2.3 函数的单调性 学案5（含答案）

2.3
函数的单调性
学案
一、学习目标
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识.
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义
.
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
二、重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
学习过程
1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)
=
x
从左至右图象上升还是下降
______
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
（2）f(x)
=
-x+2
从左至右图象上升还是下降
______
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
（3）f(x)
=
x2
在区间
____________
上，f(x)的值随着x的增大而
________
．
在区间
____________
上，f(x)的值随着x的增大而
________
．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
（二）探究新知
1、y
=
x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
函数y
=
x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22
.
即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1function）．
3、从函数图象上可以看到，y=
x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
4．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
(三)理解概念
思考1
如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解析：函数在区间[-5,-2],[1,3]上分别是减函数,在[-2,3],[3,5]分别是增函数.
2、证明函数的单调性．
画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明.
解析：如图：
可以看出，函数在定义域R上是上升的，即函数在R上是增函数。证明：
任取且，则，
所以
即
由定义可知，函数在R上是增函数。
思考2
画出反比例函数的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（四）归纳小结
如何判断或证明函数的单调性
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取
值
→
作
差
→
变
形
→
定
号
→
下结论
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1