2.3 函数的单调性 同步测试（含答案）

2.3　函数的单调性
时间：45分钟　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝在定义域内是减函数
D．y＝在(－∞，0)上是减函数
解析：当k<0时，y＝kx在R上是减函数；y＝x2在R上不单调；函数y＝只可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为减函数，只有D正确．
答案：D
2．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是(　　)
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[1,2]
D.
解析：由二次函数y＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝且开口向上，所以该函数的单调减区间为，故选D.
答案：D
3．函数f(x)＝在R上是(　　)
A．减函数
B．增函数
C．先减后增
D．无单调性
解析：画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数．
答案：B
4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
A．k>
B．k>－
C．k<
D．k<－
解析：若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则必有2k－1<0，∴k<.
答案：C
5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝－3x＋2
B．y＝
C．y＝x2－4x＋5
D．y＝3x2＋8x－10
解析：显然A、B在(0,2)上为减函数，排除；对C，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合条件；对D，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数．故选D.
答案：D
6．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　)
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2－1)D．f(a2＋1)解析：∵a2＋1－a＝2＋>0，
∴a2＋1>a.
∴f(a2＋1)答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．
解析：由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．
答案：(－∞，1]和(1，＋∞)
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)等于________．
解析：由题意知，＝－2，即m＝－8，
∴f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
答案：13
9．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)解析：∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<，
即x的取值范围是(－∞，)．
答案：(－∞，)
三、解答题(共计40分)
10．(10分)证明函数f(x)＝x2－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)
＝(x－4x1－1)－(x－4x2－1)
＝x－x－4x1＋4x2
＝(x1－x2)(x1＋x2)－4(x1－x2)
＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．
∵x2>x1≥2，∴x1－x2<0，x1＋x2>4，
即x1＋x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数f(x)＝x2－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．
11．(15分)求函数y＝的单调区间．
解：由－x2－2x＋3≥0，得函数的定义域为[－3,1]．设u＝－x2－2x＋3，当－3≤x≤－1时，函数u＝－x2－2x＋3是增函数，又函数y＝为单调增函数，故[－3，－1]是函数y＝的单调增区间；当－1≤x≤1时，函数u＝－x2－2x＋3是减函数，而函数y＝为单调增函数，故[－1,1]是函数y＝的单调减区间．
——能力提升——
12．(15分)已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]．
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．
解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2)(1－)．
∵x1当1≤x11.
∴1－<0.∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在[1,2]上是减函数．
当2≤x1∴0<<1.∴1－>0.
∴f(x1)∴f(x)在[2,3]上是增函数．
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝∴f(x)的最大值为5.