2.3 函数的单调性 学案6（含答案）
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2.3
函数的单调性
学案
1．理解函数单调性的定义．
2．会用函数单调性的定义判断函数的单调性．
3．能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间．
1．增函数
(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．
设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0.
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____________的．
(3)图示：如图所示．
【做一做1】
下列命题正确的是(
)．
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．如果f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2
2．减函数
(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是减少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0.
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是__________的．
(3)图示：如图所示．
【做一做2－1】
设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有(
)．
A．a≥
B．a≤
C．a＞－
D．a＜
【做一做2－2】
函数f(x)在R上是减函数，则有(
)．
A．f(3)＜f(5)
B．f(3)≤f(5)
C．f(3)＞f(5)
D．f(3)≥f(5)
3．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是______或是______，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在__________内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____或____的．
一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．如函数y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．
书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间．
【做一做3－1】
函数y＝－x2的单调增区间为(
)．
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
【做一做3－2】
已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则它的单调减区间为__________．
4．最大值和最小值
(1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M[或f(x)≥M]，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大(小)值，记作ymax＝f(x0)[或ymin＝f(x0)]．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图像上最高(低)点的纵坐标．
【做一做4】
函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是(
)．
A．6,3
B．5,2
C．9,3
D．7,4
答案：1．(1)f(x1)＜f(x2) (2)上升
【做一做1】
D A，B项中的x1，x2不具有任意性，C项中f(x)在I1和I2上均为增函数，但在I1∪I2上的单调性无法判定．
2．(1)f(x1)＞f(x2) (2)下降
【做一做2－1】
D ∵f(x)是R上的减函数，
∴2a－1＜0，即a＜.
【做一做2－2】
C ∵函数f(x)在R上是减函数，3＜5，
∴f(3)＞f(5)．
3．(1)增加的 减少的 整个定义域 (2)上升 下降
【做一做3－1】
A
【做一做3－2】
和
【做一做4】
B 函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上是增加的，则当3≤x≤6时，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤f(x)≤5，所以最大值和最小值分别是5,2.
理解函数的单调性
剖析：函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)；函数y＝f(x)在区间D上是增函数(减函数)，等价于对于D中任意的两个自变量x1，x2且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)〔f(x1)＞f(x2)〕，其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则会产生错误．比如函数f(x)＝，取x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，如果由此推出f(x)＝是增函数就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．
另一方面，从反面考虑，由于存在x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，我们可以下这样的结论：f(x)＝在整个定义域上肯定不是减函数；由定义还可以看出，函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数的定义域，如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函数的单调性是反映函数图像变化趋势的，所以在一点处没法讨论函数的单调性，比如函数y＝x2的单调增区间可以写成(0，＋∞)，也可以写成[0，＋∞)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示；如果要证明一个函数的单调性，要严格按照定义进行，步骤如下：
(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x1，x2且x1＜x2；
(2)变形：主要是配方或分解因式、通分等；
(3)定号：判断f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：由定义给出结论．
题型一
判断或证明函数的单调性
【例1】
证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减少的．
分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1＜x2，只需证明f(x1)＞f(x2)即可．
反思：证明函数单调性，主要有2种方法．
(1)定义法．其步骤是：①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；②比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再归纳结论．
(2)图像法．借助图像，依据函数单调性的几何意义来判断．此法适合客观题(选择题和填空题)．
题型二
求函数的单调区间
【例2】
画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
分析：只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．
反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
题型三
函数单调性的应用
【例3】
已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．
分析：要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小．
反思：利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，当x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论．
【例4】
已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
分析：欲求x的取值范围，需由f(x－2)＜f(1－x)得出x－2与1－x的大小关系，同时要注意函数的定义域．
反思：解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求解．
题型四
单调性与最值的综合运用
【例5】
已知函数y＝f(x)对任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大、最小值．
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用．
反思：证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手．
题型五
易错辨析
易错点
对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误
【例6】
若函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围是__________．
错解：函数y＝|x－a|的图像如图所示，由于函数在区间(－∞，4]上是减少的，因此a＝4.
