2.3 函数的单调性 学案2（含答案）

2.3函数的单调性
学案
1．函数单调性的概念
(1)函数y＝f(x)在区间A上的增加与减少及单调区间
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．
类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
(2)函数y＝f(x)在数集A上的增加与减少及单调性
一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．
类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是减少的．
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
谈重点
函数单调性的理解
函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)．正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：
(1)“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域．
(2)“区间”．函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性．我们不能说一个函数在x＝5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的．
(3)“任意”和“都有”．“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．
对“任意”二字不能忽视，如考查函数y＝x2在区间[－2,2]上的单调性，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y＝x2在[－2,2]上是减少的，那就错了．原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．
同样地，“都有”两个字也很重要，如函数y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增加的或是减少的．
【例1－1】下列说法不正确的有(　　)．
①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减少的；
②函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；
③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；
④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是增函数．
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
解析：①函数y＝x2在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；
②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，但在整个定义域上不是减函数，因为存在x1＝－1＜1＝x2，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，有f(x1)＜f(x2)成立，不符合减函数的定义；
③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；
④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．
答案：D
【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)．
A．＜f(－1)＜f(2)
B．f(－1)＜＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜
D．f(2)＜＜f(－1)
解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．
∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜＜－1，
∴f(－2)＜＜f(－1)，即f(2)＜＜f(－1)．
答案：D
【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为(　　)．
A．(－1,2)
B．[3，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)
解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，
∴f(0)＝－1，f(3)＝1.
由|f(x＋1)|＜1得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，
∴由单调函数的定义可知，0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.
答案：A
2．函数单调性的判断方法
(1)图像法
对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．
谈重点
函数单调区间的求解及书写
1．常见函数的图像及其单调性如下表：
函数类型
正比例函数y＝kx
一次函数y＝kx＋b
k＞0
k＜0
k＞0
k＜0
图像
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
在R上是增函数
在R上是减函数
函数类型
二次函数y＝ax2＋bx＋c
反比例函数
a＞0
a＜0
k＞0
k＜0
图像
单调性
在上是减少的，在上是增加的
在上是增加的，在上是减少的
在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减少的
在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增加的
以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．
2．书写函数的单调区间时应该注意以下几点：
(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)．
(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子集区间．
(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．
(2)定义法
如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：
①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；
④判断：根据定义作出结论(若x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．
【例2－1】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)．
解析：已知函数的图像判断其在定义域内的单调性，应从它的图像是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数．
答案：B
析规律
单调性图像的表现形式
函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现．
【例2－2】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．
解：f(x)＝
当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；
当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.
作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．
解技巧
利用图像确定单调区间
利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．
【例2－3】(1)证明函数f(x)＝在定义域上是减函数；
(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；
(3)证明函数f(x)＝在(0,1)上为减函数．
分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差f(x1)－f(x2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．
证明：(1)f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，
任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＝
＝，
即f(x1)＞f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是减函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0.
∴f(x1)－f(x2)＝(x13＋x1)－(x23＋x2)
＝(x13－x23)＋(x1－x2)
＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)＋(x1－x2)
＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22＋1)
＝(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
(3)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则x1－x2＜0.
∴f(x1)－f(x2)＝
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴由单调函数的定义可知，函数f(x)＝在(0,1)上为减函数．
警误区
证明函数单调性的常见错误
在第(1)题中，有的同学认为由0≤x1＜x2，可得，这种证明实际上利用了函数的单调性，而的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．
3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小
若函数y＝f(x)在给定的区间A上是增加的，设x1，x2∈A，且x1＜x2，则有f(x1)＜f(x2)；若函数y＝f(x)在给定的区间A上是减少的，设x1，x2∈A，且x1＜x2，则有f(x1)＞f(x2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．
【例3】设函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系为________．
解析：已知函数f(x)的单调性，比较两个函数值f(a2－a＋1)与的大小，可以转化为判断a2－a＋1的取值范围以及a2－a＋1与的大小关系．
∵a2－a＋1＝，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当时，a2－a＋1＞，有f(a2－a＋1)＜；当时，a2－a＋1＝，有f(a2－a＋1)＝.综上可知，f(a2－a＋1)≤.
