2.3 函数的单调性 学案4（含答案）

2.3
函数的单调性
学案
[读教材·填要点]
1．函数在区间上增加(减少)的定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：
(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．
(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．
2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
3．函数的单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
4．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
[小问题·大思维]
1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？
提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1，2]上并不是增加的．
2．函数f(x)＝的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)
提示：不能，如x1＝－1，x2＝1满足x1＜x2，
但有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1，不符合减少的要求．
3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？
提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．
[研一题]
[例1]　试判断函数f(x)＝在其定义域上的单调性，并加以证明．
[自主解答]　函数定义域为{x|x≠1}，
又f(x)＝
＝＝＋1，
可由反比例函数y＝图像得其图像如图所示：
由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.
∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
同理可证f(x)在(－∞，1)上为减函数．
综上f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．
[悟一法]
判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：
(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1＜x2；
(2)作差：计算f(x1)－f(x2)；
(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；
(4)判号：结合题设判定差的符号；
(5)定论：结合单调性的定义下结论．
[通一类]
1．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在其定义域内的单调性．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)设x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x10，x1x2>0.
当a>0时，有>0，即f(x1)>f(x2)；
当a<0时，有<0，即f(x1)∴当a>0时，f(x)＝(a≠0)在(－∞，0)上是减函数；
当a<0时，f(x)＝(a≠0)在(－∞，0)上是增函数．
(2)同理，f(x)＝(a≠0)在(0，＋∞)上，
当a>0时是减函数，
当a<0时是增函数．
综上所述，函数y＝(a≠0)，
当a>0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；
当a<0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.
[研一题]
[例2]　求函数y＝－x2＋2|x|＋3的增区间和减区间．
[自主解答]　y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图像如右图所示．
由图像可知：
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，
函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]，
单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．
[悟一法]
(1)求函数单调区间的常用方法有：
①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；
(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．
[通一类]
2．求函数y＝|x＋1|＋|2－x|的单调区间．
解：函数可化为分段函数形式：
y＝
法一：由解析式可知函数的递增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
法二：作出y＝的图像，由图像观察得．
单调增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
[研一题]
[例3]　(1)已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小；
(2)已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
[自主解答]　(1)∵a2－a＋1＝＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f()≥f(a2－a＋1)；
(2)由题意可知解得1≤x≤2.
∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，∴x－2＜1－x.∴x＜.
∴1≤x＜为满足题设条件的x的取值范围．
[悟一法]
(1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围．
(2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用．
[通一类]
3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1)求f(8)的值；
(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集．
[巧思]　解答本题关键是巧用f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)对x，y恰当赋值，用f(2)表示f(8)．
(2)将不等式转化成f(x)＞f(g(x))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x的不等式组．
[妙解]　(1)由题意得f(8)＝f(4×2)
＝f(4)＋f(2)
＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)＝3；
(2)原不等式可化为：f(x)＞3＋f(x－2)，
∵f(8)＝3，
∴3＋f(x－2)＝f(8)＋f(x－2)
＝f(8(x－2))．
∴f(x)＞f(8(x－2))的解集即为所求．
∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴　解得2＜x＜.
∴原不等式的解集为{x|2＜x＜}．
1．下列函数中，在区间(0，3)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x　　　　　　　
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x|
解析：可知，y＝3－x在(0，3)上为减函数，y＝在(0，3)上为减函数，y＝－|x|＝－x在(0，3)上为减函数．
答案：B
2．函数f(x)＝－x2的单调增区间为(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：由f(x)＝－x2的图像知，A正确．
答案：A
3．函数y＝(k＋2)x＋1在实数集上是减函数，则k的范围是(　　)
A．k>－2
B．k≤－2
C．k≥－2
D．k<－2
解析：∵f(x)＝(k＋2)x＋1在R上是减函数．
∴k＋2<0，即k<－2.
答案：D
4．如图所示是定义在[－5，5)上的函数y＝f(x)的图像．
则该函数的单调增区间是________________，减区间是____________．
答案：[－2，1]和[3，5)　[－5，－2]和[1，3]
5．若f(x)是R上的增函数，且f(x－1)＞f(2)，则x的取值范围是________．
解析：由题得x－1＞2，得x＞3，故x的范围为{x|x＞3}．
答案：{x|x＞3}．
6．用增函数定义证明f(x)＝ax＋b(a＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数．
证明：设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝ax2＋b－(ax1＋b)
＝ax2－ax1＝a(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，
又a＞0，∴f(x2)－f(x1)＝a(x2－x1)＞0，
∴f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数．
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有(　　)
①y＝|x|　②y＝　③y＝－　④y＝x＋
A．①②　　　　　　　　　
B．②③
C．③④
D．①④
解析：当x∈(－∞，0)时，y＝|x|＝－x，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A、D.
又y＝＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故B不正确．
答案：C
2．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　)
A．f(a)B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)解析：∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，∴a2＋1>a，
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(a2＋1)答案：D
3．下列说法不正确的有(　　)
①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；
②函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；
③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；
④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是减函数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：对于①中函数y＝x2，在R上不具有单调性，故①不正确；
②中函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k＝0时，其在R上不具有单调性，故③不正确；④中由于x1，x2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．
答案：D
4．若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)解析：∵f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)，
又∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
而－2<－<－1，∴f(－2)即f(2)答案：D
二、填空题
5．函数f(x)＝的减区间是________．
解析：函数f(x)的图像如图实线部分所示．
则减区间是(0，1]．
答案：(0，1]
6．若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在[1，2]上单调递减，则a的取值范围是______________．
解析：函数f(x)的图像的对称轴为x＝a，可知其图像开口向下，∵f(x)在[1，2]上单调递减，∴a≤1.
答案：(－∞，1]
7．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．
解析：∵f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在[2，4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝.
答案：　
8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)解析：由题意得，解得：0答案：(0，)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝|－x2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．
解：函数f(x)＝|－x2＋2|
＝
作出函数的图像如图所示．
由图可知函数f(x)＝|－x2＋2|的单调增区间为[－，0]和[，＋∞);
单调减区间为(－∞，－)和[0，]．
在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为f()＝0，最大值为f(3)＝7.
10．已知f(x)＝是定义在R上的函数，且满足f()＝，f(0)＝0.
(1)求实数a、b的值，并确定f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增加的．
解：(1)由f()＝，f(0)＝0，得
得a＝1，b＝0，∴f(x)＝.
(2)证明：在(－1，1)上任取－1＜x1＜x2＜1，
则由f(x2)－f(x1)可得：
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，
1－x1x2＞0，x＋1＞0，x＋1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0.
∴f(x)在(－1，1)上是增加的．