错因分析：错解中把函数在区间(－∞，4]上是减少的误认为函数的单调减区间是(－∞，4]．若把原题目改为：函数y＝|x－a|的单调减区间是(－∞，4]，则a＝4符合题意．
答案：【例1】
证明：设0＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0.
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减少的．
【例2】
解：y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的；
函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减少的．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
【例3】
解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f≥f(a2－a＋1)．
【例4】
解：由题意可知解得1≤x≤2.
∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，
∴x－2＜1－x.∴x＜.
∴1≤x＜为满足题设条件的x的取值范围．
【例5】
解：(1)令x＝y＝0，可得f(0)＝0，
令y＝－x可得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又∵x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
由定义可知f(x)
在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上是减少的．
∴f(－3)最大，f(3)最小．
f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2.
∴f(－3)＝－f(3)＝2，即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
【例6】
正解：函数y＝|x－a|的图像如图所示，所以只要a＝4或a在4的右侧，都能保证函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减少的，因此a≥4.
1
函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(
)．
A．递减函数
B．递增函数
C．先递增再递减
D．先递减再递增
2
函数的单调递减区间是(
)．
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
3
下列函数中，在区间(0,2)上增加的是(
)．
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝－x2
D．y＝x2－2x－3
4
函数f(x)＝x2－|x|的单调递减区间是__________．
5
求证：函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减少的．
答案：1．D 由函数图像可知，函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上先递减再递增，选D.
2．C 由y＝的图像知，选C.
3．B (排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数；选项C，y＝－x2在(0，＋∞)上是减少的；选项D，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，当x≤1时，y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在(0,2)上并不严格单调，故选B.
4.和 当x≥0时，f(x)＝x2－x，f(x)的单调减区间是，
当x＜0时，f(x)＝x2＋x，f(x)的单调减区间是.
5．证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝.
∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＝＞0.
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上是减少的．
函数的单调性
学案
1．理解函数单调性的定义．
2．会用函数单调性的定义判断函数的单调性．
3．能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间．
1．增函数
(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．
设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0.
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____________的．
(3)图示：如图所示．
【做一做1】
下列命题正确的是(
)．
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．如果f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2
2．减函数
(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是减少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0.
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是__________的．
(3)图示：如图所示．
【做一做2－1】
设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有(
)．
A．a≥
B．a≤
C．a＞－
D．a＜
【做一做2－2】
函数f(x)在R上是减函数，则有(
)．
A．f(3)＜f(5)
B．f(3)≤f(5)
C．f(3)＞f(5)
D．f(3)≥f(5)
3．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是______或是______，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在__________内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____或____的．
一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．如函数y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．
书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间．
【做一做3－1】
函数y＝－x2的单调增区间为(
)．
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
【做一做3－2】
已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则它的单调减区间为__________．
4．最大值和最小值
(1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M[或f(x)≥M]，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大(小)值，记作ymax＝f(x0)[或ymin＝f(x0)]．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图像上最高(低)点的纵坐标．
【做一做4】
函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是(
)．
A．6,3
B．5,2
C．9,3
D．7,4
答案：1．(1)f(x1)＜f(x2) (2)上升
【做一做1】
D A，B项中的x1，x2不具有任意性，C项中f(x)在I1和I2上均为增函数，但在I1∪I2上的单调性无法判定．
2．(1)f(x1)＞f(x2) (2)下降
【做一做2－1】
D ∵f(x)是R上的减函数，
∴2a－1＜0，即a＜.
【做一做2－2】
C ∵函数f(x)在R上是减函数，3＜5，
∴f(3)＞f(5)．
3．(1)增加的 减少的 整个定义域 (2)上升 下降
【做一做3－1】
A
【做一做3－2】
和
【做一做4】
B 函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上是增加的，则当3≤x≤6时，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤f(x)≤5，所以最大值和最小值分别是5,2.