答案：f(a2－a＋1)≤
4．利用函数的单调性确定参数范围
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．
例如：已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．
由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便．
要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3.
谈重点
分段函数的单调性
求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系．
【例4】已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．
分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成．当x＜1时，f(x)＝(3－a)x＋4a，其图像是一条射线；当x≥1时，f(x)＝，其图像由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线，若a≠0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图像位于x≥1时的图像的上方．
解：由题意知，函数f(x)＝(3－a)x＋4a，x＜1与f(x)＝，x≥1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)．
∴即∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．
5．利用函数的单调性求函数的最值
若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，
若函数f(x)在某一闭区间[a，b]上是增函数，则最大值在右端点b处取得，即ymax＝f(b)；最小值在左端点a处取得，即ymin＝f(a)．若函数f(x)在某一闭区间[a，b]上是减函数，则最大值在左端点a处取得，即ymax＝f(a)；最小值在右端点b处取得，即ymin＝f(b)．解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案．
以下是基本初等函数的最值：
①正比例函数y＝kx(k≠0)
在定义域R上不存在最值，但在闭区间[a，b]上存在最值．当k＞0时，函数y＝kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k＜0时，函数y＝kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.
②反比例函数y＝(k≠0)
在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值，但在闭区间[a，b](ab＞0)上存在最值．当k＞0时，函数y＝的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k＜0时，函数y＝的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝.
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)
在定义域R上不存在最值，但在闭区间[m，n]上存在最值．当k＞0时，函数y＝kx＋b的最大值为f(n)＝kn＋b，最小值为f(m)＝km＋b；当k＜0时，函数y＝kx＋b的最大值为f(m)＝km＋b，最小值为f(n)＝kn＋b.
【例5－1】求函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域．
解：函数y＝x2＋x－1的对称轴为，开口方向向上．
①当a＋1＜，即时，区间[a，a＋1]在对称轴的左侧，
∴y在[a，a＋1]上单调递减．
∴当x＝a＋1时，ymin＝a2＋3a＋1；当x＝a时，ymax＝a2＋a－1.
②当时，区间[a，a＋1]在对称轴的右侧，
∴y在[a，a＋1]上单调递增．
∴当x＝a时，ymin＝a2＋a－1；当x＝a＋1时，ymax＝a2＋3a＋1.
③当a≤≤a＋1，即时，
当时，ymin＝；
当，即－1＜a≤时，
当x＝a＋1时，ymax＝a2＋3a＋1；
当，即≤a≤－1时，
当x＝a时，ymax＝a2＋a－1.
综上可知，函数y在区间[a，a＋1]上的值域为
当时，[a2＋3a＋1，a2＋a－1]；
当≤a≤－1时，；
当－1＜a≤时，；
当a＞时，[a2＋a－1，a2＋3a＋1]．
【例5－2】求f(x)＝的最小值．
分析：求函数f(x)＝的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．
解：f(x)＝的定义域为[1，＋∞)，任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋()＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·.
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值，无最大值；
当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值，无最小值．
求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答．
以上基本初等函数的最值作为结论记住，可以提高解题速度．
6．利用函数的单调性解不等式
函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1)≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＜x2.
利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可．
又∵1＋＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.
析规律
利用单调性求最值
利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在[a，b]上是递增的，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上是递减的，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)．
【例6】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．
分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．
解：由题意可得
由①得0＜a＜2，
由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|＜，∴，且a≠0.
由③得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
∴或∴－2＜a＜1.
综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．
7．复合函数单调性的判断方法
一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：
(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．
(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．
(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．
(4)f(x)恒为正或恒为负时，与y＝f(x)单调性相反．
(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与具有相同的单调性．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：
①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；
②分别确定各个函数的定义域；
③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；
④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数．
该法可简记为“同增异减”．
值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．
【例7】求的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．
解：要使函数有意义，需满足x2＋2x－3≥0，
即(x－1)(x＋3)≥0.
∴或
∴x≥1，或x≤－3.
∴函数的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．
令u＝x2＋2x－3，则，易知u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.
∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；
当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．
∴的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．
警误区
函数的定义域与单调区间
由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间．
8．抽象函数的单调性问题
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：
(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．
(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．
【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．
(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，
∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.