区间为[－3，]和[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－3]和[，4]．
类型三
函数单调性的应用
　(2013·青岛高一检测)已知函数y＝x2－2ax＋a2－1在(－∞，1)上是减少的，求a的取值范围．
【思路探究】　(1)二次函数的图像怎样？开口向上的抛物线．
(2)二次函数的单调区间取决于什么量？对称轴．
【自主解答】　因为y＝x2－2ax＋a2－1＝(x－a)2－1，其图像的对称轴为x＝a，若函数在(－∞，1)上是减少的，则对称轴x＝a应在区间(－∞，1)的右侧，所以a≥1.即a的取值范围是(1，＋∞)．
1．结合图像确定对称轴的位置是解答本题的关键．
2．函数f(x)在区间(a，b)内单调，说明该区间是函数单调区间的一个子区间，利用子集的关系可以列出相应的不等式，进而求有关参数的取值范围．
　(1)已知函数f(x)＝x2－4ax＋1在[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≥－}　　　　　B．{a|a>－}
C．{a|a≤－}
D．{a|a＝－}
(2)已知f(x)＝(3a＋1)x＋b在R上是减函数，则a的取值范围是________．
【解析】　(1)f(x)＝x2－4ax＋1抛物线开口向上，
对称轴x＝2a.
∵f(x)在[－1，＋∞)上是增函数，
∴2a≤－1，∴a≤－.
∴a的取值范围为{a|a≤－}．
(2)要使f(x)＝(3a＋1)x＋b在R上是减函数，
只需满足3a＋1<0，即a<－.
故a的取值范围为(－∞，－)．
【答案】　(1)C　(2)(－∞，－)
应用函数的单调性解题时忽略函数定义域致误
　已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是增函数，f(1－m)【错解】　因为函数f(x)是增函数，且f(1－m)所以有1－m.
【错因分析】　函数的定义域为[－2,2]，因此1－m，m都必须在此范围内．
【防范措施】　1.利用单调性解抽象不等式时，应将相应的自变量转化到同一单调区间上，然后“脱去”函数记号f，构建具体的不等式．
2．研究函数问题时不能忽略定义域对函数的限制．
【正解】　因为f(x)在区间[－2,2]上单调递增，且f(1－m)所以解得故实数m的取值范围是(，2]．
1．函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．
2．判断函数单调性的方法：定义法；图像法．
3．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可.
1．函数y＝－x2＋1的单调减区间是(　　)
A．(－∞，0]　　　　　　　B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[0，＋∞)
【解析】　结合函数y＝－x2＋1的图像，其单调减区间为[0，＋∞)．
【答案】　D
2．若函数f(x)是[－2,2]上的减函数，则f(－1)________f(2)．(填“＞”，“＜”，“＝”)
【解析】　∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，
∴f(－1)＞f(2)．
【答案】　＞
3．已知定义在[－1,1]上的函数f(x)是增函数，且f(a－2)【解析】　由题意知
解得1≤a≤2，又函数在[－1,1]上单调递增，且f(a－2)【答案】　[1，)
4．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
【证明】　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2).
∵2＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
一、选择题
1．下列说法中，正确的有(　　)
①若任意x1，x2∈A，当x10，则y＝f(x)在A上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
【解析】　当x10知f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)【答案】　B
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
【解析】　(排除法)函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数．
【答案】　A
3．已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
【解析】　已知函数的图像判断其在定义域内的单调性，应从它的图像是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数．
【答案】　B
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【解析】　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.
【答案】　C
5．(2013·洛阳高一检测)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有(　　)
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)>25
【解析】　因为函数f(x)的对称轴为x＝，
所以f(x)在[，＋∞)上是增加的．
所以≤－2，∴m≤－16.
则f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.
【答案】　A
二、填空题
6．已知f(x)＝则f(x)的单调增区间是________．
【解析】　画出分段函数f(x)的图像，如图所示：
由图像知，f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上单调递增．
【答案】　(－∞，0]和[1，＋∞)
7．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.
【解析】　f(x)的图像的对称轴为x＝＝－2，
∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3.
∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
【答案】　13
8．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．
【解析】　y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，
作出该函数的图像(如图)．
由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．
【答案】　[－1,1]和[3，＋∞)
三、解答题
9．求证：函数f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
【证明】　设x1，x2为区间(0，＋∞)上的任意两个值，
且x10.
因为f(x1)－f(x2)＝(－－1)－(－－1)
＝－＝<0，
即f(x1)故f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
10．(2013·宁德检测)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)<0.若f(x)是(－1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．
【解】　由f(1－a)＋f(1－2a)<0，
得f(1－a)<－f(1－2a)，
∵f(－x)＝－f(x)，x∈(－1,1)，
∴f(1－a)又∵f(x)是(－1,1)上的减函数，
∴
故实数a的取值范围是(0，)．
11．(2013·福州检测)已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)在
R上是增加的．
【证明】　设x1，x2∈R，且x1∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
令x1＝x，x2＝x1＋y(y>0)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1，
又∵x10，
∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)所以函数f(x)在R上是增加的.
(教师用书独具)
　已知函数f(x)＝，x∈[2,5]．
(1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明；
(2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值．
【思路探究】　由草图判断单调性→利用定义证明→计算端点值→得出最值
【自主解答】　(1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
证明　任意取x1，x2∈[2,5]且x1则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是递减的，故对任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)，
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
1．运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图像不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
2．函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
　已知函数y＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
【解】　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以，函数y＝在区间[2,6]上是减函数．因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即x＝2时函数的值最大，最大值是2，当x＝6时函数的值最小，最小值是0.4.
知识拓展
如果要求作出函数y＝x＋的图像，也许我们一时会感到无从下手，当然就很难取值列表，也不知道应该如何连线，但利用解析式，对函数的性质进行充分研究，则函数y＝x＋的图像的轮廓就会逐步清晰：
(1)函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}，说明图像与y轴没有公共点．
(2)函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即当x>0时，y≥2；x<0时，y≤－2，说明图像在第一象限(最低点坐标为(1,2))或第三象限(最高点坐标为(－1，－2))．
(3)可以证明函数y＝x＋的图像关于原点对称即知函数的奇偶性．
(4)可以证明函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增；在(－1,0)，(0,1)上递减．
到此我们已经可以大致想象出函数y＝x＋图像的形状．还可进一步通过极限和导数解决函数图像的渐近线是y轴(x＝0)和直线y＝x，解决函数的连续性(图像无间断点)、可导(图像平滑)以及凸凹性等等．虽然函数的图像没有一目了然，但毕竟已成竹在胸．
通过作函数图像我们可进一步加深对函数性质的理解和记忆，为研究函数图像和性质既提供了方法，又给出了对具体问题的研究模式，可进一步探讨y＝x＋(a>0)，y＝bx＋(a>0，b>0)的图像和性质问题等等．