理解函数的单调性
剖析：函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)；函数y＝f(x)在区间D上是增函数(减函数)，等价于对于D中任意的两个自变量x1，x2且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)〔f(x1)＞f(x2)〕，其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则会产生错误．比如函数f(x)＝，取x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，如果由此推出f(x)＝是增函数就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．
另一方面，从反面考虑，由于存在x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，我们可以下这样的结论：f(x)＝在整个定义域上肯定不是减函数；由定义还可以看出，函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数的定义域，如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函数的单调性是反映函数图像变化趋势的，所以在一点处没法讨论函数的单调性，比如函数y＝x2的单调增区间可以写成(0，＋∞)，也可以写成[0，＋∞)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示；如果要证明一个函数的单调性，要严格按照定义进行，步骤如下：
(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x1，x2且x1＜x2；
(2)变形：主要是配方或分解因式、通分等；
(3)定号：判断f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：由定义给出结论．
题型一
判断或证明函数的单调性
【例1】
证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减少的．
分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1＜x2，只需证明f(x1)＞f(x2)即可．
反思：证明函数单调性，主要有2种方法．
(1)定义法．其步骤是：①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；②比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再归纳结论．
(2)图像法．借助图像，依据函数单调性的几何意义来判断．此法适合客观题(选择题和填空题)．
题型二
求函数的单调区间
【例2】
画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
分析：只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．
反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
题型三
函数单调性的应用
【例3】
已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．
分析：要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小．
反思：利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，当x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论．
【例4】
已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
分析：欲求x的取值范围，需由f(x－2)＜f(1－x)得出x－2与1－x的大小关系，同时要注意函数的定义域．
反思：解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求解．
题型四
单调性与最值的综合运用
【例5】
已知函数y＝f(x)对任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大、最小值．
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用．
反思：证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手．
题型五
易错辨析
易错点
对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误
【例6】
若函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围是__________．
错解：函数y＝|x－a|的图像如图所示，由于函数在区间(－∞，4]上是减少的，因此a＝4.
错因分析：错解中把函数在区间(－∞，4]上是减少的误认为函数的单调减区间是(－∞，4]．若把原题目改为：函数y＝|x－a|的单调减区间是(－∞，4]，则a＝4符合题意．
答案：【例1】
证明：设0＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0.
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减少的．
【例2】
解：y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的；
函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减少的．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
【例3】
解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f≥f(a2－a＋1)．
【例4】
解：由题意可知解得1≤x≤2.
∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，
∴x－2＜1－x.∴x＜.
∴1≤x＜为满足题设条件的x的取值范围．
【例5】
解：(1)令x＝y＝0，可得f(0)＝0，
令y＝－x可得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又∵x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
由定义可知f(x)
在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上是减少的．
∴f(－3)最大，f(3)最小．
f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2.
∴f(－3)＝－f(3)＝2，即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
【例6】
正解：函数y＝|x－a|的图像如图所示，所以只要a＝4或a在4的右侧，都能保证函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减少的，因此a≥4.
1
函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(
)．
A．递减函数
B．递增函数
C．先递增再递减
D．先递减再递增
2
函数的单调递减区间是(
)．
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
3
下列函数中，在区间(0,2)上增加的是(
)．
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝－x2
D．y＝x2－2x－3
4
函数f(x)＝x2－|x|的单调递减区间是__________．
5
求证：函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减少的．
答案：1．D 由函数图像可知，函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上先递减再递增，选D.
2．C 由y＝的图像知，选C.
3．B (排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数；选项C，y＝－x2在(0，＋∞)上是减少的；选项D，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，当x≤1时，y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在(0,2)上并不严格单调，故选B.
4.和 当x≥0时，f(x)＝x2－x，f(x)的单调减区间是，
当x＜0时，f(x)＝x2＋x，f(x)的单调减区间是.
5．证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝.
∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＝＞0.
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上是减少的．